化工數(shù)學(xué)課件：第二章 3 最小二乘法

1、時間(s)R的濃度(gmol/L)時間(s)R的濃度(gmol/L)05001000150020002500300000.00800.01400.02000.02500.02950.033035004000450050005500600065000.03650.04000.04250.04550.04800.05050.0525若反應(yīng)物A和B初始濃度相等，即CA0CB00.1gmol/L，試求該反應(yīng)的動力學(xué)方程式。例1 用間歇反應(yīng)器測定液相反應(yīng)速度 ABR在間歇反應(yīng)器中，每間隔500 s測得反應(yīng)生成物R的濃度數(shù)據(jù)列于下表：2.4最小二乘曲線擬合數(shù)學(xué)模型概念數(shù)學(xué)模型就是系統(tǒng)的某種特征本質(zhì)的數(shù)學(xué)表

2、達(dá)式，可以用來描述所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面存在的規(guī)律。理想模型滿足的條件可靠性適用性在允許的誤差范圍內(nèi)，能反應(yīng)該系統(tǒng)的有關(guān)特性的內(nèi)在聯(lián)系它須易于數(shù)學(xué)處理和計算按建模方法不同數(shù)學(xué)模型分為機(jī)理模型（白箱模型)經(jīng)驗?zāi)Ｐ停ê谙淠Ｐ?混合模型（灰箱模型) 數(shù)學(xué)模型分類理論分析法實驗歸納法建立數(shù)學(xué)模型的一般方法2.4.1 關(guān)聯(lián)函數(shù)的選擇及其線性化（1）理論推導(dǎo)（2）借鑒經(jīng)驗（3）畫圖對比1、模型的選擇2、線性化一元線性模型： 多元線性模型： 暫停：休息三條線哪一條更好？2.4.2 用線性最小二乘法確定模型中的待定系數(shù)一、最小二乘原理使殘差平方和最小，即二、一元（二參數(shù)）線性模型中待定系數(shù)的確定 對

3、于一元線性模型：Q (a,b)=由(1) 得其 中由(2) 得xi的離差的平方和 yi的離差的平方和 xi 離差與yi的離差的乘積和 則：例2-21 某化學(xué)反應(yīng)實驗所得生成物的濃度與時間的關(guān)系如下表，用最小二乘法關(guān)聯(lián)濃度y與時間t的關(guān)系。t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y103 4. 6.4 8. 8.8 9.22 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.601、選擇模型特點：（1）在 t=0 時，y=0（2）在 t= 時，y 趨于常數(shù)模型 2模型 12、線性化以第1個模型為例的

4、計算過程數(shù)據(jù)編號Xi YiXi2XiYi1234567891011121314151610.50.3330.250.20.1670.1430.1250.1110.10.0910.0830.0770.0710.0670.0633.3810.251030.1561030.1251030.1141030.1081030.1051030.1031030.1011030.11030.0981030.09691030.09591030.09521030.09481030.09451030.09431031.831610310.250.1110.06250.040.02790.02040.01560.012

5、30.010.00830.00690.00590.00500.00450.00401.58430.251030.0781030.04161030.02851030.02161030.01751030.01471030.01261030.01111030.00981030.00881030.0081030.00731030.00671030.00631030.00591030.5284103a=eA=1.1325310-2 a=80.13 b=B=-1.0567 b=162.55 兩種模型結(jié)果哪個模型更好些？模型2更好些！模型2模型1三、相關(guān)系數(shù)與顯著性檢驗 *1、線性相關(guān)系數(shù)r描述兩個變量線性

6、關(guān)系的密切程度的指標(biāo) 1. 2. 這說明x與y沒有線性關(guān)系這說明x與y完全線性相關(guān) 3. 這說明x與y部分線性相關(guān) 當(dāng)越接近于1，線性性關(guān)越大 r=0r=0.6r=-0.9r=1.0r=0*2、相關(guān)指數(shù) 例2-21 中模型2更好些！非線性模型中x與y擬合效果的指標(biāo) 3、顯著性檢驗例：當(dāng)n-2=3,即用5個數(shù)據(jù)來回歸直線，相關(guān)系數(shù)至少為0.878，所得直線方程的置信度是95%。4、剩余標(biāo)準(zhǔn)差 例2-21中：模型2更好些！試驗范圍每個x來說，有95.4%的值落在兩條平行直線之間 有99.7%的值落在兩條平行直線之間 經(jīng)驗?zāi)Ｐ徒⒌幕静襟E（1） 模型形式的選擇及線性化（2） 應(yīng)用最小二乘原理確定模

7、型中待定的參數(shù)（3） 模型的檢驗與評價總結(jié)四、二元（三參數(shù)）線性模型中待定系數(shù)的確定 應(yīng)用最小二乘原理根據(jù)多元函數(shù)極值存在必要條件 整理可得-稱為正規(guī)方程組 由方程組第一式可得 代入方程組中第二式，第三式，經(jīng)整理得 式中 于是正規(guī)方程組可以簡化寫成將方法推廣到m個自變量問題，可得到正規(guī)方程組考察Y與X1，X2,Xm之間線性相關(guān)密切程度 用復(fù)相關(guān)系數(shù)Ra作為指標(biāo) 0| Ra | 1 考察X1 ，Y在除去X2 的影響之后的相關(guān)系數(shù)稱為X1與Y對X2的偏相關(guān)系數(shù)，記作 第二章 小結(jié)1、插值法 （1） 必須掌握兩個公式： 拉格朗日 牛頓插值（2）明確如何減少求值的誤差，即 會選擇適合的公式以及節(jié)點2、數(shù)值微分： 了解求數(shù)值微分的方法，掌握用差商（重點是用中心差商）近似導(dǎo)數(shù)，3、數(shù)值積分： 必須掌握復(fù)化梯形以及復(fù)化辛卜生求積公式，并能熟練應(yīng)用；了解變步長尤其是龍貝格求積法。4、曲線擬合： 必須掌握用曲線擬合的方法建立數(shù)學(xué)模型的各個步驟（包括模型檢驗），并能熟練應(yīng)用。習(xí)題： 假設(shè)一化學(xué)反應(yīng)速率方程可用下式：實驗測得以下數(shù)據(jù)，確定k0 及Ea。T1t ： * * * * * * * *CA ： * * * * * * * *T2t： * * * *