L16多目標(biāo)決策ppt課件

1、L16 多目的決策詹文杰教授/博導(dǎo) Office: 華中科技大學(xué)管理學(xué)院611室 :: .學(xué)習(xí)目的了解多目的決策的特征；了解常用的多目的決策求解方法；了解步驟法(STEM法)；掌握目的規(guī)劃方法(圖解法)。.16 多目的決策 16.1 多目的決策的特征16.2 多目的決策的求解16.3 步驟法(STEM法)16.4 目的規(guī)劃方法.16.1 多目的決策的特征本章討論決策變量為延續(xù)型的多準(zhǔn)那么決策問題，即多目的決策問題(MODM)。這類問題的備選方案集由一集有因果關(guān)系的決策變量隱式地給出。由于在求解這一類問題時(shí)，尤其在生成非劣解過程中

2、，決策分析人員的作用非常重要，因此將特別關(guān)注分析人員如何與決策人結(jié)合去獲得決策人最稱心的方案。.16.1 多目的決策的特征一、解的特點(diǎn)二、模型構(gòu)造.f1f212345678在處理單目的問題時(shí)，我們的義務(wù)是選擇一個(gè)或一組變量X，使目的函數(shù)f(X)獲得最大或最小。對(duì)于恣意兩方案所對(duì)應(yīng)的解，只需比較它們相應(yīng)的目的值，就可以判別誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)劣。但在多目的情況下，問題卻不那么單純了。例如，有兩個(gè)目的f1(X)，f2(X),希望它們都越大越好。以下圖列出在這兩個(gè)目的下共有8個(gè)解的方案。其中方案1，2，3，4稱為劣解，由于它們?cè)趦蓚€(gè)目的值上都比如案5差，是可以淘汰的解。而方案5，6，7，8是非劣解或稱為有效解，稱

3、心解，由于這些解都不能隨便被淘汰掉，它們中間的一個(gè)與其他任何一個(gè)相比，總有一個(gè)目的更優(yōu)越，而另一個(gè)目的卻更差。一、解的特點(diǎn).二、模型構(gòu)造多目的決策問題包含有三大要素：目的、方案和決策者。在多目的決策問題中，目的有多層次的含義。從最高層次來(lái)看，目的代表了問題要到達(dá)的總目的。如確定最稱心的投資工程、選擇最稱心的食品。從較低層次來(lái)看，目的可看成是表達(dá)總目的得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)詳細(xì)的目的，如投資工程的盈利要大、本錢要低、風(fēng)險(xiǎn)要??；目的也可看成衡量總目的得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)準(zhǔn)那么，如食品的味道要好，質(zhì)量要好，破費(fèi)要少。多目的決策問題中的方案即為決策變量，也稱為多目的問題的解。備選方案即決策問題的可行解。在多目的決策

4、中，有些問題的方案是有限的，有些問題 的方案是無(wú)限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。.為決策變量如對(duì)于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對(duì)最優(yōu)解：假設(shè)對(duì)于恣意的X，都有F(X*) F(X);有效解：假設(shè)不存在X，使得 F(X*) F(X);弱有效解：假設(shè)不存在X，使得F(X*) F(X)。多目的決策的數(shù)學(xué)模型.絕對(duì)最優(yōu)解.不存在絕對(duì)最優(yōu)解的情況.設(shè)方案的成效是目的屬性的函數(shù)：并設(shè)：且各個(gè)方案的成效函數(shù)分別為：那么多目的優(yōu)選模型的構(gòu)造可表示如下：多目的決策的成效數(shù)學(xué)模型.16.2 多目的決策的求解一、主要目的法二、線性加權(quán)和法三、平方加權(quán)和法四、理想點(diǎn)法.一、主要目的法在有些多目的決策問

