特征值及特征向量及其應(yīng)用

1、. . 摘要特征值與特征向量是代數(shù)中一個(gè)重要的局部，并在理論和學(xué)習(xí)和實(shí)際生活，特別是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方面都有很重要的作用.本文主要討論并歸納了特征值與特征向量的性質(zhì)，通過(guò)實(shí)例展現(xiàn)特征值與特征向量的優(yōu)越性，探討特征值與特征向量及其應(yīng)用有著非常重要的價(jià)值. 正文共分四章來(lái)寫(xiě)，其中第一章介紹了寫(xiě)作背景以及研究目的.第二章介紹了特征值與特征向量的定義以及性質(zhì)，并且寫(xiě)出了線(xiàn)性空間中線(xiàn)性變換的特征值、特征向量與矩陣的特征值、特征向量之間的關(guān)系.第三章介紹了特征值與特征向量的幾種解法：利用特征方程求特征值進(jìn)而求特征向量、列行互逆變換法、利用矩陣的初等變換求特征值和特征向量.第四章重點(diǎn)介紹了特征值特征向量的應(yīng)用，

2、如n階矩陣的高次冪的求解以及矩陣特征值反問(wèn)題的求解等等.本文充分利用特征值與特征向量的特性求解相關(guān)問(wèn)題，這帶有一定的技巧性，但并不難想象，特別是跟其它方法相比，計(jì)算顯得非常簡(jiǎn)潔，在解決具體問(wèn)題上具有很大的優(yōu)越性. 當(dāng)然關(guān)于矩陣的特征值和特征向量的容很廣，本文僅就特征向量的性質(zhì)以及一些應(yīng)用展開(kāi)研究.關(guān)鍵詞：特征值；特征向量；矩陣；遞推關(guān)系；初等變換AbstractAs an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matri* have very important applications in theoretical

3、 study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties ofeigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through e*amples.It has a very important value of e*ploring eigenvalue and eigenvecto

4、r and its application.The te*t is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvect

5、or of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matri*. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform onRows and columns;the elementary tr

6、ansformation of matri* inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matri* ,dealing with the inverse problem of matri* eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvec

7、tor to solve related issues,this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, paring withother methods.Of course, the content about matri* eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the proper

8、ties of eigenvector and some application.Keywords:eigenvalue；eigenvector；matri*；recursive relations；elementary；transformation . 目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc292902478摘要 PAGEREF _Toc292902478 h IHYPERLINK l _Toc292902479Abstract PAGEREF _Toc292902479 h IIHYPERLINK l _Toc2929024801 引言 PAGEREF _T

9、oc292902480 h 1HYPERLINK l _Toc2929024811.1 研究背景 PAGEREF _Toc292902481 h 1HYPERLINK l _Toc2929024821.2 研究現(xiàn)狀 PAGEREF _Toc292902482 h 1HYPERLINK l _Toc2929024831.3 本文研究目的及意義 PAGEREF _Toc292902483 h 2HYPERLINK l _Toc2929024842 特征值與特征向量 PAGEREF _Toc292902484 h 3HYPERLINK l _Toc2929024852.1 特征值與特征向量的定義和性

10、質(zhì) PAGEREF _Toc292902485 h 3HYPERLINK l _Toc2929024862.1.1 線(xiàn)性變換的特征值與特征向量 PAGEREF _Toc292902486 h 3HYPERLINK l _Toc2929024872.1.2 n階方陣的特征值與特征向量 PAGEREF _Toc292902487 h 3HYPERLINK l _Toc2929024882.2 中線(xiàn)性變換的特征值、特征向量與矩陣的特征值與特征向量之間的關(guān)系 PAGEREF _Toc292902488 h 3HYPERLINK l _Toc2929024893 特征值與特征向量的解法 PAGEREF

11、_Toc292902489 h 5HYPERLINK l _Toc2929024903.1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量 PAGEREF _Toc292902490 h 5HYPERLINK l _Toc2929024913.2 列行互逆變換法 PAGEREF _Toc292902491 h 6HYPERLINK l _Toc2929024923.3 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量 PAGEREF _Toc292902492 h 10HYPERLINK l _Toc2929024934 矩陣的特征值與特征向量的應(yīng)用研究 PAGEREF _Toc292902493 h 15HYPERLINK

