中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一編教材知識梳理篇第三章函數(shù)及其圖象第五節(jié)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)(精講)試題

1、第五節(jié)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)懷化七年中考命題規(guī)律 )年份題型題號考查點考查內(nèi)容分值總分2016根據(jù)二次函選擇7二次函數(shù)的數(shù)的表達(dá)式4性質(zhì)判斷頂點和開口方向二次函數(shù)的二次函數(shù)與解答22三角形的綜812綜合題合應(yīng)用根據(jù)二次函二次函數(shù)的數(shù)的表達(dá)式2015填空11求它的頂點44性質(zhì)坐標(biāo)和對稱軸(1) 以射線掃過的面積為背景，經(jīng)過平移確定二次函數(shù)的二次函數(shù)的2014解答24圖關(guān)系式；1010象和性質(zhì)(2) 二次函數(shù)與三角形綜合求符合條件的點的坐標(biāo)2013二次函數(shù)的以選擇題形選擇3式判斷二次3概念函數(shù)二次函數(shù)與二次函數(shù)的方程的關(guān)系，二次函解答24圖1013數(shù)與反比例象和性質(zhì)函數(shù)的綜合應(yīng)用二次函數(shù)與二次函數(shù)的

2、圓的綜合應(yīng)2012解答24用，二次函1010圖象和性質(zhì)數(shù)的表達(dá)式和性質(zhì)二次函數(shù)、二次函數(shù)的反比例函數(shù)、相似2011解答24圖88形、勾股定象和性質(zhì)理的綜合應(yīng)用(1) 求二次二次函數(shù)的函數(shù)與 x 軸的交點坐2010解答26圖1010標(biāo)； (2) 求象和性質(zhì)符合條件點的坐標(biāo)；1/17命題規(guī)律命題預(yù)測(3) 二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用縱觀懷化七年中考，每年都涉及到此考點，在選擇題、填空題、解答題中均有所呈現(xiàn)，但主要以解答題形式呈現(xiàn)，且與圓、相似形、一元二次方程，解直角三角形等綜合一起，難度較高，往往是最后的壓軸題預(yù)計 2017年懷化中考中，仍然會考查此考點，以解答題呈現(xiàn)的可能性較大，基礎(chǔ)題目也可能

3、出現(xiàn)，應(yīng)強化二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合訓(xùn)練 .2/17懷化七年中考真題及模擬 )二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)(3 次)1 ( 2016 懷化中考 ) 二次函數(shù)y x2 2x 3 的開口方向、頂點坐標(biāo)分別是(A)A開口向上，頂點坐標(biāo)為( 1， 4)B開口向下，頂點坐標(biāo)為(1 ，4)開口向上，頂點坐標(biāo)為(1 ，4)CD開口向下，頂點坐標(biāo)為( 1， 4)2 ( 2013 懷化中考 ) 下列函數(shù)是二次函數(shù)的是( C )A y 2x1 B y 2x1 yx2 2y 1x2CD23 ( 2015 懷化中考 ) 二次函數(shù)y x2 2x 的頂點 坐標(biāo)為 _( 1， 1) _，對稱軸是直線 _x 1_二次函數(shù)的圖象及性

4、質(zhì)的綜合應(yīng)用(3 次)4( 2016 懷化二模 ) 在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yax 1 與二次函數(shù)y x2 a 的圖象可能是 (C)3/17A), B)C)4/17, D)5( 2014 懷化中考 ) 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，AB OB 8， ABO 90， yOC 45，射線OC以每秒2 個單位長度的速度向右平行移動，當(dāng)射線OC經(jīng)過點B 時停止運動，設(shè)平行移動x s 后，射線OC掃過 Rt ABO的面積為y.當(dāng) x 3 s 時，射線 OC平行移動到 OC，與 OA相交于 G，如圖(1) 求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)2，求經(jīng)過 G，O， B 三點的拋物線的表達(dá)式；(3)現(xiàn)有一

5、動點 P 在 (2) 中的拋物線上，試問點P 在運動過程中，是否存在三角形POB的面積 S8 的情況？若存在，求出點P 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由解： (1) AB OB， ABO 90， ABO 是等腰直角三角形，AOB 45， yOC 45， AOC(90 45 ) 45 90， AO CO， C O是CO平移得到，AO C O， OO G 是等腰直角三角12； (2) 當(dāng) x 3 s 時， OO 23形， 射線 OC的速度是每秒2 個單位長度 ， OO 2x， y2 2x x x1129a 3b 3，a 5，6， 2 63， 點 G 的坐標(biāo)為 (3 ， 3) ，設(shè)拋物線 表達(dá)式為y a

