高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)教學(xué)研究報(bào)告

1、-. z.專題講座高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)教學(xué)研究谷丹四中一、整體把握三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)的教學(xué)內(nèi)容一教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)框架二教學(xué)內(nèi)容的構(gòu)造與作用由上述知識(shí)框架可知：我們將以任意角與弧度制、任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)為根本知識(shí)構(gòu)造展開各重點(diǎn)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。三角函數(shù)作為高中學(xué)習(xí)的第二類根本初等函數(shù)，必然將充分表達(dá)其作為函數(shù)而言的一般性與特殊性。三角函數(shù)也是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)與方法如三角變換、向量、解析幾何、高等數(shù)學(xué)等等的重要根底內(nèi)容，在諸多其他學(xué)科與實(shí)際生活中亦有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。三教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)分析從教學(xué)內(nèi)容來看，主要的重點(diǎn)是：任意角與弧度制的概念、任意角的三角函數(shù)概念和

2、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、其重要程度，從前至后，逐個(gè)遞增：任意角與弧度制的概念，是任意角的三角函數(shù)的根底；兩者皆為引出三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)效勞；而圍繞三角函數(shù)圖象與性質(zhì)展開的教學(xué)內(nèi)容如：三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)圖象、五點(diǎn)法作圖、函數(shù)圖象的伸縮變換、正弦型函數(shù)圖象等等，幾乎無一例外，都兼有應(yīng)用廣泛的知識(shí)性和可推廣的方法性或思想性，同時(shí)，對(duì)學(xué)生而言，通過對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，也將使他們對(duì)前期學(xué)習(xí)的三角內(nèi)容乃至函數(shù)內(nèi)容有更為深入與全面的理解與掌握。在學(xué)習(xí)過程中的主要的教學(xué)難點(diǎn)是：1直角坐標(biāo)系中的任意角：終邊一樣的角與直角坐標(biāo)系中角的終邊所在的射線是數(shù)與形多對(duì)一的關(guān)系，但學(xué)生往往因?yàn)槌踔谐Ｓ媒歉?/p>

3、念的負(fù)遷移作用，對(duì)此對(duì)應(yīng)關(guān)系理解不深、使用不準(zhǔn)。教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)、幫助學(xué)生自覺克制思維定式，準(zhǔn)確理解與應(yīng)用新概念。2弧度制的概念：學(xué)生往往會(huì)因?yàn)閷?duì)在三角函數(shù)的研究中引入弧度制的必要性認(rèn)識(shí)不夠明晰，在學(xué)習(xí)初期，盡量使用自己比擬熟悉的角度制而回避弧度制，在學(xué)習(xí)后期，則僅僅限于記住一些常用角的表示，卻完全遺忘了弧度制的概念。在教學(xué)中，教師可根據(jù)學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)過程，使學(xué)生理解引入弧度制的必要性，早用、多用弧度制，切實(shí)落實(shí)常用特殊角角度制與弧度制的互化。3三角函數(shù)線之正切線：一般來說，學(xué)生比擬容易理解與掌握正弦線與余弦線，但理解與掌握正切線有一定的難度。而突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵在于幫助學(xué)生充分

4、理解有向線段的數(shù)量及相關(guān)概念。4 誘導(dǎo)公式：因公式繁多，學(xué)生往往視對(duì)其的記憶為畏途，在使用時(shí)亦易混用或亂用。教學(xué)中應(yīng)注意幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并落實(shí)準(zhǔn)確記憶誘導(dǎo)公式的方法。5 函數(shù)的周期性：函數(shù)的周期性的表述構(gòu)造比擬復(fù)雜，給學(xué)生準(zhǔn)確、深入地理解概念帶來不小的困難。但因?yàn)橹芷谛缘膱D象特征明顯且易把握，所以，只要適當(dāng)把握與周期性有關(guān)問題的難度，則對(duì)概念理解把握不夠深入透徹也不會(huì)過于影響學(xué)生對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)。6 函數(shù)圖象的伸縮變換：對(duì)學(xué)生而言，伸縮變換本身，不是很難理解，但當(dāng)伸縮變換與其他變換相結(jié)合構(gòu)成復(fù)合變換時(shí)，則易暴露出學(xué)生對(duì)伸縮變換的理解不準(zhǔn)確、不到位。教學(xué)中，可強(qiáng)化函數(shù)圖象復(fù)合變換的一般方法的教學(xué)，來

5、幫助學(xué)生克制這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)。二、三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)的教學(xué)策略一關(guān)注任意角承上啟下的功能我們可以從下述幾個(gè)方面來看任意角的承上啟下功能。1初、高中角的兩種常用概念的異同初中高中概念平面內(nèi)具有公共頂點(diǎn)的兩條射線形成的圖形。平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。圖形靜態(tài)動(dòng)態(tài)角度值算數(shù)量代數(shù)量取值*圍R 由上面的比照可見，高中階段角的概念是初中階段常用角的概念自然的推廣。高中階段角的概念與初中階段相比，角的形成過程由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、角的*圍由有限擴(kuò)展至全體實(shí)數(shù)，這是后一階段學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)與三角函數(shù)圖象的根底。在教學(xué)過程中，因特別注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注初、高中角的概念的不同，防止

6、初中學(xué)習(xí)內(nèi)容的負(fù)遷移。2任意角的表示任意角的幾何或代數(shù)表示，開展性地應(yīng)用了前期學(xué)習(xí)的一些知識(shí)和方法。對(duì)這局部學(xué)習(xí)內(nèi)容的準(zhǔn)確理解，將有助于學(xué)生更為準(zhǔn)確、深入地掌握后繼的學(xué)習(xí)內(nèi)容。 1 坐標(biāo)系內(nèi)任意角的圖形表示：直角坐標(biāo)系這一數(shù)形結(jié)合的工具，在初中和高中函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)多有運(yùn)用，但前期學(xué)習(xí)過程中，通常都是一對(duì)一的一組坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)函數(shù)解析式對(duì)應(yīng)一個(gè)圖象等等。坐標(biāo)系內(nèi)任意角的圖形表示，則是多對(duì)一多組數(shù)對(duì)應(yīng)一條終邊。在教學(xué)中，我們可以通過多媒體演示或制作一些小課件模型來幫助學(xué)生了解與體會(huì)任意角所在的直角坐標(biāo)系平面，是無限多層相聯(lián)相疊合而成的，每一個(gè)具體的角度值，都將唯一的對(duì)應(yīng)著*

7、一層中的一條終邊。 2 任意角的集合表示：我們可以用集合的形式來表示終邊一樣的角，如：，結(jié)合以前學(xué)過的集合確定性、無序性、互異性的知識(shí)，可以更好地了解集合 A各種等價(jià)的表達(dá)形式。我們也經(jīng)常用無數(shù)個(gè)集合的并集來表示終邊落在直角坐標(biāo)系中*一區(qū)域內(nèi)的角。如，終邊在第二象限的角，可以表示為，強(qiáng)調(diào)這是一種并集的表達(dá)形式，往往可以幫助學(xué)生更好地把握終邊在*個(gè)區(qū)域內(nèi)的角數(shù)與形多對(duì)一的含義，也更有利于在今后的學(xué)習(xí)過程中更準(zhǔn)確地處理單調(diào)區(qū)間、解三角方程或簡單的不等式等相關(guān)問題。二適度解讀弧度制的意義在學(xué)習(xí)了角度制以后，為什么還要引進(jìn)弧度制？一種常見的理由是認(rèn)為角度制為六十進(jìn)制，弧度制是十進(jìn)制的實(shí)數(shù)，這樣的解釋，

8、不甚妥當(dāng)，因?yàn)槲覀兒苋菀滓远葹閱挝?，將任何一個(gè)角度值用十進(jìn)制表示，如：。事實(shí)上，引進(jìn)弧度制的根本原因，是角度制所表示的角度值，是一個(gè)帶量綱的數(shù)量，而弧度制表示的角度值則不帶量綱，如：在弧度制中，的意義非常明確，但在角度制中顯然是一個(gè)錯(cuò)誤的表示方式，必須表達(dá)為或等等。數(shù)學(xué)，更為關(guān)心數(shù)量之間的關(guān)系，不甚關(guān)心運(yùn)算過程中量綱的變化。特別的，有不少變量關(guān)系，常常會(huì)通過角度值或角度值與三角函數(shù)值之間的運(yùn)算來表達(dá)如圓的漸開線，阿基米德螺線等等，因此，以無量綱的量來表示角的大小就成為必然的要求。但是，學(xué)生由于知識(shí)和實(shí)際體驗(yàn)有限，有很多能表達(dá)這種必要性的具體事例，不方便也不必要向?qū)W生介紹，因此，可以盡可能利用學(xué)

