力學(xué)電子第6章

1、第6 章第六章振 動(dòng) 和 波第6 章6.1 線性振動(dòng) Oscillatory Motion振動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)圍繞平衡位置作周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng) 機(jī)械振動(dòng) 空間曲線 三維直線振動(dòng) 直線振動(dòng) 傅里葉分析 Fourier Analysis 簡(jiǎn)諧振動(dòng) Simple Harmonic Motion第6 章 6.1.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué) Kinematics of SHM1、簡(jiǎn)諧振動(dòng) Simple harmonic motion 一質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸的運(yùn)動(dòng)可用余弦函數(shù)(也可以正弦函數(shù))來(lái)表示時(shí)，此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng) 。 x = A cos (+ ) x ： 質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的位移 ： 圓頻率 Frequency of cyc

2、le+ ： 相位 Phase ： 初相 Initial phase ( t = 0 時(shí) )第6 章 A： 振幅 Amplitude T： 周期 Period ： 頻率 Frequency圓頻率 、頻率和周期三者之間的關(guān)系 ： = 2， = 1 / T 相位是決定質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（位置、速度）的重要物理量 相位相差 2 的整數(shù)倍，其質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同。第6 章 2、 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量 Rotating vector 圖 矢量 OM 逆時(shí)針以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，矢量OM 的端點(diǎn) M 在 OX 軸上的投影點(diǎn) P 的位移為： x = A cos (+ ) 矢量 OM 0 是 t = 0 時(shí)刻的位

3、置，即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖。MM0XOtxAP第6 章XMP第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章 0 ， Q 超前 Lead P 0 ， Q 落后 Lag behind P 0 同相 Synchronous 反相 Antiphase 超前時(shí)間 t =（ ）/ 超前相位 = MM Q POx第6 章例6-1 物體沿X軸簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為 0.12m，周期為 2s 。當(dāng)t = 0時(shí)，位移為 0.06 m，且向X 軸正方向運(yùn)動(dòng)。求運(yùn)動(dòng)表達(dá)式，并求以 x = - 0.06m處回到平衡位置

4、所需的最少時(shí)間。解：已知 A = 0.12 m，T = 2 s， = 2/T = ( rad/s ).(1) 初態(tài) t = 0 時(shí)， x = 0.06， v 0， 初相 = /3 , 運(yùn)動(dòng)表達(dá)式為： x = 0.12 cos (-/3 ) (m)( t =1 s ) B ( t = 5/3 s) BA ( t = 0 )x (m)OC0.06-0.06第6 章 (2) 當(dāng) x = - 0.06 m時(shí)，物體在旋轉(zhuǎn)矢量圖中的位置可能在 B 或 B處，顯然 B 處回到平衡位置 C 處所需時(shí)間為最少。 因?yàn)?OB 與 OC 夾角為 =/6，所以最少時(shí)間為： t = / = (/6) / = 1/6 秒

5、( t =1 s ) B ( t = 5/3 s) BA ( t = 0 )x (m)OC0.06-0.06第6 章3、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度 (1) 速度： = dx/dt =A sin(+ ) = A cos(+ +/2) 速度超前位移相位 /2 (2) 加速度: a = dv/dt =2Acos(+) =2.A cos(+) 加速度與位移相反第6 章 4、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 a = 2 x或 d2x /dt2 + 2 x = 0 5、廣義簡(jiǎn)諧振動(dòng) 任何一個(gè)物理量隨時(shí)間而變化的規(guī)律如果遵從余弦（正弦）函數(shù)的關(guān)系，則統(tǒng)稱為廣義簡(jiǎn)諧振動(dòng)。第6 章 v 的周相超前 x2avtxx0a 與 x

6、的周相相反。，第6 章 v 的周相超前 x2avtvxx0a 與 x 的周相相反。，第6 章 v 的周相超前 x2avatvxx0a 與 x 的周相相反。，第6 章位移、速度、加速度之間的 相位關(guān)系位移速度加速度xtva、以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。 xAA21.00t、0 xAA21.00tt = 0時(shí)x=A2以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。 、000 xAA21.00tt = 0時(shí)x=A2v以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示 、000 xA3xAA21.00tt = 0時(shí)x=A2v以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示

7、。 、000.=3xA3xAA21.00tt = 0時(shí)x=A2v以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。 、000.=31xA3xAA21.00tt = 0時(shí)x=A2vt =1時(shí)x=0以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。 、000.=3110 xA3xAA21.00tt = 0時(shí)x=A2vt =1時(shí)x=0v=dxdt以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。 、000.=3110 xA3A2xxAA21.00tt = 0時(shí)x=A2vt =1時(shí)x=0v=dxdt以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。 、000.=31101=2xA3A2xxAA

