押廣東廣州卷第24-25題（二次函數(shù)、特殊四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題）（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)

押廣東廣州卷第24-25題押題方向一：二次函數(shù)3年廣東廣州卷真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年廣東廣州卷第24題反比例函數(shù)和二次函數(shù)綜合從近年廣東廣州中考來(lái)看，二次函數(shù)經(jīng)常會(huì)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、幾何圖形結(jié)合一起來(lái)考查，依據(jù)幾何圖形的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)最值解決問(wèn)題，綜合難度較大；預(yù)計(jì)2024年廣東廣州卷還將繼續(xù)重視對(duì)二次函數(shù)與其他函數(shù)和幾何圖形的綜合考查。2022年廣東廣州卷第24題一次函數(shù)和二次函數(shù)2021年廣東廣州卷第24題二次函數(shù)1．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．（1）若，求的值；（2）拋物線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn)，在的左邊），與軸交于點(diǎn)，記拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為．①為何值時(shí)，點(diǎn)到達(dá)最高處；②設(shè)的外接圓圓心為，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）把代入得，即可求解；（2）①，得，即可求解；②求出直線(xiàn)的表達(dá)式為：，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；由垂徑定理知，點(diǎn)在的中垂線(xiàn)上，則；由四邊形為平行四邊形，則，求出，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）把代入得；故的值為1；（2）①在中，令，則，解得或，，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，令，得，即當(dāng)，且，則，解得：（正值已舍去），即時(shí)，點(diǎn)到達(dá)最高處；②假設(shè)存在，理由：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，由①得，，，，，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)知，，作的中垂線(xiàn)交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)，，則，則直線(xiàn)的表達(dá)式為：．當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，．由垂徑定理知，點(diǎn)在的中垂線(xiàn)上，則．四邊形為平行四邊形，則，解得：，即，且，則，，，或，．【點(diǎn)評(píng)】本題為反比例函數(shù)和二次函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)基本知識(shí)、解直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)，其中（3），數(shù)據(jù)處理是解題的難點(diǎn)．2．（2022·廣東廣州·中考真題）已知直線(xiàn)：經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．(1)求直線(xiàn)的解析式；(2)若點(diǎn)P（，）在直線(xiàn)上，以P為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)G過(guò)點(diǎn)（0，-3），且開(kāi)口向下①求的取值范圍；②設(shè)拋物線(xiàn)G與直線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)Q'也在G上時(shí)，求G在≤≤的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)直線(xiàn)解析式為：；(2)①m＜10，且m≠0；②最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）①設(shè)G的頂點(diǎn)式，根據(jù)點(diǎn)P在直線(xiàn)上得出G的關(guān)系式，根據(jù)題意得出點(diǎn)（0，-3）不能成為拋物線(xiàn)G的頂點(diǎn)，進(jìn)而得出點(diǎn)P必須位于直線(xiàn)的上方，可求m的取值范圍，然后結(jié)合點(diǎn)P不能在軸上得出答案；②先根據(jù)點(diǎn)Q，點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，得QQ'=1，可表示點(diǎn)Q和的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)的代入關(guān)系式，求出a，再將點(diǎn)（0，-3）代入可求出m的值，然后分兩種情況結(jié)合取值范圍，求出函數(shù)最大值時(shí)，最高點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6），∴，解得，∴直線(xiàn)解析式為：；（2）解：①設(shè)G：（），∵點(diǎn)P（，）在直線(xiàn)上，∴；∴G：（）∵（0，-3）不在直線(xiàn)上，∴（0，-3）不能成為拋物線(xiàn)G的頂點(diǎn)，而以P為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)G開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)（0，-3），∴點(diǎn)P必須位于直線(xiàn)的上方，則，，另一方面，點(diǎn)P不能在軸上，∴，∴所求取值范圍為：，且；②如圖，QQ'關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且QQ'=1，∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為，而點(diǎn)Q在上，∴Q（，），Q'（，）；∵Q'（，）在G：上，∴，，∴G：，或．∵拋物線(xiàn)G過(guò)點(diǎn)（0，-3），∴，即，，；當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)G為，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為-2≤≤-1，整個(gè)區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，此時(shí)，函數(shù)值隨著的增大而減小，如圖，∴當(dāng)取區(qū)間左端點(diǎn)時(shí)，達(dá)最大值9，最高點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，9）；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為≤≤，最高點(diǎn)為頂點(diǎn)P（2，5），如圖，∴G在指定區(qū)間圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，求二次函數(shù)的極值等．