II.非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理

1、 = 2 * ROMAN II非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理氣體運(yùn)動(dòng)方程第一節(jié)玻爾茲曼方程全同粒子，近獨(dú)立體系，粒子數(shù)不變空間。單粒子微觀狀態(tài)用（）描述，（）張開的空間稱。平衡態(tài)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)可用分布函數(shù)描述為單粒子能量處于（）處的粒子數(shù)的密度分布。思考題：與正則系綜理論的關(guān)系，例如，如何寫出配分函數(shù)。非平衡態(tài)粒子數(shù)密度與時(shí)間t有關(guān)關(guān)鍵：如何求f ？ 顯然，如果t是微觀時(shí)間，求解的難度和解微觀運(yùn)動(dòng)方程差不多。所以，t一般是某種介觀時(shí)間或宏觀時(shí)間。先試圖寫下f的運(yùn)動(dòng)方程再討論如何求解如果粒子不受外力，沒(méi)有粒子間的碰撞，我們有粒子流守恒方程如何來(lái)的？對(duì)積分 左邊： 中單位時(shí)間粒子數(shù)的增加右邊： 單位時(shí)間流入的粒

2、子數(shù)。 注意：的方向?yàn)橄蛲獾?，至少在局部是常?shù)，所以，是從dS流入的粒子數(shù)，因?yàn)?另一方法：沒(méi)有外力，至少在局部是常數(shù)。時(shí)刻處于處的粒子 t時(shí)刻處于的粒子因?yàn)樵趦?nèi)粒子移動(dòng) 如果粒子受外力，但互相不碰撞如果粒子相互碰撞玻爾茲曼方程為由粒子碰撞引起的粒子數(shù)密度的變化假設(shè)只有兩體碰撞邊界條件不重要外力只對(duì)單粒子運(yùn)動(dòng)起作用，不影響碰撞不同相空間點(diǎn)的f沒(méi)有關(guān)聯(lián)時(shí)間標(biāo)度遠(yuǎn)大于分子碰撞時(shí)間 空間標(biāo)度遠(yuǎn)大于分子尺度二體碰撞 入射 出射 能量守恒動(dòng)量守恒逆過(guò)程也類似 出射 入射 能量守恒動(dòng)量守恒在處，t時(shí)刻由產(chǎn)生的概率為在處增加的粒子數(shù)為在t時(shí)刻，在處減小的粒子數(shù)為注意：這里我們假設(shè)t是介觀時(shí)間，已略去分子碰撞

3、細(xì)節(jié)。習(xí)題：假設(shè)，計(jì)算出中對(duì)的積分第二節(jié) 一些簡(jiǎn)單例子1、平衡態(tài)“平衡”（這似乎是充分條件）設(shè)即為平衡態(tài)的解的形式, 還必須受到限制，如等。思考題：為什么？（因?yàn)?）2、沒(méi)有碰撞，沒(méi)有外力解為為t0時(shí)粒子數(shù)分布例如：t0時(shí)，溫度為T的氣體凝聚于原點(diǎn)。即 歸一化常數(shù)思考題：為什么取這樣的形式？注意：原點(diǎn)為宏觀原點(diǎn)，微觀粒子還在運(yùn)動(dòng) 是Boltzmann分布計(jì)算t時(shí)刻的粒子數(shù)分布率因?yàn)閷?duì)粒子系統(tǒng)，單粒子積分限可取為 粒子隨時(shí)間擴(kuò)散，經(jīng)t時(shí)間后，處粒子由t0時(shí)動(dòng)量為的粒子而來(lái)。3、沒(méi)有碰撞，有外力例如：二維稀箔電子氣為平均粒子數(shù)密度注意：* 因?yàn)榭臻g尺度遠(yuǎn)大于分子尺度，所以，體積元之間的力也是外力*

