2021-2022學(xué)年銅陵市高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件，則的取值范圍是（ ）ABCD2阿波羅尼斯（約公元前262190年）證明過(guò)這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)與，的距離之比為，當(dāng)，不共線(xiàn)時(shí)，

2、的面積的最大值是（ ）ABCD3已知集合，集合，則（）ABCD4在中，分別為，的中點(diǎn)，為上的任一點(diǎn)，實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，設(shè)、的面積分別為、，記（），則取到最大值時(shí)，的值為（ ）A1B1CD5已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）ABCD6如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線(xiàn)圖則下列結(jié)論中表述不正確的是( )A從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加；B2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；C2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番 ；D為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施

3、投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為）建立了投資額y與時(shí)間變量t的線(xiàn)性回歸模型，根據(jù)該模型預(yù)測(cè)該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.7已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)，則（ ）A2BC1D8已知復(fù)數(shù)，其中，是虛數(shù)單位，則（ ）ABCD9直三棱柱中，則直線(xiàn)與所成的角的余弦值為（ ）ABCD10點(diǎn)為棱長(zhǎng)是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（ ）ABCD11函數(shù)的定義域?yàn)椋?）ABCD12已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值等于( )A2BC4D8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在三棱錐中，三角形為等邊

4、三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大值為時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為_(kāi).14函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi).15已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3(x1x2x3)，則的取值范圍是_16已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列中，a1=1，其前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，求的取值范圍18（12分）已知圓：和拋物線(xiàn)：，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）已知直線(xiàn)和圓相切，與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的方程；（2）過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)作兩直線(xiàn)和圓相切，且分別交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)的斜率為，求點(diǎn)的

5、坐標(biāo)19（12分）已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明曲線(xiàn)的形狀；(2)若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段的長(zhǎng).20（12分）已知函數(shù)，（1）若，求實(shí)數(shù)的值（2）若，求正實(shí)數(shù)的取值范圍21（12分）設(shè)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（）若點(diǎn)在線(xiàn)段上，求的最小值；（）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.22（10分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（）求面積最大

6、值；（）證明：直線(xiàn)與斜率之積為定值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】畫(huà)出可行域，根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，顯然原點(diǎn)到所在的直線(xiàn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，此時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，此時(shí).所以的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查線(xiàn)性規(guī)劃，兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識(shí).2A【解析】根據(jù)平面內(nèi)兩定

7、點(diǎn)，間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)與，的距離之比為，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，當(dāng)點(diǎn)到（軸）距離最大時(shí)，的面積最大，面積的最大值是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.3D【解析】可求出集合，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可【詳解】解：，；故選【點(diǎn)睛】考查描述法、區(qū)間的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及并集的運(yùn)算4D【解析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，可得到的距離等于的邊上高的一半，從而得到，由此結(jié)合基本不等式求最值，得到當(dāng)取到最大值時(shí)，為的中點(diǎn)，再由平行四邊形法則得出，根據(jù)平面向量基本定理可求得，從而可求得結(jié)

8、果.【詳解】如圖所示：因?yàn)槭堑闹形痪€(xiàn)，所以到的距離等于的邊上高的一半，所以，由此可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即為的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以，由平行四邊形法則可得，將以上兩式相加可得，所以，又已知，根據(jù)平面向量基本定理可得，從而.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了基本不等式求最值，屬于中檔題.5D【解析】由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù), 由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時(shí)是單調(diào)增函數(shù).則恒成立. .令,則時(shí),單調(diào)遞減,時(shí)單調(diào)遞增.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查恒成立時(shí)求解參數(shù)問(wèn)題,考查

9、學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算求解的能力,難度較難.6D【解析】根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除，由此得到表述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對(duì)于選項(xiàng)，投資總額為億元，小于年的億元，故描述正確.年的投資額為億，翻兩翻得到，故描述正確.對(duì)于選項(xiàng)，令代入回歸直線(xiàn)方程得億元，故選項(xiàng)描述不正確.所以本題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線(xiàn)方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，屬于基礎(chǔ)題.7D【解析】說(shuō)明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值【詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，又，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性

10、，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)8D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2、復(fù)數(shù)的模.9A【解析】設(shè)，延長(zhǎng)至，使得，連，可證，得到（或補(bǔ)角）為所求的角，分別求出，解即可.【詳解】設(shè)，延長(zhǎng)至，使得，連，在直三棱柱中，四邊形為平行四邊形，（或補(bǔ)角）為直線(xiàn)與所成的角，在中，在中，在中，在中，在中，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.10C【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理可以證明出平面，這樣可以確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，最后求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因

11、此有，而，而平面，因此有平面，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線(xiàn). 正方體的棱長(zhǎng)為2，所以?xún)?nèi)切球的半徑為，建立如下圖所示的以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系：因此有，設(shè)平面的法向量為，所以有，因此到平面的距離為：，所以截面圓的半徑為：，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了立體幾何中軌跡問(wèn)題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11C【解析】函數(shù)的定義域應(yīng)滿(mǎn)足 故選C.12D【解析】畫(huà)出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.