12、 l _Toc2929024944.1 n階矩陣的特征值和特征向量. PAGEREF _Toc292902494 h 15HYPERLINK l _Toc2929024954.2 n階矩陣的高次冪的求解 PAGEREF _Toc292902495 h 16HYPERLINK l _Toc2929024964.3 矩陣特征值反問(wèn)題的求解 PAGEREF _Toc292902496 h 17HYPERLINK l _Toc2929024974.4 特征值與特征向量在線(xiàn)性遞推關(guān)系中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc292902497 h 18HYPERLINK l _Toc2929024984.5 特

13、征值法求解二次型的條件最值問(wèn)題 PAGEREF _Toc292902498 h 22HYPERLINK l _Toc2929024994.5.1 二次型的條件最值問(wèn)題及求解該問(wèn)題的特征值方法 PAGEREF _Toc292902499 h 22HYPERLINK l _Toc2929025004.5.2 應(yīng)用舉例 PAGEREF _Toc292902500 h 25HYPERLINK l _Toc2929025014.6 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用 PAGEREF _Toc292902501 h 26HYPERLINK l _Toc2929025024.6.1 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)

14、算中使用的性質(zhì) PAGEREF _Toc292902502 h 26HYPERLINK l _Toc2929025034.6.2 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc292902503 h 26HYPERLINK l _Toc292902504總結(jié) PAGEREF _Toc292902504 h 30HYPERLINK l _Toc292902505參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc292902505 h 31HYPERLINK l _Toc292902506致 PAGEREF _Toc292902506 h 32. 1 引言1.1 研究背景 矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的根

15、本概念之一,是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象,也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具. 矩陣的特征值與特征向量問(wèn)題是矩陣?yán)碚摰闹匾M成局部，它在高等代數(shù)和其他科技領(lǐng)域中占有重要的位置.同時(shí)它又貫穿了高等代數(shù)的許多重要方面，對(duì)于該課題的研究加深了我們對(duì)高等代數(shù)各個(gè)局部的認(rèn)識(shí)，從而使我們更深刻的了解高等代數(shù)的相關(guān)理論. 對(duì)矩陣的特征值與特征向量的理論研究和及其應(yīng)用探究，不僅對(duì)提高高等代數(shù)以及相關(guān)課程的理解有很大幫助，而且在理論上也很重要，可以直接用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.現(xiàn)在矩陣已成為獨(dú)立的一門(mén)數(shù)學(xué)分支，矩陣特征值與特征向量的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技方面都有十分廣泛的應(yīng)用.1.2 研究

16、現(xiàn)狀在此之前已有很多專(zhuān)家學(xué)者涉足此領(lǐng)域研究該問(wèn)題.吳江、孟世才、許耿在淺談中特征值與特征向量的引入中從線(xiàn)性空間V中線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣具有相似關(guān)系出發(fā)引入矩陣的特征值與特征向量的定義.郭華、小明在特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用中從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合具體的例子闡述了特征值與特征向量在簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算中所起的作用.矩陣的特征值與特征向量在構(gòu)造動(dòng)力分析中有重要作用，矩陣迭代法是求矩陣的第一階特征值與特征向量的一種數(shù)值方法,但是選取不同的初始向量使結(jié)果可能收斂于不同階的特征值與特征向量，而不一定收斂與第一階,建兵在矩陣迭代法求矩陣特征值與特征向量初始向量選取的討論中討論了初始向

17、量的選取問(wèn)題.特征值理論是線(xiàn)性代數(shù)中的一個(gè)重要的容，當(dāng)方陣階數(shù)很高時(shí)實(shí)際計(jì)算比擬繁瑣，娜、呂劍峰在特征值問(wèn)題的MATLAB實(shí)踐中從實(shí)際案例入手，利用MATLAB軟件討論了求解特征值問(wèn)題的全過(guò)程.汪慶麗在用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量中研究了一種只對(duì)矩陣作適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證其方法的合理性，并闡述此方法的具體求解步驟.岳嶸在由特征值特征向量去頂矩陣的方法證明及應(yīng)用中探究了n階對(duì)稱(chēng)矩陣A的k個(gè)互不相等的特征值及k-1個(gè)特征向量計(jì)算出矩陣A的計(jì)算方法.紅玉在矩陣特征值的理論及應(yīng)用中討論了通過(guò)n階方陣A的特征值得出一系列相關(guān)矩陣的特征值,再由特征值與正定

