B關(guān)于水庫排污問題的數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)栗晨陽

1、關(guān)于水庫排污問題的數(shù)學(xué)建模姓名：栗晨陽班級(jí)：數(shù)學(xué)112學(xué)號(hào)：3110801233 指導(dǎo)老師： 周金明 成 績： 完成日期： 2021年7月3日摘 要 本文針對(duì)水庫突發(fā)性事故排污問題，首先通過建立二維水質(zhì)污染物濃度模型，給出了單個(gè)水庫對(duì)干流造成大面積污染的可能性；然后建立兩水庫排污模型，分析了在另一水庫有連續(xù)點(diǎn)源污染物排放及水流相互影響的情況下，兩水庫對(duì)干流造成大面積污染的可能性大??；并進(jìn)一步針對(duì)第三種情況的發(fā)生，給出在短時(shí)間內(nèi)控制污染的有效措施；且討論了假設(shè)污染物具有揮發(fā)性，上述各情況造成干流發(fā)生大面積污染的可能性大小，為水庫事故性排污問題提供了有價(jià)值的理論依據(jù)。關(guān)鍵詞：水庫排污；污染物濃度；

2、流量；水流速度一、問題的提出問題的背景某條江流上有2條支流，每條支流上都興建了規(guī)模相當(dāng)?shù)乃畮臁Ｓ捎谡幵谟晁喟l(fā)季節(jié)，因此兩個(gè)水庫都以一定規(guī)模的流量進(jìn)行泄洪。某天晚上10：00，在其中的一個(gè)水庫中發(fā)生了兩船相撞的事故，而其中的一條船裝載的p噸化學(xué)物質(zhì)這里的化學(xué)物質(zhì)可以是具有揮發(fā)性的，也可能是急難揮發(fā)的全部泄漏至水庫中。當(dāng)水上航運(yùn)事故處置中心接獲事故報(bào)告，立即要求該水庫關(guān)閉水庫泄洪閘，以免化學(xué)物質(zhì)隨洪水流入干流，發(fā)生更大規(guī)模的污染。水庫閘門開始關(guān)閉時(shí)，已經(jīng)處在事故發(fā)生后的1個(gè)小時(shí)，而水庫閘門徹底關(guān)閉也需要1個(gè)小時(shí)的時(shí)間。 根據(jù)當(dāng)?shù)丨h(huán)境監(jiān)測(cè)的有關(guān)規(guī)定，干流大面積污染的危險(xiǎn)警戒值設(shè)為：三小時(shí)內(nèi)q噸該

3、化學(xué)物質(zhì)發(fā)生泄漏。2、面臨的問題(1) 試建立合理的數(shù)學(xué)模型，討論由于此次事故的發(fā)生，干流發(fā)生大面積污染的可能性；(2) 如果在另外的一水庫中有一化工廠違規(guī)排放廢料。廢料中同樣含有該化學(xué)物質(zhì)。該工廠為躲避環(huán)境監(jiān)測(cè)站的監(jiān)控，均在晚上9：00-12：00違規(guī)進(jìn)行周期性排放。在這種情形下，討論由于此次事故的發(fā)生，干流發(fā)生大面積污染的可能性；(3) 如果以上兩個(gè)水庫間有一條人工修建的水渠相連接，水渠中的水流流向不定，但保證兩水庫之間的水流能夠相互影響。那么上述結(jié)果是否會(huì)改變？請(qǐng)給出說明，假設(shè)有改變，那么給出修正的模型及結(jié)果；(4) 如果發(fā)生了大面積污染，那么針對(duì)第三種情況，試給出在短時(shí)間內(nèi)控制污染模型