12、所以的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線(xiàn)定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長(zhǎng),即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長(zhǎng)度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作面,垂足為,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.則為二面角的平面角的補(bǔ)角,即有.易證面,而三角形為等邊三角形, 為的中點(diǎn).設(shè), .故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即.三點(diǎn)共

13、線(xiàn).設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過(guò)點(diǎn)作于,四邊形為矩形.則,在中,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運(yùn)用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀(guān)想象能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.14【解析】由題意得，解得定義域?yàn)?5【解析】先根據(jù)題意，求出的解得或，然后求出f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求其單調(diào)性以及最值，在根據(jù)題意求出函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3(x1x2x3)，分情況討論求出的取值范圍.【詳解】解：令t=f（x），函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即+m=0有兩個(gè)不同的解，解之得 即或因?yàn)榈膶?dǎo)

14、函數(shù)，令，解得xe，解得0 xe，可得f（x）在（0，e）遞增，在遞減；f(x)的最大值為 ，且 且f(1)=0；要使函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，（1）有兩個(gè)不同的解，此時(shí)有一個(gè)解；（2）有兩個(gè)不同的解，此時(shí)有一個(gè)解當(dāng)有兩個(gè)不同的解，此時(shí)有一個(gè)解，此時(shí) ，不符合題意；或是不符合題意；所以只能是 解得 ，此時(shí)=-m，此時(shí) 有兩個(gè)不同的解，此時(shí)有一個(gè)解此時(shí) ，不符合題意；或是不符合題意；所以只能是解得 ，此時(shí)=，綜上：的取值范圍是故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合，考查到了函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合的思想、分類(lèi)討論的思想，屬于綜合性極強(qiáng)的題目，屬于難題.16【解析】由，為正實(shí)數(shù)

15、，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解：，為正實(shí)數(shù)，且，可知，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用，恰當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）（2）【解析】（1）項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得，繼而得到，可得解；（2）代入可得，由數(shù)列為遞增數(shù)列可得，令，可證明為遞增數(shù)列，即，即得解【詳解】（1），即，（2）=2-（2n+1）數(shù)列為遞增數(shù)列，即令，即為遞增數(shù)列，即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列綜合問(wèn)題，考查了項(xiàng)和轉(zhuǎn)換，數(shù)列的單調(diào)性，最值等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，

16、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.18（1）;（2）或【解析】試題分析: 直線(xiàn)與圓相切只需圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，只需數(shù)量積為0，要聯(lián)立方程組設(shè)而不求，利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題，這是解析幾何常用解題方法，第二步利用直線(xiàn)的斜率找出坐標(biāo)滿(mǎn)足的要求，再利用兩直線(xiàn)與圓相切，求出點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析：（1）解：設(shè)，由和圓相切，得由消去，并整理得，由，得，即，或（舍）當(dāng)時(shí)，故直線(xiàn)的方程為（2）設(shè)，則設(shè)，由直線(xiàn)和圓相切，得，即設(shè)，同理可得：故是方程的兩根，故由得，故同理，則，即，解或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故或19 (1) 曲線(xiàn)表示的是焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為的拋物線(xiàn);(2)8.【解析】試題分

17、析：（1）將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為兩邊同時(shí)乘以，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)方程；（2）由直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得的值，再將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，由直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義可得直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段的長(zhǎng).試題解析：（1）由可得，即， 曲線(xiàn)表示的是焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為的拋物線(xiàn). （2）將代入，得， ， ， ，直線(xiàn)的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入得，由直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義可知，. 20（1）1（2）【解析】（1）求得和，由，得，令，令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求解（2）解法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令（），利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，分類(lèi)討論，即可求解解法二：

18、可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，令（），利用導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解【詳解】（1）由題意，得， 由，得，令，則，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增， 又，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 故方程有且僅有唯一解，實(shí)數(shù)的值為1 （2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減;故 令（），則（i）若時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，滿(mǎn)足題意 （ii）若時(shí)，滿(mǎn)足題意（iii）若時(shí)，在單調(diào)遞減，所以不滿(mǎn)足題意 綜上述： 解法二：先證明不等式，（*）令，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即變形得，所以時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，.又由上式得，當(dāng)時(shí)，.因此不等式（*）均成立 令（），則，（i）若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減;故 （ii）若時(shí)，在單調(diào)遞增，所以 因此，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則需由（*）知，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)， （由（*）知）；當(dāng)時(shí)，（由（*）知）故對(duì)于任意，綜上述：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題21（）（）