5、題中，各種目的的重要性程度往往不一樣。其中一個(gè)重要性程度最高和最為關(guān)鍵的目的，稱之為主要目的法。其他的目的那么稱為非主要目的。例如，在上述多目的問題中，假定f1(x)為主要目的，其他p-1個(gè)為非主要目的。這時(shí)，希望主要目的到達(dá)極大值，并要求其他的目的滿足一定的條件，即：.例1：某工廠在一個(gè)方案期內(nèi)消費(fèi)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品都要耗費(fèi)A，B，C三種不同的資源。每件產(chǎn)品對(duì)資源的單位耗費(fèi)、各種資源的限量以及各產(chǎn)品的單位價(jià)錢、單位利潤(rùn)和所呵斥的單位污染如下表。假定產(chǎn)品能全部銷售出去，問每期怎樣安排消費(fèi)，才干使利潤(rùn)和產(chǎn)值都最大，且呵斥的污染最小？甲乙資源限量資源A單位消耗資源B單位消耗資源C單位消耗943

6、4510240200300單位產(chǎn)品的價(jià)格400600單位產(chǎn)品的利潤(rùn)70120單位產(chǎn)品的污染32.解：?jiǎn)栴}的多目的模型如下：對(duì)于上述模型的三個(gè)目的，工廠確定利潤(rùn)最大為主要目的。另兩個(gè)目的經(jīng)過預(yù)測(cè)預(yù)先給定的希望到達(dá)的目的值轉(zhuǎn)化為約束條件。經(jīng)研討，工廠以為總產(chǎn)值至少應(yīng)到達(dá)20000個(gè)單位，而污染控制在90個(gè)單位以下，即：由主要目的法化為單目的問題：用單純形法求得其最優(yōu)解為：.在上述目的規(guī)劃中，假定f1(X), f2(X), fp(X)具有一樣的量綱,按照一定的規(guī)那么分別給fk 賦予一樣的權(quán)系數(shù)k，作線性加權(quán)和評(píng)價(jià)函數(shù)：那么多目的問題化為如下的單目的問題：二、線性加權(quán)和法.二、線性加權(quán)和法例2：求解

7、X=xR2|x1+2x210，x24，x10，x20X是凸集，f1(x), f2(x), f3(x)都是X上的凸函數(shù)。這里：.解：定義權(quán)系數(shù)wk0 (k=1,2,3), 其中：w1+w2+w3=1. 構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)： 求解單目的最優(yōu)目的問題： 顯然，對(duì)于不同的權(quán)系數(shù)，最優(yōu)解x*(w)是不同的，但是它們都是原多目的問題的非劣解，下面給出幾組權(quán)系數(shù)及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解表1。.序w=(w1,w2,w3)X(w)=(x1,x2)F=(f1,f2,f3)12345(1, 0, 0)(0, 1, 0)(0, 0, 1)(1/3, 1/3, 1/3)(3/6, 2/6, 1/6)(1, 1)(2, 3)(4, 2

8、)(7/3, 2)(11/6, 11/6)(0, 5, 10)(5, 0, 5 )(10, 5, 0)(25/9, 10/9, 25/9)(25/18, 25/18, 85/18)表1 線性加權(quán)法的最優(yōu)解 可以證明，這個(gè)問題的全部非劣解為：其中：.二、線性加權(quán)和法線性加權(quán)和法中權(quán)系數(shù)確定方法：1) 法 2) 法 .1) 法 先對(duì)P個(gè)分量 fk(x)分別求極值(k=1,2,P)。假設(shè)得到P個(gè)相應(yīng)的極值點(diǎn)xk (k=1,2,P)，令：然后把這個(gè)P個(gè)極值點(diǎn)分別代入評(píng)價(jià)函數(shù)U(x)中，得到P個(gè)方程：其中：是待定常數(shù)，由此可以解出權(quán)系數(shù)。.例3： 用法求本節(jié)例2的權(quán)系數(shù)。從表1知，3個(gè)單目的分量單獨(dú)求極

9、小化，所得3個(gè)極小點(diǎn)是：將3個(gè)極小點(diǎn)依次代入目的函數(shù)U(x)后，可以構(gòu)造線性方程組如下：不難解出，這個(gè)方程組有獨(dú)一解：其相應(yīng)的線性加權(quán)和問題P2的最優(yōu)解為： ， 它也是多目的問題P0的非劣解，這時(shí)： .2) 法 化為單目的決策問題：適用條件：fk*0。多目的決策問題：其中，.三、平方加權(quán)和法先求各分量的最優(yōu)值：再分別賦以權(quán)系數(shù)wk (k=1,2,.,P)，作平方加權(quán)和評(píng)價(jià)函數(shù)：那么多目的問題化為如下的單目的問題：意義：目的fk(x)與規(guī)定值fk*相差盡量小k=1, 2, , P。.四、理想點(diǎn)法那么稱：為理想點(diǎn)。假設(shè)一切xk都一樣，記為 x*，那么x*就是所求的多目的決策問題的最優(yōu)解；假設(shè)不然，

