2021-2022學(xué)年上海交通大學(xué)高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的。1已知實數(shù)滿足則的最大值為（ ）A2BC1D02已知，是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于，兩點，若，則的內(nèi)切圓的半徑為（ ）ABCD3點為的三條中線的交點，且，則的值為( )ABCD4已知集合U1，2，3，4，5，6，A2，4，B3，4，則（ ）A3，5，6B1，5，6C2，3，4D1，2，3，5，65如圖所示，三國時代數(shù)學(xué)家趙爽在周髀算經(jīng)中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計，取），則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（ ）A134B67C182

3、D1086若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（ ）A7B6C5D47復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，其中為虛部單位，則實數(shù)( )A3BCD8在正方體中，點、分別為、的中點，過點作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（ ）ABCD9已知隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對所有都成立，則（ ）ABCD10已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）ABCD11設(shè)實數(shù)、滿足約束條件，則的最小值為（ ）A2B24C16D1412已知集合，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的模為_.14在中，則_15已知拋物線的焦點為，其準

4、線與坐標軸交于點，過的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率_.16設(shè)實數(shù)x，y滿足，則點表示的區(qū)域面積為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若，證明：.18（12分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若函數(shù)存在零點，求的求值范圍19（12分）如圖，四棱錐的底面ABCD是正方形，為等邊三角形，M，N分別是AB，AD的中點，且平面平面ABCD.（1）證明：平面PNB；（2）問棱PA上是否存在一點E，使平面DEM，求的值20（12分）已知數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和21（12分）已知函數(shù)，

5、.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上存在零點.求實數(shù)的取值范圍；若存在實數(shù)，當時，函數(shù)在時取得最大值，求正實數(shù)的最大值；若直線與曲線和都相切，且在軸上的截距為，求實數(shù)的值.22（10分）已知分別是的內(nèi)角的對邊，且（）求（）若，求的面積（）在（）的條件下，求的值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】作出可行域，平移目標直線即可求解.【詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經(jīng)過點時，其截距最大，此時最大得，當時，故選：B【點睛】考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題.2B【解析】設(shè)左焦點的坐標， 由AB的弦長可得a的值，進而可得雙曲線的方程，及左右

6、焦點的坐標，進而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設(shè)左焦點，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為: 所以，所以三角形ABF2的周長為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【點睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.3B【解析】可畫出圖形，根據(jù)條件可得，從而可解出，然后根據(jù)，進行數(shù)量積的運算即可求出【詳解】如圖：點為的三條中線的交點，由可得：，又因，.故選：B【點睛】本題考查三角形重心的定義

7、及性質(zhì)，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算及向量的數(shù)量積的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.4B【解析】按補集、交集定義，即可求解.【詳解】1，3，5，6，1，2，5，6，所以1，5，6.故選：B.【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎(chǔ)題.5B【解析】根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長為1，則小直角三角形的邊長為，則小正方形的邊長為，小正方形的面積，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為，故選：B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.6C【解析】由二項式系數(shù)性質(zhì)，的展

8、開式中所有二項式系數(shù)和為計算【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為，故選：C【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵7B【解析】利用乘法運算化簡復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知，所以，解得.故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運算，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.8B【解析】作出圖形，設(shè)平面分別交、于點、，連接、，取的中點，連接、，連接交于點，推導(dǎo)出，由線面平行的性質(zhì)定理可得出，可得出點為的中點，同理可得出點為的中點，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：設(shè)平面分別交、于點、，連接、，取的中點，連接、，連接交于點，四邊形為正方形，、分別為、的中點，

9、則且，四邊形為平行四邊形，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，平面，則存在直線平面，使得，若平面，則平面，又平面，則平面，此時，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，平面，平面，平面平面，所以，四邊形為平行四邊形，可得，為的中點，同理可證為的中點，因此，.故選：B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算，涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.9D【解析】根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進而得出結(jié)論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以

10、當且僅當時,取最大值,又對所有成立,所以,解得,故選:D.【點睛】本題綜合考查了隨機變量的期望方差的求法,結(jié)合了概率二次函數(shù)等相關(guān)知識,需要學(xué)生具備一定的計算能力,屬于中檔題.10A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，可得，然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，考驗計算，屬基礎(chǔ)題.11D【解析】做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域，如下圖陰影部分，根據(jù)圖象，當目標函數(shù)過點時，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標函數(shù)的最值，屬于基

