變異系數(shù)概念和計算公式PPT通用課件

1、變異系數(shù)概念和計算公式下一張 主 頁 退 出 上一張 一、算術平均數(shù) 算術平均數(shù)是指資料中各觀測值的總和除以觀測值個數(shù)所得的商，簡稱平均數(shù)或均數(shù)，記為。 算術平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權法計算。 (一)直接法 主要用于樣本含量n30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計算。下一張 主 頁 退 出 上一張 設某一資料包含n個觀測值： x1、x2、xn， 則樣本平均數(shù)可通過下式計算： （3-1） 其中，為總和符號； 表示從第一個觀測值x1累加到第n個觀測值xn。當 在意義上已明確時，可簡寫為x，（3-1）式可改寫為： 下一張 主 頁 退 出 上一張 【例3.1】 某種公牛站測得10頭成年

2、公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數(shù)。 由于 x=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 =5285， n=10 下一張 主 頁 退 出 上一張 得： 即10頭種公牛平均體重為528.5 kg。 （二）加權法 對于樣本含量 n30 以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎上采用加權法計算平均數(shù)，計算公式為： （3-2） 下一張 主 頁 退 出 上一張 式中： 第i組的組中值； 第i組的次數(shù)； 分組數(shù) 第i組的次數(shù)fi是權衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此將fi

3、稱為是xi的“權”，加權法也由此而得名。 【例3.2】 將100頭長白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權數(shù)平均數(shù)。下一張 主 頁 退 出 上一張 表31 100頭長白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表下一張 主 頁 退 出 上一張 利用（32）式得： 即這100頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。 計算若干個來自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時，如果樣本含量不等，也應采用加權法計算。 下一張 主 頁 退 出 上一張 【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500頭，其平均體重為750 kg ，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725 kg，如果將這兩個牛群混

4、合在一起，其混合后平均體重為多少？ 此例兩個牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計算兩個牛群混合后的平均體重，應以兩個牛群牛的頭數(shù)為權，求兩個牛群平均體重的加權平均數(shù)，即 下一張 主 頁 退 出 上一張 即兩個牛群混合后平均體重為738.89 kg。 （三）平均數(shù)的基本性質 1、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。 或簡寫成下一張 主 頁 退 出 上一張 2、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。 (xi- )2 (xi- a)2 （常數(shù)a ） 或簡寫為： 幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù) 上述五種平均數(shù)，最常用的是算術平均數(shù)。第二節(jié) 標準差 一、標準差的意義 用平均數(shù)作

5、為樣本的代表，其代表性的強弱受樣本資料中各觀測值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對一個資料的特征作統(tǒng)計描述是不全面的，還需引入一個表示資料中觀測值變異程度大小的統(tǒng)計量。下一張 主 頁 退 出 上一張 全距（極差）是表示資料中各觀測值變異程度大小最簡便的統(tǒng)計量。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準確表達資料中各觀測值的變異程度，比較粗略。當資料很多而又要迅速對資料的變異程度作出判斷時，可以利用全距這個統(tǒng)計量。 下一張 主 頁 退 出 上一張 為 了 準 確 地 表示樣本內(nèi)各個觀測值的變異程度 ，人們 首 先會考慮到以平均數(shù)為標準，求出各個觀測值與平均數(shù)的離差，（ ） ，稱為離均差。 雖然離

6、均差能表示一個觀測值偏離平均數(shù)的性質和程度，但因為離均差有正、有負 ，離均差之和 為零，即（ ） = 0 ，因 而 不 能 用離均差之和（ ）來 表 示 資料中所有觀測值的總偏離程度。 下一張 主 頁 退 出 上一張 為了解決離均差有正 、有負，離均差之和為零的問 題 ， 可先求 離 均 差的絕 對 值 并 將 各 離 均 差 絕對 值 之 和 除以 觀 測 值 個 數(shù) n 求 得 平 均 絕 對 離差，即| |/n。雖然平均絕對離差可以表示資料中各觀測值的變異程度 ，但由于平均絕對離差包含絕對值符號 ，使用很不方便，在統(tǒng)計學中未被采用。 我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有負