10、那么思索求解下面的單目的決策問題：先求各分量的最優(yōu)值：.例4：設(shè)有多目的決策問題解：1. 先求各分量的最優(yōu)值，得：2. 構(gòu)造目的函數(shù)：3. 用理想點(diǎn)法化為單目的決策問題.16.3 步驟法(STEM法)STEM法，它是英文“Step Method的縮寫。這個(gè)方法是一種迭代方法。它和目的規(guī)劃法不同，在求解過程中的每一步，分析人和決策人之間都有對(duì)話。分析人把分析的結(jié)果通知決策人，并征求他的意見。假設(shè)斷策人以為稱心，那么迭代終止；假設(shè)斷策人以為不夠稱心，那么分析人根據(jù)他的意見再反復(fù)計(jì)算，去改良他的結(jié)果。由于它是逐漸進(jìn)展的，故稱步驟法。.設(shè)有多目的線性規(guī)劃問題：其中：STEM法的求解步驟：.分別求解k個(gè)

11、 單目的線性規(guī)劃問題：得到的最優(yōu)解記為x(i)，其相應(yīng)的目的函數(shù)值記為fi*i=1, 2, , k，并x(i)代入其它目的函數(shù)：結(jié)果可列表給出稱為支付表。步驟1：.支付表 STEM法x(i)f1f2fjfkx(1)z11z21zj1zk1x(i)z1iz2izjizkix(k)z1kz2kzjkzkk.求權(quán)系數(shù)：從支付表中得到 為找出目的值的偏向以及消除不同目的值的量綱不同的問題，進(jìn)展如下處置：歸一化后得權(quán)系數(shù)：步驟2：.求解：使目的與理想值的最大加權(quán)偏向最小該線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解記為x0 。步驟3：.將x0 和相應(yīng)的目的值交給決策者判別。 決策者把這些目的值與理想值進(jìn)展比較后，假設(shè)以為稱心了

12、，那么可停頓計(jì)算； 假設(shè)以為相差太遠(yuǎn)，那么思索適當(dāng)修正 。如：思索對(duì)第r個(gè)目的讓一點(diǎn)步，降低一點(diǎn)目的值fr 。步驟4：.求解： 求得解后，再與決策者對(duì)話，如此反復(fù)，直至決策者以為稱心了為止。步驟5：.例5：某公司思索消費(fèi)甲、乙兩種太陽(yáng)能電池，消費(fèi)過程會(huì)在空氣中引起放射性污染，因此決策者有兩個(gè)目的：極大化利潤(rùn)與極小化總的放射性污染。知在一個(gè)消費(fèi)周期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是1元，每單位乙產(chǎn)品的收益是3元；每單位甲產(chǎn)品的放射性污染是1.5單位，每單位乙產(chǎn)品的放射性污染是1單位，由于機(jī)器才干小時(shí)、裝配才干人時(shí)和可用的原資料單位的限制，約束條件是 x1、x2分別為甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量：.例5： 該問題的目的

13、函數(shù)為：該問題的約束條件為：.例5： 步驟1：先分別求解得： x(1)=(7.25, 12.75)T， x(2)=(0, 0)T f1*=45.5， f2*=0.例5： f1f2x(1)=(7.25, 12.75)T45.5-23.625x(2)=(0, 0)T00步驟1：得到如下支付表.例5： 步驟2：求權(quán)系數(shù)。從支付表中得到：歸一化后得權(quán)系數(shù)：.步驟3：求解最優(yōu)解為x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 例5： .步驟5：修正約束集求解得x1=(0, 10)T, f1(x1)=30, f2(x0)=-10。假設(shè)決策者以為稱心，停頓迭代。例5： 步