18、矩陣的關(guān)系得出正定矩陣的結(jié)論.學(xué)鵬、軍在矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用一文中討論了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，以及在矩陣對(duì)角化方面的應(yīng)用.俊艷、馬麗在討論矩陣的特征值與行列式的關(guān)系中討論了利用矩陣的特征值解決行列式的問(wèn)題.1.3本文研究目的及意義在前人研究的根底上，本文給出了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，特征值與特征向量性質(zhì)是最根本的容，特征值與特征向量的討論使得這一工具的使用更加便利，解決問(wèn)題的作用更強(qiáng)有力，其應(yīng)用也就更廣泛.在此根底上，對(duì)矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算進(jìn)展詳盡的闡述和說(shuō)明. 利用特征方程求特征值進(jìn)而求特征向量法、列行互逆變換法、矩陣的初等變換求特征值和特征向量.由于

19、特征值與特征向量的應(yīng)用是多方面的，本文重點(diǎn)介紹了對(duì)特征值與特征向量的應(yīng)用探究,闡述了特征值和特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用，利用特征值法求解二次型最值問(wèn)題以及矩陣的高次冪和反求解問(wèn)題的應(yīng)用.在例題解析中運(yùn)用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使問(wèn)題更簡(jiǎn)單，運(yùn)算上更方便，是簡(jiǎn)化有關(guān)復(fù)雜問(wèn)題的一種有效途徑.本文就是通過(guò)大量的例子加以說(shuō)明運(yùn)用特征值與特征向量的性質(zhì)可以使問(wèn)題更加清楚，從而使高等代數(shù)中的大量習(xí)題迎刃而解，把特征值與特征向量在解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)越性表現(xiàn)出來(lái).2 特征值與特征向量2.1特征值與特征向量的定義和性質(zhì)線(xiàn)性變換的特征值與特征向量定義1：設(shè)是數(shù)域上的線(xiàn)性空間的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果對(duì)于數(shù)

20、域中一數(shù)，存在一個(gè)非零向量，使得則稱(chēng)為的一個(gè)特征值，而稱(chēng)為的屬于特征值的一個(gè)特征向量.n階方陣的特征值與特征向量定義2：設(shè)是階方陣，如果存在數(shù)和維非零向量，使得成立，則稱(chēng)為的特征值，是的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量.性質(zhì)1假設(shè)是的重特征值，對(duì)應(yīng)特征值有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，則.性質(zhì)2如果都是矩陣的屬于特征值的特征向量,則當(dāng)時(shí),仍是的屬于特征值的特征向量性質(zhì)3如果是矩陣的互不一樣的特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別是，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)性質(zhì)4 假設(shè)的特征值為，則，性質(zhì)5實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 的特征值都是實(shí)數(shù)，屬于不同特征值的特征向量正交性質(zhì)6假設(shè) 是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的 重特征值，則對(duì)應(yīng)特征值恰有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，或性質(zhì)7設(shè)為矩陣

21、的特征值，為多項(xiàng)式函數(shù)，則為矩陣多項(xiàng)式的特征值 2.2中線(xiàn)性變換的特征值、特征向量與矩陣的特征值與特征向量之間的關(guān)系定理：設(shè)是的一組基,1的特征值必是的特征值，的屬于的特征向量，則必是的屬于特征值的特征向量.2設(shè)是的一個(gè)特征值，且，則是的一個(gè)特征值.假設(shè)是的一個(gè)屬于特征值的一個(gè)特征向量，則是的一個(gè)屬于的特征向量.證明：1設(shè)是的特征值，于是有使得，其中，設(shè)，則，又，所以有，由他們的坐標(biāo)列相等可得，所以其次線(xiàn)性方程組有非零解，于是，故是的特征多項(xiàng)式的根，即是的特征值，從而的坐標(biāo)是的屬于的特征向量.2設(shè)是的一個(gè)特征值，且，于是有非零解，令，即，于是，故是的一個(gè)特征值，且是的屬于的特征向量.3特征值與

