材料力學(xué)計(jì)算題庫完整-供參考

1、緒論【例1-1】 鉆床如圖1-6a所示，在載荷P作用下，試確定截面m-m上的內(nèi)力。【解】（1）沿m-m 截面假想地將鉆床分成兩部分。取m-m 截面以上部分進(jìn)行研究（圖1-6b），并以截面的形心O為原點(diǎn)。選取坐標(biāo)系如圖所示。（2）為保持上部的平衡，m-m 截面上必然有通過點(diǎn)O的內(nèi)力N和繞點(diǎn)O的力偶矩M。 （3）由平衡條件 【例1-2】 圖1-9a所示為一矩形截面薄板受均布力p作用，已知邊長=400mm，受力后沿x方向均勻伸長=0.05mm。試求板中a點(diǎn)沿x方向的正應(yīng)變。【解】由于矩形截面薄板沿x方向均勻受力，可認(rèn)為板內(nèi)各點(diǎn)沿x方向具有正應(yīng)力與正應(yīng)變，且處處相同，所以平均應(yīng)變即a點(diǎn)沿x方向的正應(yīng)變

2、。x方向 【例1-3】 圖1-9b所示為一嵌于四連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)的薄方板，b=250mm。若在p 力作用下CD桿下移b=0.025，試求薄板中a點(diǎn)的剪應(yīng)變?！窘狻坑捎诒》桨遄冃问芩倪B桿機(jī)構(gòu)的制約，可認(rèn)為板中各點(diǎn)均產(chǎn)生剪應(yīng)變，且處處相同。拉伸、壓縮與剪切【例題2.1】 一等直桿所受外力如 REF _Ref269587618 h 圖2. 5 (a)所示，試求各段截面上的軸力，并作桿的軸力圖。解：在AB段范圍內(nèi)任一橫截面處將桿截開，取左段為脫離體(如 REF _Ref269587618 h 圖2. 5 (b)所示)，假定軸力為拉力(以后軸力都按拉力假設(shè))，由平衡方程，得 結(jié)果為正值，故為拉力。同理，可求得

3、BC段內(nèi)任一橫截面上的軸力(如 REF _Ref269587618 h 圖2. 5 (c)所示)為在求CD段內(nèi)的軸力時(shí)，將桿截開后取右段為脫離體(如 REF _Ref269587618 h 圖2. 5 (d)所示)，因?yàn)橛叶螚U上包含的外力較少。由平衡方程，得 結(jié)果為負(fù)值，說明為壓力。同理，可得DE段內(nèi)任一橫截面上的軸力為(a)(b)(c)(d)(e)(f)圖2. SEQ 圖2. * ARABIC 5 例題2.1圖【例題2.2】 一正方形截面的階梯形磚柱，其受力情況、各段長度及橫截面尺寸如圖2.8(a)所示。已知。試求荷載引起的最大工作應(yīng)力。解：首先作柱的軸力圖，如圖2.8(b)所示。由于此柱為

4、變截面桿，應(yīng)分別求出每段柱的橫截面上的正應(yīng)力，從而確定全柱的最大工作應(yīng)力。、兩段柱橫截面上的正應(yīng)力，分別由已求得的軸力和已知的橫截面尺寸算得(壓應(yīng)力)(壓應(yīng)力)由上述結(jié)果可見，磚柱的最大工作應(yīng)力在柱的下段，其值為，是壓應(yīng)力。【例題2.3】 一鉆桿簡圖如圖2.9(a)所示，上端固定，下端自由，長為，截面面積為，材料容重為。試分析該桿由自重引起的橫截面上的應(yīng)力沿桿長的分布規(guī)律。解：應(yīng)用截面法，在距下端距離為處將桿截開，取下段為脫離體(如圖2.8(b)所示)，設(shè)下段桿的重量為，則有 (a)設(shè)橫截面上的軸力為，則由平衡條件， (b)將(a)式值代入(b)式，得 (c)即為的線性函數(shù)。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， (a

5、) (b) (a) (b) (c)圖2.8 例題2.2圖 圖2.9 例題2.3圖式中為軸力的最大值，即在上端截面軸力最大，軸力圖如圖2.9(c)所示。那么橫截面上的應(yīng)力為 (d)即應(yīng)力沿桿長是的線性函數(shù)。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，式中為應(yīng)力的最大值，它發(fā)生在上端截面，其分布類似于軸力圖?！纠}2.4】 氣動(dòng)吊鉤的汽缸如圖2.10(a)所示，內(nèi)徑，壁厚，氣壓，活塞桿直徑，試求汽缸橫截面及縱向截面上的 應(yīng)力。解：汽缸內(nèi)的壓縮氣體將使汽缸體沿縱橫方向脹開，在汽缸的縱、橫截面上產(chǎn)生拉應(yīng)力。(1) 求橫截面上的應(yīng)力。取截面右側(cè)部分為研究對象(如圖2.10(c)所示)，由平衡條件，當(dāng)時(shí)，得截面上的軸力為截面的面積為那么

6、橫截面上的應(yīng)力為稱為薄壁圓筒的軸向應(yīng)力。圖2.10 例題2.4圖(2) 求縱截面上的應(yīng)力。取長為的半圓筒為研究對象(如圖2.10(d)所示)，由平衡條件，得截面上的內(nèi)力為截面的面積為當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為應(yīng)力沿壁厚近似均勻分布，那么縱向截面上的應(yīng)力為稱為薄壁圓筒的周向應(yīng)力。計(jì)算結(jié)果表明：周向應(yīng)力是軸向應(yīng)力的兩倍?！纠}2.7】 螺紋內(nèi)徑的螺栓，緊固時(shí)所承受的預(yù)緊力為。若已知螺栓的許用應(yīng)力MPa，試校核螺栓的強(qiáng)度是否足夠。解：(1) 確定螺栓所受軸力。應(yīng)用截面法，很容易求得螺栓所受的軸力即為預(yù)緊力，有(2) 計(jì)算螺栓橫截面上的正應(yīng)力。根據(jù)拉伸與壓縮桿件橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式(2-1)，螺栓在預(yù)緊力作用下，

7、橫截面上的正應(yīng)力為(MPa)(3) 應(yīng)用強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。已知許用應(yīng)力為螺栓橫截面上的實(shí)際應(yīng)力為MPa(MPa)所以，螺栓的強(qiáng)度是足夠的?！纠}2.8】 一鋼筋混凝土組合屋架，如圖2.25(a)所示，受均布荷載作用，屋架的上弦桿和由鋼筋混凝土制成，下弦桿為Q235鋼制成的圓截面鋼拉桿。已知：，鋼的許用應(yīng)力MPa，試設(shè)計(jì)鋼拉桿的 直徑。解：(1) 求支反力和，因屋架及荷載左右對稱，所以圖2.25 例題2.8圖(2) 用截面法求拉桿內(nèi)力，取左半個(gè)屋架為脫離體，受力如圖2.25(b)所示。由，得(3) 設(shè)計(jì)Q235鋼拉桿的直徑。由強(qiáng)度條件得【例題2.9】 防水閘門用一排支桿支撐著，如圖2.26(a)