解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)在直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)（0，7），此時(shí)拋物線(xiàn)不可能過(guò)點(diǎn)（0，-3），因此，可能會(huì)被忽視．3．（2021·廣東廣州·中考真題）已知拋物線(xiàn)（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)（2，4）是否在該拋物線(xiàn)上；（2）該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動(dòng)，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到最高處時(shí)，求該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)、，若該拋物線(xiàn)與線(xiàn)段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，求該拋物線(xiàn)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）不在；（2）（2，5）；（3）x頂點(diǎn)或x頂點(diǎn)或x頂點(diǎn)【分析】（1）先求出函數(shù)關(guān)系式，再把（2，4）代入進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出拋物線(xiàn)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，最大值即為頂點(diǎn)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入求解即可；（3）運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)EF的解析式，代入二次函數(shù)解析式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意分類(lèi)討論，求出m的值即可．【詳解】解：（1）把m=0代入得，當(dāng)x=2時(shí)，所以，點(diǎn)（2，4）不在該拋物線(xiàn)上；（2）=∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）∴縱坐標(biāo)為令∵∴拋物線(xiàn)有最高點(diǎn)，∴當(dāng)m=3時(shí)，有最大值，將m=3代入頂點(diǎn)坐標(biāo)得（2，5）；（3）∵E（-1，-1），F(xiàn)（3，7）設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為把點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)代入得解得，∴直線(xiàn)EF的解析式為將代入得，整理，得：解得則交點(diǎn)為：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在線(xiàn)段EF上，∴若該拋物線(xiàn)與線(xiàn)段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，則（m+1，2m+3）不在線(xiàn)段EF上，或（2，5）與（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜-1或m+1＞3或m+1=2（此時(shí)2m+3=5），∴此時(shí)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x頂點(diǎn)或x頂點(diǎn)=或x頂點(diǎn)=【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．1.二次函數(shù)（含參）最值討論技巧：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)（下面以a＞0為例進(jìn)行討論）。圖1圖2圖3圖4圖51）如圖1，當(dāng)x的取值為全體實(shí)數(shù)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值ymin=，無(wú)最大值。2）如圖2，當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=ax22+bx2+c；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。3）如圖3，當(dāng)且時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。4）如圖4，當(dāng)且時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。5）如圖4，當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=ax12+bx1+c；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。1．已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)用含的式子表示；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)該拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，的外接圓與軸交于另一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)，，在該拋物線(xiàn)上，且當(dāng)時(shí)，總有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，三角形的外接圓，同弧所對(duì)的圓周角相等；（1）把點(diǎn)代入拋物線(xiàn)，即可求解；（2）先求得的坐標(biāo)，進(jìn)而得出是等腰直角三角形，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出得出是等腰直角三角形，即可求解；（3）根據(jù)在該拋物線(xiàn)上，則，由當(dāng)時(shí)，總有，分點(diǎn)在之間，和對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)兩種情況，分類(lèi)討論，即可求解．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入拋物線(xiàn)，得，，解得：；（2）解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，則，解得：或；又∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴，，當(dāng)時(shí)，則，即，∴當(dāng)時(shí)，，∴是等腰直角三角形，∴，∵的外接圓與軸交于另一點(diǎn)，∴，即是等腰直角三角形，∵，則，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可得：；