14、驟4：將x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 交給決策者判別。決策者將其與理想值45.5, 0進(jìn)展比較后，以為f2 是稱心的，但利潤(rùn)太低。且以為可以接受污染值為10個(gè)單位。.16.4 目的規(guī)劃方法目的規(guī)劃是求解多目的線性規(guī)劃的方法之一。目的規(guī)劃的根本方法：對(duì)每一個(gè)目的函數(shù)引進(jìn)一個(gè)期望值；引入正、負(fù)偏向變量，表示實(shí)踐值與期望值的偏向，并將目的函數(shù)轉(zhuǎn)化為約束條件，與原有約束條件構(gòu)成新的約束條件組；引入目的的優(yōu)先等級(jí)和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造新的單一的目的函數(shù)，將多目的問題轉(zhuǎn)化為單目的問題求解。 .例6：某廠消費(fèi)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的單位利潤(rùn)、所耗費(fèi)的原資料及設(shè)

15、備工時(shí)、資料和設(shè)備工時(shí)的限額如下表所示。甲 乙限額原材料（公斤）設(shè)備（工時(shí)）2 33 22426利潤(rùn)（元/件）4 2產(chǎn)品耗費(fèi)原料.決策者根據(jù)市場(chǎng)需求等一系列要素，提出以下目的依重要程度陳列：首要目的是保證甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量盡能夠接近。盡能夠充分利用工時(shí)，但又不希望加班；確保到達(dá)方案利潤(rùn)30元。 甲 乙限額原材料（公斤）設(shè)備（工時(shí)）2 33 22426利潤(rùn)（元/件）4 2試對(duì)廠家消費(fèi)作出決策分析。設(shè)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2件。.該問題的目的函數(shù)為：該問題的約束條件為：甲 乙限額原材料（公斤）設(shè)備（工時(shí)）2 33 22426利潤(rùn)（元/件）4 2.1)目的函數(shù)的期望值ek 對(duì)于多目的線性規(guī)劃的

16、每一個(gè)目的函數(shù)值Zk(k=1, 2, , K)，根據(jù)實(shí)踐情況和決策者的希望，確定一個(gè)期望值ek 。在例6中:乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差的目的值可定為0；消費(fèi)工時(shí)的目的值為26工時(shí)；利潤(rùn)的目的值為30元。16.4 目的規(guī)劃方法.2、正負(fù)偏向變量 對(duì)每一個(gè)目的函數(shù)值，分別引入正、負(fù)偏向變量： 正負(fù)偏向變量分別表示實(shí)踐目的值超越和低于期望值的數(shù)值。引入偏向變量之后，目的就變成了約束條件，成為約束條件組的一部分。16.4 目的規(guī)劃方法.在例6中，令：d1+, d1-分別表示乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差超越和達(dá)不到目的值的偏向變量；d2+, d2-分別表示消費(fèi)工時(shí)超越和達(dá)不到目的值的偏向變量；d3+, d3-分別

17、利潤(rùn)超越和達(dá)不到目的值的偏向變量；那么三個(gè)目的可化為含有偏向變量的約束條件：16.4 目的規(guī)劃方法.3、優(yōu)先因子優(yōu)先等級(jí)和權(quán)系數(shù)如何區(qū)別不同目的的主次輕重？凡要求第一位到達(dá)的目的賦于優(yōu)先因子P1，次位的目的賦于優(yōu)先因子P2，并規(guī)定PkPk+1表示Pk比Pk+1有更大的優(yōu)先權(quán)，Pk+1級(jí)目的是在保證Pk 級(jí)目的實(shí)現(xiàn)的根底上才干思索的k1,2，K為區(qū)別具有一樣優(yōu)先因子的兩個(gè)目的的差別，可分別賦于它們不同的權(quán)系數(shù)j優(yōu)先等級(jí)及權(quán)數(shù)的賦值由決策者確定。16.4 目的規(guī)劃方法.4、達(dá)成函數(shù)(準(zhǔn)那么函數(shù))：目的規(guī)劃模型的目的函數(shù)。準(zhǔn)那么函數(shù)由各目的約束的正、負(fù)偏向變量及相應(yīng)的優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)構(gòu)造而成。注：目