8、21.00tt = 0時(shí)x=A2vt =1時(shí)x=0v=dxdt以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。 .、000.=31101=21=t1+=xA3A2xxAA21.00tt = 0時(shí)x=A2vt =1時(shí)x=0v=dxdt以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。 .、000.=31101=21=t1+=13xA3A2xxAA21.00tt = 0時(shí)x=A2vt =1時(shí)x=0v=dxdt以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。 .、000.=31101=21=t1+=13=2xA3A2xxAA21.00tt = 0時(shí)x=A2vt =1時(shí)x=0v=dxdt以及

9、振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。 .、000.=31101=21=t1+=13=2=56xA3A2xxAA21.00tt = 0時(shí)x=A2vt =1時(shí)x=0v=dxdt以及振動(dòng)方程。求： 例 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。 .x = A cos ( 56t3)x = A cos ( 56t3)本題的另一種求法：x = A cos ( 56t3)本題3xAt = 0的另一種求法：x = A cos ( 56t3)本題32AxAt =1t = 0的另一種求法：x = A cos ( 56t3)本題32AxAt =1t = 02+32=T1的另一種求法：x = A cos ( 56t3

10、)本題32AxAt =1t = 02+32=T1T=125的另一種求法：.6.1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué) Dynamics of SHM由牛頓定律：kx = md xdt22d xdt22=+2x0km=km令2即：=（彈簧振子的圓頻率）FmXk0 xxAcos)(t=+由()+tv=Asinx0000A=xvv)(tg22+=當(dāng) t = 0 時(shí)00v=xAAcossin初始條件： t = 0，x = xo，v = vo注意：初相還需根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖中的 A 的位置來(lái)確定 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。b自然長(zhǎng)度mg 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)

11、量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b自然長(zhǎng)度mgb自然長(zhǎng)度靜平衡時(shí)mgFkb - mg = 0 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0 x平衡位置自然長(zhǎng)度取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度

12、后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重

13、物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈

14、簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下

15、端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0b

16、x 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)

17、，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。b0bx 例 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長(zhǎng)度后放手。 求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。自然長(zhǎng)度自然長(zhǎng)度b平衡位置自然長(zhǎng)度b平衡位置0 xx自然長(zhǎng)度b平衡位置0 xx任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：自然長(zhǎng)度b平衡位置0 xx任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：F = mg - k ( b + x ) = - kx自然長(zhǎng)度b平衡位置0 xx任意位置時(shí)小球所受到的

18、合外力為：F = mg - k ( b + x ) = - kx可見(jiàn)小球作諧振動(dòng)。自然長(zhǎng)度b平衡位置0 xx任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：可見(jiàn)小球作諧振動(dòng)。由得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kx自然長(zhǎng)度b平衡位置0 xx任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：=kmgb=可見(jiàn)小球作諧振動(dòng)。由得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kx自然長(zhǎng)度b平衡位置0 xx任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：=kmgb=當(dāng)t0=:可見(jiàn)小球作諧振動(dòng)。由得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kx自然長(zhǎng)度b

19、平衡位置0 xx任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：=kmgb=00當(dāng)t0 xb,=:v0可見(jiàn)小球作諧振動(dòng)。由得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kx自然長(zhǎng)度b平衡位置0 xx任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：=kmgb=00當(dāng)?shù)胻0 xb,A=:v0=b,=可見(jiàn)小球作諧振動(dòng)。由得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kx自然長(zhǎng)度b平衡位置0 xx任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：=kmgb=00 x = b cos (gt + )b當(dāng)?shù)胻0 xb,A=:v0=b,=可見(jiàn)小球作諧振動(dòng)。由得：mg - kb = 0F = mg

20、- k ( b + x ) = - kx第6 章例6-2 在一輕彈簧下端懸掛 mo = 100 g 砝碼時(shí)，彈簧伸長(zhǎng) 8 cm，現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛 m = 250 g 的物體，構(gòu)成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動(dòng) 4 cm，并給以向上 21cm/s 的初速度（這時(shí) t =0）。選 x 軸向下，求振動(dòng)方程的表達(dá)式。解：k =mog/ l = 0.1100.08 =12.5 N/m =(k/m)1/2 =(12.5/0.25)1/2 =7 rad/s初始條件：t = 0 , xo = 0.04 m, vo = - 0.21 m/s A = (xo2+vo2/2)1/2 = 0.05 m tg

21、= - vo /xo = - (- 0.21)/(7 0.04) = 0.75 = 0.64 rad振動(dòng)方程: x = 0.05cos( 7t + 0.64 ) m彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式： k1k2彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式： k1k2彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式： 1/k = 1/k1 +1/k2k1k2彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式： 1/k = 1/k1 +1/k2并聯(lián)公式： k1k2k1k2彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式： 1/k = 1/k1 +1/k2并聯(lián)公式： k1k2k1k2彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式： 1/k = 1/k1 +1/k2并聯(lián)公式： k = k1 + k2 k1k2k1k2例 ：一