8、所示，為其中一根支撐桿。各桿為的圓木，其許用應(yīng)力MPa。試求支桿間的最大距離。解：這是一個(gè)實(shí)際問題，在設(shè)計(jì)計(jì)算過程中首先需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)睾喕?，畫出簡化后的?jì)算簡圖，然后根據(jù)強(qiáng)度條件進(jìn)行計(jì)算。(1) 計(jì)算簡圖。防水閘門在水壓作用下可以稍有轉(zhuǎn)動(dòng)，下端可近似地視為鉸鏈約束。桿上端支撐在閘門上，下端支撐在地面上，兩端均允許有轉(zhuǎn)動(dòng)，故亦可簡化為鉸鏈約束。于是桿的計(jì)算簡圖如圖2.26(b)所示。圖2.26 例題2.9圖(2) 計(jì)算桿的內(nèi)力。水壓力通過防水閘門傳遞到桿上，如圖2.26(a)中陰影部分所示，每根支撐桿所承受的總水壓力為 其中為水的容重，其值為10；為水深，其值為3；為兩支撐桿中心線之間的距離。于

9、是有根據(jù)如圖2.26(c)所示的受力圖，由平衡條件，其中得(3) 根據(jù)桿的強(qiáng)度條件確定間距的值。由強(qiáng)度條件得【例題2.10】 三角架由和兩根桿組成，如圖2.34(a)所示。桿由兩根No.14a的槽鋼組成，許用應(yīng)力MPa；桿為一根No.22a的工字鋼，許用應(yīng)力為MPa。求荷載的許可值。 (a) (b)圖2.34 例題2.10圖解：(1) 求兩桿內(nèi)力與力的關(guān)系。取節(jié)點(diǎn)為研究對象，其受力如圖2.34(b)所示。節(jié)點(diǎn)的平衡方程為，解得 (a)(2) 計(jì)算各桿的許可軸力。由型鋼表查得桿和的橫截面面積分別為，。根據(jù)強(qiáng)度條件得兩桿的許可軸力為(3) 求許可荷載。將和分別代入(a)式，便得到按各桿強(qiáng)度要求所算

10、出的許可荷載為所以該結(jié)構(gòu)的許可荷載應(yīng)取?！纠}2.5】 已知階梯形直桿受力如圖2.37(a)所示，材料的彈性模量，桿各段的橫截面面積分別為AAB=ABC=1500mm2，ACD=1000mm2。要求：(1) 作軸力圖；(2) 計(jì)算桿的總伸長量。圖2.37 例題2.5圖解：(1) 畫軸力圖。因?yàn)樵贏、B、C、D處都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段桿的軸力各不相同。應(yīng)用截面法得軸力圖如圖2.37(b)所示。(2) 求桿的總伸長量。因?yàn)闂U各段軸力不等，且橫截面面積也不完全相同，因而必須分段計(jì)算各段的變形，然后求和。各段桿的軸向變形分別為桿的總伸長量為【例題2.6】 如圖2.38(a)所示實(shí)心圓

11、鋼桿AB和AC在桿端A鉸接，在A點(diǎn)作用有鉛垂向下的力。已知30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，鋼的彈性模量200GPa。試求A點(diǎn)在鉛垂方向的位移。圖2.38 例題2.6圖解：(1) 利用靜力平衡條件求二桿的軸力。由于兩桿受力后伸長，而使A點(diǎn)有位移，為求出各桿的伸長，先求出各桿的軸力。在微小變形情況下，求各桿的軸力時(shí)可將角度的微小變化忽略不計(jì)。以節(jié)點(diǎn)A為研究對象，受力如圖2.38(b)所示，由節(jié)點(diǎn)A的平衡條件，有，解得各桿的軸力為， (2) 計(jì)算桿AB和AC的伸長。利用胡克定律，有(3) 利用圖解法求A點(diǎn)在鉛垂方向的位移。如圖2.38(c)所示，分別過AB和AC伸長后的點(diǎn)A1和A2作二

12、桿的垂線，相交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作水平線，與過點(diǎn)A的鉛垂線交于點(diǎn)，則便是點(diǎn)A的鉛垂位移。由圖中的幾何關(guān)系得， 可得， 所以點(diǎn)A的鉛垂位移為 從上述計(jì)算可見，變形與位移既有聯(lián)系又有區(qū)別。位移是指其位置的移動(dòng)，而變形是指構(gòu)件尺寸的改變量。變形是標(biāo)量，位移是矢量?！纠}2.11】 兩端固定的等直桿AB，在C處承受軸向力(如圖2.37(a)所示)，桿的拉壓剛度為EA，試求兩端的支反力。解：根據(jù)前面的分析可知，該結(jié)構(gòu)為一次超靜定問題，須找一個(gè)補(bǔ)充方程。為此，從下列3個(gè)方面來分析。圖2.38 例題2.11圖(1) 靜力方面。桿的受力如圖2.38(b)所示?？蓪懗鲆粋€(gè)平衡方程為， (a)(2) 幾何方面。由于是一

13、次超靜定問題，所以有一個(gè)多余約束，設(shè)取下固定端B為多余約束，暫時(shí)將它解除，以未知力來代替此約束對桿AB的作用，則得一靜定桿(如圖2.38(c)所示)，受已知力和未知力作用，并引起變形。設(shè)桿由力引起的變形為(如圖2.38(d)所示)，由引起的變形為(如圖2.38(e)所示)。但由于B端原是固定的，不能上下移動(dòng)，由此應(yīng)有下列幾何關(guān)系 (b)(3) 物理方面。由胡克定律，有， (c)將式(c)代入式(b)即得補(bǔ)充方程 (d)最后，聯(lián)立解方程(a)和(d)得，求出反力后，即可用截面法分別求得AC段和BC段的軸力?！纠}2.12】 有一鋼筋混凝土立柱，受軸向壓力作用，如圖2.39所示。、和、分別表示鋼筋

14、和混凝土的彈性模量及橫截面面積，試求鋼筋和混凝土的內(nèi)力和應(yīng)力各為多少？解：設(shè)鋼筋和混凝土的內(nèi)力分別為和，利用截面法，根據(jù)平衡方程， (a)這是一次超靜定問題，必須根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件再列出一個(gè)補(bǔ)充方程。由于立柱受力后縮短，剛性頂蓋向下平移，所以柱內(nèi)兩種材料的縮短量應(yīng)相等，可得變形幾何方程為 (b)由物理關(guān)系知圖2.39 例題2.12圖 ， (c)將式(c)代入式(b)得到補(bǔ)充方程為 (d)聯(lián)立解方程(a)和(d)得可見 即兩種材料所受內(nèi)力之比等于它們的抗拉(壓)剛度之比。又 可見 即兩種材料所受應(yīng)力之比等于它們的彈性模量之比?！纠}2.14】 如圖2.42(a)所示，、桿用鉸相連接，當(dāng)溫度升高時(shí)，

