微分中值定理與應用（大學畢業(yè)設計論文）

1、 PAGE19 / NUMPAGES24 畢業(yè)論文(設計)題目名稱：微分中值定理的推廣及應用題目類型：理論研究型學生某：鄧奇峰院 (系)：信息與數(shù)學學院專業(yè)班級：數(shù)學10903班指導教師：熊駿輔導教師：熊駿時 間：2012年12月至2013年6月目錄畢業(yè)設計任務書= 1 * ROMANI開題報告= 2 * ROMANII指導老師審查意見= 3 * ROMANIII評閱老師評語= 4 * ROMANIV答辯會議記錄= 5 * ROMANV中文摘要= 6 * ROMANVI外文摘要= 7 * ROMANVIITOC o 1-3 h z uHYPERLINK l _Toc3570637471 引言

2、PAGEREF _Toc357063747 h 1HYPERLINK l _Toc3570637482 題目來源 PAGEREF _Toc357063748 h 1HYPERLINK l _Toc3570637493 研究目的和意義 PAGEREF _Toc357063749 h 1HYPERLINK l _Toc3570637504 國內(nèi)外現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢與研究的主攻方向 PAGEREF _Toc357063750 h 1HYPERLINK l _Toc3570637515 微分中值定理的發(fā)展過程 PAGEREF _Toc357063751 h 2HYPERLINK l _Toc3570637

3、526 微分中值定理的基本內(nèi)容 PAGEREF _Toc357063752 h 3HYPERLINK l _Toc3570637536.1 羅爾(Rolle)中值定理 PAGEREF _Toc357063753 h 3HYPERLINK l _Toc3570637546.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 PAGEREF _Toc357063754 h 4HYPERLINK l _Toc3570637556.3 柯西（Cauchy）中值定理 PAGEREF _Toc357063755 h 4HYPERLINK l _Toc3570637566.4 泰勒（Taylor）定理 PAGEREF

4、 _Toc357063756 h 4HYPERLINK l _Toc3570637577 微分中值定理之間的聯(lián)系 PAGEREF _Toc357063757 h 5HYPERLINK l _Toc3570637588 微分中值定理的應用 PAGEREF _Toc357063758 h 5HYPERLINK l _Toc3570637598.1 根的存在性證明 PAGEREF _Toc357063759 h 6HYPERLINK l _Toc3570637608.2 利用微分中值定理求極限 PAGEREF _Toc357063760 h 8HYPERLINK l _Toc3570637618.3

5、 利用微分中值定理證明函數(shù)的連續(xù)性 PAGEREF _Toc357063761 h 9HYPERLINK l _Toc3570637628.4 利用微分中值定理解決含高階導數(shù)的中值問題 PAGEREF _Toc357063762 h 10HYPERLINK l _Toc3570637638.5 利用微分中值定理求近似值 PAGEREF _Toc357063763 h 10HYPERLINK l _Toc3570637648.6 利用微分中值定理解決導數(shù)估值問題 PAGEREF _Toc357063764 h 10HYPERLINK l _Toc3570637658.7 利用微分中值定理證明不等

6、式 PAGEREF _Toc357063765 h 11HYPERLINK l _Toc3570637669 微分中值定理的推廣 PAGEREF _Toc357063766 h 14HYPERLINK l _Toc3570637679.1 微分中值定理的推廣定理 PAGEREF _Toc357063767 h 14HYPERLINK l _Toc3570637689.2 微分中值定理的推廣定理的應用 PAGEREF _Toc357063768 h 16HYPERLINK l _Toc357063769參考文獻 PAGEREF _Toc357063769 h 18HYPERLINK l _Toc

7、357063770致謝 PAGEREF _Toc357063770 h 19微分中值定理的推廣及應用學生：鄧奇峰，信息與數(shù)學學院指導老師：熊駿，信息與數(shù)學學院【摘要】微分中值定理，是微積分的基本定理，是溝通函數(shù)與其導數(shù)之間的橋梁，是應用導數(shù)的局部性研究函數(shù)整體性的重要數(shù)學工具，在微積分中起著極其重要的作用。本文首先介紹了微分中值定理的發(fā)展過程、微分中值定理的內(nèi)容和微分中值定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，接著再看微分中值定理在解題中的應用,如:“討論方程根（零點）的存在性” ,“ 求極限”和“證明不等式”等方面的應用。由于微分中值定理及有關命題的證明方法中往往出現(xiàn)的形式并非這三個定理中的某個直接結(jié)論，這就需

