行測(cè)數(shù)量盈虧和牛吃草問題非常好的思路和解析附練習(xí)題

1、. 【盈虧問題公式】1一次有余盈，一次不夠虧，可用公式：盈+虧兩次每人分配數(shù)的差=人數(shù)。2兩次都有余盈，可用公式：大盈-小盈兩次每人分配數(shù)的差=人數(shù)。3兩次都不夠虧，可用公式：大虧-小虧兩次每人分配數(shù)的差=人數(shù)。4一次不夠虧，另一次剛好分完，可用公式：虧兩次每人分配數(shù)的差=人數(shù)。5一次有余盈，另一次剛好分完，可用公式：盈兩次每人分配數(shù)的差=人數(shù)。例1：一個(gè)植樹小組去栽樹，如果每人栽3棵，還剩下15棵樹苗；如果每人栽5棵，就缺少9棵樹苗。求這個(gè)小組有多少人？一共有多少棵樹苗？分析：如果每人栽3棵，還剩下15棵樹苗，也就是說還有15棵樹苗沒有栽上，樹苗余下了；又知如果每人栽5棵，就缺少9棵樹苗，這

2、就是說，樹苗不夠了。按照第一種方案去栽，樹苗余下了，假設(shè)按照第二種方案去栽，樹苗缺乏了。一個(gè)是余下一個(gè)是缺乏，這兩個(gè)方案之間相差多少棵呢？相差159=24棵，也就是說，如果按照第二種方案去栽的話，可以比第一種方案多栽24棵樹。為什么能多栽24棵樹呢？因?yàn)槊總€(gè)人多栽5-3=2棵。由于每一個(gè)人多栽2棵樹，一共多栽24棵樹，即2棵樹對(duì)應(yīng)于1個(gè)人。這樣，小組的人數(shù)可以求得。隨之，樹苗的棵數(shù)也可以求得。計(jì)算：1小組的人數(shù)：1595-3=242=12人2樹苗的棵數(shù)：312+15=51棵答：這個(gè)小組有12人，一共有51棵樹苗。在解題時(shí)，常常要找兩個(gè)差。一個(gè)是總棵數(shù)之差，即第一種方案同第二種方案所栽樹苗的總差

3、數(shù)；另一個(gè)是單量之差，即每個(gè)人所栽樹苗的差。有了這兩個(gè)差即可求出結(jié)果。因此，這種解題的思路也可以稱作根據(jù)兩個(gè)差求未知數(shù)。例2：悅悅每天早晨7點(diǎn)30分從家出發(fā)上學(xué)去，如果每分鐘走45米，則遲到4分鐘到校；如果每分鐘走75米，則可以提前4分鐘到校。求從家出發(fā)需要走多少分鐘才能準(zhǔn)時(shí)到校？悅悅的家離學(xué)校有多少米？分析：如果悅悅每分鐘走45米，則遲到4分鐘，這就是說，按照規(guī)定到校的時(shí)刻來說，還距離學(xué)校有454=180米的路；又知如果每分鐘走75米，則可以提前4分鐘到校，這就是說，到校之后還可以多走出754=300米的路。這樣，一個(gè)慢一個(gè)快，在同樣時(shí)間之，速度快要比速度慢多走出180+300=480米的路

4、。又知每分鐘多走75-45=30米?？傊捎诿糠昼姸嘧?0米，一共多走出480米；因此，從家到學(xué)校所需要的時(shí)間就可以求出來了，隨之，悅悅的家距離學(xué)校的米數(shù)也可以求出來了。計(jì)算：1準(zhǔn)時(shí)到校需要多少分鐘？454+75475-45=48030=16分鐘2悅悅家與學(xué)校距離多少米？4516+454=720+180=900米答：準(zhǔn)時(shí)到校需要16分鐘，悅悅家離學(xué)校900米。例3：晶晶讀一本故事書，原方案假設(shè)干天讀完。如果每天讀11頁，可以比原方案提前2天讀完；如果每天讀13頁，可以比原方案提前4天讀完。求原方案多少天讀完？這本書共有多少頁？分析：如果每天讀11頁，可以比原方案提前2天讀完，這就是說，如果繼

