探討數(shù)學(xué)教學(xué)中的化歸原則與ＲＭＩ方法

1、討論數(shù)學(xué)教學(xué)中的化歸原那么與方法摘要數(shù)學(xué)教育與教學(xué)包括有兩大部份內(nèi)容：一是研究數(shù)學(xué)科學(xué)本身的“抽象理論知識(shí)；二是研究數(shù)學(xué)的開展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造與創(chuàng)新等法那么。本文根據(jù)化歸原那么與關(guān)系映射反演方法RI方法的思維方法，結(jié)合于代數(shù)、幾何教材內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視這些“數(shù)學(xué)方法的教學(xué)。關(guān)鍵詞思維方法化歸原那么關(guān)系映射反演方法一、前言有人問(wèn)：你在大學(xué)里最大的收獲是什么？一位年青的航天科學(xué)家答復(fù)說(shuō)：“我在大學(xué)里的最大收獲是學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)和如何進(jìn)展研究問(wèn)題的方法。無(wú)庸置疑，大學(xué)是年青人學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)的搖籃，在這搖籃中，有人學(xué)到一定的科學(xué)知識(shí)，有些人不僅學(xué)到科學(xué)知識(shí)，而且學(xué)會(huì)如何去學(xué)習(xí)

2、科學(xué)知識(shí)的方法。從教學(xué)角度看，后者應(yīng)為我們所提倡，因?yàn)榍罢咧荒馨炎嫦纫呀?jīng)總結(jié)出來(lái)的知識(shí)傳授于學(xué)生，隨著科學(xué)技術(shù)的開展，大量未知的知識(shí)需要我們的對(duì)象去研究、去開展、去發(fā)現(xiàn)，從而教會(huì)他們學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)的方法就顯得尤其重要，這應(yīng)該是教育的真諦。縱觀科學(xué)技術(shù)開展的歷史，在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域中有重大的成就的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家們，一方面除了他們的“天才之外，另一方面都是他們具有獨(dú)到之處的學(xué)習(xí)和研究問(wèn)題的方法。因此，從某方面說(shuō)，一切科學(xué)的成就可歸咎為科學(xué)家們的方法上的成功。數(shù)學(xué)科學(xué)是整個(gè)科學(xué)技術(shù)的根底，它作為一種文化，標(biāo)志著人類文明的進(jìn)步，是社會(huì)科學(xué)技術(shù)的路標(biāo)，開展數(shù)學(xué)教育與教學(xué)無(wú)疑是對(duì)社會(huì)科學(xué)技術(shù)開展與人類

3、文明的奉獻(xiàn)。數(shù)學(xué)教育與教學(xué)包括有兩大部份內(nèi)容：一是研究數(shù)學(xué)科學(xué)本身的“抽象理論知識(shí)；二是研究數(shù)學(xué)的開展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造與創(chuàng)新等法那么。后者是一門理論性的科學(xué)，它對(duì)實(shí)際性的數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)，能產(chǎn)生積極的影響，應(yīng)該提出，這直接關(guān)系到數(shù)學(xué)教育的目的。更貼切地說(shuō)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教育的主要目的之一。二、發(fā)揮“數(shù)學(xué)方法在教學(xué)中的效應(yīng)作用正如“數(shù)學(xué)方法論一書中所闡述的那樣，數(shù)學(xué)方法是研究數(shù)學(xué)的開展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想主法以及數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造與創(chuàng)新等法那么，它日益在影響著我國(guó)數(shù)學(xué)界，特別是在數(shù)學(xué)教育界獲得了廣泛的重視和迅速開展，它為我們進(jìn)步數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提供了一個(gè)有效的工具。眾

4、所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)是通過(guò)對(duì)思想方法的分析來(lái)帶動(dòng)詳細(xì)的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，從而把數(shù)學(xué)課“講活、“講懂和“講深。其中，所謂“講深是指教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅應(yīng)當(dāng)使學(xué)生掌握詳細(xì)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且應(yīng)幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的思想方法。從這樣的角度去認(rèn)識(shí)，我們必須重視數(shù)學(xué)方法在教學(xué)中的表達(dá)，使數(shù)學(xué)知識(shí)通過(guò)思維方法予以反映。雖然，我們尚未建立起數(shù)學(xué)方法論的科學(xué)體系，但是在這一方面的不少成果對(duì)于我們數(shù)學(xué)教學(xué)工作是具有重大指導(dǎo)意義的。下面就主要的數(shù)學(xué)方法化歸原那么與關(guān)系映射反演方法RI方法談?wù)勂湓诮虒W(xué)中體驗(yàn)。關(guān)系Relatin映射apping反演Inversin方法，簡(jiǎn)稱RI方法，是由我國(guó)學(xué)者徐利治教授于19

5、83年首先提出的，這一思想方法在數(shù)學(xué)的思維中表示為更一般的便是化歸原那么。假設(shè)把“化歸理解為由未知到，由難到易，由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化，那么就是說(shuō)這一數(shù)學(xué)思維的重要特點(diǎn)之一是使用“化歸的方法去解決問(wèn)題。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，匈牙利著名數(shù)學(xué)家羅莎波得RszaPeter曾用一個(gè)有趣的例子來(lái)說(shuō)明該數(shù)學(xué)思想方法不同于一般科學(xué)家例如物理學(xué)家的思想方法，事例是這樣的：有人提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應(yīng)怎樣去做？對(duì)此，某人答復(fù)說(shuō)：“在小壺中灌上水，點(diǎn)燃煤氣灶，再把水壺放到煤氣灶上。提問(wèn)者肯定了這一答復(fù)。但是追問(wèn)道：“假設(shè)其他條件都沒(méi)有變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠的水，那么你