9、生已有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷來向?qū)W生說明引進(jìn)無量綱的弧度制來度量角的大小的必要性。這里介紹一個(gè)引入弧度制的教學(xué)案例：教師請(qǐng)同學(xué)們快速翻閱一下三角函數(shù)這一章的內(nèi)容，并提示：我們最終將以角度為自變量 *、因變量為三角函數(shù) y，如，畫出三角函數(shù)在直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象。則，*軸與y軸上的單位長度的比值如何選定是比擬合理的？學(xué)了三角函數(shù)以后，研究一些常見函數(shù)與三角函數(shù)構(gòu)成的組合函數(shù)也是必要的，則，如果我們要作、的圖象，怎么辦呢？通過教師的引導(dǎo)與學(xué)生的討論，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，三角函數(shù)值是無量綱值，如果我們能用無量綱值來表示角度值，上述問題就比擬容易解決了。通過回憶直角三角形中正弦函數(shù)的定義方法，觀察以為圓心角的扇形中，

10、如何能類比正弦值的表示方法來得到角的無量綱表示方法：進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生了解弧度制的概念：。三有效發(fā)揮單位圓的作用新課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于單位圓的教學(xué)建議時(shí)說：單位圓可以幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，以及三角函數(shù)的圖象和根本性質(zhì)。借助單位圓的直觀，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主地探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，培養(yǎng)他們分析問題和解決問題的能力。由此可以看到，單位圓作為重要的數(shù)形結(jié)合工具，在幫助學(xué)生理解、掌握知識(shí)、提高能力方面，都可以發(fā)揮有效的作用。我們可以由函數(shù)及性質(zhì)的研究為主線，來認(rèn)識(shí)、把握與發(fā)揮單位圓在教學(xué)過程中的主要作用。1任意角的三角函數(shù)定義：定義域、解

11、析式與值域是研究函數(shù)的三個(gè)根本要素。將三角函數(shù)定義與單位圓相結(jié)合，顯然使得這些問題的研究變得更為直觀與簡捷。2三角函數(shù)性質(zhì)：單位圓與三角函數(shù)線使得對(duì)三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的研究變得直觀且簡單。3三角函數(shù)圖象：由于借助三角函數(shù)線我們已經(jīng)對(duì)三角函數(shù)的根本性質(zhì)有了初步的認(rèn)識(shí)，在利用單位圓描點(diǎn)作圖時(shí)，點(diǎn)的選取、圖的性質(zhì)也就比擬容易確定了。4誘導(dǎo)公式：從函數(shù)的角度看，誘導(dǎo)公式即不同自變量的函數(shù)值之間的關(guān)系。誘導(dǎo)公式的教學(xué)過程，我們可以設(shè)計(jì)為兩個(gè)角的終邊具有關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱和相互垂直關(guān)系時(shí)，利用單位圓，獲得三角函數(shù)值間的關(guān)系的過程；也可以設(shè)計(jì)為利用單位圓這一數(shù)形結(jié)合的工具，尋求最簡單

12、三角函數(shù)方程解的結(jié)果的過程。無論是前一種由形到數(shù)的過程，還是后一種由數(shù)到形的過程，都可以在幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提高數(shù)形結(jié)合與自主探究的能力，也會(huì)有利于學(xué)生理解與記憶誘導(dǎo)公式。當(dāng)然，當(dāng)我們借助單位圓這一數(shù)形結(jié)合的有效工具得到三角函數(shù)圖象以后，上面所羅列的知識(shí)，幾乎都可以從三角函數(shù)圖象上表達(dá)出來，所以，單位圓在教學(xué)過程，不僅應(yīng)該考慮有效果，也應(yīng)與后繼課程的教學(xué)統(tǒng)籌考慮，防止過于拖沓、重復(fù)，力求有效率。四突出同角三角函數(shù)關(guān)系中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系，學(xué)生已經(jīng)在初中的直角三角形學(xué)習(xí)中有所接觸，學(xué)習(xí)過程中所遇到的求值、化簡、證明等問題，與后面將要學(xué)習(xí)的三角變換相比，難度也不太大，但所涉及的方

13、法，卻有很多是類同的。因此，我們在教學(xué)過程中，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注初高中研究同類方法時(shí)的異同，防止初中知識(shí)的負(fù)遷移，也應(yīng)注意突出數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，為后繼課程的學(xué)習(xí)做好鋪墊。我們可以從以下幾個(gè)方面注意突出數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用：1程序化地思考在一些求值或化簡過程中，學(xué)生往往會(huì)因?yàn)楹雎粤巳我饨堑娜≈?圍而出現(xiàn)錯(cuò)誤，我們可以將這類問題的解決過程分解為兩步程序： 1 確定絕對(duì)值， 2 確定符號(hào)。如：，求。解題過程可以分解為： 1 確定； 2 據(jù) *所在象限或半軸，確定、的符號(hào)，得出正確結(jié)果。2 轉(zhuǎn)化或化歸的方法在求值與證明問題時(shí)，我們常常會(huì)用化弦的方法解決問題，在遇到 ,齊次問題時(shí)，我們常?？蓪R次關(guān)系

14、轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元關(guān)系，這樣的轉(zhuǎn)化，即是消元思想的應(yīng)用。在處理證明問題時(shí)，我們可以用比擬法，這本質(zhì)上是將變形問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的化簡問題。3 方程思想同角三角函數(shù)關(guān)系，可以視為是關(guān)于、這三個(gè)變元的兩個(gè)方程，所以，知其一，必可求余二。在教學(xué)過程中，不斷明確指出這些思想方法的作用，既可以幫助學(xué)生較好地完成當(dāng)下的學(xué)習(xí)任務(wù)，也會(huì)對(duì)學(xué)生更好地理解與掌握這些方法有幫助，進(jìn)一步提高學(xué)生應(yīng)用這些思想方法的自覺性。4 綜合應(yīng)用的一個(gè)例子例 08 10) 函數(shù) ( ) 的值域是 B 。 A - B -1, 0 C - D - 分析：顯然，當(dāng)時(shí)，可排除 A 選項(xiàng)。于是問題轉(zhuǎn)化為分母應(yīng)與比大小，由可知應(yīng)選 B。在此題中

15、，同角三角函數(shù)關(guān)系起到了至關(guān)重要的作用，此公式中，常數(shù)與三角函數(shù)的平方項(xiàng)實(shí)現(xiàn)互相替換，是解決三角函數(shù)問題比擬常用的方法之一。一般來說，選擇有關(guān)三角函數(shù)的綜合性試題時(shí)，應(yīng)注意：題面可以比擬新穎、解題過程綜合性可以比擬強(qiáng)，但解決問題的思路、策略，應(yīng)該能表達(dá)根本的數(shù)學(xué)思想方法，有利于提高學(xué)生靈活使用根本知識(shí)方法的能力。五全面把握正弦函數(shù)作為函數(shù)的一般性與特殊性三角函數(shù)作為一種應(yīng)用廣泛的函數(shù)而言，既具有函數(shù)的通性，亦具有與以前學(xué)生接觸過的函數(shù)相比自身的特性。我們可以用以下表格來表示在對(duì)三角函數(shù)的探究與應(yīng)用時(shí)，我們在對(duì)函數(shù)的探究、應(yīng)用中通常都會(huì)關(guān)心的主要問題，即所謂一般性，與對(duì)三角函數(shù)特別關(guān)心的問題，即