6、x bx，則64a 8b 0， 解得8拋物b 5，線的表達(dá)式為 y1281x x； (3) 設(shè)點 P 到 x軸的距離為 h，則 SPOB 8h 8，解得 h2. 當(dāng)點 P 在 x 軸上方55212826， x4 6，此時，點 P 的坐標(biāo)為 (4 6，2) 或時， 5x 5x 2，整理得 ， x 8x 100，解得 x 412(4 6， 2) ；當(dāng)點P 在 x1282 26， x 4軸下方時 ， 5x 5x 2，整理得 ， x 8x 10 0，解得 x 4125/1726，此時，點 P 的坐標(biāo)為 (4 26， 2) 或 (4 26， 2) ，綜上所述 ，存在點P 的坐標(biāo)為 (4 6， 2) 或

7、(4 6， 2) 或(4 26， 2) 或 (4 26， 2) ，使 POB的面積 S 8.236 ( 2013 懷化中考 ) 已知函數(shù)y kx 2x 2(k 是常數(shù) ) 若該函數(shù)的圖象與 x 軸只有一個交點，求 k 的值；(2) 若點 M(1，k) 在某反比例函數(shù)的圖象上 ，要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)y kx 22x 3都是 y 隨 x的增大2而增大，求 k 應(yīng)滿足的條件以及x 的取值范圍；23， 0) 兩點 ，且 xx ， x12x2 1，在 y 軸上 ，是否存在(3) 設(shè)拋物線 y kx 2x 與 x 軸交于 A(x ，0) ， B(x21212點 P，使 ABP 是直角三角形？若存在，

8、求出點P 及 ABP的面積；若不存在，請說明理由解： (1) 當(dāng) k 0 時，函數(shù) y 2x 3的圖象與 x 軸只有一個交點； 當(dāng) k0時， 若函數(shù) ykx 2 2x3的2223232圖象與 x軸只有一個交點 ，則方程kx 2x 2 0 有兩個相等的實數(shù)根，( 2) 4k 2 0，即 k 3. 綜上所2mm述，若函數(shù)的圖象與x 軸只有 一個交點 ，則 k 的值為0 或 3； (2) 設(shè)反比例函數(shù)為y x，則 k 1，即 m k. 所以，k23反比例函數(shù)為y x，要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y 隨著 x 的增大而增大 ，則 k0，二次函數(shù) y kx 2x 21213123 k(x ) 的對稱軸

9、為x ，要使二次函數(shù) y kx 2x 是 y 隨著 x 的增大而增大 ，在 k0 的情況下 ， xkk2k21必須在對稱軸的左邊，即 xk時，才能使得 y隨著 x 的增大而增大 ， 綜上所述 ，要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)1232都是 y 隨著 x 的增大而增大 ， k0 且 x0，即 k3，又( 2)x1x2 2k， k 3k 4 0， k 4或 k1. 又x21 x21.22222k 3， k 4，在 y 軸上，設(shè) P(0， b) 是滿足條件的點 ，則 (b x12) (b x2) (xx ) ， b x x ， |b|2112662122372 x17Rt ABP121|b|17 4 ，

10、b 4， (x x) 2b x12 x2 2 8 1 4， x2，S 2(x x )226426642 16 ， 在 y 軸上 ，存在點 P1(0 ， 4 ) ， P2(0 ， 4 ) ，使 ABP是直角三角形 ， ABP的面積為 16 .7 ( 2010 懷化中考 ) 下圖是二次函數(shù)y (x m)2 k 的圖象 ，其頂點坐標(biāo)為M(1 ， 4) 6/17(1) 求出圖象與x 軸的交點A，B 的坐標(biāo)；5(2) 在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使 S PABS MAB，若存在 ， 求出P 點的坐標(biāo)；若不存在 ，請說明理4由；將二次函數(shù)的圖象在 x 軸下方的部分沿 x 軸翻折，圖象的其余部分保持不變

11、，得到一個新的圖象，請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y xb(b1) 與此圖象有兩個公共點時，求b 的取值范圍解： (1) M(1， 4) 是二次函數(shù) y (x m)2 k 的頂點坐標(biāo) ， y (x 1)2 4 x2 2x 3，令 x2 2x 30，解得 x1 1， x2 3， A、B 兩點的坐標(biāo)為 A( 1， 0) ， B(3 ， 0) ； (2) 在二次函數(shù)的圖象上存在點P，使 SPAB 4S ，設(shè) P(x ，y) ，則 S 2|AB| |y| 2|y| ，又 S 2|AB| | 4| 8， 2|y| 48，即 y 5，5 MABPAB 1 MAB15二次函數(shù)的最小值為4， y5，當(dāng) y5