22、勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：k例 ：一勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：k1k2例 ：一勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：k1k2例 ：一勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：串聯(lián)公式： 1/k = 1/k1 +1/k2k1k2例 ：一勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：串聯(lián)公式： 1/k = 1/k1 +1/k2因?yàn)?k1 = k2k1k2例 ：一勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均

23、分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：串聯(lián)公式： 1/k = 1/k1 +1/k2因?yàn)?k1 = k2 ，所以 1/k = 1/k1 +1/k1k1k2例 ：一勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：串聯(lián)公式： 1/k = 1/k1 +1/k2因?yàn)?k1 = k2 ，所以 1/k = 1/k1 +1/k1 = 2/k1k1k2例 ：一勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：串聯(lián)公式： 1/k = 1/k1 +1/k2因?yàn)?k1 = k2 ，所以 1/k = 1/k1 +1/k1 = 2/k1故 k1 = k2 = 2kk1

24、k2例 ：一勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：k1k2例 ：一勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：k1k2例 ：一勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：并聯(lián)公式： k = k1 + k2 k1k2例 ：一勁度系數(shù)為 k 的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù) k。解：并聯(lián)公式： k = k1 + k2 = 2k + 2k = 4kk1k2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 = 振動(dòng)動(dòng)能 + 振動(dòng)勢(shì)能 W = Wk + WpWk = mv2 / 2 = m2A2sin2（ t+ ）/

25、 2WP = k x2 / 2 = kA2cos2（ t+ ）/ 2W = Wk + Wp= kA2 /2 = m2A2/2特點(diǎn)： 1、Wk 最大時(shí)，Wp最小為零； Wp 最大時(shí)，Wk最小為零。 2、Wk = Wp = kA2/4 = W/2 3、Wk 和 Wp的周期是系統(tǒng)周期的一半。 4、系統(tǒng)的總能量不變。第6 章例6-3 單擺 Simple Pendulum：?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一個(gè)典型的實(shí)例。單擺定義為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)用一長(zhǎng)為 l 而其質(zhì)量可忽略的細(xì)繩懸掛在固定點(diǎn)O 的系統(tǒng)。解：由于拉力 T v ， T 不作功，故質(zhì)點(diǎn)在擺動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒。 設(shè)在平衡位置C點(diǎn)的勢(shì)能為零，則質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的機(jī)

26、械能為：EM = mv2/2 + mgl (1-cos)lTOCvm第6 章 因?yàn)? l d/dt 代入上式整理得： EM = ml 2(d/dt)2 /2 + mgl (1-cos) = 恒量對(duì)上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)整理可得： d2/dt2 + g sin /l = 0 在一般情況下，單擺的擺動(dòng)不正好是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但是，如果擺動(dòng)的角度 很小時(shí)， sin (在 10內(nèi))，這樣上式可改為： d2/dt2 + g /l = 0 表明在小角度的范圍內(nèi)，單擺的角位移作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 圓頻率： 周期： 第6 章例6-4 復(fù)擺 Physical Pendulum：復(fù)擺是能夠在重力作用下繞水平軸自由振蕩的任意剛體。Z

27、Z水平軸，C為物體質(zhì)心，質(zhì)量為 mg。解：轉(zhuǎn)動(dòng)定理 MZ = I MZ = - mgb sin = d2 /dt2 I d2 /dt2 = -mgb sin 假定振動(dòng)是小振幅的， sin ，利用 I = mK2，式中K為擺的回轉(zhuǎn)半徑，得： d2 /dt2 + gb /K2 = 0表明在 小范圍內(nèi)，角運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng) 2 = gb/K2ZZCOlbOmg第6 章 2 = gb/K2因此，振動(dòng)的周期為其中 l = K2/ b叫做等效單擺長(zhǎng)度 Length ofthe equivalent simple pendulum，因?yàn)榫哂羞@個(gè)長(zhǎng)度的單擺，其周期與復(fù)擺的相同。 可以看出，復(fù)擺的周期與其質(zhì)量無(wú)關(guān)，