8、要借助于一個適當?shù)妮o助函數(shù)，來實現(xiàn)數(shù)學問題的等價轉(zhuǎn)換，但是，怎樣構造適當?shù)妮o助函數(shù)往往是比較困難的。在此重點給出如何通過構造輔助函數(shù)來解決中值定理問題，從理論和實際的結(jié)合上闡明微分中值定理的重要性。拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是羅爾中值定理的推廣。本文從其它角度歸納、推導了幾個新的形式，拓寬了羅爾中值定理的使用X圍。同時，用若干實例說明了微分中值定理在導數(shù)極限、導數(shù)估值、方程根的存在性、不等式的證明、以及計算函數(shù)極限等方面的一些應用?！娟P鍵詞】 微分中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理聯(lián)系推廣應用The Extension andApplicationoftheDifferen

9、tial Mean Value TheoremStudent: Deng Qifeng,School of Information and MathematicsTutor: XiongJun, School of Information and Mathematics【Abstract】The differential mean value theorem, is the fundamental theorem of calculus, is the munication bridge between function and its derivative, is an important

10、mathematical tool integrated local research application function derivative, plays a very important role in Calculus.This paper describes the develop progress，the contents and the intrinsic link between the differential mean value theorem; Then look at the differential mean value theorem in solving

11、problems, such as: the discussion of the roots (zero) in existence, limit and proof of in equality.Because often proof of differential mean value theorem and related propositions in the form is not the three theorems of a direct conclusion, this requires the help of a suitable auxiliary function, eq

12、uivalent to mathematical problems, but, how to construct the auxiliary function appropriate is often more difficult. The key is how to solve the problem of mean value theorem by constructing an auxiliary function, expounds the importance of the differential mean value theorem from the bination of th

13、eory and practice.The Lagrange mean value theorem and the Cauchy mean value theorem are extensions of the Rolle mean value theorem.In this article,the Rolle mean value theorem has been concluded and deduced in few more forms that helped to expand the use of the Rolle mean value theorem.Also,the arti

14、cle has demonstrated of the application of differential meanvalue theorem in derivative limit,derivative estimate value,existence of root of an equation,proof of inequality and calculation of functional limit upon many examples.【Keywords】 Differential mean value theorem;Rolle mean value theorem; The

15、 Lagrange mean value theorem;the Cauchy mean value theorem;Contact; Promotion; Application微分中值定理的推廣及應用1引言通過對數(shù)學分析的學習我們知道，微分學在數(shù)學分析中具有舉足輕重的地位，它是組成數(shù)學分析的不可缺失的部分。對于整塊微分學的學習，我們可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是構成它理論基礎知識的一塊非常重要的內(nèi)容。由此可知，對于深入的了解微分中值定理，可以讓我們更好的學好數(shù)學分析。通過對微分中值定理的研究，我們可以得到它不僅揭示了函數(shù)整體與局部的關系，而且也是微分學理論應用的基礎

16、。微分中值定理是一系列中值定理總稱，但本文主要是以拉格朗日定理、羅爾定理和柯西定理三個定理之間的關系1-3以及它們的推廣為研究對象，利用它們來討論一些方程根（零點）的存在性, 和對極限的求解問題，以及一些不等式的證明。2 題目來源源于對微分中指定理的學習與興趣，以及其在生活中各領域的重要應用。3研究目的和意義目的：本課題的主要目的是幫助學生多角度地了解微分中值定理的證明及其相關應用。意義：微分中值定理是微分學理論的重要組成部分，在導數(shù)應用中起著橋梁作用，也是研究函數(shù)變化形態(tài)的紐帶，因而在微分學中占有很重要的地位。通過微分學基本定理的介紹，揭示函數(shù)與其導數(shù)之間的關系，在知識結(jié)構和思想體系中，建立