11、礎(chǔ)題.12C【解析】由題意和交集的運算直接求出.【詳解】 集合，.故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集運算.集合進行交并補運算時，常借助數(shù)軸求解.注意端點處是實心圓還是空心圓.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解即可.【詳解】解：由，得，所以.故答案為：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.141【解析】由已知利用余弦定理可得，即可解得的值【詳解】解：，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）故答案為：1【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題15【解析】求出拋物線焦點坐標，由，結(jié)合向量的坐標運算得，直線方程為，代入

12、拋物線方程后應(yīng)用韋達定理得，從而可求得，得斜率【詳解】由得，即聯(lián)立得解得或，故答案為：【點睛】本題考查直線與拋物線相交，考查向量的線性運算的坐標表示直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元，應(yīng)用韋達定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法16【解析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點坐標，利用定積分即可求解.【詳解】畫出實數(shù)x，y滿足表示的平面區(qū)域，如圖（陰影部分）：則陰影部分的面積，故答案為：【點睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，考查了微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (1) (2)見證明【解析】（1） 利用零點分段法討論去掉絕對值求解

13、；（2） 利用絕對值不等式的性質(zhì)進行證明.【詳解】（1）解：當時，不等式可化為.當時，所以；當時，.所以不等式的解集是.（2）證明：由，得，又，所以，即.【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式問題的求解，含有絕對值不等式的解法一般是使用零點分段討論法.18（1）或 ；（2）【解析】（1）通過討論的范圍，將絕對值符號去掉，轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為曲線交點問題解決，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】（1）有題不等式可化為，當時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，解得，不滿足，舍去；當時，原不等式可化為，解得，所以不等式的解集為（2）因為，所

14、以若函數(shù)存在零點則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像存在交點，函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減，且.數(shù)形結(jié)合可知【點睛】該題考查的是有關(guān)不等式的問題，涉及到的知識點有分類討論求絕對值不等式的解集，將零點問題轉(zhuǎn)化為曲線交點的問題來解決，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于簡單題目.19（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】（1）根據(jù)題意證出，再由線面垂直的判定定理即可證出.（2）連接AC交DM于點Q，連接EQ，利用線面平行的性質(zhì)定理可得，從而可得，在正方形ABCD中，由即可求解.【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，M，N分別是AB，AD的中點，.又，.為等邊三角形，N是AD的中點，.又平面平面ABCD，平面PAD，平面

15、平面，平面ABCD.又平面ABCD，.平面PNB，平面PNB.（2）解：存在.如圖，連接AC交DM于點Q，連接EQ.平面DEM，平面PAC，平面平面，.在正方形ABCD中，且.，.故.所以棱PA上存在點E，使平面DEM，此時，E是棱A的靠近點A的三等分點.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理，考查了學(xué)生的推理能力以及空間想象能力，屬于空間幾何中的基礎(chǔ)題.20（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)遞推公式，用配湊法構(gòu)造等比數(shù)列，求其通項公式，進而求出的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.【詳解】解：（1），是首項為，公比為的等比數(shù)列所以，（2）.【點睛

16、】本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項公式，錯位相減法求數(shù)列的前n項和的問題，屬于中檔題.21；4；12.【解析】由題意可知，求導(dǎo)函數(shù)，方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求出實數(shù)的取值范圍；由，則，分步討論，并利用導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究，得出正實數(shù)的最大值；設(shè)直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，切線方程為，設(shè)直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，求得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，最后求出實數(shù)的值.【詳解】由題意可知，則，即方程在區(qū)間上有實數(shù)解，解得；因為，則，當，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不符題意；當時，令，解得：，當時，單調(diào)遞增，所以不存在，使得在上的最大值為，不符題意；當時，解得：，且當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞減，所以，若，則上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可知，即，整理得，因為存在，符合上式，所以，解得，綜上，的最大值為4；設(shè)直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程整理得：由題意可知，即，即，解得所以切線方程為，設(shè)直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，消去，整理得，且因為，解得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)