15、求各桿的溫度應(yīng)力。已知：桿與桿由銅制成，GPa，線膨脹 系數(shù)，；桿由鋼制成，其長度，GPa，。解：設(shè)、分別代表三桿因溫度升高所產(chǎn)生的內(nèi)力，假設(shè)均為拉力，考慮鉸的平衡(如圖2.42(b)所示)，則有圖2.42 例題2.14圖，得 (a)，得 (b)變形幾何關(guān)系為 (c)物理關(guān)系(溫度變形與內(nèi)力彈性變形)為 (d) (e)將(d)、(e)兩式代入(c)得 (f)聯(lián)立求解(a)、(b)、(f)三式，得各桿軸力 桿與桿承受的是壓力，桿承受的是拉力，各桿的溫度應(yīng)力為(MPa)(MPa)【例題2.13】 兩鑄件用兩鋼桿1、2連接，其間距為(如圖41(a)所示)現(xiàn)需將制造的過長的銅桿3(如圖2.41(b)所

16、示)裝入鑄件之間，并保持三桿的軸線平行且有間距。試計(jì)算各桿內(nèi)的裝配應(yīng)力。已知：鋼桿直徑，銅桿橫截面為的矩形，鋼的彈性模量210GPa，銅的彈性模量100GPa。鑄鐵很厚，其變形可略去不計(jì)。解：本題中三根桿的軸力均為未知，但平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，故為一次超靜定問題。因鑄鐵可視為剛體，其變形協(xié)調(diào)條件是三桿變形后的端點(diǎn)須在同一直線上。由于結(jié)構(gòu)對稱于桿3，故其變形關(guān)系如圖2.41(c)所示。從而可得變形幾何方程為 (a)圖2.41 例題2.13圖物理關(guān)系為 (b) (c)以上兩式中的和分別為鋼桿和銅桿的橫截面面積。式(c)中的在理論上應(yīng)是桿3的原長，但由于與相比甚小，故用代替。將(b)、

17、(c)兩式代入式(a)，即得補(bǔ)充方程 (d)在建立平衡方程時(shí)，由于上面已判定1、2兩桿伸長而桿3縮短，故須相應(yīng)地假設(shè)桿1、2的軸力為拉力而桿3的軸力為壓力。于是，鑄鐵的受力如圖2.41(d)所示。由對稱關(guān)系可知 (e)另一平衡方程為 ， (f)聯(lián)解(d)、(e)、(f)三式，整理后即得裝配內(nèi)力為所得結(jié)果均為正，說明原先假定桿1、2為拉力和桿3為壓力是正確的。各桿的裝配應(yīng)力為【例題3.6】 兩塊鋼板用三個(gè)直徑相同的鉚釘連接，如圖2.44(a)所示。已知鋼板寬度，厚度，鉚釘直徑，鉚釘許用切應(yīng)力，許用擠壓應(yīng)力，鋼板許用拉應(yīng)力。試求許可荷載。圖2.44 例題3.6圖解：(1) 按剪切強(qiáng)度條件求。由于各

18、鉚釘?shù)牟牧虾椭睆骄嗤彝饬ψ饔镁€通過鉚釘組受剪面的形心，可以假定各鉚釘所受剪力相同。因此，鉚釘及連接板的受力情況如圖2.44(b)所示。每個(gè)鉚釘所受的剪力為根據(jù)剪切強(qiáng)度條件式(3-17)可得(2) 按擠壓強(qiáng)度條件求。由上述分析可知，每個(gè)鉚釘承受的擠壓力為根據(jù)擠壓強(qiáng)度條件式(3-19) 可得(3) 按連接板抗拉強(qiáng)度求。由于上下板的厚度及受力是相同的，所以分析其一即可。如圖2.44(b)所示的是上板的受力情況及軸力圖。11截面內(nèi)力最大而截面面積最小，為危險(xiǎn)截面，則有由此可得根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，應(yīng)選取最小的荷載值作為此連接結(jié)構(gòu)的許用荷載。故取【例題3.7】 兩塊鋼板用鉚釘對接，如圖2.47(a)所

19、示。已知主板厚度，蓋板厚度，主板和蓋板的寬度，鉚釘直徑。鉚釘?shù)脑S用切應(yīng)力，試對此鉚接進(jìn)行校核。解：(1) 校核鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度。此結(jié)構(gòu)為對接接頭。鉚釘和主板、蓋板的受力情況如圖2.47(b)、圖2.47(c)所示。每個(gè)鉚釘有兩個(gè)剪切面，每個(gè)鉚釘?shù)募羟忻嫠惺艿募袅閳D2.47 例題3.7圖根據(jù)剪切強(qiáng)度條件式(3-17)超過許用切應(yīng)力1.9%，這在工程上是允許的，故安全。(2) 校核擠壓強(qiáng)度。由于每個(gè)鉚釘有兩個(gè)剪切面，鉚釘有三段受擠壓，上、下蓋板厚度相同，所受擠壓力也相同。而主板厚度為蓋板的1.5倍，所受擠壓力卻為蓋板的2倍，故應(yīng)該校核中段擠壓強(qiáng)度。根據(jù)擠壓強(qiáng)度條件式(3-19)剪切、擠壓強(qiáng)度校核

20、結(jié)果表明，鉚釘安全。(3) 校核連接板的強(qiáng)度。為了校核連接板的強(qiáng)度，分別畫出一塊主板和一塊蓋板的受力圖及軸力圖，如圖2.47(b)和圖2.47(c)所示。主板在11截面所受軸力，為危險(xiǎn)截面，即有主板在22截面所受軸力，但橫截面也較11截面為小，所以也應(yīng)校核，有蓋板在33截面受軸力，橫截面被兩個(gè)鉚釘孔削弱，應(yīng)該校核，有結(jié)果表明，連接板安全。扭轉(zhuǎn)【例題3.1】 傳動(dòng)軸如圖3.9(a)所示，其轉(zhuǎn)速，功率由A 輪輸入，B、C兩輪輸出。若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率，已知：，及。試作軸的扭矩圖。圖3.9 例題3.1圖解：(1) 計(jì)算外力偶矩。各輪作用于軸上的外力偶矩分別為 (2) 由軸的計(jì)算簡圖(如圖3.9(