12、時 x 2 或 x 4，故點 P 的坐標(biāo)為 ( 2，5) 或 (4 ，5) ； (3) 當(dāng)直線 y x b(b1) 經(jīng)過 A 點時可得 b 1，當(dāng)直線 y x b(b1) 經(jīng)過 B 點時，可得b 3，由圖象可知符合題意的b 的取值范圍為 3b1.中考考點清單 )7/17二次函數(shù)的概念及表達(dá)式21 定義：一般地，如果兩個變量x 和 y 之間的函數(shù)關(guān)系可以表示成y ax bx c(a ， b， c 是常數(shù) ，且2三種表示方法：(1) 一般式： yax2 bxc(a 0) ；(2) 頂點式： ya(x h) 2k(a 0) ，其中二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是(h ， k) ；(3) 兩點式： y a(x x

13、1)(x x2)(a 0) ，其中 x1， x2為拋物線與x 軸交點的橫坐標(biāo)3三種表達(dá)式之間的關(guān)系確定分解因式頂點式 一般式兩點式4二次函數(shù)表達(dá)式的確定求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法一般用待定系數(shù)法，根據(jù)所給條件的不同，要靈活選用函數(shù)表達(dá)式；A當(dāng)已知拋物線上任意三點時，通常設(shè)為一般式y(tǒng) ax2 bx c 形式；B 當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時 ，通常設(shè)為頂點式y(tǒng)a(x h) 2 k 形式；C 當(dāng)已知拋物線與x 軸的交點 或交點橫坐標(biāo)時，通常設(shè)為兩點式y(tǒng) a(x x1)(x x2) (2) 步驟：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式；根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組；解方程組，求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)的表達(dá)

14、式二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)5圖象性質(zhì)二次函數(shù) y ax2 bx c(a ， b， c 為常數(shù)，函數(shù)a0)8/17圖象對稱軸直線 x _ b _直線 x b2a2a頂點b4ac b2b4ac b2坐標(biāo)( 2a，4a)( 2a，4a)續(xù)表函數(shù)二次函數(shù) y ax2bx c(a ， b， c 為常數(shù)， a 0)bb在對稱軸的左側(cè)，即 x 2a時， y 隨 x在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x時， y 隨 x 的增大而增大，簡記當(dāng) x 時， y 隨 x 的增大而減小，簡2a2a為左減右增記為左增右減bb最值拋物線有最低點，當(dāng) _x 2a_拋物線有最高點，當(dāng)x 2a時， y 有4acb24ac b2時， y 有最小值，

15、 y 最小值 最大值， y 最大值 _4a4a系數(shù) a， b，c 與二次函數(shù)的圖象關(guān)系項目字母字母的符號圖象的特征aa0開口向上a0(b 與 a 同號 )對稱軸在y 軸左側(cè)ab0c0，即 x 1 時， y0 若 a bc0，即 x 1 時， y0_經(jīng)過原點 _與 y 軸正半軸相交與 y 軸負(fù)半軸相交9/17二次函數(shù)圖象的平移7平移步驟：將拋物線表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點式y(tǒng) a(x h) 2 k，確定其頂點坐標(biāo)；(2) 保持拋物線的形狀不變，平移頂點坐標(biāo)(h ， k) 即可8平移規(guī)律：移動平移前的表達(dá)式方向向左平移 m個y a(x h) 2 k單位向右平2 k移 m個y a(x h)單位向上平y(tǒng) a(x

16、 h) 2 k移 m個單位向下平2 k移 m個y a(x h)單位口訣：上加下減常數(shù)項、左加右減自變量 .平移后的表達(dá)式規(guī)律ya(x hm)2 k左加2右減ya(x hm) kya(x h) 2 k m上加ya(x h) 2 k m下減二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系9當(dāng)拋物線與x 軸有兩個交點時，兩交點的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根10當(dāng)拋物線與x 軸只有一個交點時，該交點的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的一元二次方程的兩個相等的實數(shù)根10/1711當(dāng)拋物線與 x 軸沒有交點時，對應(yīng)的一元二次方程無實數(shù)根12 y ax2 bx c，ax2 bx c 0 與 b24ac 的關(guān)系：y ax2 b