16、特殊性。一般性特殊性備注定義域，解析式、值域由象限角引入的比值函數(shù)三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系：無窮多對(duì)一函數(shù)性質(zhì)單調(diào)性，奇偶性等周期性存在性命題函數(shù)圖象作圖利用三角函數(shù)線作圖數(shù)形結(jié)合圖象性質(zhì)與 *軸交點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸周期性出現(xiàn)。注意：的應(yīng)用。反函數(shù) *三角函數(shù)值求角。限制定義域后，才可有反函數(shù)。組合或復(fù)合函數(shù)值域與換元法，函數(shù)的周期性關(guān)注根本模型，難度適可而止。關(guān)于上述表格的補(bǔ)充說明：1關(guān)于定義域、解析式、值域由象限角引入的正弦函數(shù)，使我們面臨兩個(gè)直角坐標(biāo)系象限角所在的直角坐標(biāo)系與的圖象所在的直角坐標(biāo)系，這兩個(gè)系中，此 *非彼 *，此 y彼 y，此象限也非彼象限，在教學(xué)之初，應(yīng)明確指出期間的聯(lián)系與差異

17、，以防止學(xué)生混用。多對(duì)一的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生并不是第一次接觸，他們最為熟悉的多對(duì)一函數(shù)模型，是二次函數(shù)，但二次函數(shù)之多，最多為兩個(gè)，與正弦函數(shù)之無窮多還是不能同日而語。所以，在最初教師做正弦函數(shù)圖象時(shí)，要多畫幾個(gè)周期，以幫助學(xué)生較好的建立無窮多對(duì)一的直觀形象記憶。正弦函數(shù)的值域?yàn)橛邢迏^(qū)間，我們在處理與值域有關(guān)的問題時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生與以前常見的值域有限制的函數(shù)如：反比例函數(shù)、定義域?yàn)橛邢迏^(qū)間的二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等等研究同類問題時(shí)的常用方法做比擬，以促進(jìn)前期學(xué)習(xí)內(nèi)容的正遷移。2關(guān)于函數(shù)性質(zhì)對(duì)周期性的探究與應(yīng)用，與前期學(xué)習(xí)過的單調(diào)性、奇偶性有不少共同點(diǎn)： 1 函數(shù)性質(zhì)數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述，皆為自變量的

18、變化，導(dǎo)致因變量的變化； 2 關(guān)注由概念而可推知的定義域的特點(diǎn)； 3 函數(shù)性質(zhì)都有明確、明顯的圖象特征。周期性與單調(diào)性、奇偶性的不同點(diǎn)在于周期性的概念表達(dá)，是存在性命題，一般來說，利用存在性來判定給定函數(shù)是否具有滿足命題的特征時(shí)，比擬困難。特別的，對(duì)學(xué)生將要接觸的組合或復(fù)合型函數(shù)，要想利用周期性符號(hào)語言的概念來判定、證明其是否滿足周期性，是否存在最小正周期，有些問題將相當(dāng)困難。但是，假設(shè)能通過圖象變換等方法，做出待判定的函數(shù)圖象，則判斷函數(shù)是否存在周期性、求出函數(shù)的最小正周期往往就比擬容易。由此可知，我們在周期性的教學(xué)過程中，多強(qiáng)調(diào)函數(shù)性質(zhì)研究的共同性、多用數(shù)形結(jié)合作為探究與應(yīng)用的工具，適度控

19、制應(yīng)用符號(hào)語言解決問題的難度，可能是比擬適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略。3關(guān)于函數(shù)圖象由于前期學(xué)習(xí)，在單位圓背景下學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)的圖象有了初步的認(rèn)識(shí)，所以，與以往用描點(diǎn)作圖的方法做出函數(shù)圖象一樣的是：我們會(huì)根據(jù)對(duì)定義域、函數(shù)性質(zhì)的分析選點(diǎn)作圖；比擬特殊的是我們可以利用三角函數(shù)線這一數(shù)形結(jié)合的工具來實(shí)現(xiàn)選點(diǎn)、描點(diǎn)、連線等步驟。與前期學(xué)習(xí)一樣，我們會(huì)關(guān)注圖象的幾何特征。特別的，正弦函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸、平衡軸等圖象特征，將在正弦型函數(shù)圖象研究中再次起到關(guān)鍵作用，所以，我們可以在研究正弦函數(shù)圖象性質(zhì)時(shí)為后期的學(xué)習(xí)做好鋪墊。4關(guān)于反函數(shù) * 在函數(shù)研究中，特別是學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)后，關(guān)注反函數(shù)的存在與否，是很自

20、然的。特別的，在后期利用空間向量計(jì)算立體幾何中的成角問題，也可以不回避等符號(hào)的使用。但是，為了更好地突出知識(shí)方法的主線，新課標(biāo)在三角函數(shù)這局部，刪去了關(guān)于反三角函數(shù)、反三角函數(shù)值與三角函數(shù)值求角等知識(shí)方法的要求。因此，我們可以根據(jù)學(xué)生的情況，對(duì)此局部做不同的教學(xué)要求。最低層次：因?yàn)檎液瘮?shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為多對(duì)一，所以，不存在反函數(shù)。中等層次：介紹符號(hào)，指導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器與誘導(dǎo)公式或正弦函數(shù)圖象解決知三角函數(shù)值求角問題。較高層次：介紹的反函數(shù)，對(duì)此函數(shù)的圖象、性質(zhì)等等進(jìn)展探究，也可以結(jié)合研究性學(xué)習(xí)等學(xué)生的探究活動(dòng)，組織有興趣的學(xué)生，自行探究反三角函數(shù)。5關(guān)于組合或復(fù)合函數(shù)關(guān)于三角函數(shù)的組合或復(fù)合函數(shù)

21、的問題繁多，有些問題難度較大，在處理這局部問題時(shí)，可從以下幾點(diǎn)考慮篩選問題：1提出問題要自然：所謂自然，就是可將前期學(xué)習(xí)過程中曾經(jīng)遇到過的問題，與正弦函數(shù)或其他三角函數(shù)的知識(shí)相結(jié)合，提出當(dāng)下探究的新問題。2重點(diǎn)模型要落實(shí)：所謂重點(diǎn)模型，主要是指前期、當(dāng)下、后繼的學(xué)習(xí)過程中都可能研究的問題。3問題難度要適當(dāng)：有些很自然的問題，解決起來未必很容易，則可以提而不做指出研究的難度，鼓勵(lì)有興趣的學(xué)生進(jìn)一步探究，但不要求全體學(xué)生皆理解、落實(shí)解決問題的途徑與方法。如：要求學(xué)生研究函數(shù)的值域，是比擬適當(dāng)?shù)膯栴}，但要求全體學(xué)生研究該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，就不甚適當(dāng)。再如：要求學(xué)生判斷是否周期函數(shù)，是比擬適當(dāng)?shù)膯栴}，但

22、要求全體學(xué)生掌握證明其不是周期函數(shù)的方法，就不甚適當(dāng)。對(duì)于余弦函數(shù)、正切函數(shù)的教學(xué)策略，我們?nèi)匀豢梢耘c正弦函數(shù)類同，以函數(shù)研究作為主線展開；同時(shí)，我們也應(yīng)關(guān)注這兩個(gè)根本三角函數(shù)研究與應(yīng)用中與正弦函數(shù)的關(guān)聯(lián)和不盡一樣的特點(diǎn)。對(duì)這些同與不同之處的處理，可以進(jìn)一步表達(dá)研究函數(shù)問題的一般思路和特殊的解決方法。六適中選擇、使用兩種數(shù)形結(jié)合的工具探究正弦型函數(shù)我們通常會(huì)用兩個(gè)工具來描繪正弦型函數(shù)的圖象，并探究其函數(shù)性質(zhì)與圖象性質(zhì)。1五點(diǎn)法作圖五點(diǎn)法作圖，從本質(zhì)上看，是用復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)結(jié)合換元法令來解決作圖問題，于是，在數(shù)學(xué)必修一學(xué)習(xí)的關(guān)于復(fù)合函數(shù)與換元法的思想皆可在這個(gè)工具下有所表達(dá)。進(jìn)一步，我們也可以利