28、也與其幾何形狀無(wú)關(guān)，只要 K2/ b保持相同。第6 章非簡(jiǎn)諧振動(dòng) Anharmonic Oscillation簡(jiǎn)諧振動(dòng) 力: F = - kx， 勢(shì)能: EP = kx2/ 2 或 EP = k(x - xO)2/2 EP的曲線是一拋物線彈性常數(shù) k = d2EP/dx2非簡(jiǎn)諧振動(dòng) 考慮勢(shì)能不是勢(shì)物線，但卻具有明確的極小值的情況。在平衡位置 xo 處 ( dEP/ dx = 0 )附近的運(yùn)動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 等效彈性常數(shù)：k =d2EP/dx2|x = x。xoEPx第6 章例6-5 試用等效彈性常數(shù)重新計(jì)算例4-6單擺的周期。解：?jiǎn)螖[的勢(shì)能: EP = mgl (1 - cos)，其極小值位

29、置=0，單擺離開(kāi)平衡點(diǎn)的水平位移x =l sin，因此 ：?jiǎn)螖[的圓頻率:周期:阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)6.1.3 阻尼振動(dòng) Damped OscillationFF=kxv阻尼力彈性力d xdx2dtdtm=kx2kmm=令02（阻尼因子）2dtd xdx22+=00dt2x2rr2+0特征方程：22=0r2+=0特征根：2220 1. 小阻尼r00有兩個(gè)虛根：r1=+ii2,方程的解為：A0tTx00t x=Aecos()t+0T=2220=22是一非周期運(yùn)動(dòng)。臨界阻尼過(guò)阻尼t(yī)x阻尼 2. 過(guò)阻尼動(dòng)力學(xué)方程：方程的解為：oF=Fcost 周期性干擾力（強(qiáng)迫力）強(qiáng)迫力的圓頻率 oF力幅6.1.4 受

30、迫振動(dòng) Forced Oscillationdxdtd xdt22Fokx+cost=m0令kmf=2m=2Fom=,0=d xdtdtdx得222+2xf cost+t2000t2Ax=Aecos()+sin(t-)隨時(shí)間很快衰減為零穩(wěn)定時(shí)的振動(dòng)方程 在達(dá)到穩(wěn)定態(tài)時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)頻率等于強(qiáng)迫力的頻率。穩(wěn)定時(shí)的振幅：時(shí)振幅最大，稱為振幅共振。 當(dāng)無(wú)阻尼 ( = 0 ) 時(shí), A=o。+t2000t2Ax=Aecos()+sin(t-)A=022()222+4f相位：02-22 tg=0222A當(dāng)強(qiáng)迫力的圓頻率為第6 章dx=A cos(t - ) dtv =vo=A =022()222+4f速度:

31、速度振幅:當(dāng) m - k/ = 0， 即 2 = k/m = o2 時(shí)，vo 為極大，發(fā)生能量共振，此時(shí)相位= 0。結(jié)論：當(dāng) = o時(shí)，且速度與強(qiáng)迫力同相時(shí)， 發(fā)生能量共振 Energy Resonance。m()22+kFovo =oOvoFo第6 章A 較小0oO 較大 A振幅共振 Amplitude Resonance第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6

32、 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6

33、 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6

34、 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6

35、 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章共振實(shí)驗(yàn)：123645第6 章 6.2 振動(dòng)的合成6.2.1 同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加 設(shè)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率相等為 ，振動(dòng)方向?yàn)?X 軸方向，以 x1 和 x2 分別代表兩運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)位移： x1 = A1 cos (+ 1 ) x2

36、 = A2 cos (+ 2 )式中 A、A2 中1、2 分別表示這兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅和初相位 。因此，質(zhì)點(diǎn)的合位移為：x = x1 + x2 =A1cos(+1) + A2cos(+2 ) = Acos(+)第6 章 其中 A = A12 + A22 + 2A1A2cos(2- 1)1/2 tg =（A 1sin1 + A2sin2 ） （A 1cos1 + A2cos2 ）討論(1)當(dāng)2-1 =2k 同相 in phase A = A1 + A2 A 最大，加強(qiáng) 。(1) 當(dāng)2 -1 =(2k+1) 反相 in opposition A = A1A2 A 最小，減弱 。 k 取整數(shù)1、2、

37、3、4、5、等等。12A2A1AXx2x1xO第6 章例 6-5 兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為 20 cm，與第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差為 - = /6，若第一個(gè)簡(jiǎn)諧動(dòng)的振幅為 17.3 cm，試求：1、第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅 A22、第一、二兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差 1 - 2解：已知 A = 20 cm A1 = 17.3 cmA2 =A2 +A12 -2AA1cos( - )1/2 = 10 cm - xoAA2A1第6 章 A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) cos (1 - 2 ) = A2 - A12 + A22 / 2A1A2 = 0

