高等數(shù)學(xué)第六版上下冊(cè)(全)(同濟(jì)大學(xué)出版社)通用PPT課件

1、第一章 分析基礎(chǔ) 函數(shù) 極限 連續(xù) 研究對(duì)象 研究方法 研究橋梁函數(shù)與極限 第一章 二、映射 三、函數(shù) 一、集合第一節(jié)映射與函數(shù)元素 a 屬于集合 M , 記作元素 a 不屬于集合 M , 記作一、 集合1. 定義及表示法定義 1. 具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集 ,記作 . ( 或) .注: M 為數(shù)集 表示 M 中排除 0 的集 ;表示 M 中排除 0 與負(fù)數(shù)的集 .簡(jiǎn)稱集簡(jiǎn)稱元表示法：(1) 列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素 .例:有限集合自然數(shù)集(2) 描述法： x 所具有的特征例: 整數(shù)集合或有理數(shù)集 p 與 q 互質(zhì)實(shí)

2、數(shù)集合 x 為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間無(wú)限區(qū)間點(diǎn)的 鄰域其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .半開區(qū)間去心 鄰域左 鄰域 :右 鄰域 :是 B 的子集 , 或稱 B 包含 A ,2. 集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2 .則稱 A若且則稱 A 與 B 相等,例如,顯然有下列關(guān)系 :,若設(shè)有集合記作記作必有定義 3 . 給定兩個(gè)集合 A, B, 并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集或二、 映射某校學(xué)生的集合 學(xué)號(hào)的集合 按一定規(guī)則查號(hào)某班學(xué)生的集合 某教室座位 的集合按一定規(guī)則入座引例1. 引例2.引例3.(點(diǎn)集)(點(diǎn)集)向 y 軸投影定義4.設(shè) X , Y 是兩個(gè)

3、非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則 f ,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱 f 為從 X 到 Y 的映射,記作元素 y 稱為元素 x 在映射 f 下的像, 記作元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 稱為映射 f 的定義域 ; Y 的子集稱為 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素 定義域 , 對(duì)應(yīng)規(guī)則, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. 對(duì)映射若, 則稱 f 為滿射; 若有 則稱 f 為單射;若 f 既是滿射又是單射,則稱 f 為雙射 或一一映射. 引例2, 3引例2引例2例1.海倫公式例2. 如圖所示,對(duì)應(yīng)陰影部分的面積則在數(shù)集自身

4、之間定義了一種映射(滿射) 例3. 如圖所示,則有(滿射) (滿射) X (數(shù)集 或點(diǎn)集 ) 說(shuō)明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用 X ( ) Y (數(shù)集) f 稱為X 上的泛函X ( ) X f 稱為X 上的變換 R f 稱為定義在 X 上的函數(shù)映射又稱為算子. 名稱. 例如, 定義域三、函數(shù)1. 函數(shù)的概念 定義5. 設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D 上的函數(shù) ,記為稱為值域 函數(shù)圖形:自變量因變量(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如, 反正弦主值 定義域 對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖像法、列表法使表達(dá)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義的自變量集合.定義域值域又如, 絕對(duì)值函數(shù)定義域值 域?qū)o(wú)實(shí)際背景的函數(shù), 書寫

5、時(shí)可以省略定義域.對(duì)實(shí)際問(wèn)題, 書寫函數(shù)時(shí)必須寫出定義域；例4. 已知函數(shù)解:及寫出 f (x) 的定義域及值域, 并求f (x) 的定義域 值域 2. 函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1) 有界性使稱 使稱 說(shuō)明: 還可定義有上界、有下界、無(wú)界 .(2) 單調(diào)性為有界函數(shù).在 I 上有界. 使若對(duì)任意正數(shù) M , 均存在 則稱 f ( x ) 無(wú)界.稱 為有上界稱 為有下界當(dāng)稱 為 I 上的稱 為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;單調(diào)減函數(shù) .(見 P11 )(3) 奇偶性且有若則稱 f (x) 為偶函數(shù);若則稱 f (x) 為奇函數(shù). 說(shuō)明: 若在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如, 偶

6、函數(shù)雙曲余弦 記又如,奇函數(shù)雙曲正弦 記再如,奇函數(shù)雙曲正切 記說(shuō)明: 給定 則 偶函數(shù) 奇函數(shù) (4) 周期性且則稱為周期函數(shù) ,若稱 l 為周期( 一般指最小正周期 ).周期為 周期為注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x 為有理數(shù)x 為無(wú)理數(shù)3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在一新映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為 f 的反函數(shù) ., 其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增 性質(zhì): 使其中2) 函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱 .例如 ,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱 .指數(shù)

7、函數(shù)(2) 復(fù)合函數(shù) 則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) , u 稱為中間變量. 注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 不可少. 例如, 函數(shù)鏈 :但可定義復(fù)合函數(shù)時(shí), 雖不能在自然域 R下構(gòu)成復(fù)合函數(shù),可定義復(fù)合函數(shù)當(dāng)改兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如, 可定義復(fù)合函數(shù):約定: 為簡(jiǎn)單計(jì), 書寫復(fù)合函數(shù)時(shí)不一定寫出其定義域, 默認(rèn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.4. 初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù) . 例如 ,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) .可表為故為初等函數(shù).又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .( 自學(xué), P17 P20 )非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng) x 0當(dāng) x = 0當(dāng) x 0取整函數(shù)當(dāng) 設(shè)函數(shù) x 換為 f (x)例5.解: 例6. 求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)閮?nèi)容小結(jié)1.