17、起應用導數(shù)進一步研究函數(shù)性質(zhì)的橋梁。在各類大型考試中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考點，常以該定理的證明及應用出現(xiàn)，涉及一些理論分析和證明，還有在極值問題中的實際應用，因而對其進行較深層次的挖掘與探討就顯得很有必要。4 國內(nèi)外現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢與研究的主攻方向人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之后就開始了。1637年，著名法國數(shù)學家費馬在求最大值和最小值的方法中給出費馬定理。教科書中通常將它稱為費馬定理。1691年，法國數(shù)學家羅爾在方程的解法一文中給出多項式形式的羅爾定理，1797年，法國數(shù)學家拉格朗日在解析函數(shù)論一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。以羅爾定理，拉格朗日中值定理

18、和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學的理論基礎，它們建立了函數(shù)值與導數(shù)值之間的定量聯(lián)系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明；應用導數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點等項的重要性態(tài)。此外，在極值問題中有重要的實際應用。微分中值定理是數(shù)學分析乃至整個高等數(shù)學的重要理論，它架起了利用微分研究函數(shù)的橋梁。微分中值定理從誕生到現(xiàn)在的近300年間，對它的研究時有出現(xiàn)。特別是近十年來，我國對中值定理的新證明進行了研究，僅在國內(nèi)發(fā)表的文章就近60篇。5 微分中值定理的發(fā)展過程微分中值定理是微分學的核心定理之一1。微分中值定理是研究函數(shù)性態(tài)和函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它有著明顯的物理意義和幾何意

19、義。以拉格朗日中值定理為例，它表明“一個表示事物運動函數(shù)的曲線段，必定有一點的切線要平行于曲線段兩個端點連接的弦”。2所以人們十分重視微分中值定理及其應用的研究。古希臘時代，人們就對微分中值定理的相關內(nèi)容有了朦朧的認識。公元前古希臘人就知道如下結(jié)論：對于拋物線形成的弓形，過弓形頂點的切線一定平行于拋物線形成的弓形的底。古希臘的著名數(shù)學家阿基米德(Archimedes，公元前287前221)也據(jù)此研究出：對于任意拋物線形成的弓形的面積都可以求出來。意大利著名數(shù)學家卡瓦列里(Cavalieri，公元1598公元1674，)在不可分量幾何學(1635年出版)中給出的引理3有如下幾何觀點：曲線段上必有

20、一點的切線平行于曲線的弦3。1637年，法國大數(shù)學家費馬(Fermat，公元1601一公元1665)在求最大值和最小值的方法中推導出一個定理，在大多數(shù)高等數(shù)學教材中，人們通常將它作為微分中值定理的第一個定理費馬定理，常被用來證明羅爾定理，也被用來作為判斷極值存在的必要條件。作為微積分創(chuàng)立者之一的數(shù)學家費馬在研究極小問題和極大問題的解法時，研究出“虛擬等式法”4費馬定理原形。虛擬等式法的含義可以用以下例子來加以說明：有一個線段，設其長度，問如何把這樣一個線段截成兩個線段，使這兩個線段長度乘積最大。1691年，法國數(shù)學家羅爾(公元1652公元1719)在其發(fā)表的方程的解法一文中給出多項式形式的費馬

21、定理的推廣5引申式羅爾定理：“設為多項式，在多項式2的兩個相鄰根中，方程至少有一個實根?！边@被稱為原始的羅爾定理。當然也是現(xiàn)代羅爾定理“若函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且則在內(nèi)至少存在一點，使得”在多項式中的具體應用。從羅爾定理推導過程和具體內(nèi)容來看，它和現(xiàn)在高等數(shù)學教材中的羅爾定理是有所不同的，用純代數(shù)方法證明的羅爾定理和微積分概念幾乎沒有什么聯(lián)系。我們現(xiàn)在看到的對一般函數(shù)的羅爾定理，是后人根據(jù)微積分理論重新表述和證明的。1834年，德國數(shù)學家德羅比什首先提出“羅爾定理(Rolle定理)”這一名稱，并于1846年，由意大利數(shù)學家貝拉維蒂斯(Bellavifis)在發(fā)表的論文中正式使用。由上可知，