23、用換元法的思想來考慮函數(shù)圖象的幾何特點(diǎn)。例 08 *理 16 ，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則。分析：令，則，于是在區(qū)間有最小值，無最大值這一條件可等價(jià)為在區(qū)間有最小值無最大值，則有：，：，可據(jù)此解得。此題目也可以根據(jù)五點(diǎn)法作圖大致描出的圖像，再根據(jù)題目條件推理判斷出條件、，最后解決問題。2伸縮變換圖象的伸縮變換，也可以用來解決正弦型函數(shù)的作圖與性質(zhì)討論等問題。但是，在學(xué)習(xí)過程中，可能有兩個(gè)難點(diǎn)： 1 由坐標(biāo)變換的觀點(diǎn)看等參數(shù)對(duì)圖象形狀的影響，一般來說，可以用多媒體輔助教學(xué)等方法幫助學(xué)生了解這些參數(shù)的作用，比擬有效地利用幾何直觀幫助學(xué)生記憶結(jié)論； 2 伸縮變換與以前學(xué)過的其他變換如平移、對(duì)稱等

24、等結(jié)合，構(gòu)成復(fù)合變換時(shí)，學(xué)生比擬容易出錯(cuò)。一般來講，可以用逐步分解、規(guī)*表達(dá)復(fù)合過程的方法來幫助學(xué)生正確處理復(fù)合變換問題。例 08 全國一理 8 為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像 A 。A 向左平移個(gè)長度單位B 向右平移個(gè)長度單位C 向左平移個(gè)長度單位D 向右平移個(gè)長度單位分析：這類問題，可以程序化地分解為如下程序： 1 據(jù)誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)； 2 用平移變換的代數(shù)表達(dá)寫出變換后解析式； 3 再求出平移參數(shù)應(yīng)滿足的方程； 4 最后確定正確選項(xiàng)。例如，例 5 的解題過程為： 1 化同名：；2 寫變換：； 3 列方程：據(jù) 1 、 2 可知 * ； 4 得結(jié)論：據(jù) * 式與選項(xiàng)，知應(yīng)選 A。對(duì)具

25、體題目而言，比擬規(guī)*的解題程序，不一定是最好的解題方法，但因?yàn)槊恳徊蕉家桌斫?、好操作，且皆回歸最根本的數(shù)學(xué)知識(shí)方法，所以往往是比擬保險(xiǎn)的方法。3例說兩種方法的使用與比擬我們用一個(gè)例子來說明兩種方法的使用與比擬：例：求的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)圖象的對(duì)稱軸。由五點(diǎn)法作圖的方法來看：令，則是關(guān)于 *的復(fù)合函數(shù)，特別地，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)為減函數(shù)，所以，必當(dāng)外層函數(shù)為遞增區(qū)間時(shí)，是關(guān)于 *的單減區(qū)間。由于當(dāng) y取最值的時(shí)候，函數(shù)圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上，所以，令，可解得圖象對(duì)稱軸方程。由圖象復(fù)合變換的方法來看：我們可以通過逐次變換的方法，先作圖，后從圖上讀出結(jié)論?？梢砸砸韵路绞奖磉_(dá)作圖過程中的變換：也可以以另一種順

26、序變換作圖：如果我們要求學(xué)生在做復(fù)合變換題目時(shí)，都能如上逐步寫出符號(hào)表達(dá)，并逐步畫出對(duì)應(yīng)的變換前后圖象，就有可能有效減少學(xué)生在做此類題目時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤。特別地，這種方法，對(duì)解決各類復(fù)合變換作圖問題，皆可使用。由上兩種處理問題的方法可知，五點(diǎn)法作圖所用的復(fù)合函數(shù)與換元法思想，比擬簡捷，在解決函數(shù)問題時(shí)，也更具有一般性和廣泛性。三、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測一課程標(biāo)準(zhǔn)與高考對(duì)三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)的要求課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)的要求可分為三個(gè)層次，其中：1層次 A了解：對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有初步的認(rèn)識(shí)，會(huì)在有關(guān)問題中進(jìn)展識(shí)別與直接應(yīng)用。2層次 B理解：對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有理性的認(rèn)識(shí)，能夠解釋、舉例或變

27、形、推斷，并能利用所列的知識(shí)解決簡單問題。3層次 C掌握：對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識(shí)，形成技能，并能利用所列知識(shí)解決有關(guān)問題。其中高一級(jí)的知識(shí)要求包含低一級(jí)的要求。我們可以從下表來看各知識(shí)內(nèi)容的要求：知識(shí)內(nèi)容要求層次A B C 1 任意角的概念與弧度制2 弧度與角度互化3 任意角的正弦、余弦、正切的定義4 用單位圓中的三角函數(shù)線表示三角函數(shù)5 誘導(dǎo)公式6 同角三角函數(shù)根本關(guān)系7 周期函數(shù)定義、三角函數(shù)的周期性8 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)9 正弦型函數(shù)的圖象10 用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題在高考中，對(duì) 3 、 6 、 7 、 9 等知識(shí)內(nèi)容皆可能提出更高一級(jí)的要求。 7 、 8 、 9

28、等知識(shí)內(nèi)容也可能在綜合性較強(qiáng)的題目中有所應(yīng)用。二典型題目的檢測分析在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，我們可以選用一些典型的題目來測驗(yàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的掌握程度。我們可以以隨堂測試、階段性練習(xí)、模塊考試等等不同形式的筆試方法對(duì)學(xué)生進(jìn)展形成性檢測，主要了解教學(xué)內(nèi)容中知識(shí)與技能是否為學(xué)生所掌握；我們也可以通過課上提問或課下輔導(dǎo)、課后探究性作業(yè)等等方式對(duì)學(xué)生進(jìn)展過程性檢測，在檢測中盡可能使學(xué)生暴露思維過程，同時(shí)通過有針對(duì)性的師生、生生等交流形式幫助教師與學(xué)生調(diào)整教與學(xué)的方式，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，有效提高學(xué)習(xí)能力。在形成性測試時(shí)，同類題目，我們可以根據(jù)不同的學(xué)習(xí)階段或?qū)W生學(xué)習(xí)水平，選擇不同的問題，以便更準(zhǔn)確地了解學(xué)生不同的認(rèn)

29、知層次。我們可以通過下面幾個(gè)問題，例說題目的選擇與檢測分析。例 1 是第二象限角， 1 圖示角的終邊所在區(qū)域 M ； 2 圖示角的終邊所在區(qū)域 N ；終邊在區(qū)域 N 中的角的*圍與角的取值*圍一樣嗎？為什么？； 3 你能表達(dá)圖示的終邊所在區(qū)域的一般規(guī)律嗎？簡答： 1 2 圖如右示；不一樣，終邊在區(qū)域 N 中的角的*圍為；角的取值*圍是； 3 均勻分布的 n個(gè)區(qū)域答案不唯一。例 1 中的第 1 問，在形成性檢測或過程性檢測時(shí)皆可用，在形成性檢驗(yàn)中，學(xué)生的常見錯(cuò)誤是： a 只畫了第一象限的局部。導(dǎo)致這樣錯(cuò)誤的可能性很多，但大多數(shù)學(xué)生的錯(cuò)誤原因可能是：誤將是第二象限角與等價(jià)，得到的錯(cuò)誤結(jié)論，這主要是

30、不能很好理解任意角與終邊的多對(duì)一關(guān)系所致；或者先將第二象限角作出，將其所在區(qū)域或邊界折半，這往往是因?yàn)閿?shù)形結(jié)合方法使用不當(dāng)造成的。這些錯(cuò)誤都可以通過要求學(xué)生理解、落實(shí)規(guī)*的解決問題程序加以矯正。即要求學(xué)生：i 用不等式或區(qū)間形式準(zhǔn)確表達(dá)的取值*圍，特別應(yīng)注意邊界值的多對(duì)一關(guān)系；ii 通過計(jì)算得到的取值*圍，特別注意應(yīng)對(duì)邊界值中的亦進(jìn)展相應(yīng)的運(yùn)算；iii 畫出的終邊所在區(qū)域，特別注意，可以結(jié)合試 K 的取值得到所有滿足條件的區(qū)域。 b 區(qū)域邊界為實(shí)線。這些學(xué)生，根本掌握了解決問題的方法，但因注意更為準(zhǔn)確地將不等號(hào)中是否包涵相等關(guān)系與邊界的虛實(shí)建立正確對(duì)應(yīng)關(guān)系。在過程性檢測時(shí)，將更為側(cè)重學(xué)生是否會(huì)