21、b)所示)，計(jì)算各段軸的扭矩。先計(jì)算CA段內(nèi)任一橫截面22上的扭矩。沿截面22將軸截開，并研究左邊一段的平衡，由圖3.9(c)可知 ， 得 同理，在BC段內(nèi) 在AD段內(nèi) (3) 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，作扭矩圖(如圖3.1(d)所示)。由扭矩圖可知，發(fā)生在段內(nèi)，其值為?！纠}3.2】 某傳動(dòng)軸，軸內(nèi)的最大扭矩，若許用切應(yīng)力=50MPa，試按下列兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比較其重量。(1) 實(shí)心圓截面軸的直徑。(2) 空心圓截面軸，其內(nèi)、外徑之比為。解：(1) 確定實(shí)心圓軸的直徑。由強(qiáng)度條件(3-13)式得 而實(shí)心圓軸的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為 那么，實(shí)心圓軸的直徑為(2) 確定空心圓軸的內(nèi)、外徑。由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條

22、件以及空心圓軸的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)可知，空心圓軸的外徑為而其內(nèi)徑為(3) 重量比較。上述空心與實(shí)心圓軸的長度與材料均相同，所以，二者的重量之比等于其橫截面之比，即上述數(shù)據(jù)充分說明，空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕。【例題3.3】 階梯形圓軸如圖3.18(a)所示，AB段直徑，BC段直徑。扭轉(zhuǎn)力偶矩，。已知材料的許用切應(yīng)力，試校核該軸的強(qiáng)度。解：(1) 作扭矩圖。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩圖如圖3.18(b)所示。(2) 強(qiáng)度校核。由于兩段軸的直徑不同，因此需分別校核兩段軸的強(qiáng)度。AB段 BC段 圖3.18 例題3.3圖因此，該軸滿足強(qiáng)度要求。【例題3.4】 一汽車傳動(dòng)軸簡圖如圖3.19(a)所示，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

23、輸入的力偶矩 ，軸的內(nèi)外直徑之比。鋼的許用切應(yīng)力，切變模量 ，許可單位長度扭轉(zhuǎn)角。試按強(qiáng)度條件和剛度條件選擇軸的直徑。圖3.19 例題3.4圖解：(1) 求扭矩。用截面法截取左段為脫離體(如圖3.19(b)所示)，根據(jù)平衡條件得(2) 根據(jù)強(qiáng)度條件確定軸的外徑。由 和 得 (3) 根據(jù)剛度條件確定軸的外徑。由 和 得 所以，空心圓軸的外徑不能小于，內(nèi)徑不能小于。彎曲內(nèi)力【例題4.1】試求圖4.5(a)所示連續(xù)梁的支反力。解：靜定梁的段為基本梁或主梁，段為副梁。求支反力時(shí)，應(yīng)先取副梁為脫離體求出支反力；然后，取整體為研究對象，求出處的支反力，。圖4.5 例題4.1圖(1) 取梁為脫離體，如圖4.

24、5(b)所示，由平衡方程 ， 得 (2) 取整體為脫離體，如圖4.5(a)所示，由平衡方程 ， ，得 ，上述求得的約束反力為正值，說明假定的約束反力方向與實(shí)際情況一致。為了校核所得支反力是否正確，也可取梁為脫離體，驗(yàn)證所求的支反力是否滿足平衡條件。 【例題4.2】 梁的計(jì)算簡圖如圖4.8(a)所示。已知、，且，以及尺寸、和。試求梁在、點(diǎn)處橫截面上的剪力和彎矩。解：為求梁橫截面上的內(nèi)力剪力和彎矩，首先求出支反力和(如圖4.8(a)所示)。由平衡方程，和 ，解得 ，圖4.8 例題4.2圖當(dāng)計(jì)算橫截面上的剪力和彎矩時(shí)，將梁沿橫截面假想地截開，研究其左段梁，并假定和均為正向，如圖4.8(b)所示。由梁

25、段的平衡方程，可得 由 ，可得 結(jié)果為正，說明假定的剪力和彎矩的指向和轉(zhuǎn)向正確，即均為正值。讀者可以從右段梁(如圖4.8(c)所示)來計(jì)算和以驗(yàn)算上述結(jié)果。計(jì)算橫截面上的剪力和彎矩時(shí)，將梁沿橫截面假想地截開，研究其右段梁，并假定和均為正向，如圖4.8(d)所示。由平衡方程，可得 由 ， 可得 結(jié)果為負(fù)，說明與假定的指向相反()；結(jié)果為正()，說明假定的轉(zhuǎn)向正確。將和代入上述各式即可確定、截面的內(nèi)力值?！纠}4.3】 如圖4.9(a)所示為一在整個(gè)長度上受線性分布荷載作用的懸臂梁。已知最大荷載集度，幾何尺寸如圖所示。試求、兩點(diǎn)處橫截面上的剪力和彎矩。圖4.9 例題4.3圖解：當(dāng)求懸臂梁橫截面上的

26、內(nèi)力時(shí)，若取包含自由端的截面一側(cè)的梁段來計(jì)算，則不必求出支反力。用求內(nèi)力的簡便方法，可直接寫出橫截面上的剪力和彎矩。有三角形比例關(guān)系，可得 ， 則 【例題4.4】 如圖4.11(a)所示的懸臂梁，自由端處受一集中荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：為計(jì)算方便，將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的右端。利用求內(nèi)力的簡便方法，考慮任意截面的右側(cè)梁段，則可寫出任意橫截面上的剪力和彎矩方程： (a) (b)由(a)式可見，剪力圖與無關(guān)，是常值，即為水平直線，只需確定線上一點(diǎn)，例如處，即可畫出剪力圖(如圖4.11(b)所示)。由式(b)可知，彎矩是的一次函數(shù)，彎矩圖是一斜直線，因此，只需確定線上兩點(diǎn)，如處，處，即可繪出

27、彎矩圖(如圖4.11(c)所示)。圖4.11 例題4.4圖【例題4.5】 如圖4.12(a)所示的簡支梁，在全梁上受集度為的均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：對于簡支梁，須先計(jì)算其支反力。由于荷載及支反力均對稱于梁跨的中點(diǎn)，因此，兩支反力(如圖4.12(a)所示)相等。任意橫截面處的剪力和彎矩方程可寫成 由上式可知，剪力圖為一傾斜直線，彎矩圖為拋物線。仿照例題4.4中的繪圖過程，即可繪出剪力圖和彎矩圖(如圖4.12(b)和圖4.12(c)所示)。斜直線確定線上兩點(diǎn)，而拋物線需要確定三個(gè)點(diǎn)以上。圖4.12 例題4.5圖由內(nèi)力圖可見，梁在梁跨中點(diǎn)橫截面上的彎矩值為最大，而該截面上的；兩支座