（3）解：在該拋物線(xiàn)上，則，∵，∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，∵當(dāng)時(shí)，總有，∴圖①不成立，

當(dāng)?shù)奈恢脻M(mǎn)足圖②時(shí)，，解得：，∴，則，當(dāng)?shù)奈恢脻M(mǎn)足圖③時(shí)，則，解得：，此時(shí)，綜上所述，或．2．已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)用含有的式子表示；(2)若直線(xiàn)與，軸分別交于，兩點(diǎn)，面積為，求的取值范圍；(3)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)為，記拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，該拋物線(xiàn)是否存在點(diǎn)使四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）將代入得，，整理即可；（2）由經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可知經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，由（1）可知，，可求，；，；則，根據(jù)，即，可求，然后作答即可；（3）將代入得，，解得，，即，，可求，設(shè)，當(dāng)四邊形為平行四邊形，為邊，為對(duì)角線(xiàn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由平行四邊形的性質(zhì)可知，可求，即，將代入，可求滿(mǎn)足要求的解為，進(jìn)而可得，然后作答即可．【詳解】（1）解：將代入得，，整理得，，∴含有的式子表示為；（2）解：∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，由（1）可知，，當(dāng)時(shí)，，即，；當(dāng)時(shí)，，解得，，∴，；∴，∵，∴，即，∴，∴且；（3）解：將代入得，，解得，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，當(dāng)四邊形為平行四邊形，為邊，為對(duì)角線(xiàn)，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，解得，，∴，將代入得，，解得，，滿(mǎn)足題意；∴∴存在點(diǎn)使四邊形為平行四邊形，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)解析式，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形，完全平方公式的變形，二次函數(shù)與特殊的平行四邊形綜合，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握一次函數(shù)解析式，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形，完全平方公式的變形，二次函數(shù)與特殊的平行四邊形綜合，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．已知拋物線(xiàn)的圖象過(guò)點(diǎn)．(1)求b與a的關(guān)系式；(2)當(dāng)時(shí)，若該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)到x軸的距離是1，求a的值；(3)將拋物線(xiàn)進(jìn)行平移，若平移后的拋物線(xiàn)仍過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求平移后的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入即可得到答案；（2）根據(jù)和該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)到x軸的距離是1得到，解方程后根據(jù)即可得到答案；（3）根據(jù)題意可知拋物線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度．則平移后的拋物線(xiàn)解析式為．把代入解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（不合題意，舍去）；得到平移后的拋物線(xiàn)解析式為．即頂點(diǎn)為，設(shè)，即．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：∵拋物線(xiàn)的圖象過(guò)點(diǎn)．∴，∴；（2）∵∴∵該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)到x軸的距離是1，∴，解得或或，∵∴或（3）由平移前的拋物線(xiàn)，即，因?yàn)槠揭坪蟮膶?duì)應(yīng)點(diǎn)為可知，拋物線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度．則平移后的拋物線(xiàn)解析式為．把代入，得．．，所以．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（不合題意，舍去）；因?yàn)?，所以．所以平移后的拋物線(xiàn)解析式為．即頂點(diǎn)為，設(shè)，即．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，隨a的增大而減小，所以當(dāng)時(shí)，取最大值為，此時(shí)，平移后的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，也考查二次函數(shù)的性質(zhì)．4．已知拋物線(xiàn)：的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，與軸交于A、兩點(diǎn)（A在左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，求的值；(3)拋物線(xiàn)向右平移個(gè)單位（），平移后A、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．點(diǎn)是平移后的拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，若四邊形是平行四邊形，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由，得，即可求解；（2）先證明是直角三角形，即可求解；（3）先利用相似用m的代數(shù)式表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再由平行四邊形的對(duì)邊相等，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，∴，∴拋物線(xiàn)的解析式為：；（2）解：，則，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，而，∴，過(guò)點(diǎn)D作軸，則為等腰直角三角形，

