【高一數(shù)學(xué)】集合經(jīng)典習(xí)題（共38頁）

1、集合(二)高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)講座-第一講山東滕州一中 王洪濤集合與集合;集合與其子集 1.集合與集合：A B,AB,AB,AB,AB, UA, 2差集：ABx|xA且xB(局部資料上用“AB表示)3.集合運(yùn)算律：(略)4.n個(gè)元素的集合所有子集個(gè)數(shù)為：2n集合A1，3，x，B1，x2， AB1，3，x，那么這樣的x的不同的值有( )個(gè)A.1B.2C.3D.42.集合M中的元素都是自然數(shù)，且如果xM，那么8xM，那么滿足這樣條件的集合M的個(gè)數(shù)為( ) A.64B.32C.16D.83.求集合xZ| 2x32的真子集個(gè)數(shù).4.Ma，ad，a2d，Na，aq，aq2，且MN，求q的值.一.集合與集合的

2、運(yùn)算例5集合M直線，N拋物線，那么MN中元素的個(gè)數(shù)為( )(A)0； (B)0,1，2其中之一； (C)無窮； (D)無法確定分析M中的元素為直線，是無限集；N中的元素為拋物線，它也是無限集。由于兩集合中的元素完全不同，即既是直線又是拋物線(曲線)的圖形根本不存在，故MN，選(A)說明假設(shè)想當(dāng)然地誤認(rèn)為M中的元素是直線上的點(diǎn)，N中的元素是拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)誤認(rèn)為是判斷直線與拋物線的位置關(guān)系即相交，相切、相離時(shí)，會(huì)選(B)； 例6Ay|yx24x3，xR，Byyx22x2，xR，求AB先看下面的解法：解：聯(lián)立方程組yx24x3yx22x2消去y，得2x22x10 因?yàn)?2)242140,那么0b-

3、ab，與b 的取法矛盾。所以b=0。任取x S1因0S2, 故x0 xS3。所以 ，同理 所以S1= S2。(2)可能。例如S1= S2=奇數(shù)，S3=偶數(shù)顯然滿足條件，S1和S2與S3都無公共元素。例設(shè)S為滿足以下條件的有理數(shù)的集合：假設(shè)aS，bS，那么a+bS，abS；對(duì)任一個(gè)有理數(shù)r，三個(gè)關(guān)系rS，rS，r0有且僅有一個(gè)成立。證明：S是由全體正有理數(shù)組成的集合。證明：設(shè)任意的rQ，r0,由知rS，或rS之一成立。再由，假設(shè)rS，那么 ；假設(shè)rS，那么 。總之，取r=1，那么1S。再由，2=1+1S，3=1+2S，可知全體正整數(shù)都屬于S。設(shè)p、qS，由pqS，又由前證知 ，所以 。因此，含有

4、全體正有理數(shù)。 再由知，0及全體負(fù)有理數(shù)不屬于。即是由全體正 有理數(shù)組成的集合。例10.已 知集合：問(1)當(dāng)a取何值時(shí)，(AB)C為含有兩個(gè)元素的集合？(2)當(dāng)a取何值時(shí)，(AB)C為含有三個(gè)元素的集合？解：(AB)C =(AC)(BC)。AC與BC分別為方程組()()的解集。由解得x,y=0，1= ， ；由解得x,y=1，0， (1)使(AB)C恰有兩個(gè)元素的情況只有兩種可能 由解得a=0；由解得a=1。故a=0或1時(shí)，(AB)C恰有兩個(gè)元素 (2)使(AB)C恰有三個(gè)元素的情況是： 解得 ，故當(dāng) 時(shí)，(AB)C恰有三個(gè)元素。例10.設(shè)nN且n15，A、B都是1，2，3，n真子集，AB=，

5、且AB=1，2，3，n。求證：A或者B中必有兩個(gè)不同數(shù)的和為完全平方數(shù)。證明：由題設(shè)，1，2，3，n的任何元素必屬于且只屬于它的真子集A、B之一。 假設(shè)結(jié)論不真，那么存在如題設(shè)的1，2，3，n的真子集A、B，使得無論是A還是B中的任兩個(gè)不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù)。 不妨設(shè)1A，那么3 A，否那么1+3=22，與假設(shè)矛盾，所以3B。同樣6 B，所以6A，這時(shí)10 A，即10B。因n15，而15或者在A中，或者在B中，但當(dāng)15A時(shí)，因1A，1+15=42，矛盾；當(dāng)15B時(shí)，因10B，于是有10+15=52，仍然矛盾。因此假設(shè)不真。即結(jié)論成立。Axx24x30，xR，Bx21xa0，x22(a7)

6、50，xR，假設(shè)A B，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 易得：A(1，3)，設(shè)要使 只需f (x)、g (x)在(1，3)上的圖象均在x軸下方，其充要條件是f (1)0，f (3)0，g (1)0，g (3)0，由此推出4a1 三.有限集合子集的個(gè)數(shù)問題：(1) 集合a一共有幾個(gè)子集？(2) 集合a，b一共有幾個(gè)子集？(3) 集合a,b,c一共有幾個(gè)子集？(4) 集合a,b,c,d一共有幾個(gè)子集？(5) 猜測集合a1,a2，an一共有幾個(gè)子集？(6) 利用上述猜測確定符合以下條件的集合M的個(gè)數(shù)：1,2 M 1,2，3,4，5,6，7,8，9,10。以上諸問題都牽涉到有限集合子集的個(gè)數(shù)問題。以上諸問題