38、2 1= /2 1 2= /2 - xoAA2A1 相互垂直振動(dòng)的合成 )xy(A1A22= 0 xy12+= 0AAA221222xyA2(xxyy111122222222+=AAAAcos()2sin2合振動(dòng)振幅為1222AAA+=xy1A=2AxyA12A06.2.2 同頻率相互垂直振動(dòng)的合成 )xy1122+=AAcoscos()tt頻率相同的兩個(gè)分振動(dòng)1=201. 2.=122xy= 1+21222AA2xy1AA2029944547432343.周相差12為不同值時(shí)的合成結(jié)果12拍頻=1221xx=AAcoscos2tt2x=xx+12221111122=2A cos2()2cos

39、tt2+2一般情況下合成后的振動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。1、同方向情況拍現(xiàn)象6.2.3 不同頻率振動(dòng)的合成tttxx12x=20.25s0.75s0.50s=2161812、頻率比為整數(shù)時(shí)相互垂直振動(dòng)的合成李薩如圖形1：21：32：3第6 章6.2.4 振動(dòng)的分解11354Ax=(sinsinsinttt+35.)=4Ak = 08(2k+1)(2k+1)sintxtTA第6 章11354Ax=(sinsinsinttt+35)x基頻t第6 章基頻3xt11354Ax=(sinsinsinttt+35)第6 章基頻35xt11354Ax=(sinsinsinttt+35)第6 章基頻35xt1135

40、4Ax=(sinsinsinttt+35)合成后第6 章350A分立譜頻 譜0A連續(xù)譜第6 章6.4.1 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播 1、產(chǎn)生條件 (1) 波源 受迫振動(dòng) (2) 連續(xù)彈性媒質(zhì) 2、 機(jī)械波的分類(lèi)橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行6.4 機(jī)械波第6 章3、幾何描述波線：表示波的傳播途徑和方向。波陣面：所有振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面， 最前面的那個(gè)波陣面則稱波前。例：(1)球面波 波陣面為球面; 在各向同性介質(zhì)中波線與波面垂直球面波波陣面波線平面波波線波陣面(2)平面波 波陣面為平面。第6 章4、波動(dòng)是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，傳播方向上的質(zhì)元相位永遠(yuǎn)落后波

41、源相位。6.4.2 波動(dòng)方程 描述介質(zhì)中同一波線上不同位置質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系。簡(jiǎn)諧波：波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由于介質(zhì)中各 質(zhì)點(diǎn)在波源的擾動(dòng)下作受迫振動(dòng)， 所以各質(zhì)點(diǎn)都以波源相同頻率作 簡(jiǎn)諧振動(dòng)。第6 章 設(shè)波以波速 u 沿著 x 軸的正方向傳播，y 軸表示 x 軸 ( 波線 ) 上質(zhì)點(diǎn)的位移。波源O點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為： yo = A cos (t +) B 點(diǎn)落后時(shí)間為 x /u ，相應(yīng)落后相位為x /u ，則 B點(diǎn)的振動(dòng)方程為：yB = Acos(t+-x/u) = Acos(t - x / u)+ 因?yàn)锽點(diǎn)是任意的，所以上式即平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。xxyuBO1、平面簡(jiǎn)諧波第6 章平

42、面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程： y = A cos( t - x / u ) +因= 2， = 1/ T，并設(shè)= u / = u T，則上式還可寫(xiě)成下列三種形式： y = A cos2 ( t - x /) + y = A cos2 ( t / T - x /) + y = A cos2 ( x - u t ) /+第6 章2、波動(dòng)方程的物理意義(1) x 給定，y t 曲線表 示 x 處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程。ytoyxo(2) t 給定， y x 曲線表示 t 時(shí)刻波形方程 ，其空 間周期為。波長(zhǎng)：空間周期又稱為波長(zhǎng)，它表示在 波線上相距一個(gè)波長(zhǎng)的兩質(zhì)點(diǎn)的 相位差為/ u = 2/ u = 2。第6 章(3)

43、 y 給定 ( 即 x 與 t 同時(shí)變化 ) 當(dāng) t t +t 時(shí)，x x +x 處， A cos( t - x / u ) + = A cos t +t - ( x +x ) / u + x = ut 即：整個(gè)波形以速度 u 向傳播方向移動(dòng)。yyxyxxtt + t 第6 章解：設(shè)波動(dòng)傳播到 P點(diǎn) ( x xo )，則 P點(diǎn)落后 Po 的相位為( x - xo ) / u，所以 P點(diǎn)的振動(dòng)方程為：yP = A cost -( x - xo ) / u 因?yàn)?P點(diǎn)是任意的，所以上式即為該平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。例6-6 有一以波速為 u，沿 x 軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波。已知在波傳播到 Po 點(diǎn)