∴，∴，∴，，而，∴，∴，∴而，∴在中，．（3）解：由題意得：，，由得，故平移后解析式為：∵，∴以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，有，∴，∴，∴，當(dāng)，則，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，則，∴∴代入得：，解得或（舍）；當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，則，∴∴代入得：，解得：解得或（舍），綜上：或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與相似三角形、平行四邊形的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)，其中，．(1)求證：直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C至少有一個(gè)交點(diǎn)；(2)若拋物線(xiàn)C與x軸交于，兩點(diǎn)，其中，且，求當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)C存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的頂點(diǎn)；(3)若在直線(xiàn)l下方的拋物線(xiàn)C上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）聯(lián)立，解方程，判斷方程的解得個(gè)數(shù)即可解答；（2）根據(jù)時(shí)，，結(jié)合拋物線(xiàn)C與x軸交于，兩點(diǎn)，結(jié)合，則，且，求得，確定h的整數(shù)解有1,2兩個(gè)，得證．（3）根據(jù)題意，得當(dāng)時(shí)，恒成立．建立不等式解答即可．本題考查了拋物線(xiàn)與一次函數(shù)的綜合，不等式組的解集與整數(shù)解，熟練掌握拋物線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）聯(lián)立，解方程，得，當(dāng)時(shí)，，即直線(xiàn)與拋物線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，故直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C至少有一個(gè)交點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，，∵拋物線(xiàn)C與x軸交于，兩點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴解得，∵h(yuǎn)時(shí)整數(shù)，∴，故拋物線(xiàn)C存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的頂點(diǎn)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（3）．∵如圖所示：由（1）可知：拋物線(xiàn)C與直線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)．當(dāng)，，在直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)C上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，恒成立．故，整理得：．又∵，∴，∴．6．已知二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)D是直線(xiàn)上方的拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸交射線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)P，Q為x軸下方的拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且這兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，試求點(diǎn)D到直線(xiàn)的最大距離．【答案】(1)(2)最大值為4，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(3)【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；（2）先求出直線(xiàn)解析式為，同理可得直線(xiàn)解析式為，設(shè)，則，，可得，；再證明是等腰直角三角形，得到，則，據(jù)此可得答案；（3）設(shè)，設(shè)直線(xiàn)解析式為，可利用待定系數(shù)法求出，，同理可得直線(xiàn)解析式為，；如圖所示，設(shè)直線(xiàn)，分別與y軸交于T、R，可求出，證明，可推出，進(jìn)而得到；設(shè)直線(xiàn)解析式為，聯(lián)立得，則，據(jù)此可得，即直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)D到直線(xiàn)得距離為h，由垂線(xiàn)段最短可得，則當(dāng)時(shí)，h最大，最大值為．【詳解】（1）解：∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，，∴，∴，∴拋物線(xiàn)解析式為，在中，當(dāng)，解得或，∴；（2）解：設(shè)直線(xiàn)解析式為，直線(xiàn)交直線(xiàn)于H，∴，∴，∴直線(xiàn)解析式為，同理可得直線(xiàn)解析式為，設(shè)，則，，∴，；∵，∴，∴，∵軸，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴時(shí)，有最大值，最大值為4，∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（3）解：設(shè)，設(shè)直線(xiàn)解析式為，∴，∴，∴直線(xiàn)解析式為，同理可得直線(xiàn)解析式為，如圖所示，設(shè)直線(xiàn)，分別與y軸交于T、R，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴，∴；設(shè)直線(xiàn)解析式為，聯(lián)立得，∴，∴，∴，∴直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)D到直線(xiàn)得距離為h，由垂線(xiàn)段最短可得，∴當(dāng)時(shí)，h最大，最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，解（2）的關(guān)鍵在于證明是等腰直角三角形得到，解（3）的關(guān)鍵是推出直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)（是常數(shù)），頂點(diǎn)為．(1)用含的式子表示拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；(2)已知點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為、，連接，得到矩形．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到邊所在直線(xiàn)的距離等于點(diǎn)到軸的距離，求的值；②當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)的一部分經(jīng)過(guò)矩形的內(nèi)部，這部分拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨著的增大而減小，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①或；；②或【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與矩形的綜合應(yīng)用；（1）化為頂點(diǎn)式，求解即可；（2）①分兩種情況，頂點(diǎn)在上方或下方時(shí)，根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，求解即可；②分為兩種情況，當(dāng)點(diǎn)分別在對(duì)稱(chēng)軸的左右兩側(cè)時(shí)，根據(jù)題意，列出不等式，求解即可．【詳解】（1）解：∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，（2）解：①∴到軸的距離為點(diǎn)到邊所在直線(xiàn)的距離∵∴，即當(dāng)時(shí)，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，解得或（舍去）則或；；②由題意可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)分別在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，如下圖：此時(shí)需要滿(mǎn)足的條件為：，解得當(dāng)點(diǎn)分別在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，如下圖：此時(shí)需要滿(mǎn)足的條件為：，解得綜上：或8．如圖所示，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．．

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度有最大值；(3)點(diǎn)E為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)有最小值時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_____（直接寫(xiě)出答案）．【答案】(1)(2)C的坐標(biāo)為(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由，即可求解；（3）作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)（直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，進(jìn)而求解．【詳解】（1）解：把，分別代入得：解之得：，拋物線(xiàn)的解析式為；（2）解：設(shè)直線(xiàn)的解析式為，把，分別代入得：，解之得：，直線(xiàn)的解析式為，設(shè)點(diǎn)為，軸，，，，當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度有最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示．