4、 如粒子均勻分布，體積元之間的相互作用力抵消 * 庫(kù)侖力力程較長(zhǎng)，所以沒(méi)有碰撞。設(shè)， 是常數(shù)（習(xí)題） 假設(shè)較小，取一級(jí)近似， 即這是一個(gè) Ansatz，一個(gè)時(shí)間空間較均勻的分布。當(dāng)然，平衡態(tài)的分布更均勻，但我們希望研究離平衡態(tài)不遠(yuǎn)的較均勻的非平衡態(tài)。注意：這里已略去這高階項(xiàng)無(wú)關(guān) 此時(shí)沒(méi)有平衡態(tài)注意： 還是的函數(shù)，而不是是由引起的粒子數(shù)分布解的條件，或說(shuō)震蕩的條件是當(dāng) 小，即空間比時(shí)間更均勻些，由對(duì)稱性： 這是所謂色散關(guān)系。比較自由粒子，第三節(jié) 碰撞與擴(kuò)散假設(shè)沒(méi)有外力，電子之間不碰撞，但會(huì)和晶體中的雜質(zhì)碰撞碰撞是一種特殊的力的作用，力程較短。能量守恒雜質(zhì) 動(dòng)量不守恒 為的方向，為散射率。設(shè)體系離

5、平衡態(tài)不遠(yuǎn) 假設(shè)雜質(zhì)分布空間均勻，所以有因子 但和雜質(zhì)的碰撞不一定在時(shí)間方向均勻，所以不一定有注意：是解的參數(shù)，不是動(dòng)量變量。由玻爾茲曼方程（*）由于的大小不變，所以只是的方向的函數(shù)。方程（*）有點(diǎn)象量子力學(xué)中Schrodinger方程，只是相互作用有點(diǎn)怪，但是至少還是線性。不妨用類似方法求解。習(xí)題：證明為線性方程定義內(nèi)積（也即矢量乘法）的方向矢量因此所有構(gòu)成一線性空間設(shè) 的本征值和本征矢為則一般解為假設(shè)非常小（離平衡態(tài)不遠(yuǎn)，因?yàn)槠胶鈶B(tài)趨向均勻），可對(duì)作微擾展開。先解的本征方程。顯然是一個(gè)解注意到不是的函數(shù)，所以任何積分為零的函數(shù)的本征值為（散射率）。 是球諧函數(shù)考慮到，這便是所有解，因?yàn)闃?gòu)成

6、完備系。定態(tài)微擾論，對(duì)展開代入本征方程可以逐階計(jì)算由非簡(jiǎn)并微擾論類似地設(shè)和的夾角為，即取為的z軸方向，則，所以，唯一的非零項(xiàng)來(lái)自于 為平均自由時(shí)間。當(dāng)t增大，的貢獻(xiàn)迅速消失，但對(duì)，當(dāng)很小，下降十分緩慢，這是粒子數(shù)守恒的結(jié)果。因?yàn)楫?dāng)，與無(wú)關(guān)，對(duì)的積分即為總粒子數(shù)，但對(duì)的積分為零，所以即代表總粒子數(shù)。當(dāng)t足夠大，略去的項(xiàng)這是典型的擴(kuò)散方程。越大，D越小，擴(kuò)散越快。第四節(jié) 碰撞與聲波、粘滯系數(shù)、熱傳導(dǎo)沒(méi)有作用力設(shè)由玻爾茲曼方程說(shuō)明：為自由部分為高階項(xiàng)，略去一階項(xiàng)為因子左右兩邊消去一階項(xiàng)為由能量守恒定義內(nèi)積若能求解本征方程則仍然先解的本征方程，再對(duì)作微擾展開的本征值的大小大約可以從估計(jì)*（碰撞率）由粒子數(shù)守恒、能、動(dòng)量守恒，有，以及相應(yīng)的五個(gè)本征矢其中為對(duì)的平均說(shuō)明：1、常數(shù)，顯然 2、則 由能量守恒 0這里是為了正交歸一化 （否則 不正交）3、則由動(dòng)量守恒 0按照量子力學(xué)中的微擾論，一階微擾矩陣為的本征值即為取為z方向（即方向）顯然，由于正交性，的矩陣元全部是零。對(duì)其他三個(gè)指標(biāo)說(shuō)明： 是顯然的，因?yàn)闉槠婧瘮?shù) 因?yàn)?為偶函數(shù)由于為偶函數(shù)，所以 和 亦非零。的本征值為結(jié)論：在一階近似下，沒(méi)有得到非零的實(shí)部，需