6、又應(yīng)當(dāng)怎樣去做？這時(shí)被提問(wèn)者往往會(huì)很有信心地答復(fù)：“點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。但是這一答復(fù)卻未能令提問(wèn)者感到滿意，因?yàn)樵谔釂?wèn)者看來(lái)，更恰當(dāng)?shù)拇饛?fù)是：“只有物理學(xué)家才會(huì)這樣做；而數(shù)學(xué)家那么會(huì)倒去壺中的水，并聲稱地已經(jīng)把后一問(wèn)題化歸成先前的已經(jīng)得到解決的問(wèn)題了。這一事例提醒了數(shù)學(xué)的思維方式是非常典型的，他們往往不是對(duì)問(wèn)題實(shí)行正面攻擊，而是把問(wèn)題變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或可以解決的問(wèn)題，用圖1示表示如下：縱觀與剖析現(xiàn)行數(shù)學(xué)學(xué)科的教材內(nèi)容及其知識(shí)構(gòu)造，從其析解問(wèn)題的思路來(lái)看，始終表達(dá)著“化歸這一思維方法。例1：在平面上證明代沙格定理論證這個(gè)問(wèn)題可用純幾何法和代數(shù)法本例只引用幾何法證明由于在空

7、間情況的代沙格定理比較容易得證，因此只要把代沙格定理的平面情況化歸為空間情況的代沙格定理，問(wèn)題就得予解決，整個(gè)證明思維可用圖2表示：在化歸原那么的詳細(xì)應(yīng)用中，有時(shí)遇到復(fù)雜問(wèn)題，其關(guān)鍵在于實(shí)現(xiàn)由要解決問(wèn)題向已解決或可以解決問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，這時(shí)可采取分割方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，其過(guò)程可歸結(jié)為圖3：例2：變換群與幾何學(xué)的研究問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因于1872年在埃爾朗根Erlangen綱領(lǐng)中提出，他把變換群與幾何學(xué)聯(lián)絡(luò)起來(lái)，對(duì)幾何學(xué)加以研究，我們稱之為幾何學(xué)的群論觀點(diǎn)，這種觀點(diǎn)是把研究的問(wèn)題分割為假設(shè)個(gè)小問(wèn)題逐個(gè)研究，最后得出完好的解答成果，這一研究思維用圖4表示如下：有些問(wèn)題在轉(zhuǎn)化中要借助映射來(lái)實(shí)現(xiàn)，

8、在數(shù)學(xué)中，明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系被稱為映射，在借助映射解決問(wèn)題的過(guò)程中涉及的有關(guān)映射在相反方向上兩次應(yīng)用到。即一方面被用于由原問(wèn)題去引出問(wèn)題，另一方面又被用于由相應(yīng)的解答去引出尋求的解答，后者稱為前者的反演。這一方法我們明確地稱之為關(guān)系映射反演方法，利用該方法解決問(wèn)題的過(guò)程可歸結(jié)如下圖5：關(guān)系映射反演方法是化歸原那么的開展，也可以說(shuō)是方法論上的一次重要進(jìn)步。該方法中涉及的問(wèn)題是泛指各種數(shù)學(xué)對(duì)象，甚至可以是數(shù)學(xué)中的關(guān)系構(gòu)造，如數(shù)、量、向量、變數(shù)、函數(shù)、方程、泛函、函數(shù)族、點(diǎn)、線、面、幾何圖形、空間、集合、運(yùn)算、算子、映射、隨機(jī)變數(shù)、概率、分布、測(cè)度、級(jí)數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分、模糊集合、群、環(huán)、域、范疇、代數(shù)系統(tǒng)

9、、基數(shù)、序數(shù)、鄰域、單子、數(shù)學(xué)模型、濾子等。所涉及的映射與反演是泛指兩類數(shù)學(xué)對(duì)象或兩個(gè)數(shù)學(xué)集合的元素之間建立的一種“對(duì)應(yīng)關(guān)系。如代數(shù)中的線性變換、幾何中的仿射變換、射影變換、分析中的變數(shù)變換、函數(shù)變換、數(shù)列變換、積分變換、拓?fù)鋵W(xué)中的拓?fù)渥儞Q等。這樣一來(lái)，關(guān)系映射反演方法就具有適用范圍廣靈敏性好的特點(diǎn)。例3，利用復(fù)數(shù)研究幾何問(wèn)題，可以按照如下開展思維圖6：RI方法就其思維構(gòu)造關(guān)系來(lái)說(shuō)，不僅在二次型內(nèi)容中得以表達(dá)，而在高等代數(shù)的其他章節(jié)如線性變換等內(nèi)容均能清楚反映。關(guān)系映射反演方法作為一種數(shù)學(xué)思維方法，一方面廣泛地反映于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域和不同的分支；另一方面，就應(yīng)用方法的范圍而言，它不僅可用以解決緒如以上求取某個(gè)未知量這類詳細(xì)問(wèn)題，而且也可用以解決涉及到理論的整體構(gòu)造這一具有更高“層次的問(wèn)題，甚至還能用以解決問(wèn)題的否認(rèn)性解答。這樣一來(lái)，不管是作為一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法和研究方法，RI方法是一極佳的思維方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程應(yīng)注意表達(dá)這一