，，，，，，，，，，，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)（直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，，可設(shè)直線(xiàn)的解析式為：，把代入可得：，，令，則，故答案為．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．考查了勾股定理，解直角三角函數(shù)，求一次函數(shù)的解析式，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而求出線(xiàn)段之間的關(guān)系．9．綜合應(yīng)用如圖，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在第二象限交于點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)首次落在軸上時(shí)記為點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，判斷的大小是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由．(3)在（）的條件下，連接，記的外接圓的最小面積為，記的外接圓的最大面積為，試求的值（結(jié)果保留）．【答案】(1)；(2)大小不變，理由見(jiàn)解析；(3)．【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）大小不變．過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)，可得，即可證明，得到，得到，進(jìn)而得到，即可求證；（）連接，結(jié)合由（）可得為等腰直角三角形，故得的外接圓是以為直徑的圓，設(shè)圓的半徑為，則，得，根據(jù)圓的面積公式可知，最小時(shí)，圓的面積為，最大時(shí)，圓的面積為，由時(shí)，最小，此時(shí)，與重合，及當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，分別求出半徑，得出的值即可求解．【詳解】（1）解：把、代入得，，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為；（2）解：大小不變，理由如下：過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，∵點(diǎn)在直線(xiàn)上，∴設(shè)，∴，，∴，又由旋轉(zhuǎn)可得，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴大小不變，為；（3）解：連接，由（）得，，∵，∴為等腰直角三角形，∴的外接圓是以為直徑的圓，設(shè)圓的半徑為，則，∵，∴，∵圓的面積，∴最小時(shí)，圓的面積為，最大時(shí)，圓的面積為，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，與重合，∴，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，最大，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的外接圓，最值問(wèn)題，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)（其中），交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖1，若在x軸上方的拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)D，使得，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，平面上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作任意一條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，連接、，分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，則與的積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為；(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(3)與的積是定值．【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)情況求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作軸，得到，再根據(jù)得到拋物線(xiàn)解析式，證明，得到的坐標(biāo)為，再設(shè)直線(xiàn)的解析式為，根據(jù)坐標(biāo)和建立方程求解，得到直線(xiàn)的解析式，即可解題；（3）設(shè)直線(xiàn)的解析式為，記，，聯(lián)立，得到，，作軸，作軸，證明，利用相似的性質(zhì)得到，，即可解題．【詳解】（1）解：拋物線(xiàn)（其中），交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），，解得，，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）解：過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作軸，，，，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，，拋物線(xiàn)解析式為，即，令，解得，的坐標(biāo)為，，，，，，，，，的坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)的解析式為：，將和代入解析式有，，解得，直線(xiàn)的解析式為，當(dāng)時(shí)，解得（不合題意舍去）或，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（3）解：拋物線(xiàn)（其中），交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），，解得，，即，，過(guò)點(diǎn)作任意一條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，記，，有點(diǎn)在圖象上，，即，直線(xiàn)的解析式為，聯(lián)立，整理得，，，作軸，作軸，如圖所示，，，，，同理可得，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判斷，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．押題方向二：特殊平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題3年廣東廣州卷真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年廣東廣州卷第25題正方形與三角形綜合從近年廣東廣州中考來(lái)看，特殊的平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在近三年的中考中以解答壓軸題的形式考查，綜合難度比較大；預(yù)計(jì)2024年廣東廣州卷還將繼續(xù)重視對(duì)特殊的平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的考查。2022年廣東廣州卷第25題菱形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題2021年廣東廣州卷第25題菱形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在正方形中，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．邊關(guān)于對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段為，連接．（1）若，求證：是等邊三角形；（2）延長(zhǎng)，交射線(xiàn)于點(diǎn)．①能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若，求面積的最大值，并求此時(shí)的長(zhǎng)．【分析】（1）由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，得到，推出點(diǎn)不可能是等腰三角形頂角的頂點(diǎn)，若點(diǎn)是等腰三角形頂角的頂點(diǎn)，則有，此時(shí)與重合，不合題意，于是得到只剩下了，連接交于，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到為等腰三角形，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，于是得到；②由①知，，要求面積的最大值，即求面積的最大值，在中，底邊是定值，即求高的最大值即可，如圖2，過(guò)作于，連接，取的中點(diǎn)，連接，作于，設(shè)，則，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，，推出，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取等號(hào)，于是得到結(jié)論；如圖3，設(shè)與交于，則四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，求得，，于是得到結(jié)論．