17、xc2 02與 x 軸的ax bx cb 4a 的根的情況值的情況交點個數(shù)2有兩個不相等實數(shù)根b2 4ac 01有兩個相等實數(shù)根b2 4ac 0無交點沒有實數(shù)根b2 4ac 0有交點有實數(shù)根b24ac0中考重難點突破 )二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【例 1】二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0) 的大致圖象如圖，關(guān)于該二次函數(shù)，下列說法錯誤的是()A函數(shù)有最小值B對稱軸是直線x1211/171C當(dāng) x2，y 隨 x 的增大而減小D當(dāng) 1x0【解析】 A. 由拋物線的開口向上，可知a0，函數(shù)有最小值，正確，故A 選項不符合題意； B. 由圖象可知，對稱軸為 x1，正確 ，故B選項不符合題意；. 因為 a

18、0， 當(dāng) x1時， y 隨 x 的增大而減小 ，正確 ，故C選項不2C2符合題意；. 由圖象可知，當(dāng)1x2 時， y0B該拋物線的對稱軸是直線x 1C當(dāng) x 3 與 x 5 時， y 值相等D若 y0，則 1x0； abc2.其中 ，正確結(jié)論的個數(shù)是 ()A 0B 1C 2D3【解析】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及與系數(shù)a、 b、 c 的關(guān)系由圖可知三個結(jié)論都正確，下面對三個結(jié)論一一證明：序號正誤逐項分析二次函數(shù) y ax2 bx c 的圖象與 x 軸有兩個不同的交點， b24ac0拋物線的開口向下，a0， b0，拋物線與y 軸的交點在 y 軸正半軸， c0， abc2 時，拋 物線與 x 軸

19、沒有交點一元二次方程 ax2bx c m 0 沒有實數(shù)根二次函數(shù)y ax2 bx cm中， m2【學(xué)生解答】 D13/172( 201 6 棗莊中考 ) 已知二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0) 的圖象如圖所示，給出以下四個結(jié)論：abc 0，a bc0， ab， 4ac b20；其中正確的結(jié)論有(C)A1 個B2 個C3 個D4 個二次函數(shù)表達(dá)式的確定【例3】 ( 2015寧波中考 ) 如圖，已知二次函數(shù) y ax2 bx c 的圖象過A(2，0) ，B(0，1)和 C(4，5) 三點(1) 求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2) 設(shè)二次函數(shù)的圖象與x 軸的另一個交點為D，求點 D 的坐標(biāo)；14/17在

20、同一坐標(biāo)系中畫出直線 y x 1，并寫出當(dāng) x 在什么范圍內(nèi)時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值【解析】 (1) 根據(jù)二次函數(shù)yax2 bx c 的圖象過A(2， 0) ， B(0 ， 1) 和 C(4， 5) 三點 ，代入得出關(guān)于a，b，c 的三元一次方程組，求得a，b， c，從而得出二次函數(shù)的表達(dá)式；(2) 令 y 0，解一元二次方程，求得x 的值，從而得出與x 軸的另一個交點坐標(biāo)；(3) 畫出圖象，再根據(jù)圖象直接得出答案【學(xué)生解答】解：(1) 二次函數(shù)y ax2 bx c 的圖象過A(2 ， 0) ， B(0 ， 1) 和C(4 ， 5) 三點 ， 4a 2b c 0，c 1，111211，

21、 a 2， b 2， c 1， 二次函數(shù)的表達(dá)式為y 2x 2x1； (2)當(dāng) y0 時，得 2x212x16a 4b c 5. 1 0，解得 x1 2， x2 1， 點 A 的坐標(biāo)為 (2 ， 0) ， 點 D 的坐標(biāo)為 ( 1，0) ； (3)y x 1，圖象如圖 ，當(dāng)一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值時，x 的取值范圍是1x0)個單位得到新拋物線 ，若新拋物3線的頂點M在 ABC內(nèi)，求 n 的取值范圍；(3) 設(shè)點 P在 y 軸上，且滿足 OPA OCA CBA，求CP的長15/17解： (1)y 1x22x 5；33122121y121，平(2) yx x 5 (x 1) 5 ， 依題意得平移后的拋物線表達(dá)式為(x 1 n)33333移后拋物線的頂點為(1 n， 1) ，易求得直線 BC 的表達(dá)式為 y x 5，令 y1，則 x 5 1， x 4， 1n0， 0n3；(3) 當(dāng) P 在 y 軸負(fù)半軸上求得 CP 17. 當(dāng) P 在 y 軸正半軸上求得CP 7， CP17或 7.4( 2016 保定模擬 ) 如圖，已知拋物線y x2 bx c