7、都牽涉到有限集合子集的個(gè)數(shù)問題。 有限集合a的子集有:,a;共兩個(gè) 有限集合a,b的子集有:,a,b,a,b;共422個(gè)； 有限集合a,b,c的子集有:;a,b,c；a,b,a,c,b,c；a,b,c；823個(gè)； 有限集a,b,c,d的子集有:a,b,c,d;a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d；a,b,c,a,b,d,a,c,d,b,c,d;a,b,c,d；共1624個(gè)。這里，a,b,c,d的子集可以分成兩局部，一局部不包括d，是a,b,c的子集；另一局部包括d，是a,b,c中每一個(gè)子集與d的并集。 循此思路，注意到2，422，823，1624的規(guī)律，可以猜測有限集合a1,a2，a

8、n的子集共有2n個(gè)，其中非空子集有2n1個(gè)；真子集也有2n1個(gè)，非空真子集有2n112n2個(gè)。 利用上述猜測，問題(6)中集合M的個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)有28256個(gè)。例7一個(gè)集合含有10個(gè)互不相同的兩位數(shù)。試證，這個(gè)集合必有2個(gè)無公共元素的子集合，此兩子集的各數(shù)之和相等。分析：兩位數(shù)共有10,11，,99，計(jì)99990個(gè)，最大的10個(gè)兩位數(shù)依次是90,91，,99，其和為945，因此，由10個(gè)兩位數(shù)組成的任意一個(gè)集合中，其任一個(gè)子集中各元素之和都不會(huì)超過945，而它的非空子集卻有21011023個(gè)，這是解決問題的突破口。例7一個(gè)集合含有10個(gè)互不相同的兩位數(shù)。試證，這個(gè)集合必有2個(gè)無公共元素的子集合，此兩

9、子集的各數(shù)之和相等。解：集合含有10個(gè)不同的兩位數(shù)，因它含有10個(gè)元素，故必有2101024個(gè)子集，其中非空子集有1023個(gè)，每一個(gè)子集內(nèi)各數(shù)之和都不超過909198999451023，根據(jù)抽屜原理，一定存在2個(gè)不同的子集，其元素之和相等。如此2個(gè)子集無公共元素，即交集為空集，那么已符合題目要求；如果這2個(gè)子集有公共元素，那么劃去它們的公共元素即共有的數(shù)字，可得兩個(gè)無公共元素的非空子集，其所含參數(shù)之和相等。說明：此題構(gòu)造了一個(gè)抽屜原理模型，分兩步完成，計(jì)算子集中數(shù)字之和最多有945個(gè)“抽屜，計(jì)算非空子集得1023個(gè)“蘋果，由此得出必有兩個(gè)子集數(shù)字之和相等。第二步考察它們有無公共元素，如無公共元

10、素，那么已符合要求；如有公共元素，那么去掉相同的數(shù)字，得出無公共元素并且非空的兩個(gè)子集，滿足條件?？梢?，有限元素子集個(gè)數(shù)公式起了關(guān)鍵作用。例8設(shè)A1,2，3，n，對(duì)xA，設(shè)x中各元素之和為Nx，求Nx的總和解：A中共有n個(gè)元素，其子集共有2n個(gè)。A中每一個(gè)元素在其非空子集中都出現(xiàn)了2n-1次，(為什么？因?yàn)锳的所有子集對(duì)其中任一個(gè)元素i都可分為兩類，一類是不含i的，它們也都是1,2，i-1,i+1,n的子集，共2n-1個(gè)；另一類是含i的，只要把i參加到剛剛的2n-1個(gè)子集中的每一個(gè)中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的總和時(shí)，A中每一個(gè)元素都加了2n-1次，即出現(xiàn)了2n-1次，故得 1

11、2n-122n-1n2n-1 (12n)2n-1=n(n+1)/22n-1 =n(n+1)2n-2 說明：這里運(yùn)用了整體處理的思想及公式12n(1/2)n(n+1)，其理論依據(jù)是加法的交換律、結(jié)合律、乘法的意義等。得出集合中每一個(gè)元素都在總和中出現(xiàn)了2n-1次，是翻開解題思路之門的鑰匙孔。 一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點(diǎn)A，且OAa. 拆疊紙片，使圓周上某一點(diǎn)A/ 剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種拆法，都留下一條直線折痕，當(dāng)A/取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，那么有A(a，0)設(shè)折疊時(shí)，O上點(diǎn)A(Rcos,Rsin) 與點(diǎn)A重合，而折痕為直線MN，那么 MN為線段AA的中垂線設(shè)P(x，y)為MN上任一點(diǎn)，那么PAPA 1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 平方后可化為即所求點(diǎn)的集合為橢圓圓外(含邊界)的局部。集合劃分 集合的劃分反映了集合與子集之間的關(guān)系，這既是一類數(shù)學(xué)問題，也是數(shù)學(xué)中的解題策略分類思想的根底，在近幾年來的數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，日益受到重視，本講主要介紹有關(guān)的概念、結(jié)論以及處理集合、子集與劃分問題的方法。 集合劃分如果集合SS1S2Sn，那么S1、S2、