22、人們對微分中值定理的研究6大約經(jīng)歷了將近三百年時間， 從一開始的直觀到現(xiàn)在的抽象表達，從一開始的特殊形式到現(xiàn)在的一般形式，從一開始，要求的強條件到現(xiàn)在的弱條件，人們逐漸認識到微中值定理的重要性。循序漸進是人們認識探索事物規(guī)律的一般過程，微分中值定理的發(fā)展形成也不例外，晦澀難懂的證明推理被一些新的更簡單的方法所替代，應用X圍逐步擴大，這是數(shù)學發(fā)展的必由之路。6 微分中值定理的基本內(nèi)容中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)和區(qū)間內(nèi)某一點導數(shù)之間的關系，是聯(lián)系局部和整體的紐帶，是微分學應用以及自身發(fā)展的理論基礎，因此說中值定理是微分學的基本定理7。它在數(shù)學中占了很重要的位置，本文主要介紹它在解題中的一

23、些應用。中值定理有四個：羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）定理。6.1 羅爾(Rolle)中值定理若函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且,則在內(nèi)至少存在一點，使得羅爾定理的幾何意義是說：在每一點都可導的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少存在一條水平切線。注：定理中三個條件缺少任何一個，結(jié)論將不一定成立。6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理若函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則在內(nèi)至少存在一點，使得拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩點的連線。拉格

24、朗日公式有下面幾種等價表示形式8：值得注意的是，拉格朗日公式無論對于，還是都成立，而則是介于與之間的某一定數(shù)。另外，若取，則拉格朗日公式可變成最后要注意的是，拉格朗日定理和柯西定理中的條件只是充分條件，而不是必要條件9。6.3 柯西（Cauchy）中值定理假設函數(shù)和在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，則至少存在一點，使柯西中值定理的幾何意義是：滿足定理條件的由所確定的曲線上至少有一點，曲線的切線平行兩端點連線。6.4 泰勒（Taylor）定理若在包含的某開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導數(shù)，則當時，有其中是n階泰勒公式的拉格朗日余項：，7 微分中值定理之間的聯(lián)系羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理又是柯

25、西中值定理的特例。因為，在柯西中值定理中令，得到拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中增加條件，即得到羅爾定理。羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西中值定理，三個中值定理的幾何意義有一個共同點：定理條件的函數(shù)曲線上至少有一點的切線平行曲線在區(qū)間上兩端點的連線?？偟膩碚f，這三個定理既單獨存在，相互之間又存在著聯(lián)系。我們從上面的討論中可以總結(jié)得到，羅爾定理是這一塊內(nèi)容的基石，而拉格朗日定理則是這一塊內(nèi)容的核心，那么柯西定理是這一塊內(nèi)容的推廣應用。8 微分中值定理的應用微分中值定理是微分學的理論基礎，微分學的很多重要應用都建立在這個基礎上。微分中值定理常用來解決下列

26、問題：判斷可導函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)根的存在以及根的個數(shù)，求出與給定函數(shù)相應的中值公式，并證明可導函數(shù)的某些等式與不等式，證明可導函在區(qū)間上（內(nèi)）的某些整體性質(zhì)，如單調(diào)性、有界性、一致連續(xù)性、零點以及其他一些性質(zhì)。對于這些證明題，除了運用微分中值定理這些方法外，還有三種證明技巧：一是直接證明，這種情況不多見，一般在驗證符合某定理條件后，即可定理得出結(jié)論；二是引入輔助函數(shù)，這種情況比較常見，一個般是將待為形（如拼湊重組、移項等），構成一個或兩個新的輔助函數(shù)，驗證它們符合某個中值定理，然后利用定理導出待證結(jié)論，這種方法需要一定的技巧，而技巧往往又要根據(jù)具體問題確定； 三是反證法，假設待證命題的逆例題成立

27、，然后從推導過程中找出與已知結(jié)論（包括極限、連續(xù)、可微等級概念與法則、性質(zhì)）的矛盾，從而證明原命題成立10。8.1 根的存在性證明【例1】證明方程在內(nèi)至少有一個實根，其中均為常數(shù)。證 設，上面的問題等價于的導數(shù)在內(nèi)至少有一個零點。因為在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且。于是由羅爾定理知，至少存在一點，使，即是方程的根。【例2】 函數(shù)稱為次勒讓德多項式，證明：在內(nèi)恰有個不同的實根11。證 由高階導數(shù)的萊布尼茨公式知，函數(shù)中都含有因式，故當時，都有實根-1和1?？紤]，它僅有相異的兩個實根-1和1，由羅爾定理知，在內(nèi)至少有一個根。所以，在上有三個相異的根-1，1，再由羅爾定理知，在和內(nèi)至少各有一個根，所以，在上