28、內(nèi)側(cè)橫截面上的剪力值為最大，(正值，負(fù)值)?！纠}4.6】 如圖4.13(a)所示的簡支梁在點(diǎn)處受集中荷載力作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：首先由平衡方程和分別算得支反力(如圖4.13(a)所示)為，由于梁在點(diǎn)處有集中荷載力的作用，顯然，在集中荷載兩側(cè)的梁段，其剪力和彎矩方程均不相同，故需將梁分為和兩段，分別寫出其剪力和彎矩方程。圖4.13 例題4.6圖對于段梁，其剪力和彎矩方程分別為 (a) (b)對于段梁，剪力和彎矩方程為 (c) (d)由(a)、(c)兩式可知，左、右兩梁段的剪力圖各為一條平行于軸的直線。由(b)、(d)兩式可知，左、右兩段的彎矩圖各為一條斜直線。根據(jù)這些方程繪出的剪力

29、圖和彎矩圖如圖4.13(b)和圖4.13(c)所示。由圖可見，在的情況下，段梁任一橫截面上的剪力值為最大，；而集中荷載作用處橫截面上的彎矩為最大，；在集中荷載作用處左、右兩側(cè)截面上的剪力值不相等?！纠}4.7】 圖4.14(a)所示的簡支梁在點(diǎn)處受矩為的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：由于梁上只有一個(gè)外力偶作用，因此與之平衡的約束反力也一定構(gòu)成一反力偶，即、處的約束反力為，由于力偶不影響剪力，故全梁可由一個(gè)剪力方程表示，即 (a)而彎矩則要分段建立。段： (b)段： (c)由式(a)可知，整個(gè)梁的剪力圖是一條平行于軸的直線。由(b)、(c)兩式可知，左、右兩梁段的彎矩圖各為一條斜直線

30、。根據(jù)各方程的適用范圍，就可分別繪出梁的剪力圖和彎矩圖(如圖4.14(b)和圖4.14(c)所示)。由圖可見，在集中力偶作用處左、右兩側(cè)截面上的彎矩值有突變。若，則最大彎矩發(fā)生在集中力偶作用處的右側(cè)橫截面上，(負(fù)值)。圖4.14 例題4.7圖【例題4.9】 圖4.19(a)所示為一懸臂剛架，受力如圖所示。試作剛架的內(nèi)力圖。解：計(jì)算內(nèi)力時(shí)，一般應(yīng)先求支反力。但對于懸臂梁或懸臂剛架，可以取包含自由端部分為研究對象，這樣就可以不求支反力。下面分別列出各段桿的內(nèi)力方程為段： 段： 在段中假定截面彎矩使外側(cè)受拉為正。根據(jù)各段的內(nèi)力方程，即可繪出軸力、剪力和彎矩圖。如圖4.19(b)、圖4.19(c)和圖

31、4.19(d)所示。 (a) (b)圖4.19 例題4.9圖 (c) (d)圖4.19 (續(xù))【例題4.10】 一端固定的四分之一圓環(huán)在其軸線平面內(nèi)受集中荷載作用，如圖4.20(a)所示。試作曲桿的彎矩圖。解：對于環(huán)狀曲桿，應(yīng)用極坐標(biāo)表示其橫截面位置。取環(huán)的中心為極點(diǎn)，以為極軸，并用表示橫截面的位置(如圖4.20(a)所示)。對于曲桿，彎矩圖仍畫在受拉側(cè)。曲桿的彎矩方程為 ()在上式所適用的范圍內(nèi)，對取不同的值，算出各相應(yīng)橫截面上的彎矩，連接這些點(diǎn)，即為曲桿的彎矩圖(如圖4.20(b)所示)，由圖4.20可見，曲桿的最大彎矩在固定端處的截面上，其值為。 (a) (b)圖4.20 例題 4.10

32、 圖彎曲應(yīng)力【例題5.1】 受均布荷載作用的工字形截面等直外伸梁如圖5.2()所示。試求當(dāng)最大正應(yīng)力為最小時(shí)的支座位置。解：首先作梁的彎矩圖(如圖5.2(b)所示)，可見，支座位置直接影響支座或處截面及跨度中央截面上的彎矩值。由于工字形截面的中性軸為截面的對稱軸，最大拉、壓應(yīng)力相等，因此當(dāng)截面的最大正、負(fù)彎矩相等時(shí)，梁的最大彎矩的絕對值為最小，即為最小。建立 圖5.2 例題5.1圖得 由于應(yīng)為正值，所以上式中根號應(yīng)取正號，從而解得 【例題5.2】 跨長的鑄鐵梁受力如圖5.3(a)所示。已知材料的拉、壓許用應(yīng)力分別為和。試根據(jù)截面最為合適的要求，確定型截面梁橫截面的尺寸(如圖5.3(b)所示)，

33、并校核梁的強(qiáng)度。圖5.3 例題5.2圖解：要使截面最為合理，應(yīng)使梁的同一危險(xiǎn)截面上的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力(如 圖5.3(c)所示)之比與相應(yīng)的許用應(yīng)力之比相等。由于和 ，并已知，所以 (a)式(a)就是確定中性軸即形心軸位置(如圖5.3(b)所示)的條件?？紤]到(如圖5.3(b)所示)，即得 (b)顯然，值與橫截面尺寸有關(guān)，根據(jù)形心坐標(biāo)公式(見附錄A)及如圖5.3(b)中所示尺寸，并利用式(b)可列出 由此求得 (c)確定后進(jìn)行強(qiáng)度校核。為此，由平行移軸公式(見附錄A)計(jì)算截面對中性軸的慣性矩為 梁中最大彎矩在梁中點(diǎn)處，即于是，由式(5-7a)、式(5-7b)即得梁的最大壓應(yīng)力，并據(jù)此校核強(qiáng)

34、度： 可見，梁滿足強(qiáng)度條件?！纠}5.3】 試?yán)酶戒汣的型鋼表為如圖5.4所示的懸臂梁選擇一工字形截面。已知。圖5.4 例題5.3圖解：首先作懸臂梁的彎矩圖，懸臂梁的最大彎矩發(fā)生在固定端處，其值為應(yīng)用式(5-7b)，計(jì)算梁所需的抗彎截面系數(shù)由附錄C型鋼表中查得，號工字鋼，其與算得的最為接近，相差不到%，這在工程設(shè)計(jì)中是允許的，故選號工字鋼?！纠}5.4】 一外伸鑄鐵梁受力如圖5.5(a)所示。材料的許用拉應(yīng)力為，許用壓應(yīng)力為，試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁的強(qiáng)度。解：(1) 作梁的彎矩圖。由圖5.5(c)可知，最大負(fù)彎矩在截面上，其值為，最大正彎矩在截面上，其值為。圖5.5 例題5.4圖(2) 確