31、有意識(shí)地先解決角數(shù)的表達(dá)形式，再將轉(zhuǎn)化為形的表達(dá)，觀察學(xué)生的做題過程，我們可以比擬清晰地了解，學(xué)生是否有使用數(shù)形結(jié)合方法的意識(shí)，使用過程是否準(zhǔn)確，學(xué)生是否了解任意角與終邊的多對(duì)一的關(guān)系，等等。第 2 問的第一小問難度不大，但第二小問常常會(huì)導(dǎo)致一些學(xué)生的困惑。這道題比擬適合在過程性檢驗(yàn)中使用，能更好地幫助教師了解學(xué)生對(duì)任意角與終邊多對(duì)一關(guān)系的各層含義的了解程度。第 3 問，不僅需要學(xué)生對(duì)任意角與終邊多對(duì)一關(guān)系有比擬準(zhǔn)確的理解，也需要學(xué)生對(duì)周期性的概念有一定的體悟，同時(shí)具備一定的歸納能力，因此，比擬適合作為課后探究類的題目請(qǐng)學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)意愿與能力自主完成，教師可據(jù)其完成時(shí)探究的主動(dòng)性與完成的

32、質(zhì)量檢測學(xué)生的學(xué)業(yè)水平與學(xué)習(xí)能力。例 1 中的 1 、 2 、 3 皆可加寫出或等的取值*圍這一要求，這樣可以更準(zhǔn)確地診斷學(xué)生出錯(cuò)的原因，但加這一問，有可能會(huì)降低題目的難度，所以教師可以根據(jù)測試的目標(biāo)與學(xué)生的狀況選擇設(shè)問方式。例 2 函數(shù)。 1 求的值域； 2 當(dāng)時(shí)，求的值域。簡答： 1 ； 2 。例 2 第 1 問主要檢測學(xué)生是否能注意到通過令可以將函數(shù)表示為關(guān)于新元的二次函數(shù)在有限域上求值域問題，從而可以檢測學(xué)生對(duì)換元法求函數(shù)值域和正弦函數(shù)的值域等知識(shí)方法的掌握情況。如：有些學(xué)生將值域錯(cuò)求為，這通常是因?yàn)閷W(xué)生沒有換元的意識(shí)，而是僅僅將的值域簡單疊加而成；有些學(xué)生將值域錯(cuò)求為，這些學(xué)生根本掌

33、握了換元法求值域的想法，但未意識(shí)到正弦函數(shù)的值域?qū)π伦冊x域的影響。第 2 問除兼有第 2 問檢測的內(nèi)容外，還可以檢測學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)單調(diào)性的理解程度。如，有些學(xué)生將值域錯(cuò)解為，未注意當(dāng)時(shí)是非單調(diào)函數(shù)。例 2 中的兩問，作為過程性檢測或形成性檢測題目皆比擬適宜。上述兩道例題，分別是在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)新知與新舊結(jié)合類檢測題目的例如，教師們可以根據(jù)我們教學(xué)的重點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，選擇、改編、開發(fā)出更多有助于我們了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀況、幫助我們落實(shí)教學(xué)要求、幫助學(xué)生矯正、深化對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)知的題目?；?dòng)對(duì)話【參與人員】谷丹：四中趙菁：四中紀(jì)榮強(qiáng)：四中【話題】1如何指導(dǎo)學(xué)生更快更準(zhǔn)地記住三角函數(shù)局

34、部的概念與公式？2單位圓與三角函數(shù)圖象，哪個(gè)更重要？3五點(diǎn)法作圖與伸縮變換，哪個(gè)更重要？4談?wù)労瘮?shù)的周期性。5如何在教學(xué)過程中滲透函數(shù)思想？互動(dòng)話題.ppt案例評(píng)析【案例信息】案例名稱：三角函數(shù)線授課教師：程國紅四中評(píng)析教師：谷丹四中教材版本：人教版 B 教材必修 4 【課堂實(shí)錄】【案例評(píng)析】與以往的數(shù)學(xué)要求相比，新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念更為強(qiáng)調(diào)學(xué)生為提供更為開闊的思維空間和開展空間，這就需要我們在教學(xué)中給予學(xué)生適度的思考時(shí)間和表現(xiàn)自己思維內(nèi)容與思維過程的時(shí)機(jī)，而課程的設(shè)置，往往會(huì)使得教師們感到教學(xué)進(jìn)度比以往緊了不少，如何在具體的教學(xué)過程中克制這一矛盾，是新課程實(shí)施過程中每個(gè)教師都必須認(rèn)真對(duì)待的課

35、題。程國紅教師在這節(jié)課上比擬好的展現(xiàn)了她對(duì)這個(gè)問題的解決方法與途徑：突出表現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題的根本思想與方法，從而使得教學(xué)過程重點(diǎn)突出，簡約流暢。在教學(xué)過程中，程國紅教師有幾個(gè)地方處理得很好：1 探究的途徑突出、鮮明：程教師牢牢把握了利用單位圓將三角函數(shù)簡約為一個(gè)變量的想法，進(jìn)而順利實(shí)現(xiàn)用三角函數(shù)線這一直觀的圖形工具來統(tǒng)一表達(dá)三角函數(shù)這一主線，其中最簡化、統(tǒng)一的要求，在教學(xué)過程中被反復(fù)強(qiáng)調(diào)著，而這樣的理念或思想，既能表達(dá)本節(jié)課數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)，也在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中占據(jù)著重要的地位，具有普適性。2 探究的過程有一定的層次性：可以看到，在探究過程中，引入單位圓、確定正弦函數(shù)線、確定正切函數(shù)線這三個(gè)環(huán)節(jié)

36、中各有各的難點(diǎn)，程教師在處理這些難點(diǎn)時(shí)也各有不同：引入單位圓，學(xué)生比擬難以想到解決問題的方法，程教師更多的是通過自己的講解，將引進(jìn)單位圓的目的、作用清晰準(zhǔn)確表述出來；對(duì)正弦函數(shù)線，學(xué)生可以有幾何的直觀感受，但可能很難表述一些諸如有向線段、有向線段的數(shù)量等等比擬數(shù)學(xué)化的概念，程教師就隨時(shí)補(bǔ)充這些概念的說法，同時(shí)將學(xué)生的注意力主要集中到關(guān)注圖形與數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系上來，自然而然地突出了探究與確定三角函數(shù)線的形成過程與根本方法，在這個(gè)階段，程教師給學(xué)生提供了更為開闊一些的空間；到研究正切函數(shù)線時(shí)，學(xué)生則自覺或不自覺地在用探究正弦函數(shù)線的方法，解決新的問題，程教師只是在關(guān)鍵之處略加提醒、點(diǎn)撥，而且點(diǎn)撥的重

37、點(diǎn)，也僅僅是突出根本思想方法，重申最簡與統(tǒng)一的原則而已。3 探究過程中，對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)比擬得當(dāng)、適度：教師在課堂上對(duì)學(xué)生探究過程評(píng)價(jià)，往往直接影響到學(xué)生參與探究的熱情與質(zhì)量。程國紅教師比擬注意挖掘與肯定學(xué)生在答復(fù)以下問題的過程中比擬有價(jià)值的地方，適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生越過障礙搭橋墊磚，使得課堂氣氛活而不散，熱而不亂，也保證了課堂的師生對(duì)話、交流能順暢地進(jìn)展。在本節(jié)課教學(xué)過程中，也有一些遺憾。比方，在最開場提出能否用一個(gè)量來刻畫正弦值，問題本身不夠明確，當(dāng)一位學(xué)生按他的理解，試圖以函數(shù)思想來解決問題盡管似乎此路不通時(shí)，程教師可能對(duì)學(xué)生的想法也不甚明白，只得先予以否認(rèn)。這一師生溝通不夠順暢的片斷，實(shí)際上正是反