5、續(xù)讀2天的話，還可以多讀112=22頁；又知如果每天讀13頁，可以比原方案提前4天讀完，這就是說，如果繼續(xù)讀4天的話，還可以多讀134=52頁。兩種情況，雖然都可以多讀，但是它們之間有差異。就是說，在一定的日期之，第二種方法比第一種方法多讀52-22=30頁。為什么能多讀30頁呢？就是因?yàn)槊刻於嘧x13-11=2頁。由于每天多讀2頁，結(jié)果一共可以多讀30頁。這是多少天讀的呢，問題不就解決了嗎！計(jì)算：1原方案多少天讀完這本書？134-11213-11=52-222=302=15天2這本書共有多少頁？1115-2=1113=143頁練習(xí)題1、幼兒園把一箱蘋果分給一批小朋友，如果每人2個(gè)，則多18個(gè)，

6、如果每人3個(gè)，則少12個(gè)。問幼兒園有多少個(gè)小朋友？一共有多少個(gè)蘋果？2、一堆桃子分給一群猴子，如果每只猴子分10個(gè)桃子，則有兩只猴子沒有分到；如果每只猴子分8個(gè)桃子，則剛好分完。求有多少只猴子？多少個(gè)桃子？3、實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)生乘車春游，如果每車坐60人，則有15人上不了車；如果每車坐65人，恰好多出一輛車。問一共有幾輛車？有多少個(gè)學(xué)生？4、學(xué)生分練習(xí)本，如果每人分4本，則多8本；如果有1人分10本，其余每人分6本，則缺18本。學(xué)生有多少人？練習(xí)本有多少本？5、小強(qiáng)從家到學(xué)校，如果每分走50米，上課就要遲到3分；如果每分走60米，就可以比上課時(shí)間提前2分到校。小強(qiáng)家到學(xué)校的路程是多少千米？6、華離家

7、到縣城去上學(xué)，他以每分50米的速度走了2分后，發(fā)現(xiàn)按這個(gè)速度走下去就要遲到8分。于是他加快了速度，每分多走10米，結(jié)果到校時(shí)，離上課還有5分。華家到學(xué)校的路程是多少？7、一組學(xué)生植樹，每人栽6棵還剩4棵；如果其中3人各栽5棵，其余每人各栽7棵，正好栽完。這一組學(xué)生有多少人？一共栽多少棵？8、小紅的爺爺買回一筐梨，分給全家人。如果小紅和小妹兩人每人分4個(gè)，其余每人分兩個(gè)，還多出4個(gè)；如果小紅一人分6個(gè)，其余每人分4個(gè)，又差12個(gè)。小紅家有多少人？這筐梨有多少個(gè)？9、學(xué)校有一批樹苗，交給假設(shè)干少先隊(duì)員去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不夠分了；如果再拿來8棵樹苗，則每個(gè)少先隊(duì)員正好栽

8、10棵。參加栽樹的少先隊(duì)員有多少人？原有樹苗多少棵？10、有一批正方形的磚，排成一個(gè)大正方形，余下32塊；如果將它們改排成每邊比原來多一塊磚的正方形，就要差49塊。這批磚原有多少塊？11、*年級(jí)同學(xué)春游時(shí)租船游湖，假設(shè)每只船乘10人，還多2個(gè)座位；假設(shè)每只船多坐2人，可少租一條船，這時(shí)每人可節(jié)省5角錢。租一只船需要多少錢？12、小到市場(chǎng)去買肉，如果買牛肉18千克，則差4元；如果買豬肉20千克，則多2元。牛肉比豬肉每千克貴8角。牛肉、豬肉各多少錢一千克？13、學(xué)校買來一批籃球與排球分給各班，排球是籃球的2倍，假設(shè)籃球每班分2個(gè)，多4個(gè)；假設(shè)排球每班分5個(gè)，少2個(gè)。學(xué)校有幾個(gè)班？籃球與排球各買了幾