35、定中性軸的位置和計(jì)算截面對中性軸的慣性矩。橫截面形心位于對稱軸上，點(diǎn)到截面下邊緣距離為故中性軸距離底邊139mm(如圖5.5(b)所示)。截面對中性軸的慣性矩，可以利用附錄A中平行移軸公式計(jì)算。(3) 校核梁的強(qiáng)度。由于梁的截面對中性軸不對稱，且正、負(fù)彎矩的數(shù)值較大，故截面與都可能是危險(xiǎn)截面，須分別算出這兩個(gè)截面上的最大拉、壓應(yīng)力，然后校核強(qiáng)度。截面上的彎矩為負(fù)彎矩，故截面上的最大拉、壓應(yīng)力分別發(fā)生在上、下邊緣(如圖5.5(d)所示)，其大小為截面E上的彎矩為正彎矩，故截面E上的最大壓、拉應(yīng)力分別發(fā)生在上、下邊緣(如圖5.5(d)所示)，其大小為比較以上計(jì)算結(jié)果，可知，該梁的最大拉應(yīng)力發(fā)生在截

36、面下邊緣各點(diǎn)，而最大壓應(yīng)力發(fā)生在截面下邊緣各點(diǎn)，作強(qiáng)度校核如下。所以，該梁的抗拉和抗壓強(qiáng)度都是足夠的?！纠}5.5】 如圖5.12所示兩端鉸支的矩形截面木梁，受均布荷載作用，荷載集度。已知木材的許用應(yīng)力，順紋許用應(yīng)力，設(shè)。試選擇木材的截面尺寸，并進(jìn)行切應(yīng)力的強(qiáng)度校核。圖5.12 例題5.5圖解：(1) 作梁的剪力圖和彎矩圖。木梁的剪力圖和彎矩圖如圖5.12()和圖5.12()所示。由圖可知，最大彎矩和最大的剪力分別發(fā)生在跨中截面上和支座，處，其值分別為 ，(2) 按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面。由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件得 又因，則有 故可求得 (3) 校核梁的切應(yīng)力強(qiáng)度。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性層，由矩形截

37、面梁最大切應(yīng)力公 式(5-9)得 故所選木梁尺寸滿足切應(yīng)力強(qiáng)度要求。彎曲變形【例題6.1】 如圖6.4所示一彎曲剛度為的簡支梁，在全梁上受集度為的均布荷載作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：由對稱關(guān)系可知梁的兩支反力為 梁的彎矩方程為 (a)將式(a)中的代入式(6-1b)圖6.4 例題6.1圖 再通過兩次積分，可得 (b) (c)在簡支梁中，邊界條件是左、右兩鉸支座處的撓度均等于零，即 在處， 在處，將邊界條件代入式(c)，可得 和 從而解出 于是，得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為 (d)和 (e)由于梁上外力及邊界條件對于梁跨中點(diǎn)是對稱的，因此梁的撓曲線也應(yīng)

38、是對稱的。由圖6.4可見，兩支座處的轉(zhuǎn)角絕對值相等，且均為最大值。分別以及代入 式(d)，可得最大轉(zhuǎn)角值為 又因撓曲線為一光滑曲線，故在對稱的撓曲線中，最大撓度必在梁跨中點(diǎn)處。所以其最大撓度值為 【例題6.2】 如圖6.5所示一彎曲剛度為的簡支梁，在點(diǎn)處受一集中荷載F作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：梁的兩個(gè)支反力為， (a)對于和兩段梁，其彎矩方程分別為 () () () ()分別求得梁段和的撓曲線微分方程及其積分，見表6.1。表6.1 梁段和的撓曲線微分方程及其積分梁段()梁段 ()撓曲線微分方程：撓曲線微分方程： () ()積分一次：積分一次： () (

39、)再積分一次：再積分一次： () ()圖6.5 例題6.2圖在對梁段進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)，對含有的彎矩項(xiàng)不要展開，而以作為自變量進(jìn)行積分，這樣可使下面確定積分常數(shù)的工作得到簡化。利用點(diǎn)處的連續(xù)條件： 在處，將式，()、()和()、()代入上邊界條件可得 ，如前所述，積分常數(shù)和分別等于和，因此有 ，由于圖中簡支梁在坐標(biāo)原點(diǎn)處是鉸支座，因此，故。另一積分常數(shù)，則可利用右支座處的約束條件，即在處，來確定。根據(jù)這一邊界條件，由梁段的式()可得即可求得 將積分常數(shù)代入()、()、()、()四式，即得兩段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，見表6.2。表6.2 梁段和梁段的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程梁段梁段轉(zhuǎn)角方程： ()轉(zhuǎn)角

40、方程： () 撓曲線方程： ()撓曲線方程： ()將和分別代入()和()兩式，即得左、右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別為 =當(dāng)時(shí)，右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大，其值為現(xiàn)確定梁的最大撓度。簡支梁的最大撓度應(yīng)在處。先研究梁段，令，由式()解得 (h)當(dāng)時(shí)，由式(h)可見值將小于。由此可知，最大撓度確在梁段中。將值代入式()，經(jīng)簡化后即得最大撓度為 (i)由式(h)可見，b值越小，則值越大。即荷載越靠近右支座，梁的最大撓度點(diǎn)離中點(diǎn)就越遠(yuǎn)，而且梁的最大撓度與梁跨中點(diǎn)撓度的差值也隨之增加。在極端情況下，當(dāng)值甚小，以致與項(xiàng)相比可略去不計(jì)時(shí)，則從式(i)可得 (j)而梁跨中點(diǎn)處截面的撓度為 在這一極端情況下，兩者

41、相差也不超過梁跨中點(diǎn)撓度的3%。由此可知，在簡支梁中，不論它受什么荷載作用，只要撓曲線上無拐點(diǎn)，其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度值來代替，其精確度能滿足工程計(jì)算的要求。當(dāng)集中荷載F作用在簡支梁的中點(diǎn)處，即時(shí)，則 【例題6.3】 一彎曲剛度為的簡支梁受荷載如圖6.6(a)所示。試按疊加原理求跨中點(diǎn)的撓度和支座處截面的轉(zhuǎn)角和。圖6.6 例題6.3圖 解：梁上的荷載可以分為兩項(xiàng)簡單荷載，如圖6.6(b)和圖6.6(c)所示。由附錄D可以查出兩者分別作用時(shí)梁的相應(yīng)位移值，然后按疊加原理，即得所求的位移值。中點(diǎn)最大撓度為【例題6.4】 一彎曲剛度為的外伸梁受荷載如圖6.7(a)所示，試按疊加原理求C截

