-高數(shù)期末試卷答案上課講義

1、此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除得分一、填空題（共5 題，每題 3 分, 共 15 分）八總成績題號一二三四五六七得分判卷人復(fù)核人xy1. 設(shè)函數(shù) z ey，則 xz (1,2) . 答：e 21 12. 交換二次積分 0d x x f x y ( , )d y 的次序?yàn)? y答：0 d y 0 f x y ( , )d x3. 若級數(shù) ( u n 1) 收斂，則 lim u n答： 1n 1 n4. 若曲線積分 Laxy 2 )d x ( x 2y )d y在 xOy 面內(nèi)與路徑無關(guān)，則 a答：a 25. 若 是由平面 x y z 1 及三個坐標(biāo)面圍成的立體表面外側(cè)，則曲面積分(

2、 x 1)d y d z y d z d x d x d y答：13得分 二、單項(xiàng)選擇題（共 5 題, 每題 3 分, 共 15 分）1. 函數(shù) z f ( x , y ) 的兩個偏導(dǎo)數(shù) f x ( x，y ) 及 f y ( x，y ) 在點(diǎn) P 0 ( x 0 , y 0 ) 處連續(xù)，是函數(shù) z f ( x , y ) 在點(diǎn) P 0 ( x 0 , y 0 ) 可微的（A ）條件 . （A）充分；（B）必要；（C）充分且必要；（ D） 即非充分又非必要 . 2 22. 設(shè) z f x y )，其中 f 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則下列等式成立的是（B ）只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請

3、聯(lián)系網(wǎng)站刪除（A ）xzyz; （B）yzxz; （C）yzxz; （D）xzyz. xyxyxyxy3由幾何意義，二重積分x 2y 2 1d d x y（A ）. （A）；（B）2 3；（C）4 3；（D）04設(shè) L 為連接 (1,0) 和 (0,1) 兩點(diǎn)的直線段，則Lxy) ds=（D ）（A ）0；（ B）1；（C）3 ；（D）2 5若冪級數(shù)anx1 )n在x5點(diǎn)收斂，則級數(shù)an3n（C ）n0n0（A） 發(fā)散；（B） 條件收斂；（ C） 絕對收斂；（D） 收斂性無法確定得分三、偏導(dǎo)數(shù)和全微分計(jì)算題（共2 題, 每題 6 分, 共 12 分）1. 設(shè)函數(shù)zxy，化簡xz1z.yxlnx

4、y解: 由zyxy1，（ 2 分）zxy lnx，（4 分）xy則xz1xzxyxy2z.（6 分）yxlny2.設(shè)函數(shù)zz x y 由方程 3xyzz e 確定，求全微分dz . 解 : 方程兩邊對 x 求導(dǎo)（將 z 看作x,y的函數(shù)），有3zezz，解得z31.（2 分）xxxz e類似地，有ze11.（ 4 分）yz因此 ,dze31dxz e11dy. （6 分）z只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除得分四、重積分計(jì)算題（共2 題, 每題 7 分, 共 14 分）1確定1計(jì)算二重積分(yx )d d x y ，區(qū)域 D 由不等式0 x1及xyD1 1解：( y x

5、 )d d x y 0d x x ( y x )d y （3 分）D1 1 2 12 0 (1 x ) d x6 .（7 分）計(jì)算三重積分 z d x d y d z，其中 是由平面 z 0 , z y , y 1 及拋物柱面2y x 所圍成的閉區(qū)域1 1 y解： 原式1 d x x 2 d y 0 z z（3 分）1 1d x 12 y 2d y （4 分）1 1(1 x 6)d x （ 6 分）2 1 x 6 12. （7 分）7得分 五、線面積分計(jì)算題（共 2 題, 每題 6 分, 共 12 分）1計(jì)算曲線積分L ( x 2y 3) d x ( y 2x 3) d y， L 是上半圓域

6、x 2y 21，y 0正向邊界解： 由格林公式，原式3(2 xy2)d d x y（3 分）D30d13 d3（6 分）0 xa，0ya，042.x d y d zy d z d x(zz3)d x d y，其中是正方體0za的表面外側(cè)(332 z)d d d x y z （3 分）解： 由高斯公式，原式3 a3adxad ya3z2 dz3a35 a （6 分）000只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除得分 六、級數(shù)題（共 3 題, 每題 6 分, 共 18 分）1. 判斷級數(shù) 3 nn2 n 2的收斂性n 1 2解： 因?yàn)?lim n uu nn 1 lim n 3

7、n 14 ( nn 1 )1 23 4n n n2 lim n 34 ( nn 1) 2 34 1，（5 分）所以級數(shù) 3 nn2 n 2收斂（6 分）n 1 2n n2. 求冪級數(shù) 2 n ( x 1 ) 的收斂半徑與收斂區(qū)間 . n 1解：解： 由 lim n aa nn 1 lim n 2 n 12 n ( nn )1 2 ,（2 分）得冪級數(shù) 2 nn ( x 1 ) n 收斂半徑 R 1（4 分）n 1 2所以冪級數(shù) 2 nn ( x 1 ) n的收斂區(qū)間是 ( 1, 3 )（6 分）n 1 2 23. 將函數(shù) f x ( ) 1 展開為 x 的冪級數(shù)，并指出收斂范圍3 x解：f x

8、 ( ) 1 1 1（ 1 分）3 x 31 1 x31 ( 1 x ) n 1n 1 x n（5 分）收斂范圍為 3 x 3（6 分）3 n 0 3 n 0 3得分 七、應(yīng)用題（ 8 分） 要造一容積為定值 V 的長方體無蓋水箱，為最省材料應(yīng)如何設(shè)計(jì)水箱的尺寸？解： 設(shè)水箱的長、寬、高分別為 x , y , z .則表面積A xy 2 ( x y ) z，( x 0 , y 0 , z 0 ) . （ 2 分）約束條件為 xyz V .設(shè) L ( x , y , z ) xy 2 ( x y ) z ( xyz V )，（3 分）只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除由L

9、 Lxy2zyz,0y2x2z)xz,0,（5 分）Lz(xyxy0得惟一駐點(diǎn)xxyzV,y3 2V，z1 232V. （6 分） 由實(shí)際意義，體積一定時，長方體表面積A有最小值 . （7 分）所以，當(dāng)水箱的長、 寬都為3 2V ，高為132V2時，最省材料 . （8 分）得分 八、證明題（ 6 分） 設(shè) u n 是單調(diào)遞增有界的正數(shù)數(shù)列，證明(1 u n) 收斂n 1 u n 1證明 : 記 v n 1 u n，則 v n u n 1 u n0，且 v n u n 1 u n，（1 分）u n 1 u n 1 u 1正項(xiàng)級數(shù) u n 1 u n 的部分和 S n n u k 1 u k u n 1 u 1 . （2 分）n 1 u 1 k 1 u 1 u 1因?yàn)?u