4、。二、問題的分析 由題目的背景知道，事故發(fā)生時(shí)兩水庫都正在泄洪，因此此時(shí)水庫中的水流速水庫較快。而泄露到水庫中的化學(xué)物質(zhì)不管是具有揮發(fā)性的，還是急難揮發(fā)的，它們對(duì)干流污染的情況總是類同的，因此我們總可以認(rèn)為污染物是易溶急難揮發(fā)性物質(zhì)。為使我們的模型簡(jiǎn)單，我們可以先假設(shè)事故發(fā)生在水庫1中，污染物在水庫中的分布是符合零維遷移模型的，此時(shí)流入水庫的污染物能以很快的速度與水庫中的水均勻混合，水庫中任何部份水體的污染狀況都是一樣的，污染程度與水體在水庫中的位置無關(guān)。而實(shí)際上，污染物在水中到達(dá)分布均勻是有一個(gè)遷移過程，符合污染物一維遷移方程，但在這樣一個(gè)突發(fā)事件要求短時(shí)間內(nèi)得到控制的問題中，我們總可以用污

5、染物瞬時(shí)混合均勻狀態(tài)模型來代替污染物一維遷移的過程。在解答問題一時(shí)，我們只要考慮在事故發(fā)生到關(guān)閉水庫的兩個(gè)小時(shí)內(nèi)，流出水庫的污染物的質(zhì)量小于噸即可。問題二中提到的情況只是將干流的污染源從一個(gè)增加到兩個(gè)，那么發(fā)生大面積污染的可能性就要增大。由于兩個(gè)水庫之間沒有聯(lián)系，我們只需要單獨(dú)考慮2庫的排污情況，然后加上1水庫的污染物排放情況，最后綜合考慮兩個(gè)水庫所排污染物的總量對(duì)干流的影響就可以了。問題三中建立人工水渠就是在問題二的根底上使水庫1和水庫2發(fā)生聯(lián)系。由于水都是從高水位流向低水位，因此，我們只需考慮從1水庫向2水庫的流入情況，而不必考慮從2水庫向1水庫的流入情況。 分析問題四，干流已經(jīng)發(fā)生大面積

6、污染，比照水體污染物處理的各種手段，不管是化學(xué)、物理還是生物手段都不可能在短時(shí)間內(nèi)除去污染物，因此我們只能通過稀釋原理，建立污染物在干流中遷移遷移模型，使干流水體計(jì)算體積元內(nèi)該污染物的增量為負(fù)值時(shí)，從而使得在干流水體污染物的濃度低于危險(xiǎn)警戒值時(shí)的濃度，才能在短時(shí)間內(nèi)到達(dá)控制污染。三、問題的根本假設(shè)1事故發(fā)生時(shí)，化學(xué)物質(zhì)在短時(shí)間內(nèi)全部泄漏至水庫中，不考慮泄漏的速度和時(shí)間2水庫水流平穩(wěn)，水流為勻速，當(dāng)水庫關(guān)閉水閘時(shí)，由于需要1小時(shí)的時(shí)間，閘門是緩慢關(guān)閉的，對(duì)水流的影響不大，水流速度不變3不具揮發(fā)性的化學(xué)物質(zhì)全部溶解在河水中，不考慮重金屬或不溶性物質(zhì)出現(xiàn)沉淀的情況4具有揮發(fā)性的化學(xué)物質(zhì)溶解在河水中，

7、其揮發(fā)情況是均勻、恒定的，即在兩小時(shí)的時(shí)間內(nèi)，其揮發(fā)速率恒定不變四：符號(hào)約定1：t時(shí)刻水庫水的流入速度；2：t時(shí)刻流入水庫的污染物的濃度；3：t時(shí)刻水庫水的流出的速度；4：t時(shí)刻流出水庫的污染物的濃度；5：t時(shí)刻水庫中污染物的濃度；6：t時(shí)刻水庫水的體積；7：計(jì)算體積元內(nèi)該污染物的增量；8 ： 為時(shí)間；9 ： 為從水庫中流出的水中的污染物的濃度；10 ：為水庫的流出速度，即流量；11：為泄洪閘處到污染處的距離；12 Q：為水庫的流量；13 q：為排入河流的污水的流量；14：為河流中污染物的本底濃度；15:為水庫中的污染物的濃度； 五、模型的建立與求解由問題的分析中知道，流入水庫的污染物能以很快

