數(shù)值計(jì)算方法：ch1-3 選主元的消元法

1、線性方程組的Gauss消元法11.3 選主元的消元法2引理1.1按自然順序消元過(guò)程得到的均不為零的充分必要條件是順序主子矩陣非奇異，并且由上述引理，當(dāng)k=n-1時(shí)得到下面的結(jié)果定理1.1按自然順序消元過(guò)程可以實(shí)現(xiàn)的充分必要條件是A的順序主子矩陣均為非奇異矩陣.按照上述定理，按自然順序消元的各種算法，只有當(dāng)系數(shù)矩陣的順序主子矩陣非奇異時(shí)才能應(yīng)用，也就是說(shuō)只有當(dāng)時(shí)才能應(yīng)用，但是在消元過(guò)程中可能出現(xiàn) 的情況，這時(shí)消元就無(wú)法進(jìn)行；即使，但很小時(shí)，用其作除數(shù)，會(huì)導(dǎo)致其他元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)散，最后導(dǎo)致計(jì)算解不可靠。4例：其精確解為5主元素在Gauss消元過(guò)程中，當(dāng) 時(shí)，可以進(jìn)行k步消元，則

2、 稱為消元過(guò)程的主元素（主元），主元所在的方程為主方程。主元消去法由于在線性方程中，交換方程和未知數(shù)的順序不影響方程的解，所以主元和主方程是可以選擇的。除了特殊情形外，消元過(guò)程的每一步都應(yīng)當(dāng)選主元，這樣既可以保證主元素不為0，也可以保證算法的穩(wěn)定性，這種先選主元后進(jìn)行消元的過(guò)程稱為主元消去法6主元消去法分類(lèi)列選主元：在變換到第k步時(shí)，選擇 中絕對(duì)值最大者為主元，然后交換它與 所在方程的位置全選主元：在變換到第k步時(shí)，選擇 中絕對(duì)值最大者為主元，然后通過(guò)行、列交換將它換到 所在的位置上 注：由于列交換改變了x的次序，應(yīng)對(duì)交換次序作一下記錄。7例 用主元消去法求解線性方程組 計(jì)算過(guò)程中保留3位小數(shù)

3、8列主元消去法定理1.3 設(shè)A非奇異，則存在置換矩陣P，以及單位下三角陣L和上三角陣U，使 PA=LU 并且這種三角分解可由列主元消去法得到。9列主元消去法的消元過(guò)程對(duì)于k=1,2,n-1(1)選主元對(duì)于i=k+1,n, 若 ，則(2)若rk，則交換第r行和第k行元素，同時(shí)交換b的第r個(gè)分量和第k個(gè)分量，即對(duì) 做10(3)消元：對(duì)于i=k+1,n，計(jì)算 對(duì)于i=k+1,n，計(jì)算11列主元消元法計(jì)算行列式由 PA=LU 于是 det(P)det(A)=det(L)det(U) 由于det(L)=1，det(P)=(-1) ,為置換次數(shù)， 故 其中ukk為U的對(duì)角元素12自然順序消元系數(shù)矩陣的順序

4、主子矩陣非奇異選主元的消元系數(shù)矩陣非奇異，順序主子矩陣不滿足非奇異的條件計(jì)算過(guò)程中除數(shù)的絕對(duì)值相對(duì)較小，計(jì)算誤差會(huì)很大當(dāng)系數(shù)矩陣非奇異時(shí)主要應(yīng)用列主元消元法13第一章解線性方程組的直接法高斯消去法矩陣的三角分解法Doolittle(杜利特爾分解)Crout（克洛脫分解）選主元消去法列選主元消去法全選主元消去法14高斯消去法消去過(guò)程回代過(guò)程15選主元消去法1）列選主元：在變換到第k步時(shí)，選擇 中絕對(duì)值最大者為主元，2）全選主元：在變換到第k步時(shí)，選擇 中絕對(duì)值最大者為主元 16引理1.1按自然順序消元過(guò)程得到的均不為零的充分必要條件是順序主子矩陣非奇異，并且由上述引理，當(dāng)k=n-1時(shí)得到下面的結(jié)果定理1.1按自然順序消元過(guò)程可以實(shí)現(xiàn)的充分必要條件是A的順序主子矩陣均為非奇異矩陣.171.2矩陣的LU分解定理1.2（LU分解）設(shè)A的前n-1個(gè)順序主子矩陣非奇異，則存在單位下三角陣L及上三角陣U，使ALU而且這樣的分解是唯一的。注: 順序主子矩陣非奇異等價(jià)于順序主子式Di不為零.18LU分