42、面的撓度。圖6.7 例題6.4圖解：在附錄D中給出的是簡支梁或懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角，為此，將這外伸梁沿截面截開，看成是一簡支梁和懸臂梁(如圖6.7(b)和圖6.7(c)所示)。其中，F(xiàn)作用在支座不會(huì)使梁產(chǎn)生彎曲變形；由附錄D可分別查出由力偶矩和集中荷載引起的(如圖6.7(d)和圖6.7(e)所示)，得由疊加原理得原外伸梁的端撓度也可按疊加原理求得。由圖6.7(a)、圖6.7(b)和圖 6.7(c)可見，由于截面的轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)段作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，從而使端產(chǎn)生撓度，而由段本身彎曲變形引起的撓度，即為懸臂梁(如圖6.7(b)所示)撓度，因此，端的總撓度為將前面的結(jié)果代入上式，得【例題6.5】 一彎曲剛度為的懸

43、臂梁受荷載如圖6.8(a)所示，試按疊加原理求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角，。解：求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角，可以將力F向點(diǎn)簡化，簡化結(jié)果是作用在處的一個(gè)力F和一個(gè)力矩(如圖6.8(b)所示)，。截面的撓度和轉(zhuǎn)角可以按疊加法求得(如圖6.8(c)、圖6.8(d)所示)，由附錄D查得則截面的撓度轉(zhuǎn)角分別為圖6.8 例題6.5圖【例題6.6】 如圖6.9所示電動(dòng)葫蘆的軌道擬用一根工字型鋼制作，荷載，可沿全梁移動(dòng)，已知材料；梁的許用撓度，不計(jì)梁的自重，試確定工字鋼的型號。解：(1) 畫內(nèi)力圖。當(dāng)荷載F移動(dòng)到梁跨中點(diǎn)時(shí)，產(chǎn)生最大彎矩；當(dāng)移動(dòng)到支座附近，產(chǎn)生最大剪力。這兩種最不利位置的圖、圖如圖6.9(b)和圖6.9(

44、c)所示。 圖6.9 例題6.6圖(2) 由正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面。梁跨中點(diǎn)截面的上、下邊緣各點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn)。由得 查型鋼表，選工字鋼有 ，(3) 切應(yīng)力強(qiáng)度校核。支座內(nèi)側(cè)截面的中性軸上各點(diǎn)處切應(yīng)力最大。 滿足切應(yīng)力強(qiáng)度要求。(4) 剛度校核。最大撓度發(fā)生在梁跨中點(diǎn)，由附錄D可得 即可見，剛度條件不滿足要求，應(yīng)加大工字鋼截面以減小變形。如改用25a號工字鋼號，則有剛度條件也滿足，故可選用工字鋼號?！纠}6.7】 試求如圖6.12所示一端固定一端簡支的梁在均布荷載作用下的約束反力。解：該梁的約束反力共有四個(gè)，而獨(dú)立的平衡方程只有三個(gè)，有一個(gè)多余約束，因此是一次超靜定問題。首先，假設(shè)B支座為多余約束，

45、相應(yīng)的多余未知力是(方向可以假設(shè))。拆除多余約束，由相應(yīng)的約束反力代替，則原結(jié)構(gòu)變成懸臂梁(如圖6.12(b)所示)。將如圖6.12(b)所示的結(jié)構(gòu)叫做原超靜定梁(如圖6.12(a)所示)的基本靜定系?；眷o定系與原來的超靜定梁是等效的，即受力是等效的，變形也是等效的。因此，按疊加原理，在基本靜定系上，點(diǎn)的撓度等于均布荷載與單獨(dú)作用引起撓度的代數(shù)和。點(diǎn)的變形應(yīng)與原結(jié)構(gòu)點(diǎn)的變形相等，而原結(jié)構(gòu)點(diǎn)的撓度為零。于是可得變形幾何方程 或+=0 (a)由附錄D可得力與變形間的物理關(guān)系 (b) (c)圖6.12 簡單超靜定梁(例題6.7圖)將式(b)、(c)代入式(a)，即得補(bǔ)充方程-=0 (d)由此解得多

46、余反力為 為正號，表明原來假設(shè)的指向是正確的。求得后，即可在基本靜定系上(如圖6.12(b)所示)由靜力平衡方程求出固定端處的支反力，以上是將支座作為多余約束來求解的，其基本靜定系是懸臂梁。同樣，也可取支座A處的轉(zhuǎn)動(dòng)約束作為“多余”約束，即將解除轉(zhuǎn)動(dòng)約束并用相應(yīng)的反力偶來代替，基本靜定系是一個(gè)簡支梁，如圖6.12(c)所示。變形幾何方程為 或 (e)由附錄D可知 代入式(e)得 +=0求得為 應(yīng)力和應(yīng)變分析 強(qiáng)度理論【例題7.1】 試用解析法求如圖7.5(a)所示平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主平面方位。解法1：(1) 求主應(yīng)力 所以，。 (a) (b)圖7.5 例題7.1圖(2) 求主平面方位 因?yàn)?/p>

47、是正的，說明在第一象限，故 ，即為所在截面的方位角。和的方向如圖7.5(b)所示。解法2：先確定主平面方位 在范圍內(nèi)有兩個(gè)解 即 ，下面確定哪個(gè)是、哪個(gè)是。由的判定規(guī)則可知，一定發(fā)生在0的截面上，因此在和中，滿足這一條件，故，那么所在方位角。將代入斜截面應(yīng)力公式(7-1)，得 將代入斜截面應(yīng)力公式(7-1)，可得。【例題7.2】 兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖7.9(a)和圖7.9(b)所示，梁的橫截面尺寸如圖7.9(c)所示。試分別繪出截面C(如圖7.9(a)所示)上a和b兩點(diǎn)處(如圖7.9(c)所示)的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求出這兩點(diǎn)處的主應(yīng)力。圖7.9 例題7.2圖圖7.9 (續(xù))解：計(jì)

48、算支反力，并作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖7.9(d)和圖7.9(e)所示。然后根據(jù)截面C的彎矩=80kNm及截面C左側(cè)的剪力值=200kN，計(jì)算橫截面上a，b兩點(diǎn)處的應(yīng)力。為此，先計(jì)算橫截面(如圖7.9(c)所示)的慣性矩和求a點(diǎn)處切應(yīng)力時(shí)需用的靜矩等。 由以上各數(shù)據(jù)可算得橫截面C上a點(diǎn)處的應(yīng)力為 據(jù)此，可繪出a點(diǎn)處單元體的x、y兩平面上的應(yīng)力，如圖7.9(f)所示。在繪出坐標(biāo)軸及選定適當(dāng)?shù)谋壤吆?，根?jù)單元體上的應(yīng)力值即可繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓(如圖7.9(g)所示)。由此圖可見，應(yīng)力圓與軸的兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別代表a點(diǎn)處的兩個(gè)主應(yīng)力和，可按選定的比例尺量得，或由應(yīng)力圓的幾何關(guān)系求得 和 (壓應(yīng)力)