8、的速度與水庫中的水均勻混合，也就是說水庫中的污染狀況在任何局部水體都是一樣的，污染程度與水體在水庫中的位置無關(guān)，因此我們可以建立下面模型。模型一問題一：此次事故的發(fā)生，干流發(fā)生大面積污染的可能性；根據(jù)物質(zhì)平衡原理和題目假設(shè)可知：水庫1中污染物的改變量 = 流入的污染物的量 流出污染物的量于是對(duì)于充分小的，在時(shí)間t，t+內(nèi)有：兩邊同除，并使0得： 1現(xiàn)假設(shè)f(t)=p(t)v(t)得：即原式可以寫為： 2在水庫1中發(fā)生撞船事故后，污染物處于非穩(wěn)定排放即：，而由于水庫閘門的關(guān)閉也勢(shì)必會(huì)引起水庫中水的體積變化，故：?，F(xiàn)不考慮流入水庫中的水所含有與泄漏污染物相同物質(zhì)的情況而帶來的影響，即可看作，另外由

9、問題分析中知道：流出的污染物的濃度應(yīng)與水庫中污染物濃度相同，即這樣對(duì)于問題一我們可以得到求解公式： 3進(jìn)一步我們假設(shè)從水庫中流出的水的流量初始值從t=0時(shí)算起為，在關(guān)閉閘門的過程中，我們假定流量處于線性變化的趨勢(shì)。這一假設(shè)是基于流量與過流面積為線性關(guān)系上作出的，進(jìn)一步可得： 4從上面可看出為分?jǐn)?shù)函數(shù)，這主要是因?yàn)樗畮扉l門關(guān)閉是在事故發(fā)生一小時(shí)后作出的。現(xiàn)在有了的變化的表達(dá)式，為了能求出的表達(dá)式。我們還要寫出的表達(dá)式。首先我們假設(shè)水庫的體積的初始值為t=0時(shí)，值我們可以通過衛(wèi)星定位系統(tǒng)及所建立的模型求出具體衛(wèi)星定位系統(tǒng)模型見附表。而跟相關(guān)的還有的值。我們假設(shè)為一定值，那么隨隨時(shí)間變化的關(guān)系式為：

10、 由于為分段函數(shù)可知：也響應(yīng)的為分段函數(shù)，具體函數(shù)表達(dá)式為： 5把4式代入3式可以得到：當(dāng)秒時(shí)： 6當(dāng)秒時(shí)： 7對(duì)5式化簡(jiǎn)有： 8通過推導(dǎo)的出： 9有條件可知：，故經(jīng)簡(jiǎn)化后： 時(shí) 10對(duì)7簡(jiǎn)化后得；11設(shè)，(r1-2r0)=b，得：當(dāng) 12設(shè)：最后得到： 13保持連續(xù)性，當(dāng)t=3600時(shí)，=，此時(shí)可得到相應(yīng)的值，但由于不確定因素很多，故確定不是很容易，這主要是缺少數(shù)據(jù)造成的。當(dāng)時(shí)得到14式 14同樣為保持連續(xù)性，要求當(dāng)t=3600時(shí)，=。最后： 15那么時(shí)間內(nèi)流出水庫的污染物的量便可表示為： 16在s時(shí)流出的污染物的量為： 17在s流出的量為： 18流出的總量： 19再用Q與2/3q進(jìn)行比擬，

