復變函數(shù)與積分變換：第四、五章級數(shù)與留數(shù)習題課

1、1一、收斂半徑與斂散性.第四、五章 級數(shù)與留數(shù)二、解析函數(shù)的泰勒展開三、洛朗展式四、判別奇點類型五、求各奇點處留數(shù)六、用留數(shù)定理計算沿封閉曲線的積分2復數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)充要條件必要條件冪級數(shù)收斂半徑R復 變 函 數(shù)絕對收斂運算與性質(zhì)收斂條件條件收斂復數(shù)列收斂半徑的計算泰勒級數(shù)洛朗級數(shù)3留數(shù)計算方法可去奇點孤立奇點極點本性奇點函數(shù)的零點與極點的關(guān)系留數(shù)定理圍線積分4一、收斂半徑與斂散性.1. 斂散性看通項轉(zhuǎn)化為兩個實級數(shù)轉(zhuǎn)化為實正項級數(shù)解收斂收斂例1 判別級數(shù) 的斂散性.5解 由正項級數(shù)的比值判別法知絕對收斂.例2 判別級數(shù)的斂散性.2.收斂半徑那末收斂半徑那末收斂半徑771設(shè)函數(shù)的泰勒展開式

2、為，（B）（C） （D）的收斂半徑( )那么冪級數(shù)（A）C練習2設(shè)函數(shù)圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式有 m個， 那么m = ( )（A）1在以原點為中心的（B）2（D）4（C）3C8若則雙邊冪級數(shù)的收斂域為( ) （B）（A）（C） （D）例3A9常見函數(shù)的泰勒展開式二、解析函數(shù)的泰勒展開10展開常用方法：間接法：直接法(2) 柯西乘積(3) 逐項積分、求導法11解例6 求 在 的泰勒展式.由于12例7分析：利用逐項求導、逐項積分法.解所以13例8分析: 利用部分分式與幾何級數(shù)結(jié)合法. 即把函數(shù)分成部分分式后, 應用等比級數(shù)求和公式.解14故兩端求導得15三、洛朗展式1. 利用已知函數(shù)展開式；常見情況:2

3、.分式：注意|g(z)|是否小于1)1717例9解18例10解有192021四、判別奇點類型21孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點洛朗級數(shù)特點存在且為有限值不存在且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項關(guān)于的最高冪為22解23解2425練習：是函數(shù)的那種類型奇點26例12 求函數(shù) 的有限奇點, 并確定類型.解是奇點.是二級極點;是三級極點.27五、 求各奇點處留數(shù)留數(shù)的計算方法(1) 如果為的可去奇點, 定理成洛朗級數(shù)求(2) 如果為的本性奇點, (3) 如果為的極點, 則有如下計算規(guī)則展開則需將如果 為 的 級極點, 那末28推論1推論2 如果設(shè)及在都解析，那末為的一級極點, 且有如果 為 的一級極點, 那末29例13 求下列各函數(shù)在有限奇點處的留數(shù).解(1)在 內(nèi),30解31解為奇點,當 時 為一級極點，32