38、響了我們在課堂上經(jīng)常會(huì)遇到的問題：如何提高一個(gè)問題的引導(dǎo)性價(jià)值，盡可能降低誤導(dǎo)性或誤解性？在與學(xué)生交流的時(shí)候，教師由于對(duì)所教的知識(shí)方法很熟練，很明確，所以往往會(huì)自覺不自覺地以是否接近教師所期待的答案來評(píng)價(jià)學(xué)生答復(fù)以下問題的方向或價(jià)值，而那些正確與謬誤混雜的、比擬出乎意料的答案，往往比擬容易因我們對(duì)學(xué)生的想法不能明了而受到一定的無視或否認(rèn)。因此，這也向我們提出了一個(gè)值得教師們關(guān)注與深入探究的問題：在實(shí)施新課標(biāo)課程的過程中，教師應(yīng)如何不斷提高自己與學(xué)生在課堂上即時(shí)溝通的能力，以進(jìn)一步提高課堂教學(xué)的效益。思考與活動(dòng)1思考周期性這一概念，與單調(diào)性、奇偶性概念的異同，與同校的物理教師交流，周期性在物理學(xué)

39、科中的應(yīng)用與教學(xué)過程。2思考或在教學(xué)實(shí)踐中觀察整理，下述問題的解題過程中，學(xué)生比擬容易想到的解題方法是哪些？容易出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤？如何強(qiáng)化有效的解題策略，矯正思維錯(cuò)誤？：則的取值*圍是。參考答案：3任選教材中一節(jié)，搜集整理十個(gè)學(xué)生的錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤原因，擬定矯正策略，并在教學(xué)中實(shí)施，以考察或各別談話的方式了解矯正策略的作用。參考資料【相關(guān)資源】1. 三角函數(shù)線教學(xué)課堂實(shí)錄2. 初等函數(shù)2教材分析3. 以交流電為模型學(xué)習(xí)正弦函數(shù)4. 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)探討.pdf5. 任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì).pdf6. 單位圓與三角函數(shù)線在教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用.pdf7. 巧設(shè)問題情境_凸現(xiàn)人文數(shù)學(xué)三角函數(shù)模型的簡

40、單應(yīng)用的課例與評(píng)析.pdf【參考文獻(xiàn)】1. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 2009 年 1-2( 中旬 ) 期：由一道作業(yè)題的訂正引發(fā)的探索與反思；2. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 2008 年 6(上半月) 期：數(shù)學(xué)講評(píng)課應(yīng)如何設(shè)計(jì)更科學(xué)合理；3. .docin./p-21644564.html#documentinfo課題：三角函數(shù)線案例撰寫：程國紅第四中學(xué)評(píng)析：谷丹第四中學(xué)教材版本：人教版 B 教材必修 4 【教學(xué)設(shè)計(jì)】本節(jié)課在整個(gè)三角函數(shù)一章中，起著一個(gè)貫穿始終的作用。課標(biāo)明確提出利用單位圓這種幾何直觀去認(rèn)識(shí)三角函數(shù)。對(duì)四中這樣一個(gè)較為理想的學(xué)生群體來說，假設(shè)能通過這節(jié)課充分挖掘其價(jià)值，對(duì)后續(xù)內(nèi)容如三角函數(shù)

41、的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)將會(huì)產(chǎn)生較大的影響。一是研究問題的思路和工具有了很好的拓展；二是表達(dá)了數(shù)形結(jié)合思想在整章的貫穿；三是能更好地提高課堂效益。在本節(jié)課的設(shè)計(jì)過程中，力圖遵循并突出新課標(biāo)的理念，具體來說，在以下幾個(gè)方面作了一些考慮： 1 從任意角三角函數(shù)的概念引入，進(jìn)一步尋找表示三角函數(shù)線的最簡潔方式，在尋找中讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，突出數(shù)學(xué)的最簡化思想。 2 考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，對(duì)三角函數(shù)線概念的形成，不要求一步到位。由，通過令，得，由代數(shù)表示再過渡到幾何表示有向線段，再規(guī)定其數(shù)量一步步完善。 3 通過展示三角函數(shù)線隨角變化的規(guī)律，從幾何直觀的角度為后繼的三角函數(shù)圖象和性質(zhì)做鋪墊，力圖

42、表達(dá)整章知識(shí)的一體化；也希望在課時(shí)緊*的情況下，提高課堂效益。 4 充分利用從特殊到一般、由猜測到推證、類比等認(rèn)知特點(diǎn)，給學(xué)生設(shè)計(jì)有梯度的問題，使學(xué)生能夠由正弦線的分析去探究余弦線和正切線；注意同時(shí)在不同階段探索中對(duì)學(xué)生要求的層次性不同。 5 在教學(xué)手段上，除板書之外，輔助以幾何畫板，能很好地展現(xiàn)三角函數(shù)線的動(dòng)態(tài)變化。在教學(xué)方法上，采用啟發(fā)講授與自主探究相結(jié)合的方式?！窘虒W(xué)實(shí)錄】一復(fù)習(xí)教師帶著學(xué)生復(fù)習(xí)了上次課所學(xué)的任意角三角函數(shù)的定義，作為這節(jié)課的出發(fā)點(diǎn)，從而引出這節(jié)課要解決的問題。畫圖 1-1 師：我們知道通過任意角三角函數(shù)的定義，就可以判斷不同象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)，都是什么？怎么把這個(gè)

43、結(jié)論記下來呢？六種三角函數(shù)值，四個(gè)象限，你們看，非常公平，第一象限全為正，第二象限兩個(gè)為正，第三、第四象限都是兩個(gè)為正。再看，第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限正割為正。剩下的根據(jù)倒數(shù)關(guān)系，是不是就可以判斷了？數(shù)學(xué)當(dāng)中到處存在著這種均衡的美，是吧？局部學(xué)生臉上有驚嘆的表情，顯然沒深入考慮這里的規(guī)律性。挖掘數(shù)學(xué)中的美，不僅是數(shù)學(xué)教育的一局部，也有很好的實(shí)用性。二探究新問題1.單位圓師：一些特殊的軸上角的三角函數(shù)值，又分別是什么？有沒有一種方法，能夠讓我們把這些東西非常直觀地表示出來呢？一眼就能看出，它是正是負(fù)，甚至能看出是多少。我們現(xiàn)在用點(diǎn)的縱坐標(biāo)來除以 表示終邊上我們

44、取的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的比值來刻劃正弦，能不能只用一個(gè)量就能來刻劃正弦呢？生 B ：用自變量來代替這兩個(gè)值，代表和。師：能代表和嗎？生 B ：因?yàn)橐粋€(gè)角的終邊相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)圖象 , 肯定有一個(gè)函數(shù)解析式滿足這個(gè)圖象。師：哪個(gè)解析式？生 B ：可以用來代替 , 就是角的終邊所在的直線。師：用角的終邊所在的直線，這么一個(gè)圖形去刻劃正弦值是嗎？生 B ：我覺得是，我是這么想的。當(dāng)時(shí)我對(duì)該生的答復(fù)有理解上的偏差：我認(rèn)為他是要用射線的不同位置來表示不同角的正弦，因此沒有讓他繼續(xù)答復(fù)。其實(shí)他的想法是用射線方程和來表示正弦，他能想到利用函數(shù)思想來轉(zhuǎn)化很值得肯定，但由于是兩個(gè)變量，顯然不能滿足要求。如果我能當(dāng)場讓

45、他暴露自己思維中不夠準(zhǔn)確的地方，就更好了。師：好，請(qǐng)坐。一旦一個(gè)角給定了，這個(gè)角的終邊是不是就確定了，角的正弦值也就確定了？拿終邊這么一個(gè)圖形，去刻劃正弦行不行？行。那余弦怎么刻劃呢？還拿射線這個(gè)圖形嗎？我們找的這個(gè)量不僅要能刻劃出角的正弦，同時(shí)還應(yīng)該能夠區(qū)別于余弦和正切。因?yàn)橐粋€(gè)角的終邊位置是確定的，一個(gè)角的正余弦、正余切通常是不相等的，對(duì)嗎？大家再考慮考慮。等待了約有半分鐘，學(xué)生在交頭接耳，莫衷一是，看來這個(gè)問題還是有難度，我想可能是一個(gè)量的說法他們并不理解。這里提出的問題應(yīng)該指向性更明確一些，如能否用一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)來刻劃。師：大家可能覺得這個(gè)問題比擬困難。我們現(xiàn)在是拿兩個(gè)量的比值

