理論力學(xué)A課本習(xí)題答案：動(dòng)力學(xué)I第二章部分習(xí)題解答

1、PAGE 2-1x 解：當(dāng)摩擦系數(shù)足夠大時(shí)，平臺(tái)AB相對(duì)地面無(wú)滑動(dòng)，此時(shí)摩擦力取整體為研究對(duì)象，受力如圖，系統(tǒng)的動(dòng)量：將其在軸上投影可得：根據(jù)動(dòng)量定理有： 即：當(dāng)摩擦系數(shù)時(shí)，平臺(tái)AB的加速度為零。當(dāng)摩擦系數(shù)時(shí)，平臺(tái)AB將向左滑動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量為：將上式在軸投影有：根據(jù)動(dòng)量定理有：由此解得平臺(tái)的加速度為：（方向向左）2-2 x取彈簧未變形時(shí)滑塊A的位置為x坐標(biāo)原點(diǎn)，取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示,其中為作用在滑塊A上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動(dòng)量為：將上式在x軸投影：根據(jù)動(dòng)量定理有：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：24 取提起部分為研究對(duì)象，受力如圖(a)所示，提起部分的質(zhì)量為，提起部分的速度為，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)

2、動(dòng)可知質(zhì)點(diǎn)并入的相對(duì)速度為，方向向下，大小為（如圖a所示）。y(b)根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有：將上式在y軸上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分為研究對(duì)象，由于地面上的物體沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，并起與提起部分沒(méi)有相互作用力，因此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即：x35 將船視為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，取其為研究對(duì)象，受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有：船的質(zhì)量為：，水的阻力為將其代入上式可得：將上式在x軸投影：。應(yīng)用分離變量法可求得由初始條件確定積分常數(shù)，并代入上式可得：2-8 圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，板對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)方板的速度大小為（常

3、量）。圓盤中心到轉(zhuǎn)軸的距離為。質(zhì)點(diǎn)在方板上的位置由確定。初始時(shí)，方板的角速度為零，求方板的角速度與角的關(guān)系。oM 圖a 圖 b解：取方板和質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，作用在研究對(duì)象上的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的力矩為零，因此系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒。下面分別計(jì)算方板和質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩。設(shè)方板對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為，其角速度為，于是有設(shè)質(zhì)點(diǎn)M對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為，取方板為動(dòng)系，質(zhì)點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，其牽連速度和相對(duì)速度分別為。相對(duì)速度沿相對(duì)軌跡的切線方向，牽連速度垂直于OM連線。質(zhì)點(diǎn)M相對(duì)慣性參考系的絕對(duì)速度。它對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為其中：系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為。初始時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到圖8-12位置時(shí)，系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為

4、由于系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒。所以有，因此可得：由上式可計(jì)算出方板的角速度為211 取鏈條和圓盤為研究對(duì)象，受力如圖（鏈條重力未畫(huà)），設(shè)圓盤的角速度為，則系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩為：P根據(jù)動(dòng)量矩定理有：整理上式可得：由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：，因此有：。上式可表示成：令，上述微分方程可表示成：，該方程的通解為：根據(jù)初始條件：可以確定積分常數(shù)，于是方程的解為：系統(tǒng)的動(dòng)量在x軸上的投影為：系統(tǒng)的動(dòng)量在y軸上的投影為：根據(jù)動(dòng)量定理：由上式解得：，214 取整體為研究對(duì)象，系統(tǒng)的動(dòng)能為：其中：分別是AB桿的速度和楔塊C的速度。若是AB桿上的A點(diǎn)相對(duì)楔塊C的速度，則根據(jù)復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理可知：，因此系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為

5、：，系統(tǒng)在能夠過(guò)程中，AB桿的重力作功。根據(jù)動(dòng)能定理的微分形式有：，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示成：由上式解得：，217 質(zhì)量為的均質(zhì)物塊上有一半徑為的半圓槽，放在光滑的水平面上如圖A所示。質(zhì)量為光滑小球可在槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)，系統(tǒng)靜止，小球在A處。求小球運(yùn)動(dòng)到B處時(shí)相對(duì)物塊的速度、物塊的速度、槽對(duì)小球的約束力和地面對(duì)物塊的約束力。ABAB 圖A 圖B解：取小球和物塊為研究對(duì)象，受力如圖B所示，由于作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力均為有勢(shì)力，水平方向無(wú)外力，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，水平動(dòng)量守恒。設(shè)小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，物塊為動(dòng)系，設(shè)小球相對(duì)物塊的速度為，物塊的速度為，則系統(tǒng)的動(dòng)能為設(shè)為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為根據(jù)機(jī)械能守恒定

6、理和初始條件有，即系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量為：根據(jù)系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒和初始條件有由此求出，將這個(gè)結(jié)果代入上面的機(jī)械能守恒式,且最后求得：下面求作用在小球上的約束力和地面對(duì)物塊的約束力。分別以小球和物塊為研究對(duì)象，受力如圖C，D所示。設(shè)小球的相對(duì)物塊的加速度為，物塊的加速度為，對(duì)于小球有動(dòng)力學(xué)方程ABAB （a） 圖C 圖 D對(duì)于物塊，由于它是平移，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程有 （b）將方程（a）在小球相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的法線方向投影，可得其中相對(duì)加速度為已知量，。將方程（b）在水平方向和鉛垂方向投影，可得領(lǐng)，聯(lián)立求解三個(gè)投影可求出218 取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，兩個(gè)小球?qū)ΨQ下滑，設(shè)圓環(huán)的半徑為R。每個(gè)小球應(yīng)用動(dòng)能定理

7、有： （a）將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并簡(jiǎn)化可得： (b )每個(gè)小球的加速度為取圓環(huán)與兩個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理將上式在y軸上投影可得： 將(a),(b)兩式代入上式化簡(jiǎn)后得時(shí)對(duì)應(yīng)的值就是圓環(huán)跳起的臨界值，此時(shí)上式可表示成上述方程的解為：，圓環(huán)脫離地面時(shí)的值為而也是方程的解，但是時(shí)圓環(huán)已脫離地面，因此不是圓環(huán)脫離地面時(shí)的值。z219 取圓柱、細(xì)管和小球?yàn)檠芯繉?duì)象。作用于系統(tǒng)上的外力或平行于鉛垂軸或其作用線通過(guò)鉛垂軸。根據(jù)受力分析可知：系統(tǒng)對(duì)鉛垂軸的動(dòng)量矩守恒。設(shè)小球相對(duì)圓柱的速度為，牽連速度為系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒，有：其中：，則上式可表示成：由此解得：其中：，根據(jù)動(dòng)能定理積分式，有：其中：，將其代入動(dòng)能定理的