11、便得出是否會(huì)發(fā)生大面積污染。問題二：如果在另外的一水庫中有一化工廠均在晚上9：00-12：00違規(guī)進(jìn)行周期性排放同樣含有該化學(xué)物質(zhì)的廢料。討論由于此次事故的發(fā)生，干流發(fā)生大面積污染的可能性。由題目分析中知道，水庫2中有一化工廠違規(guī)排放含有該污染物的廢料，而由于兩個(gè)水庫之間沒有聯(lián)系，故我們只需要單獨(dú)考慮水庫2的排污量，然后加上水庫1的污染物排放量，最后綜合考慮兩個(gè)水庫所排污染物的總量對(duì)干流的影響就可以了。下面我們將在水庫1模型的根底上建立2水庫的模型。 20設(shè)常數(shù)，即在9：0012：00這段時(shí)間內(nèi)污染物以一個(gè)恒定值流入水庫，考慮水庫水的流入速度為一定值，流出速度也為一個(gè)定值這樣水庫體積的表達(dá)式可

12、寫成如下的公式： 21代入上面的表達(dá)式可簡(jiǎn)化為： 22 用上式可求出，其中可通過求得。那么從9：0012：00這三個(gè)小時(shí)內(nèi)流出閘門的污染物的總量就可以求出來，污染物的量為： 23 24為三小時(shí)內(nèi)從1水庫和2水庫流出的污染物總量假設(shè)那么發(fā)生大面積污染；假設(shè)那么不會(huì)發(fā)生大面積污染；問題三：如果兩個(gè)水庫間有一條人工修建的水渠相連接，水渠中的水流流向不定，但保證兩水庫之間的水流能夠相互影響。那么問題二結(jié)果是否會(huì)改變？由題目分析可知，當(dāng)兩水庫之間有一人工修建的水渠相互連通時(shí)，水渠中的水流必然是從高水位流向低水位，為了使模型簡(jiǎn)化，我們有以下說明：1、由于兩水庫是連通的，因此在水庫1關(guān)閘前，兩水庫的液面必然

13、是趨近于等高的，否那么必然有水從一個(gè)水庫流向另一個(gè)水庫。2、在事故發(fā)生后一個(gè)小時(shí)內(nèi)，考慮兩水庫的規(guī)模相當(dāng)，且水庫1沒有關(guān)閉泄洪閘，此時(shí)兩水庫彼此不受影響。3、在事故發(fā)生一個(gè)小時(shí)后，考慮到水庫1要關(guān)閉泄洪閘，這勢(shì)必引起水庫1的水位上升，由說明1可知水庫1中的水必將通過水渠流向水庫2。從上面的分析可知，在有連通水渠的情況下，我們只需考慮從1水庫向2水庫的流入情況，而不必考慮從2水庫向1水庫的流入情況。下面我們就該問題給出進(jìn)一步分析。在第一個(gè)小時(shí)內(nèi)：即9：0010：00此時(shí)，水庫1中還未發(fā)生事故，只有水庫2中在排放廢料，用問題2的模型我們可求出流出的污染物的量為： 25由20式確定在第二個(gè)小時(shí)內(nèi)即1

14、0：0011：00水庫1已發(fā)生裝船事故，而水庫2繼續(xù)排放廢料，但泄洪閘還未關(guān)閉，所以我們?nèi)匀华?dú)立考慮。對(duì)水庫1我們用問題一的模型求解得： 26對(duì)水庫2我們?nèi)杂袉栴}二的模型求解得到： 由20確定 27 28在第三個(gè)小時(shí)內(nèi)即11：0012：00；水庫1泄洪閘正在關(guān)閉，而水庫2繼續(xù)排放廢料。這時(shí)水庫1和水庫2就要結(jié)合在一起考慮了，如下列圖所示：圖 一由上面分析可列出以下的方程式：對(duì)于水庫1： 29其中的表達(dá)式為： 而： 對(duì)水庫2： 30其中 由根本假設(shè)知道，水庫1和水庫2規(guī)模相當(dāng)那么：假定為一定值。聯(lián)立解出：由于所得表達(dá)式非常復(fù)雜，我們把表達(dá)式放在附錄三里表示。而由于過于復(fù)雜，我們這里就不給出解析解