9、個(gè)？牛吃草牛吃草問題是經(jīng)典的奧數(shù)題型之一，這里我只介紹一些比擬淺顯的牛吃草問題，給大家開拓一下思維，首先，先介紹一下這類問題的背景，大家看知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)一、定義偉大的科學(xué)家牛頓著的普通算術(shù)一書中有這樣一道題：12頭牛4周吃牧草10/3格爾，同樣的牧草，21頭牛9周吃10格爾。問24格爾牧草多少牛吃18周吃完。格爾牧場(chǎng)面積單位，以后人們稱這類問題為牛頓問題的牛吃草問題。這類問題難在哪呢？大家看看它的特點(diǎn)二、特點(diǎn)在牛吃草問題中，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化，也就是說這類問題的工作總量是不固定的，一直在均勻變化。難嗎？難什么啊，一點(diǎn)都不難，只要掌握了方法，以后這樣的題就都會(huì)了，來，看看這

10、例題典例評(píng)析例1 牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天都勻速生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供27頭牛吃6天或23頭牛吃9天。問可供21頭牛吃幾天？【分析】這片牧場(chǎng)上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量即原來的牧草數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛删植浚涸械牟菖c新長(zhǎng)出的草。新長(zhǎng)出的草雖然在變，但應(yīng)注意到它是勻速生長(zhǎng)的，因而這片牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出飛草的數(shù)量也是不變的。從這道題我們看到，草每天在長(zhǎng)，牛每天在吃，都是在變化的，但是也有不變的，都是什么不變啊？草是以勻速生長(zhǎng)的，也就是說每天長(zhǎng)的草是不變的;，同樣，每天牛吃草的量也是不變的，對(duì)吧？這就是我們解題的關(guān)鍵。這里因?yàn)槲粗獢?shù)很多，我教大家一種巧妙的設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)1法。我

11、們?cè)O(shè)牛每天吃草的數(shù)量為1份，具體1份是多少我們不知道，也不用管它，設(shè)草每天增長(zhǎng)的數(shù)量是a份，設(shè)原來的草的數(shù)量為b份，則我們可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a【思考1】一片草地，每天都勻速長(zhǎng)出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，則可供18頭牛吃幾天？15天設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是2010-246(10-6)=14份，原來的草量是24-146=60份?？晒?8頭牛吃6018-14=15天例2 因天氣寒冷，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而每天以均勻的速度在減少。牧場(chǎng)上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計(jì)算，這個(gè)牧場(chǎng)可供多少頭牛吃10天【分析

12、】與例1不同的是，不但沒有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類似的方法求出每天減少的草量和原來的草的總量【思考2】由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以固定的速度在減少，經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。則，可供11頭牛吃幾天？8天，設(shè)一頭牛一天吃的草量為一份。牧場(chǎng)每天減少的草量：205-1666-5=4份，原來的草量：20+4 5=120份，可供11頭牛吃120(11+4)=8天?？偨Y(jié)：想方法從變化中找到不變的量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，但是因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量也是不變的。正確計(jì)算草地上原有的草及每天新長(zhǎng)出的

13、草，問題就會(huì)迎刃而解。知識(shí)衍變牛吃草根本問題就先介紹到這，希望大家掌握這種方法，以后出現(xiàn)樣吃草問題，驢吃草問題也知道怎么做，甚至，以下這些問題都可以應(yīng)用牛吃草問題解決方法例3 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，小明每分鐘走25級(jí)臺(tái)階，小麗每分鐘走20級(jí)臺(tái)階，結(jié)果小明用了5分鐘，小麗用了6分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階？【分析】在這道題中，總的草量變成了扶梯的臺(tái)階總級(jí)數(shù)，草變成了臺(tái)階，牛變成了速度,所以也可以看成是牛吃草問題來解答?！舅伎?】?jī)芍晃伵Ｍ瑫r(shí)從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往

14、下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是一樣的，結(jié)果一只蝸牛恰好用了5個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只恰好用了6個(gè)晝夜到達(dá)井底。則，井深多少米？大家說這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？15米。蝸牛每夜下降：205-1566-5=10分米所以井深：20+105=150分米=15米例4 一條船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度漏進(jìn)船，待發(fā)現(xiàn)時(shí)船艙已進(jìn)了一些水。如果用12人舀水，3小時(shí)舀完。如果只有5個(gè)人舀水，要10小時(shí)才能舀完?，F(xiàn)在要想在2小時(shí)舀完，需要多少人？【分析】典型的牛吃草問題，找出牛和草是解題的關(guān)鍵【思考4】一個(gè)水池，池底有泉水不斷涌出，用10部抽水機(jī)20小時(shí)可以把水抽干，用15部一樣的抽水機(jī)10小時(shí)可把水抽干