18、的規(guī)劃模型的目的函數(shù)是對(duì)各目的的偏向的綜合將多目的化為單目的，在目的函數(shù)中不包含原決策變量，且一定是極小型的偏向最小。16.4 目的規(guī)劃方法.4、達(dá)成函數(shù)(準(zhǔn)那么函數(shù))當(dāng)每一目的值確定后，決策者的要求是偏向變量盡能夠小，因此其目的函數(shù)只能是極小方式，詳細(xì)有以下三種根本方式：2要求不超越目的值(正偏向應(yīng)盡能夠小)3要求不低于目的值(負(fù)偏向應(yīng)盡能夠小)1要求恰好到達(dá)目的值(正、負(fù)偏向都要盡能夠小).在例6中：首要目的是保證乙產(chǎn)品的產(chǎn)量大于甲產(chǎn)品產(chǎn)量，賦于優(yōu)先因子P1，目的為d1-和d2都盡能夠?。淮渭?jí)目的是消費(fèi)工時(shí)恰好到達(dá)目的值，賦于優(yōu)先因子P2，目的為d2-和d2都要小；最后的目的是利潤(rùn)不低于3

19、0元，賦于優(yōu)先因子P3，目的為d3-盡能夠小。因此，可構(gòu)造準(zhǔn)那么函數(shù)如下：16.4 目的規(guī)劃方法.例6：目的規(guī)劃模型.線性規(guī)劃 vs. 目的規(guī)劃.目的規(guī)劃的普通模型.1假設(shè)決策變量；2建立約束條件；3建立各個(gè)目的函數(shù)；4確定各目的期望值，引入偏向變量，將目的函數(shù)化為約束方程；5確定各目的優(yōu)先級(jí)別和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造準(zhǔn)那么函數(shù)。 目的規(guī)劃的建模步驟.例7(10.2): 圖解法-目的規(guī)劃某車間消費(fèi)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x1和x2，產(chǎn)品甲每單位需2個(gè)單位的勞動(dòng)力和3個(gè)單位原料，利潤(rùn)為2；消費(fèi)每單位產(chǎn)品乙需3個(gè)單位勞動(dòng)力和1.5個(gè)單位原料，利潤(rùn)為3。在下一方案期間車間有12單勞動(dòng)力12單位原料。假定車間

20、主任有如下目的：利潤(rùn)至少為6個(gè)單位；兩種產(chǎn)品產(chǎn)量經(jīng)盡能夠堅(jiān)持x1 : x2 = 3 : 2；勞動(dòng)力充分利用不允許加班。.解答1: 線性規(guī)劃.解答2：目的規(guī)劃利潤(rùn)是目的函數(shù)中的第一優(yōu)先級(jí)，因此用d1表示利潤(rùn)偏向；由于利潤(rùn)可以超越目的值，正偏向d1+可以大于0，取w1+ =0，使不在目的函數(shù)中出現(xiàn)；負(fù)偏向d1-那么是越小越好，把它作為第一優(yōu)先級(jí)放到目的函數(shù)中。產(chǎn)量比例屬于第二優(yōu)先級(jí)，用d2表示產(chǎn)量比例偏向，由于正、負(fù)偏向都不好，要將d2+和d2-同時(shí)參與目的函數(shù)中。第三個(gè)目的是充分利用勞動(dòng)力，因此用d3表示勞動(dòng)力偏向，由于不允許加班，勞動(dòng)力不能出現(xiàn)正偏向，即d3+ 0，所以約束條件和目的函數(shù)中均無(wú)d3+出現(xiàn)； d3-那么作為第三個(gè)優(yōu)先級(jí)放入約束條件和目的函數(shù)中。決策人未對(duì)原資料提任何要求，但是按常理， d4作為原資料偏向，與勞動(dòng)力一樣，只會(huì)出現(xiàn)負(fù)偏向d4- ，正偏向d4+ 0。 .解答2:目的規(guī)劃續(xù)1.解答2:目的規(guī)劃續(xù)2.例810.3：圖解法例810.3：(續(xù)上例) 由于上面的例子中數(shù)據(jù)選擇比較特殊，決策人的一切目的均可滿足；為了更好地闡明問題，把知條件中產(chǎn)品甲利潤(rùn)改為4，其他均不變；車間主任的目的改為：最低利潤(rùn)12單位；產(chǎn)量比例為1，即x1x2；充分利用原料。.解:目的規(guī)劃利潤(rùn)是