15、了。 31故有： 32在12：00以后一個(gè)小時(shí)內(nèi)，1水庫完全關(guān)閉但1水庫的水將通過渠道流入2水庫內(nèi)。那么有以下式：對(duì)水庫1有： 33其中表達(dá)式為： 對(duì)水庫2有： 34其中表達(dá)式為： 求得 35 36假設(shè)那么干流不會(huì)發(fā)生大面積污染；假設(shè)那么干流會(huì)發(fā)生大面積污染；問題四：如果發(fā)生了大面積污染，那么針對(duì)第三種情況，試給出在短時(shí)間內(nèi)控制污染模型。由問題的分析中知道，我們只能通過稀釋原理，建立污染物在干流中遷移遷移模型，使干流水體計(jì)算體積元內(nèi)該污染物的增量為負(fù)值時(shí)，從而使得在干流水體污染物的濃度低于危險(xiǎn)警戒值時(shí)的濃度，才能在短時(shí)間內(nèi)到達(dá)控制污染。模型二為使模型清楚，我們先給出下面所用名詞解釋。源和漏：是

16、對(duì)體積元內(nèi)污染物變化的一種描述，源是體積元內(nèi)污染物的增加速率，漏是體積元內(nèi)污染物的減少速率。這里的“漏不意味著漏掉，而有更廣泛的意義，如污染物的降解、沉淀和揮發(fā)等都屬于“漏。 由于污染物在干流中遷移符合遷移方程，由根本假設(shè)中我們知道河流中的水流處于推流狀態(tài)，也就是體積元中水分子以同一速度向下游運(yùn)動(dòng)如圖二和圖三。設(shè)C(x)和C(x+)分別為進(jìn)入水片的水中某中污染物的濃度，是計(jì)算體積元中所含的該污染物的質(zhì)量。按照質(zhì)量守衡原理，計(jì)算體積元里污染物質(zhì)量的增量為： 1 2 3 4 + 37 5上式中1至5各項(xiàng)的意義如下1儲(chǔ)存量項(xiàng)； 382平流輸送項(xiàng)；3側(cè)向的源和漏，其中是單位時(shí)間內(nèi)單位長度上的源和漏，它

17、通常是由側(cè)向分布流量帶入的，因此可把寫為：這里是該分布流量中污染物的濃度；4外表的源和漏，是單位時(shí)間內(nèi)單位面積上的源和漏；5體積元內(nèi)的源和漏，是單位時(shí)間內(nèi)單位體積內(nèi)的源和漏；圖 二圖 三把38式帶入37式，用除方程兩邊并令和，那么得： 39式10就是推流時(shí)的污染物遷移方程，以后將廣泛地利用這個(gè)方程，在求解問題四時(shí)，我們只要、和的值為負(fù)數(shù)就可以了，即可以通過關(guān)閉人工水渠和局部關(guān)閉水庫2泄洪閘的手段實(shí)現(xiàn)短時(shí)間內(nèi)控制污染。六、模型的擴(kuò)展 從問題的分析中可以知道，我們知道污染物在水中到達(dá)分布均勻是有一個(gè)遷移過程，符合污染物一維遷移方程，為使模型比擬符合實(shí)際，我們對(duì)上面模型進(jìn)行擴(kuò)展，建立污染物一維遷移擴(kuò)

18、展模型。擴(kuò)展模型一從水庫中流出的污染物的量可用下面的式子表示：由于在水庫中污染物濃度在各個(gè)位置是不同的，而在整個(gè)水庫中各個(gè)量又具有一定的連續(xù)性，故考慮時(shí)刻在閘門口處時(shí)間內(nèi)通過的量為：，此式中我們考慮與，的關(guān)系，其中方向?yàn)樗畮炝魉牧飨颉＿@是因?yàn)閷?duì)于事故泄漏排放的污染物，人們最關(guān)心的是其通過某一位置的時(shí)間，最大濃度等數(shù)值。因此，研究一維流場(chǎng)中的瞬時(shí)排放污染物的分布特征就非常必要了，我們用下式為根底來考慮分析泄漏時(shí)污染物在閘門口的濃度變化特征。在瞬時(shí)排放條件下：，此時(shí)有下式： 40考慮在泄洪閘處：為泄洪閘處到污染處的距離，且守恒污染物 41其中： 考慮在一個(gè)極其短暫的時(shí)間內(nèi)，在這個(gè)內(nèi)污染物的濃度可