15、。則用25部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？5小時(shí)。設(shè)一臺(tái)抽水機(jī)一小時(shí)抽水一份。則每小時(shí)涌出的水量是：2010-1510(20-10)=5份，池原有的水是：10-520=100份.所以,用25部抽水機(jī)需要:100(25-5)=5小時(shí)思維拓展例5 有一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿牧草，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這個(gè)牧場(chǎng)可供17頭牛吃30天，可供19頭牛吃24天，現(xiàn)在有假設(shè)干頭牛在吃草，6天后，4頭牛死亡，余下的牛吃了2天將草吃完，問原來有牛多少頭？【分析】牛吃草問題的特點(diǎn)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)，所研究的量也等量地增加。解答時(shí)，要抓住這個(gè)關(guān)鍵問題，也就是要求出原來的量和每天增加的量各是多少?！舅伎?】一個(gè)牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)

16、。這片青草可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天，現(xiàn)有一群牛吃了4天后賣掉2頭，余下的牛又吃了4天將草吃完。這群牛原來有多少頭？25頭。設(shè)每頭牛每天的吃草量為1份。每天新生的草量為：239-27620-10=15份，原有的草量為27-156=72份。如兩頭牛不賣掉，這群牛在4+4=8天吃草量72+158+24=200份。所以這群牛原來有2008=25頭例6 有三塊草地，面積分別為5公頃，6公頃和8公頃。每塊地每公頃的草量一樣而且長(zhǎng)的一樣快，第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。第三塊草地可供19頭牛吃多少天？【分析】由題目可知，這是三塊面積不同的草地，為了解決這個(gè)問題

17、，首先要將這三塊草地的面積統(tǒng)一起來。穩(wěn)固練習(xí)1.一塊牧場(chǎng)長(zhǎng)滿了草，每天均勻生長(zhǎng)。這塊牧場(chǎng)的草可供10頭牛吃40天，供15頭牛吃20天?？晒?5頭牛吃天。 A.10 B. 5 C. 20A假設(shè)1頭牛1天吃草的量為1份。每天新生的草量為：(1040-1520)40-20=5份。則愿草量為：1040-405=200份，安排5頭牛專門吃每天新長(zhǎng)出來的草，這塊牧場(chǎng)可供25頭牛吃：20025-5=10天。2.一塊草地上的草以均勻的速度生長(zhǎng)，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長(zhǎng)出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光。則想用4天的時(shí)間，把這塊草地的草吃光，需要只羊。 A.22 B. 23 C. 24B假設(shè)

18、1只羊1天吃草的量為1份。每天新生草量是：1410-20510-5=8份原草量是：205-8560份安排8只羊?qū)ｉT吃每天新長(zhǎng)出來的草，4天時(shí)間吃光這塊草地共需羊：604+823只3畫展9時(shí)開門，但早有人來排隊(duì)等候入場(chǎng)。從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)了，則第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是8點(diǎn)分。 A.10 B. 12 C. 15C假設(shè)每個(gè)人口每分鐘進(jìn)入的觀眾量是1份。每分鐘來的觀眾人數(shù)為39-559-5=0.5份到9時(shí)止，已來的觀眾人數(shù)為：39-0.5922.5份第一個(gè)觀眾來到時(shí)比9時(shí)提前了：22.50.545分所以第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是9時(shí)-45

19、分=8時(shí)15分。4.經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一樣的。則，為了滿足人類不斷開展的要求，地球最多只能養(yǎng)活 億人。70設(shè)1億人1年所消耗的資源為1份則地球上每年新生成的資源量為：80300-100100300-100=70份只有當(dāng)?shù)厍蛎磕晷律Y源不少于消耗點(diǎn)的資源時(shí)，地球上的資源才不至于逐漸減少，才能滿足人類不斷開展的需要。所以地球最多只能養(yǎng)活：701=70億人5.快、中、慢三車同時(shí)從A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車。三車的速度分別是每小時(shí)24千米、20千米、19千米?？燔囎飞献孕熊囉昧?小時(shí)，中車追上自行車用了10