28、有四個相異的根-1，1反復應用羅爾定理，由數(shù)學歸納法可證：在上至少有個相異的根和1（）令，則知在上至少有個相異的根，再應用一次羅爾定理，知在內(nèi)至少有個根（不含1，-1）由于是次多項式，至多有個根，所以在內(nèi)恰有個相異的根。因為與只相差一個系數(shù)，所以可以得出：在內(nèi)恰有個不同的實根?！纠?】在可導，且對于任何，都有，又，試證在內(nèi)，方程有唯一實根。證(存在性)令，在上利用零點定理易證。(唯一性)反證法，假設有兩個實根，使得，不妨設，在上對利用拉格朗日中值定理，有這與矛盾。故結(jié)論得證?！纠?】若在上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明在內(nèi)方程。分析：由于題目是要求方程是否有根存在，所以可以先對方程進行變形，把方程變?yōu)椤?/p>

29、那么方程有根的話，則原方程也有根。變形之后的方程有存在，所以可以利用不定分把方程轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在我們返回來看題目，由題目中我們可以知道在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導，由函數(shù)的連續(xù)性和求導的概念，可以得到函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導，那么我們不難想到利用羅爾中值定理就可以證明該題了。證令顯然，在上連續(xù),在內(nèi)可導，而根據(jù)Rolle定理,至少存在一點，使.【例5】 設在，在，證明：在內(nèi)存在一點，使成立。分析：對于等式則可以兩邊同除以，即等式左端為，這個商式可看為函數(shù)在上的改變量與自變量的改變量之商，則會考慮利用Lagrange定理，那么可構造輔助函數(shù)。證 設，則在，在，由Lagrange定理，存在一點，使，即，即8

30、.2 利用微分中值定理求極限在求極限的題目里，有些題目如果運用通常的一些方法來求解的話，則會使我們在解題過程中出現(xiàn)很大的計算量，或者比較繁瑣的解題過程12。但是應用中值定理的話，會為這一類題目提供一種簡單有效的方法。而用中值定理來解題，最關鍵在于輔助函數(shù)的構造，然后在運用中值定理解題，即可求出極限?！纠?】 求，其中。分析：由于題目中有和，則可以試著構造輔助函數(shù)，那么就可以得到在連續(xù)，在可導，即可以利用Lagrange定理解題了。解根據(jù)題意，由Lagrange定理，有其中，【例2】 已知，試求。解令則對于函數(shù)在上滿足Lagrange定理可得： ，當時，把得到的上述個不等式相加得：即故所以8.3

31、 利用微分中值定理證明函數(shù)的連續(xù)性【例1】 若函數(shù)在區(qū)間上可導，且有界，則在上一致連續(xù)。證明 對任意，則由拉格朗日中值定理可知：又在上有界，所以存在，對任意，有。由此可得因此，對任意，取，對任意，且，都有這就證明了在上一致連續(xù)的。8.4 利用微分中值定理解決含高階導數(shù)的中值問題一般原理是：若有，使得，則相繼n次用羅爾中值定理得出，使得13。【例4】 設，則存在，使得證 首先變換待證中值公式為0其中故用兩次羅爾中值定理得所要證。8.5 利用微分中值定理求近似值【例1】求的近似值解是在處的值,令 則,由拉格朗日中值定理中值定理,存在一點，使得可取近似計算,得8.6 利用微分中值定理解決導數(shù)估值問題