【解答】（1）證明：由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到，四邊形是正方形，，，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段為，，，是等邊三角形；（2）解：①能，邊關(guān)于對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段為，，四邊形是正方形，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)不可能是等腰三角形的頂點(diǎn)，若點(diǎn)是等腰三角形的頂點(diǎn)，則有，此時(shí)與重合，不合題意，只剩下了，連接交于，如圖1，，，，，，，，，，，，，，，，，；②由①知，，要求面積的最大值，即求面積的最大值，在中，底邊是定值，即求高的最大值即可，如圖2，過(guò)作于，連接，取的中點(diǎn)，連接，作于，設(shè)，則，由①知，是的中點(diǎn)，，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取等號(hào)，面積的最大值；如圖3，設(shè)與交于，則四邊形是矩形，，，，，，，，．另解：，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)E為線(xiàn)段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)①四邊形ABEF的面積為；②最小值為12【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO=，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線(xiàn)，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，根據(jù)菱形的面積可求出MN=，設(shè)BE=，則EN=，從而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF，①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，可得點(diǎn)E是△ABC重心，從而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由，可得當(dāng)，即BE=時(shí)，s達(dá)到最小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，即可求解．【詳解】（1）解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BO=AB?sin60°==，∴BD=2BO=；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線(xiàn)，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE∵，∴MN=，設(shè)BE=，則EN=，∴EM=MN-EN=，∵S菱形ABCD=AD?MN=，∴S△ABD=S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF?EM==，記四邊形ABEF的面積為s，∴s=S△ABD-S△DEF=-（），∵點(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，∴0<BE<BD，即；①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，∵OB⊥AC，∴點(diǎn)E是△ABC重心，∴BE=CE=BO=，此時(shí)=，∴當(dāng)CE⊥AB時(shí)，四邊形ABEF的面積為；②作CH⊥AD于H，如圖，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而點(diǎn)E和F分別在BD和AD上，∴當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，∵，∴當(dāng)，即BE=時(shí)，s達(dá)到最小值，∵BE=DF，∴DF=3，此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，∴當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，∴CE+CF的值達(dá)到最小，其最小值為CO+CH==12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F，使，且CF、DE相交于點(diǎn)G（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)E為AB中點(diǎn)可得，再由菱形的性質(zhì)推出CD∥AB，，則，即可證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB交FB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，利用菱形及直角三角形的性質(zhì)可求出，并由勾股定理求得，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)可證得，設(shè)，則，可表示出，，即可由建立關(guān)于x的方程，求解后可得出AE的長(zhǎng)；（3）連接AG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M，連接BD交AM于點(diǎn)N，并連接BM，首先由菱形的性質(zhì)得出△ABD為等邊三角形，則，再由CD∥AB，得，，由此可證得，再結(jié)合得出，則由等腰三角形性質(zhì)推出，并分別求出，，最后根據(jù)題意可得點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為線(xiàn)段AN的長(zhǎng)，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例性質(zhì)可得出，此題得解．【詳解】（1）證明：∵E為AB中點(diǎn)，∴．∴．∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥AB，．∴．∴四邊形DFEC是平行四邊形；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB交FB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是菱形，，∴AD∥BC，．∴．∴．∴．則由勾股定理得．∵CD∥AB，∴△CDG∽△FEG．∴．∵，∴．設(shè)，則．∴，．在Rt△CFH中，由勾股定理得：，∴．解得，（不合題意，舍去）．∴AE的長(zhǎng)為；（3）如圖，連接AG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M，連接BD交AM于點(diǎn)N，并連接BM，∵四邊形ABCD是菱形，，∴，．∴△ABD為等邊三角形．同理可證：△BCD為等邊三角形．∴．∵CD∥AB，∴，．∴，．∴∵，∴．∴．則由勾股定理得：，．當(dāng)點(diǎn)E從A出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)G始終在直線(xiàn)AM上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為線(xiàn)段，當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，點(diǎn)G為BD與AM的交點(diǎn)N，∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為線(xiàn)段AN的長(zhǎng)，∵CD∥AB，∴．∴．∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合問(wèn)題，考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握所學(xué)知識(shí)并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．1.幾何變換中的翻折（折疊、對(duì)稱(chēng))問(wèn)題是歷年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學(xué)生的識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。2.在幾何最值問(wèn)題，幾何背景下的最值是考生感覺(jué)較難的，往往沒(méi)有思路。常見(jiàn)的有：(1)幾何圖形中在特殊位置下的最值；(2)比較難的線(xiàn)段的最值問(wèn)題，其依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短；②垂線(xiàn)段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱(chēng)變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等；③借助于圓的知識(shí)；④二次函數(shù)的最值法解決。3常見(jiàn)最值模型：1）將軍飲馬模型；2）胡不歸模型；3）阿氏圓模型；4）瓜豆模型（動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題）；5）費(fèi)馬點(diǎn)模型等。1．如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，，，．