20、小時(shí)，慢車追上自行車用 小時(shí)。12自行車的速度是：2010-24610-6=14千米/小時(shí)三車出發(fā)時(shí)自行車距A地：24-146=60千米慢車追上自行車所用的時(shí)間為：6019-14=12小時(shí)6.一水池中原有一些水，裝有一根進(jìn)水管，假設(shè)干根抽水管。進(jìn)水管不斷進(jìn)水，假設(shè)用24根抽水管抽水，6小時(shí)可以把池中的水抽干，則用16根抽水管，小時(shí)可將可將水池中的水抽干。18設(shè)1根抽水管每小時(shí)抽水量為1份。1進(jìn)水管每小時(shí)卸貨量是：218-2468-6=12份2水池中原有的水量為：218-12872份316根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：7216-12=18小時(shí)7.*碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨

21、物運(yùn)走，如用9輛汽車，12小時(shí)可以把它們運(yùn)完，如果用8輛汽車，16小時(shí)可以把它們運(yùn)完。如果開場(chǎng)只用3輛汽車，10小時(shí)后增加假設(shè)干輛，再過4小時(shí)也能運(yùn)完，則后來增加的汽車是 輛。19設(shè)每?jī)善嚸啃r(shí)運(yùn)的貨物為1份。1進(jìn)水管每小時(shí)的進(jìn)水量為：816-91216-12=5份2碼頭原有貨物量是：912-12548份33輛汽車運(yùn)10小時(shí)后還有貨物量是：48+5-310=68份4后來增加的汽車輛數(shù)是：68+454-3=19輛8有一片草地，每天都在勻速生長(zhǎng)，這片草可供16頭牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，則10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？8天1按牛的吃草量來計(jì)算

22、，80只羊相當(dāng)于804=20頭牛。2設(shè)1頭牛1天的吃草量為1份。3先求出這片草地每天新生長(zhǎng)的草量：1620-201220-12=10份4再求出草地上原有的草量：1620-1020120份5最后求出10頭牛與60只羊一起吃的天數(shù)：12010+604-10=8天9.*水庫建有10個(gè)泄洪閘，現(xiàn)在水庫的水位已經(jīng)超過平安戒備線，上游的河水還在按一不變的速度增加。為了防洪，需開閘泄洪。假設(shè)每個(gè)閘門泄洪的速度一樣，經(jīng)測(cè)算，假設(shè)翻開一個(gè)泄洪閘，30小時(shí)水位降到平安線，假設(shè)翻開兩個(gè)泄洪閘，10小時(shí)水位降到平安線?，F(xiàn)在抗洪指揮部要求在5.5小時(shí)使水位降到平安線，問：至少要同時(shí)翻開幾個(gè)閘門？4個(gè)設(shè)1個(gè)泄洪閘1小時(shí)的

23、泄水量為1份。1水庫中每小時(shí)增加的上游河水量：130-21030-10=0.5份2水庫中原有的超過平安線的水量為：130-0.53015份3在5.5小時(shí)共要泄出的水量是：15+0.55.517.75份4至少要開的閘門個(gè)數(shù)為：17.755.54個(gè)采用進(jìn)1法取值10.現(xiàn)有速度不變的甲、乙兩車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2倍去追乙車，5小時(shí)后能追上，如果甲車以現(xiàn)在的速度去追乙車，3小時(shí)后能追上。則甲車以現(xiàn)在的速度去追，幾小時(shí)后能追上乙車？15小時(shí)設(shè)甲車現(xiàn)在的速度為每小時(shí)行單位1，則乙車的速度為：25-335-3=0.5乙車原來與甲車的距離為：25-0.557.5所以甲車以現(xiàn)在的速度去追，追及的時(shí)間為：7.51-0.5=15小時(shí)練習(xí)題1.牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，則，供2