32、【例1】 設在上具有二階連續(xù)的導數(shù)，且滿足條件，其中都是非負常數(shù)，是內(nèi)任意一點，證明：。證：將在處展為一階泰勒公式(1)在(1)式中令，則有在(1)式中令，則有上述兩式相減，就有于是又因為，故8.7 利用微分中值定理證明不等式對于數(shù)學體系來說不等式是一塊很重要的內(nèi)容。故不等式的證明對數(shù)學是很重要的。當我們學習了中值定理，知道了它在不等式的證明中起著巨大的作用。“我們可以根據(jù)不等式兩邊的代數(shù)式選取一個來構造輔助函數(shù)，再應用中值定理得出一個等式后，對這個等式根據(jù)自變量的取值X圍的不同進行討論，得到不等式”。下面我們來通過例子來說明定理在證明中的運用14?！纠?】 證明：證設顯然函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可

33、導，滿足拉格朗日中值定理，即存在一點，使得即因為，所以。從而有【例2】 設，對的情況，求證。分析：證明不等式最常用的方法有做差，做商，對于該題目如果直接應用做差或者做商的話顯然是不行的。那我們是否能通過變形是，他們可以應用做差或是做商呢？我們來看下不等式，不難發(fā)現(xiàn)當時，等式兩邊就相等了，所以接下來排除，分兩步討論。在觀察不等式兩邊的代數(shù)式，不難看出左邊的代數(shù)式比較復雜，則是否可以把左邊的代數(shù)式構造輔助函數(shù)，是題目可以運用中值定理解題呢15？不妨設，。利用Cauchy定理即可證明。證 當時結(jié)論顯然成立，當時，取或，在該區(qū)間設，由Cauchy定理得：或即當時，即又故，即當時，則故，即由此，不等式得

34、證【例3】 已知在滿足，且在內(nèi)取最大值，試證：。 分析：若能找到點，使，則要證的結(jié)論便轉(zhuǎn)化為變量的形式：，則根據(jù) Lagrange 定理證之即可。然而對于的尋找，應該從題目中條件的在開區(qū)間內(nèi)取到最大值入手?！纠?】 證明當時，成立不等式分析：一般步驟是：規(guī)X不等式，構造建立輔助函數(shù)及定義的區(qū)間驗證在上滿足拉格朗日中值定理中值等式（不等式）證,（）因為f(x)在上可導，則由拉格朗日中值定理有，由于，且,所以從而 【例5】 設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導，且(為常數(shù))，存在，使得。證明：證因為，所以至少存在一點，使得；至少存在一點，使得。從而對分別在和使用拉格朗日中值定理得：其中，所以即。9 微分中

35、值定理的推廣羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cauchy）中值定理，這三個定理都要求函數(shù)在上是連續(xù)，在內(nèi)是可導。那么我們?nèi)绻讯ɡ碇械拈]區(qū)間，把它推廣到無限區(qū)間或，再把開區(qū)間推廣到無限區(qū)間或的話，則這些定理是否還能滿足條件，或者我們能得出哪些相應的定理呢？通過討論研究我們知道，按照以上的想法把中值定理的區(qū)間，推廣到無限區(qū)間上可以得到幾個相應的定理，本文在此只提到其中的三個，下面給出定理以及證明16。9.1 微分中值定理的推廣定理定理1 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，則至少存在一點，使成立。證令，則，即可得到關于參數(shù)函數(shù)當時，則即，再令所以因為所以所以在上連續(xù)

36、，在內(nèi)可導，且，由Rolle定理可得到至少存在一點，使成立令，有，而.所以，至少存在一點，使成立。定理2 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導，并且至少存在一點，使成立。定理2的證明可以參照定理1。定理3 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導，并且，則至少存在一點，使成立。證設，則，即可得到關于參數(shù)函數(shù)當時，則即，再令所以因為所以在上連續(xù)，在內(nèi)可導，由Lagrange定理得至少存在一點，使成立即令，有，而，至少存在一點，使 成立.定理4 設、在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則至少存在一點，使證：設，由行列式性質(zhì)知,利用羅爾定理可得證。注：(1)若令并代入上式即得拉格朗日中值定理(2)若令而，展開即得柯西中值定理9.2 微分中值定理的推廣定理的應用對于中值定理推廣到無限區(qū)間上，在于求解一些題目，如果應用了中值定理推廣會比較方便的得到解題，下面我們來看一個例子：【例1】 如果函數(shù)，求證：，使得。分析：對于該題目我們通常會采用這樣一種證法，令，有，即可得證。這種證明的方法，可以說是利用極限方法來證明的，我們現(xiàn)在考慮是否還可