49、 故由x平面至所在的截面的夾角應(yīng)為。顯然，所在的截面應(yīng)垂直于所在的截面(如圖7.9(f)所示)。由此確定了a點(diǎn)處的主應(yīng)力為=150.4MPa，=0，MPa。對于橫截面C上b點(diǎn)處的應(yīng)力，由可得 b點(diǎn)處的切應(yīng)力為零。據(jù)此，可繪出b點(diǎn)處所取單元體各面上的應(yīng)力如圖7.9(h)所示，其相應(yīng)的應(yīng)力圓如圖7.9(i)所示。由此圖可見，b點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力分別為，。所在的截面就是x平面，亦即梁的橫截面C?！纠}7.3】 在受力物體上得某點(diǎn)處夾角為的兩截面上的應(yīng)力如圖7.10(a)所示。試用應(yīng)力圓法求：(1)夾角的值；(2)該點(diǎn)處的主應(yīng)力和主平面方位。解：(1) 作應(yīng)力圓。選比例尺，建坐標(biāo)系。由截面上的應(yīng)力繪點(diǎn)，

50、由截面上的應(yīng)力繪點(diǎn)。連接點(diǎn)和，作的垂直平分線交軸于，以點(diǎn)為圓心，為半徑，作應(yīng)力圓交軸于、兩點(diǎn)(如圖7.10(b)所示)。(2) 求夾角的值。在圖7.10(b)中量取，則 (a) (b)圖7.10 例題7.3圖(3) 求主應(yīng)力和主平面方位。量取，其方向由斜截面法向順時(shí)針轉(zhuǎn)；，其方向與方向垂直；?！纠}7.4】 單元體各面上的應(yīng)力如圖7.14(a)所示。試作應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位。圖7.14 例題7.4圖解：該單元體有一個(gè)已知的主應(yīng)力。因此，與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力無關(guān)，于是，可依據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力，畫出應(yīng)力圓(如 圖7.14(b)所示)。由應(yīng)力圓上可

51、得兩個(gè)主應(yīng)力值為46MPa和-26MPa。將該單元體的三個(gè)主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小順序排列為 ，依據(jù)三個(gè)主應(yīng)力值，便可作出三個(gè)應(yīng)力圓(如圖7.14(b)所示)。在其中最大的應(yīng)力圓上，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)(該圓的半徑)即為該單元體的最大切應(yīng)力，其值為 且，據(jù)此便可確定主平面方位及其余各主平面的位置。其中最大切應(yīng)力所在截面與平行，與和所在的主平面各成夾角，如圖7.14(c)所示?！纠}7.5】 已知構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩個(gè)主應(yīng)變值為，。構(gòu)件材料為Q235鋼，其彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3。試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力數(shù)值，并求該點(diǎn)處另一主應(yīng)變的數(shù)值和方向。解：由于主應(yīng)力與主應(yīng)變相對應(yīng)，故根據(jù)題意可知該點(diǎn)

52、處，而處于平面應(yīng)力狀態(tài)。因此，由平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律得 ，聯(lián)立上列兩式，即可解得主應(yīng)變的數(shù)值可由(7-12a)求得由此可見，主應(yīng)變是縮短，其方向必與及垂直，即沿構(gòu)件表面的法線方向?！纠}7.6】 邊長a=0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大、變形可略去不計(jì)的鋼凹槽中。如圖7.15(a)所示。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比=0.34。當(dāng)受到F=300kN的均勻壓力作用時(shí)，試求銅塊的主應(yīng)力、體應(yīng)變以及最大切應(yīng)力。解：銅塊的橫截面上的壓應(yīng)力為 銅塊受到的軸向壓縮將產(chǎn)生膨脹，但受到剛性凹槽壁的阻礙，使銅塊在x和z方向的線應(yīng)變等于零。于是，在銅塊與槽壁接觸面間將產(chǎn)生均勻的壓應(yīng)力和，

53、如圖7.15(b)所示。按照廣義胡克定律公式(7-8a)可得 (a) (b)圖7.15 題7.6圖聯(lián)立求解(a)、(b)兩式，可得按主應(yīng)力的代數(shù)值順序排列，得銅塊的主應(yīng)力為，將以上數(shù)據(jù)帶入計(jì)算體積應(yīng)變公式(7.14b)，可得銅塊的體積應(yīng)變?yōu)閷⒂嘘P(guān)的主應(yīng)力值代入式(7-7)，可得【例題7.7】 某鑄鐵構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力如圖7.17所示，若許用應(yīng)力，試校核其強(qiáng)度。圖7.17 例題7.7圖解：由圖7.17可知，和截面的應(yīng)力為 ，代入式(7-4)，得 即主應(yīng)力為 ，上式表明，主應(yīng)力雖為壓應(yīng)力，但其絕對值小于主應(yīng)力，所以，宜采用最大拉應(yīng)力理論，即利用式(7-18)校核強(qiáng)度，顯然 說明構(gòu)件強(qiáng)度無問題?！纠?/p>

54、題7.8】 試分別根據(jù)第三與第四強(qiáng)度理論，確定塑性材料在純剪切時(shí)的許用 應(yīng)力。解：純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力為，。于是，將主應(yīng)力值代入 式(7-20)與式(7-21)，分別得由此得切應(yīng)力的最大允許值，即許用切應(yīng)力分別為因此，塑性材料在純剪切時(shí)的許用應(yīng)力通常取為。【例題7.9】 兩端簡支的工字梁承受荷載如圖7.18(a)所示。已知材料Q235鋼的許用應(yīng)力為和。試按強(qiáng)度條件選擇工字鋼的號碼。圖7.18 工字梁承受荷載解：首先確定鋼梁的危險(xiǎn)截面，在算得支反力后，作梁的剪力圖和彎矩圖如圖7.18(b)、圖7.18(c)所示。由圖可見，梁的C、D兩截面上的彎矩和剪力均為最大值，所以這兩個(gè)截面為危險(xiǎn)截面。現(xiàn)

55、取截面C計(jì)算，其剪力和彎矩分別為和。先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面。最大正應(yīng)力發(fā)生在截面C的上、下邊緣各點(diǎn)處，其應(yīng)力狀態(tài)為單軸應(yīng)力狀態(tài)，由強(qiáng)度條件求出所需的截面系數(shù)為 如選用28a號工字鋼，則其截面的。顯然，這一截面滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件的要求。再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。對于28a號工字鋼的截面，由型鋼表查得 危險(xiǎn)截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處，且為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，其最大切應(yīng)力為 由此可見，選用28a號工字鋼滿足切應(yīng)力的強(qiáng)度條件。以上考慮了危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。但是，對于工字形截面，在腹板與翼緣交界處，正應(yīng)力和切應(yīng)力都相當(dāng)大，且為平面應(yīng)力狀態(tài)。因此，須對這些點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)度校核。為此，截取腹板與下翼緣交界的a點(diǎn)處的單元體(如圖7.18(e)所示)。根據(jù)28a號工字鋼截面簡化后的尺寸(如圖7.18(d)所示)和上面查得的