44、 ( 離原點(diǎn)為 xo ) 處的振動(dòng)規(guī)律為 yPo = A cost，求此波的表達(dá)式。 P PoxoxxOu第6 章例6-7 一平面簡(jiǎn)諧波沿 x 軸正方向傳播，t = 0 s 時(shí)刻的波形如圖所示，試畫(huà)出P處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)在 t = 0 時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖。uxyoPyoA第6 章oyt=2 st=0 s例6-8 圖示為一平面簡(jiǎn)諧波在 t = 2 s 時(shí)刻的波形圖，波的振幅為 0.02m，周期為 4 s, 求圖中 P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。解：已知A = 0.02 m , T = 4 s則有 = 2 / T = / 2V0Puyxo= P點(diǎn)的初相為 = - /2yp = 0.02cos( t/2 - /2

45、) (SI) = t = / 2 2 = t = 2 s 時(shí)，P點(diǎn)的位相為/2第6 章3、波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 可以證明波動(dòng)滿足下面微分方程： 2y/ t2 = u2 2y/ x2上式稱為波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。標(biāo)準(zhǔn)形式波動(dòng)方程的一般解形式為：y = f ( x u t )其中 f 是任意函數(shù)。簡(jiǎn)諧波只是波動(dòng)方程的一個(gè)特解形式。 從質(zhì)元?jiǎng)恿W(xué)分析可建立標(biāo)準(zhǔn)形式的波動(dòng)方程，進(jìn)而可確定波在介質(zhì)的傳播速度 u。第6 章例如：(1)在彈性細(xì)棒中，縱波的波速為： u = ( Y/)1/2 ( 縱波 )式中 Y 為介質(zhì)的楊氏彈性模量，為介質(zhì)的體密度。(2) 在無(wú)限大彈性介質(zhì)中，橫波的波速為： u = ( G/)

46、1/2 ( 橫波 )式中 G 為介質(zhì)的切變模量。(3) 在緊張繩索上的波速為： u = ( T/)1/2 ( 繩索上 )式中 T 為繩索張力，為繩索線密度。第6 章6.4.3 機(jī)械波的能量和強(qiáng)度 1、波的能量 當(dāng)平面簡(jiǎn)諧波傳播到體積元V 時(shí)，該體積元將具有動(dòng)能 EK 和彈性勢(shì)能 EP。可以證明：EK = EP =2V( A2 - y2 ) / 2體積元的總機(jī)械能為：E = EK + EP =2V( A2 - y2 )波的能量密度：w =E/V= 2( A2 - y2 ) 一個(gè)周期內(nèi)的平均值：w =2 A2 / 2 上式對(duì)所有彈性波都是適用的。第6 章波的能量特點(diǎn)：(1) 體積元的動(dòng)能和勢(shì)能相等

47、、且同相。 即：同時(shí)最大，同時(shí)最小。yxo形變最小勢(shì)能最小動(dòng)能最小動(dòng)能最大形變最大勢(shì)能最大與諧振子比較：動(dòng)能最大時(shí)，勢(shì)能最?。?勢(shì)能最大時(shí)，動(dòng)能最小。第6 章usu平均能流： P = w u s波的強(qiáng)度 I（能流密度）： 通過(guò)垂直于波動(dòng)傳播方向的單位面積的平均能流，即：I = P / s = w u =A22 u / 2平均能流 P 與強(qiáng)度 I 關(guān)系： P = I s (2) 對(duì)于某一給定點(diǎn)，總能量隨時(shí)間作周期 性變化。這說(shuō)明任一體積元都在不 斷地 接受和放出能量，所以波動(dòng)傳播能量。與振動(dòng)系統(tǒng)比較：能量守恒，不傳播能量。2、波的強(qiáng)度能流：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)介質(zhì)中某面積的能量。第6 章 設(shè)離波源單位

48、距離 ro 處的振幅為Ao，離波源距離 r處的振幅為A。對(duì)于球面波，通過(guò)球面So和S的能流相同。即： So Io ds = S I ds Io 4 ro2 = I 4 r2 Ao22 u ro2/ 2 = A22 u r2/ 2 Ao ro = A r A = Ao ro / r = Ao / r 球面簡(jiǎn)諧波： y = (Ao/r) cos( t - r / u ) + 例：試求球面簡(jiǎn)諧波表示式。rroSo S第6 章6.4.4 波的干涉1、波的迭加原理實(shí)驗(yàn)證明： 當(dāng)介質(zhì)中存在兩個(gè)以上的波源時(shí)，這時(shí)各波源所激起的波可在同一介質(zhì)中獨(dú)立地傳播；而在各個(gè)波相互交迭的區(qū)域，各點(diǎn)的振動(dòng)(位移或電磁場(chǎng))則

49、是各個(gè)波在該點(diǎn)激起的振動(dòng)的矢量和。例如：(1)幾個(gè)水波可以互不干擾地相互貫 穿，然后繼續(xù)按各自原來(lái)方式傳播； (2)當(dāng)交響樂(lè)隊(duì)演奏時(shí)，人耳仍能清 晰地分辨出每個(gè)樂(lè)器演奏的旋律。第6 章兩水波的疊加SS12第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的