7、，離均差之和為零的問題。 先將各 個離 均差平方，即 ( )2 ，再求 離均差平方和 ， 即 ，簡稱平方和，記為SS； 由 于 離差平方和 常 隨 樣 本 大 小 而 改 變 ，為 了 消 除 樣 本大小 的 影 響 ， 用平方和 除 以 樣 本 大 小， 即 ，求出離均差平方和的平均數(shù) ；下一張 主 頁 退 出 上一張 為了使所得的統(tǒng)計量是相應總體參數(shù)的無 偏估計量，統(tǒng)計學證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時，分母不用樣本含量n，而用自由度 n-1， 于是，我們 采 用統(tǒng)計量 表示資料的變異程度。 統(tǒng)計量 稱 為 均 方 （ mean square縮寫為MS）,又稱樣本方差，記為S2，即 S2=

8、 （39） 下一張 主 頁 退 出 上一張 相應的總體參數(shù)叫 總體方差 ，記為2。對于有限總體而言，2的計算公式為： （310） 由于 樣本方差 帶有原觀測單位的 平方單位，在僅表示一個資料中各觀測值的變異程度而不作其它分析時 ， 常需要與平均數(shù)配合使用 ，這 時應 將平方單位還原，即應求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計學上把樣本方差 S2 的平方根叫做樣本標準 差，記為S，即： （3-11） 下一張 主 頁 退 出 上一張 由于 所以（3-11）式可改寫為： （3-12） 下一張 主 頁 退 出 上一張 相應的總體參數(shù)叫總體標準差，記為。對于有限總體而言，的計算公式為： （3-13） 在統(tǒng)計學中，常

9、用樣本標準差S估計總體標準差。 下一張 主 頁 退 出 上一張 二、標準差的計算方法 （一）直接法 對于未分組或小樣本資料 ， 可直接利用（311）或（3-12）式來計算標準差。 【例3.9】 計算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量： 450， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的標準差。 此例n=10，經(jīng)計算得：x=5400，x2=2955000，代入（312）式得： (g) 即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的 標準差 為65.828g。下一張 主 頁 退 出 上一張 （二）加權法 對于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可利用次數(shù)分布表，采用加權法計算

10、標準差。計算公式為： （314） 式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；f = n為總次數(shù)。 下一張 主 頁 退 出 上一張 【例3.10】 利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表（見表3-4）計算標準差。 將表3-4中的f、fx、 代入（314）式得： (g ) 即某 純 系 蛋 雞200枚 蛋 重的標準差為3.5524g。下一張 主 頁 退 出 上一張 表34 某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布 及標準差計算表下一張 主 頁 退 出 上一張 三、標準差的特性 （一）標準差的大小，受資料中每個觀測值的影響，如觀測值間變異大，求得的標準差也大，反之則小。 （二）在計算標準差時，在各觀測值加

11、上或減去一個常數(shù)，其數(shù)值不變。 （三）當每個觀測值乘以或除以一個常數(shù)a，則所得的標準差是原來標準差的a倍或1/a倍。 下一張 主 頁 退 出 上一張 （四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測值在平均數(shù)左右一倍標準差（ S）范圍內(nèi)；約有95.43%的觀測值在平均數(shù)左右兩倍標準差（ 2S）范圍內(nèi)；約有99.73%的觀測值在平均數(shù)左右三倍標準差（ 3S） 范 圍內(nèi)。也就是說全距近似地等于6倍標準差，可用（全距/6）來粗略估計標準差。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第三節(jié) 變異系數(shù) 變異系數(shù)是衡量資料中各觀測值變異 程度的另一個統(tǒng)計量 。 標 準差與平均數(shù)的比值稱為 變異系數(shù)，記為CV。 變異系數(shù)可以消除單位 和 （或）平 均數(shù)不同對兩個或多個資料變異程度比較的影響。 下一張 主 頁 退 出 上一張 變異系數(shù)的計算公式為： （315） 【例3.11】 已知某良