(1)求證：；(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，①求的長(zhǎng)度；②在內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②存在，最小值是【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，先證，利用相似三角形的性質(zhì)準(zhǔn)備條件，再證即可；（2）①先確定當(dāng)在矩形外，且三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)度最大，并畫(huà)出圖形，在中求出的長(zhǎng)，最利用的性質(zhì)求解即可；②將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，過(guò)P作于S，過(guò)點(diǎn)L作垂直的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，確定，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)最小，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵矩形和矩形，∴，，，∴，∴，，∴，，即，，∴（2）∵，∴當(dāng)在矩形外，且三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)度最大，如圖所示：

此時(shí)，，①∵，，∴，，在中，，，∴，由（1）得：，∴，即，∴；②如圖，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，

由旋轉(zhuǎn)可得：，∴，∴，∴,過(guò)P作于S，則，，∴，則，∴，∴，∵，即，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)最小，由題意，，，，，過(guò)點(diǎn)L作垂直的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，，∴，，則，在中，根據(jù)勾股定理得，∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)與聯(lián)系，適當(dāng)添加輔助線(xiàn)是解答的關(guān)鍵.2．如圖，在四邊形中，點(diǎn)，分別在邊，上．連接，，，．(1)【實(shí)踐探究】如圖①，四邊形是正方形．（?。┤?，，求的余弦值；（ⅱ）若，求證：是的中點(diǎn)；(2)【拓展】如圖②，四邊形是直角梯形，，，，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)（?。?；（ⅱ）見(jiàn)詳解(2)8【分析】（1）（?。└鶕?jù)四邊形是正方形，用勾股定理得出，即可求解；（ⅱ）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到．證明，得出，設(shè)，得，再由銳角三角函數(shù)定義得，則，然后在中，由勾股定理得出方程，得，即可解決問(wèn)題；（2）過(guò)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)使，過(guò)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，延長(zhǎng)交于，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到．證四邊形是正方形，得出，設(shè)，則，證明，得出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，再證明，得出，，在中，用勾股定理即可解答．【詳解】（1）（ⅰ）解：∵四邊形是正方形，，∵，∴在中，，．（ⅱ）證明：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到．∵四邊形是正方形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，即，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，整理得：，∴，∴，即是的中點(diǎn)；（2）解：過(guò)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)使，過(guò)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，延長(zhǎng)交于，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到．∵，，，，四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，設(shè)，則，∵，∴，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，，∴，在中，由勾股定理得：，解得：，即的長(zhǎng)是8；故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．3．【問(wèn)題情境】（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，若，則的長(zhǎng)度是_________；【類(lèi)比探究】（2）如圖2，四邊形是矩形，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，判斷線(xiàn)段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展提升】（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，求的最小值．

【答案】（1）；（2），，見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）通過(guò)證明，得到，求出即可；（2）通過(guò)證明得到，所以．．延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H．因?yàn)榫匦?，所以，所以，，所以，所以；?）將的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）∵正方形，∴，∵，∴，∵正方形，∴，∴，在和中，，∴．∴，故答案為：；（2）解：，．理由如下：延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H．

∵矩形、矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵矩形，∴．∴，，∴，∴．∴；（3）解：作于N，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于M．

∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)G在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則：，∴當(dāng)B，G，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，連接交于G，此時(shí)的最小值為，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值．∵，，，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時(shí)出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．4．如圖①，正方形中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接．

(1)如圖①，作，交于點(diǎn)，連接，求證；四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，延長(zhǎng)．、相交于點(diǎn)，試求的度數(shù)；(3)如圖（3），連接，記，試求的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的度數(shù)為；(3)【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，由，可知，，則，，進(jìn)而可證四邊形是平行四邊形；（2）如圖②，連接交于，連接，，由正方形的性質(zhì)可知，為中點(diǎn)，，，，證明，則，，，可得是等腰直角三角形，，由是的中位線(xiàn)，可得，則，求解即可；（3）如圖③，連接，由正方形的性質(zhì)可知，，證明，則，如圖③，作關(guān)于對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段，交延長(zhǎng)線(xiàn)于，則，如圖③，在上截取，過(guò)作于，使，連接、，由勾股定理得，，，則，如圖③，過(guò)作于，則四邊形是矩形，設(shè)，則，，，，由勾股定理得，，，可求，則，，由題意知，由，，可得，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，如圖③，連接，則，，中，由勾股定理得，則最小值為，根據(jù)，計(jì)算求解，可得的最小值．【詳解】（1）證明：由正方形的性質(zhì)可得，，∵，∴，，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖②，連接交于，連接，，

由正方形的性質(zhì)可知，為中點(diǎn)，，，，又∵，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴，∴，∴的度數(shù)為；（3）解：如圖③，連接，