50、疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加第6 章理論分析： 由于波動(dòng)的方程式 2 y/ 2 t = u2 2 y/ 2 x 是線性的?？勺C明： 如果 y1( x、t ) 和 y2( x、t ) 分別滿足波動(dòng)方程，則合成波 y = y1 ( x、t ) + y2 (x、t )

51、也滿足波動(dòng)方程，這就是波的波加原理的數(shù)學(xué)表示。第6 章2、波的干涉(1) 相干源 兩個(gè)頻率相同，振動(dòng)方向相同、相位相同或相位差恒定的波源。干涉現(xiàn)象： 兩個(gè)相干源波在空間迭加時(shí)，在某些點(diǎn)處振動(dòng)始終加強(qiáng)，而在另一些點(diǎn)處，振動(dòng)始終減弱。光既然是電磁波，也能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。第6 章y10 = A10 cos ( 2t +1 )y20 = A20 cos ( 2t +2 )S1 和 S2 發(fā)出的波到達(dá) P點(diǎn)的振動(dòng)分別為：y1 = A1 cos ( 2t +1 - 2 r1 /) y2 = A2 cos ( 2t +2 - 2 r2 /)兩個(gè)振動(dòng)在 P點(diǎn)的相位差為：=2 -1 - 2 ( r2 - r1 )

52、 /P 點(diǎn)的振動(dòng)就是這兩個(gè)振動(dòng)的合振動(dòng)。S1S2r1r2P(2) 兩個(gè)相干源的干涉設(shè)波源 S1、S2的振動(dòng)方程為：第6 章P點(diǎn)合振動(dòng)：頻率 兩同頻率、同方向振動(dòng)的合振動(dòng)仍 為同頻率的振動(dòng)；振幅 由兩分振動(dòng)的相位差來(lái)決定。由于 兩波源的相位差2 -1是恒定的， 因此，空間中任一 P點(diǎn)兩振動(dòng)的相 位差也是恒量，所以，任一P點(diǎn)合 振幅也是恒量。第6 章干涉加強(qiáng)與減弱條件：加強(qiáng)：=2 -1 - 2 ( r2 - r1 ) / = 2k (k = 0，1，2，3) 合振幅 A 最大，A = A1 + A2 。減弱：= 2 -1 - 2 ( r2 - r1 ) / =(2k+1) (k = 0，1，2，3

53、) 合振幅A為最小， A = |A1 - A2| 。如果1=2，上述條件可簡(jiǎn)化為波程差：加強(qiáng)：= r2 - r1 = 2k (/ 2) ( k = 0，1，2) 又稱為干涉相長(zhǎng)減弱：= r2 - r1 = ( 2k + 1 ) (/ 2 ) （k = 0，1，2 ) 又稱為干涉相消第6 章3、駐波(1)駐波的形成和特點(diǎn)(a)駐波形成的條件 兩列振幅相同，傳播方向相反的相干波的迭加。 波干涉的特例。(b)定量分析 （以平面簡(jiǎn)諧波為例） 設(shè)兩列頻率、振幅及振動(dòng)方向相同，傳播方向相反的平面簡(jiǎn)諧波：y1 = Acos 2(t - x/)，y2 = Acos 2(t + x/)。合成波：y = y1+

54、y2 = 2Acos2x/ cos 2t 第6 章合成波：y = 2Acos2x / cos 2t討論：(A)各點(diǎn)都在作同頻率的振動(dòng) cos 2t；(B)位置 x 點(diǎn)的振幅 | 2Acos2x / | (C)位置 x 點(diǎn)的振動(dòng)相位依賴與 2Acos2x / 的正負(fù)號(hào)。正號(hào)（或負(fù)號(hào)）各處相位相 同，但正、負(fù)號(hào)之間處相位反相。波節(jié)波腹第6 章(D)在 x = k/2處，振幅 | 2Acos2x/ |= 2A， 振幅最大，稱為波腹； 在x =(2k+1)/4處，振幅 |2Acos2x/|= 0， 靜止不動(dòng)，稱為波節(jié)。 其中 k = 0，1，2 。 (F) 相鄰兩個(gè)波腹或波節(jié)之間的距離為 / 2。 這