46、去刻劃正弦值，那我們能不能把兩個(gè)量優(yōu)化為一個(gè)量呢？如果分母為 1 的話，會(huì)有什么結(jié)果？既然點(diǎn)是在終邊上任取，我們完全可以讓這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是 1 ，在這種情況下，那角的正弦值是不是就等于？則，我們就可以拿這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)去刻劃正弦，對(duì)嗎？那我們可以得出一個(gè)什么結(jié)論？生：角的正弦可以拿終邊上到原點(diǎn)距離為 1 的那個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)來表示。由于學(xué)生對(duì)正弦線完全未知，這時(shí)的探究起點(diǎn)設(shè)計(jì)要放低，一定要引導(dǎo)到位。必要的情況下，需要推學(xué)生一把。學(xué)生在這里的答復(fù)最開場有點(diǎn)斷斷續(xù)續(xù)，不夠準(zhǔn)確和完整，在教師的一步步設(shè)問下，越來越清晰和肯定。師：那如果是不同的角呢？我們都讓它到原點(diǎn)的距離為 1 ，行嗎？為了方便起見，咱

47、們干脆畫一個(gè)圓，什么樣的圓？引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)識(shí)由特殊過渡到一般。生：半徑為 1 的圓。師：好。板書單位圓定義，畫圖 1-2 師：畫一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為 1 的圓。則我們?nèi)我饨o出一個(gè)角，角的終邊就和這個(gè)單位圓有一個(gè)交點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，必然是 1 。就是我們定義當(dāng)中的 r ，對(duì)吧？它的縱坐標(biāo) y ，就能表示這個(gè)角的正弦了。師：余弦呢？生：橫坐標(biāo)。2.正弦函數(shù)線師：非常好，我們可以拿交點(diǎn)的橫坐標(biāo)去表示一個(gè)角的余弦了。按照數(shù)學(xué)的最簡化思想，我們就可以分別拿一個(gè)量去表示一個(gè)角的正弦和余弦。那接下來我們再看看，現(xiàn)在圖中，畫了一個(gè)第二象限角，縱坐標(biāo)在圖當(dāng)中怎么去表達(dá)呢？是指這個(gè)線段的長嗎？這里之所以直

48、接過渡到了正弦線，而沒有延續(xù)過去的用坐標(biāo)來表示正切，是希望將正弦的研究貫穿到底，再留給學(xué)生探究的空間類比正弦考慮余弦和正切。這樣課堂的容量能大一些，效率能高一些。生：不是。師：為什么不是？這個(gè)長度是正的，是吧？但是我們這個(gè)縱坐標(biāo)，在第二象限也是正的，沒問題。但是角要換到第三象限呢？行嗎？如果給一個(gè)第三象限角，終邊上有一點(diǎn)。我們看看如果照樣做一條垂線的話，這個(gè)長度能表示縱坐標(biāo)嗎？生：不行，這個(gè)時(shí)候縱坐標(biāo)是負(fù)的。從坐標(biāo)過渡到有向線段，對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)。這時(shí)教師提出的問題要引發(fā)學(xué)生認(rèn)知上的沖突，使學(xué)生通過觀察和探索，體驗(yàn)知識(shí)的形成過程。師：就是說，我們發(fā)現(xiàn)了這條線段和縱坐標(biāo)是有密切關(guān)系的。至少二

49、者的絕對(duì)值，是應(yīng)該一樣的，但是符號(hào)會(huì)有問題。如果我們能給出這條線段的正負(fù)來就好了，它就能刻劃正弦。現(xiàn)在，我們需要給出有向線段的概念。板書：規(guī)定了方向的線段，我們叫有向線段。師：我們再來看看這個(gè)第二象限角的終邊，怎么去規(guī)定線段的方向是比擬合理的？規(guī)定的原則是什么？我們希望無論角在第幾象限，規(guī)定的方向，應(yīng)該有正方向，還有負(fù)方向。這樣才能表現(xiàn)出不同象限角正弦的正負(fù)。這是我們的第一個(gè)原則；第二個(gè)原則就是它必須要和正弦的符號(hào)一致，只有這樣，才能很好地刻劃正弦。生：。讓學(xué)生探索思考的問題應(yīng)有充分的鋪墊，應(yīng)屬于跳一跳，夠得著的*圍。同時(shí)也讓學(xué)生逐步體會(huì)，數(shù)學(xué)上的概念、結(jié)論都是怎么發(fā)現(xiàn)的。板書：有向線段的數(shù)量

50、師：一個(gè)任意角的正弦，不僅可以表示成它的終邊和單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，還可以表示成一個(gè)對(duì)應(yīng)的有向線段的數(shù)量。那也就是說，我們就可以把這條有向線段，作為正弦的幾何表示，或者說圖形表示。我們經(jīng)常說數(shù)學(xué)這種對(duì)象，它有兩方面的特征，一個(gè)是代數(shù)特征，一個(gè)是幾何特征，我們也在不斷地體會(huì)這種數(shù)形結(jié)合的思想。有了這種圖形特征，我們討論一些三角函數(shù)值的變化問題的時(shí)候，就更直觀了。這也解決了我們開場提出來的問題：對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值怎么去記，怎么樣讓我們一眼能看出來它的值。不斷強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時(shí)前后照應(yīng)，為下一步教學(xué)安排做準(zhǔn)備。師：在平面直角坐標(biāo)系里，我們把正弦線給標(biāo)示出來了。在角變化的過程中，正弦線如

51、何變化？正弦線的變化當(dāng)然意味著正弦值的變化。教師通過幾何畫板展示角在的*圍內(nèi)，正弦值的變化，加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的直觀感受。多媒體手段的應(yīng)用有利于表達(dá)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法、有利于突破教學(xué)難點(diǎn)，動(dòng)態(tài)地顯示正弦的變化規(guī)律。師：對(duì)任意的一個(gè)角來說，它的正弦值是不是惟一確定的？則這就建立了一個(gè)映射關(guān)系，當(dāng)然也是函數(shù)關(guān)系。我們可以把角看成是一個(gè)自變量，那它的正弦值就是角對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。那我們在討論這樣一個(gè)三角函數(shù)的時(shí)候，按照我們剛剛學(xué)過的必修一模塊，研究一般函數(shù)的路線，是什么？關(guān)注模塊與模塊的相互聯(lián)系，尤其是一些研究問題的方法是普遍適用的。生：定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性。師：好。那通過我們剛剛的演示

52、，的取值*圍用弧度表示的話，可以看成是 R 吧。值域呢？生：-1 到 1 。師：-1 到 1 ，必須是閉區(qū)間。單調(diào)性，剛剛有體會(huì)嗎？生：從零到，角在變大，正弦值變大，函數(shù)遞增。則從到，遞減。從到，遞減，從到，遞增。師：那角從到呢？繼續(xù)變化下去呢？生：和剛剛一樣。師：終邊一樣，所以角的正弦值變化規(guī)律和剛剛一樣，是吧？生：對(duì)。師：隨著角的變化，正弦值重復(fù)性地出現(xiàn)，我們把這種性質(zhì)叫做周期性，我們以后還會(huì)深入考慮。奇偶性呢？首先定義域是不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱？生：是。師；其次我們考慮和的關(guān)系。你可以先拿個(gè)特殊角試一試，然后猜測一下。比方說和有什么關(guān)系？看正弦線，它們互為相反數(shù)。那你猜測這個(gè)函數(shù)會(huì)不會(huì)有奇偶性

53、？由特殊到一般，它可能是一個(gè)什么函數(shù)？生：可能是一個(gè)奇函數(shù)。鼓勵(lì)大膽猜測，嚴(yán)密求證師：好，我們把這個(gè)作為一個(gè)思考題，對(duì)于任意角，是不是都滿足呢？我們今天的第二個(gè)思考題，同學(xué)們?nèi)タ疾煊媚臈l有向線段去做余弦線比擬適宜。注意我們剛剛強(qiáng)調(diào)的兩個(gè)原則。類比正弦線，余弦線應(yīng)該不難。由正弦線到余弦線，教師的引導(dǎo)作用逐漸淡出，這正是教學(xué)設(shè)計(jì)目標(biāo)之一。3.正切函數(shù)線師：正切能不能也用一個(gè)量去表示呢？生：令 * 等于 1 。師：取哪個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)等于1 ？圖怎么畫？生：過點(diǎn)1，0做切線。師：怎么規(guī)定正切線？我們先看一個(gè)第一象限角，如果讓，那這個(gè)時(shí)候角的正切值就是橫坐標(biāo)為 1 的那個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而且還要在角的終邊上。那