19、近似看作是不變的。那么在時(shí)刻有： 通過對(duì)上式積分可求出2個(gè)小時(shí)內(nèi)流出水庫的污染物的量為： 42這里P，A，Q，均為，只是發(fā)生的地點(diǎn)未知。通過上式我們可以求出在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)通過的量為噸時(shí)的，但由于式42的解析解很難求出，我們就把它寫成下面的形式： 43把2式的相應(yīng)的量代入后，通過遺傳算法可求出的最小值，而43式的最小值為零，由此可求出滿足時(shí)所對(duì)應(yīng)的，求出后，就可以得到發(fā)生大面積污染的可能的點(diǎn)所在的范圍，如下列圖所示：A2A1 圖 四A1為發(fā)生大面積污染的點(diǎn)的集合。A2為不發(fā)生大面積污染的點(diǎn)的集合。因此對(duì)于問題一：發(fā)生大面積污染的可能為： ； 44問題二：由題目分析知道，假設(shè)水庫2中有一工廠在9：0

20、012：00違規(guī)進(jìn)行排放，可知這樣會(huì)增大發(fā)生大面積污染的可能性。因?yàn)榱硗庖凰畮焯幱诜€(wěn)定流動(dòng)狀態(tài)，工廠排放的污染物為穩(wěn)定的連續(xù)排放，環(huán)境中污染物的分布狀況也是穩(wěn)定的，綜合考慮可有下式： 45其中： ，。我們假定工廠距泄洪閘的距離可以確定為那么： 污染物到達(dá)泄洪閘的時(shí)間為：那么泄漏的量為： 46由此我們可以得到在另外一水庫當(dāng)中有工廠進(jìn)行周期性排放下流出的總量M為： 47即我們把上式轉(zhuǎn)化為的形式，這里我們可以看出的表達(dá)式與問題1中有所不同，這是因?yàn)槲覀兛紤]的時(shí)間已從原來的2小時(shí)變成3小時(shí)了，對(duì)于問題二我們?nèi)匀挥脝栴}一的解法，即通過遺傳算法(程序見附錄四)求出發(fā)生大面積污染時(shí)的。通過這個(gè)我們可求出發(fā)生

21、大面積污染的點(diǎn)的集合，進(jìn)而求出發(fā)生大面積污染的可能性為，A是水庫的面積,可知是個(gè)定值。 在這里我們可以給出擴(kuò)展模型一求解下的事例； 其中：m/s =1513 局部數(shù)據(jù)見附錄二。 通過MATLAB求解得到結(jié)果如下： 問題一發(fā)生大面積污染的點(diǎn)的集合類圓半徑； 問題二發(fā)生大面積污染的點(diǎn)的集合類圓半徑。 圖形見圖五圖六：圖五 問題一發(fā)生大面積污染的可能半徑圖六 問題二發(fā)生大面積污染的可能半徑 擴(kuò)展二從問題的分析及假設(shè)可以知道，我們的模型在建立過程中我們所考慮的只是一種污染物，即此污染物為易溶、不揮發(fā)的物質(zhì)。實(shí)際上污染物可能為油性、揮發(fā)性和沉淀物質(zhì)。對(duì)于油性物質(zhì)我們應(yīng)該考慮該物質(zhì)的密度是否大于水的密度，假設(shè)油性污染物小于水的密度，因?yàn)橛托晕镔|(zhì)不溶于水，該污染物應(yīng)該是漂浮在水面上的，而且呈油膜狀，因此我們就應(yīng)考慮水庫表層水的流動(dòng)情況；假設(shè)油性污染物的密度大于水的