由正方形的性質(zhì)可知，，∵，∴，∵，，，∴，∴，如圖③，作關(guān)于對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段，交延長(zhǎng)線(xiàn)于，∴，如圖③，在上截取，過(guò)作于，使，連接、，∴，，，∴，如圖③，過(guò)作于，則四邊形是矩形，設(shè)，則，，，，由勾股定理得，，，∵，∴，∴，∴，由題意知，∵，，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，如圖③，連接，則，，在中，由勾股定理得，∴最小值為，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行四邊形的判定，中位線(xiàn)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)，正弦，勾股定理，勾股定理逆定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．5．平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，連，點(diǎn)F在線(xiàn)段上，連，連．(1)如圖1，已知，點(diǎn)E為中點(diǎn)，．若，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，已知，將射線(xiàn)沿翻折交于H，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫(xiě)出的最小值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)“直角三角形的中線(xiàn)等于斜邊長(zhǎng)一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，則，即可求解；（2）由題意可得，是的角平分線(xiàn)，且，故延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，可證，要證，而，即證明即可，延長(zhǎng)交于N，過(guò)E作于P，先證明，可以得到，再證明四邊形是正方形，得到，接著證明即可解決；（3）如圖3，分別以和為邊構(gòu)造等邊三角形，構(gòu)造“手拉手”模型，即可得到，所以，則，當(dāng)B，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，所求線(xiàn)段和的值最小，利用，解即可解決．【詳解】（1）解：∵，如圖1，∴，E為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，在中，，∴；（2）證明：如圖2，設(shè)射線(xiàn)與射線(xiàn)交于點(diǎn)M，由題可設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，延長(zhǎng)交于N，∴，過(guò)E作于P，則，在與中，

，∴，∴，過(guò)E作于Q，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴，∴，∴矩形為正方形，∴，∴，在與中，，

∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖3，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得到等邊，同理以為邊構(gòu)造等邊，∴，，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，當(dāng)B，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，即為線(xiàn)段BN的長(zhǎng)度，如圖4，過(guò)N作交其延長(zhǎng)線(xiàn)于T，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形綜合題，考查了線(xiàn)段的“截長(zhǎng)補(bǔ)短”在證明三角形全等中的應(yīng)用，同時(shí)要注意基本輔助線(xiàn)構(gòu)造方法，比如第（2）問(wèn)中的線(xiàn)段既是角平分線(xiàn)，又是垂線(xiàn)段，延長(zhǎng)相交構(gòu)等腰就是本題的突破口，再結(jié)合線(xiàn)段的截長(zhǎng)補(bǔ)短來(lái)構(gòu)造全等，還考查了多條線(xiàn)段和的最值問(wèn)題，利用旋轉(zhuǎn)變換來(lái)轉(zhuǎn)化線(xiàn)段是解決此問(wèn)的關(guān)鍵．6．（1）如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為4．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿、方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動(dòng)．連接和，交于點(diǎn)P．

①猜想與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段掃過(guò)的面積．（2）如圖2，已知菱形的對(duì)角線(xiàn)為，．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿、向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)．連接和，交于點(diǎn)P．求周長(zhǎng)的最大值．

【答案】（1）①，證明見(jiàn)解析；②（2）【分析】（1）①根據(jù)全等三角形的判定證明，即可證得；②由可知，點(diǎn)P在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，N點(diǎn)也運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)P是正方形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，作出點(diǎn)M和點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)的圖象，陰影部分就是線(xiàn)段掃過(guò)的部分，它由一個(gè)圓心角為的扇形和一個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成，再根據(jù)計(jì)算這兩部分的面積并求和即可；（2）如圖③，延長(zhǎng)到K，使得，則是等邊三角形，連接，取，證明，求出的最大值即可．【詳解】解：（1）①結(jié)論：．理由：如下圖中，∵點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿、方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動(dòng)，∴，

∵四邊形是正方形，∴，，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．②取的中點(diǎn)O，∵，即，∴，∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，N點(diǎn)也運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)P是正方形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，作出點(diǎn)M和點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)的圖象，如下圖所示，

則陰影部分就是線(xiàn)段掃過(guò)的部分．∵正方形的邊長(zhǎng)為4∴，點(diǎn)P是的中點(diǎn)又∵的中點(diǎn)為O∴，∴又∵∴即線(xiàn)段掃過(guò)的面積為（2）∵點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿、向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)，∴，如圖，延長(zhǎng)到K，使得，則是等邊三角形，連接，?。?/p>

∵，∴，∴∠，∴，∴，∵，∴，∴四點(diǎn)共圓，

∴，∵，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴的值最大時(shí)，的周長(zhǎng)最大，∴當(dāng)是外接圓的直徑時(shí)，的值最大，，∵圓心在的垂直平分線(xiàn)上，即此時(shí)垂直平分∴，∵，，，∴∴最大值為4，∴的周長(zhǎng)最大值．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，不規(guī)則圖形的面積，根據(jù)題意正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．7．【讀一讀】一般地