54、應(yīng)該找哪個(gè)點(diǎn)？生：切線和角終邊的交點(diǎn)。大概是鋪墊得較為充分，通過正弦線的探究，學(xué)生對(duì)正切線的尋找比我預(yù)想的要輕松得多。不由感慨學(xué)生舉一反三的能力是很強(qiáng)的。師：那要是第二象限角呢？拿哪個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)去表示正切值呢？生 D ：可不可以做過點(diǎn)-1 ，0的切線。學(xué)生在這里暴露出的想法正是教師所希望看到的。師：好，則它就會(huì)和終邊有一個(gè)交點(diǎn)了。這種想法很不錯(cuò)，然后我們來看看，橫坐標(biāo)是 1 嗎？不是。那現(xiàn)在就不能等于了，而是。這樣規(guī)定行嗎？生：行。師：如果我們要這么規(guī)定的話，不同象限的角就有不同的結(jié)論了，但是我們希望結(jié)論是最簡化的。能不能也拿一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)去表示？而不是縱坐標(biāo)的相反數(shù)，這樣不就統(tǒng)一起來了嗎？要

55、敢于讓學(xué)生走彎路。不輕易否認(rèn)學(xué)生的想法，肯定其中的合理性，但指出進(jìn)一步完善的方向。生 D ：做終邊的反向延長線。因?yàn)檫@兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以反向延長線與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是。師：非常好。他調(diào)整了一下思路，找了一個(gè)橋梁，把它轉(zhuǎn)化成在不同象限角的情況，能夠有一個(gè)共同的結(jié)論。驗(yàn)證一下其它象限的角是否也符合。和剛剛一樣，除了這種用比值、坐標(biāo)去刻劃正切之外，能不能找一條正切線？生：。師：和剛剛一樣，我們把正切作為一個(gè)函數(shù)來考察的話，就可以通過正切線這個(gè)非常直觀的載體來實(shí)現(xiàn)了。我們來看正切線的變化。展示正切線的課件。師：那我們今天的第三個(gè)思考題就是研究一下正切線的變化規(guī)律，考察正切函數(shù)的定義域、值域

56、與單調(diào)性，奇偶性，周期性。三小結(jié)師：今天我們從數(shù)和形兩個(gè)不同的角度研究了三角函數(shù)的表示，還用它們作為工具探討了三角函數(shù)的根本性質(zhì)。三角函數(shù)線是三角函數(shù)這一章中非常精彩的內(nèi)容，希望大家也能有精彩的收獲。請(qǐng)大家下課后認(rèn)真考慮三個(gè)思考題?！咀晕曳此肌繉?duì)舊教材內(nèi)容與大綱教材根本一致的內(nèi)容的處理，如何從重難點(diǎn)把握、課堂設(shè)計(jì)、教法等方面表達(dá)新課標(biāo)的要求，本節(jié)課做了一些嘗試。對(duì)學(xué)生而言，由比值到再到正弦線的幾步跨越都是難點(diǎn)，因此本節(jié)課在此處盡可能清晰再現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)過程，使學(xué)生明確原則的把握以及概念的形成。通過充分的鋪墊，學(xué)生對(duì)余弦線的把握應(yīng)該是水到渠成了，從課后效果來看，確實(shí)如此。正切線的探索亦是一個(gè)挑戰(zhàn)。

57、本以為學(xué)生在這里思維會(huì)受阻，意外的是學(xué)生在遇到障礙時(shí)，能靈活尋找橋梁，調(diào)整方向，給了我一個(gè)驚喜。看來，只要前面準(zhǔn)備工作做得充分，學(xué)生的思維就能調(diào)動(dòng)起來。信息技術(shù)雖不能代替概念的形成和數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)，但恰當(dāng)?shù)乩盟妮o助作用，能起到事半功倍的效果。幾點(diǎn)缺乏： 1 課堂容量稍大。由于市必修教材的使用順序是14523，因此有向線段的數(shù)量概念需要另外介紹，在課堂上短時(shí)間內(nèi)學(xué)生掌握這個(gè)概念并利用這個(gè)概念去表示三角函數(shù)顯得有點(diǎn)困難。如果能在上節(jié)課就將其處理掉，這節(jié)課只重點(diǎn)討論用有向線段數(shù)量來表示三角函數(shù)就會(huì)顯得更沉著，給學(xué)生討論和思考的時(shí)間和空間也能更大一些。 2 對(duì)課上學(xué)生出現(xiàn)的問題估計(jì)缺乏。當(dāng)教師提出

58、問題：前面我們是用兩個(gè)量的比值如來表示角的正弦，可否簡化為一個(gè)量來表示？從現(xiàn)場學(xué)生反響來看，局部學(xué)生不理解什么叫一個(gè)量。教師提出的問題如果能更具體化，更有指向性，也許學(xué)生的思維會(huì)更清晰，反響也會(huì)更活潑。教師在課堂上的應(yīng)變能力還需加強(qiáng)。 3 在給出正弦函數(shù)時(shí)，沒有強(qiáng)調(diào)這里的與前面的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的不同。課后有局部聽課教師指出了這點(diǎn)。不過從課堂反響來看，學(xué)生還是比擬清楚的?！緦＜以u(píng)析】與以往的數(shù)學(xué)要求相比，新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念更為強(qiáng)調(diào)學(xué)生為提供更為開闊的思維空間和開展空間，這就需要我們在教學(xué)中給予學(xué)生適度的思考時(shí)間和表現(xiàn)自己思維內(nèi)容與思維過程的時(shí)機(jī)，而課程的設(shè)置，往往會(huì)使得教師們感到教學(xué)進(jìn)度比以往緊

59、了不少，如何在具體的教學(xué)過程中克制這一矛盾，是新課程實(shí)施過程中每個(gè)教師都必須認(rèn)真對(duì)待的課題。程國紅教師在這節(jié)課上比擬好的展現(xiàn)了她對(duì)這個(gè)問題的解決方法與途徑：突出表現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題的根本思想與方法，從而使得教學(xué)過程重點(diǎn)突出，簡約流暢。在教學(xué)過程中，程國紅教師有幾個(gè)地方處理得很好：1. 探究的途徑突出、鮮明：程教師牢牢把握了利用單位圓將三角函數(shù)簡約為一個(gè)變量的想法，進(jìn)而順利實(shí)現(xiàn)用三角函數(shù)線這一直觀的圖形工具來統(tǒng)一表達(dá)三角函數(shù)這一主線，其中最簡化、統(tǒng)一的要求，在教學(xué)過程中被反復(fù)強(qiáng)調(diào)著，而這樣的理念或思想，既能表達(dá)本節(jié)課數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)，也在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中占據(jù)著重要的地位，具有普適性。2. 探究的過程

60、有一定的層次性：可以看到，在探究過程中，引入單位圓、確定正弦函數(shù)線、確定正切函數(shù)線這三個(gè)環(huán)節(jié)中各有各的難點(diǎn)，程教師在處理這些難點(diǎn)時(shí)也各有不同：引入單位圓，學(xué)生比擬難以想到解決問題的方法，程教師更多的是通過自己的講解，將引進(jìn)單位圓的目的、作用清晰準(zhǔn)確表述出來；對(duì)正弦函數(shù)線，學(xué)生可以有幾何的直觀感受，但可能很難表述一些諸如有向線段、有向線段的數(shù)量等等比擬數(shù)學(xué)化的概念，程教師就隨時(shí)補(bǔ)充這些概念的說法，同時(shí)將學(xué)生的注意力主要集中到關(guān)注圖形與數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系上來，自然而然地突出了探究與確定三角函數(shù)線的形成過程與根本方法，在這個(gè)階段，程教師給學(xué)生提供了更為開闊一些的空間；到研究正切函數(shù)線時(shí)，學(xué)生則自覺或不自