55、為我們提供了一種測(cè)定波長(zhǎng)的方法波節(jié)波腹第6 章波節(jié)波腹(G)駐波使波線上各點(diǎn)作分段振動(dòng) ( 兩個(gè)相 鄰波節(jié)為一分段 )，在每一分段中，各 點(diǎn)的振動(dòng)相位是相同；兩個(gè)相鄰分段， 振動(dòng)相位正好反相。每分段中各點(diǎn)的振動(dòng)相位是相同的，這種波稱為駐波；而相位逐點(diǎn)傳播的波稱為行波。第6 章(c)駐波特點(diǎn)頻率：各質(zhì)元頻率相同；振幅：與位置有關(guān)；相位：同一分段，相位相同； 相鄰分段，相位反相。能量：波腹處，動(dòng)能為零，聚集勢(shì)能； 波節(jié)處，勢(shì)能為零，聚集動(dòng)能。 駐波能量不斷在相鄰波腹與波節(jié)之間相互轉(zhuǎn)換，沒(méi)有單一方向的能量傳播。第6 章入射波y反射波y(d) 半波損失繩子波在固定端反射：疊加后的波形 在反射端形成波節(jié)

56、。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到達(dá)兩種媒質(zhì)分界面時(shí)發(fā)生 相位突變，稱為半波損失。墻體)波密媒質(zhì)(第6 章反射波疊加后的波形入射波自由端yy繩子波在自由端反射 在反射端形成波腹。在反射端入射波和反射波周相相同，無(wú)半波損失。第6 章 “半波損失”將決定于波的種類(lèi)和兩種介質(zhì)的有關(guān)性質(zhì)以及入射角的大小。機(jī)械波：波密介質(zhì) 密度與波速 u 的乘 積u較大的介質(zhì)。 波疏介質(zhì) 乘積u 較小的介質(zhì)。光波：光密介質(zhì) 折射率 n 較大的介質(zhì)； 光疏介質(zhì) 折射率 n 較小的介質(zhì)?？梢宰C明：當(dāng)波從波(光)疏介質(zhì)垂直入射到波(光)密介質(zhì)而反射時(shí)，則反射波有 相位突變，相應(yīng)有半波波程的損失。這樣在分界處出現(xiàn)波節(jié)

57、，這種現(xiàn)象稱為“半波損失”。第6 章例6-9 一平面波沿 x 軸正方向傳播，傳到波密介質(zhì)分界面 M 在 B 點(diǎn)發(fā)生反射。 已知坐標(biāo)原點(diǎn) O 到介質(zhì)分界面 M 的垂直距離 L = 1.75 m，波長(zhǎng)= 1.4 m，原點(diǎn) O處的振動(dòng)方程為： yo = 5 10-3 cos ( 500t + /4 ) m，并設(shè)反射波不衰減，試求：(1)入射波和反射波的波動(dòng)方程；(2)O和B之間其余波節(jié)的位置；(3)離原點(diǎn)為 0.875 m 處質(zhì)點(diǎn)的振幅。L OBMu 第6 章解：(1)已知原點(diǎn)振動(dòng)方程為：yo = 5 10-3 cos (500t + /4) m則入射波的波動(dòng)方程為：y入= 510-3cos2 (2

58、50t - x /1.4)+ /4 m反射波：考慮 C點(diǎn)，反射波引起 C 點(diǎn)振動(dòng)的相位落后于 O 點(diǎn)振動(dòng)的相位為 2 (2L - x) /+ ，所以反射波的波動(dòng)方程為：y反 = 510-3cos500t+/4 - 2(2L-x)/+ = 510-3cos2(250t+x /1.4)+ /4 mL OBMu Cx第6 章(2) x 處反射波與入射波引起振動(dòng)相位差：= ( 2x /1.4 + /4 ) - ( -2x /1.4 + /4) = 4x / 1.4干涉減弱條件可得波節(jié)位置滿足條件為：4x / 1.4 = ( 2k + 1 )波節(jié)位置： x = 0.35 ( 2k + 1) m，( k

59、= 0，1，2) =0.35，1.05，1.75 m所以 O 和 B 之間其余波節(jié)位置：x1 = 0.35 m , x2 = 1.05 m。第6 章(3) 在 x = 0.875 m 處，反射波和入射波間 的相位差： = 4 0.875 1.4 = 5 / 2合振幅： A = ( A入 2 + A反2 + 2A入 A反 cos)1/2 = 1.414 A入 = 1.414 5 10-3 = 7.07 10-3m第6 章4、簡(jiǎn)正模式 駐波的頻率由系統(tǒng)的固有性質(zhì)和邊界條件決定。例如：一根兩端固定，長(zhǎng)為 l 的緊張弦上的駐波，必須使兩端成為波節(jié)，即弦長(zhǎng)必須是半波長(zhǎng)的整數(shù)倍： l = k/ 2 k = 2 l / k ( k = 1，2，3 )對(duì)應(yīng)的駐波頻率： ( u 為弦線中的波速 ) k = k u / 2 l ( k = 1，2，3 )/23/2k = 1k = 2k = 3第