22、特征向量的解法3.1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量由方陣的特征值和特征向量的定義知:是的屬于的特征向量 因?yàn)樗允驱R次線(xiàn)性方程組的非零解，所以是特征方程的根。 將上述過(guò)程逆敘得到求數(shù)字方陣的特征值和特征向量的步驟如下:(1) 計(jì)算的特征多項(xiàng)式；(2) 解特征方程,求出它的全部根 ,它們就是的全部特征值。(3) 對(duì)每一個(gè)特征值 ,求出齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)根底解系,這個(gè)根底解系便是的屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,則的屬于的全部特征向量是這個(gè)解系的非零線(xiàn)性組合: ,其中是不全為零的數(shù).例 設(shè)線(xiàn)性變換在下的矩陣是，求的特征值與特征向量.解：因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為.所以特征值二重和5.把特征值代入齊次方程組得到它

23、的根底解系是，.因此屬于的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量就是，.而屬于的全部特征向量就是，取遍數(shù)域中不全為零的全部數(shù)對(duì).再用特征值5代入，得到它的根底解系是，因此，屬于5的一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量就是，而屬于5的全部特征向量就是，是數(shù)域中任意不等于零的數(shù).3.2列行互逆變換法為了定理的表達(dá)方便，先給出一個(gè)定義.定義1.把矩陣的以下三種變換稱(chēng)為列行互逆變換:1 . 互換i、j兩列,同時(shí)互換j、i兩行；2 . 第i行乘以非零數(shù)，同時(shí)第j列乘；3 . 第 i行倍加到第 j行，同時(shí)第 j列倍加到第 i列 .定理1為n階可對(duì)角化矩陣，并且其中，則為的全部特征值，為的對(duì)應(yīng)的特征向量.證明：由行初等變換等價(jià)于左乘初等

24、矩陣，列變換等價(jià)于右乘初等矩陣的性質(zhì)及行列互逆變換的定義知，為假設(shè)干初等矩陣的乘積，當(dāng)然可逆，且，即，所以.因?yàn)?，所以，則，所以因此，該方法求出的為的特征值，為的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量 為了運(yùn)算上的方便，這里約定： 1.表示矩陣的第j行倍參加第i行； 2.表示矩陣的第j列的倍參加第 i 列 由于用定理1求解時(shí)，總會(huì)遇到形如 或形式的矩陣化對(duì)角陣問(wèn)題，為此給出具體方法：或，其中.則為的分別對(duì)應(yīng)特征值和的特征向量；為的分別對(duì)應(yīng)特征值和的特征向量.例求的特征值與特征向量.解：所以，特征值；特征向量分別為.例求的特征值與特征向量.解：. 所以，特征值分別為；特征向量分別為，.下面給出定理1的推廣定理.定

25、理2.為任意階方陣，假設(shè)，其中為約當(dāng)矩陣，為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.，則為的特征值；為的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量.證明：由一般代數(shù)書(shū)中定理可知必相似于一約當(dāng)矩陣，按定理2中化簡(jiǎn)方法，則有，即，其中，所以，故有，所以為的特征值；為的對(duì)應(yīng)的特征向量.例求的特征值與特征向量.解：所以特征值為，對(duì)應(yīng)特征值的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征向量為.3.3利用矩陣的初等變換解特征值特征向量 引理 矩陣左乘或右乘一個(gè)可逆矩陣，其秩不變.即假設(shè)為矩陣，分別是m和n階可逆矩陣，則.由此可知，假設(shè)，且為n階單位矩陣，則形如的矩陣必可經(jīng)過(guò)一系列變換成的形式，其中為矩陣且，分別為和矩陣，為零矩陣，從而有定理1 設(shè)為矩陣，其秩，則比存在n階可逆矩

26、陣，使，且的個(gè)列向量就是齊次線(xiàn)性方程組的根底解系.證明： 此處只需證明的列向量是的根底解系即可. 事實(shí)上，由得，即，從而，.這說(shuō)明的個(gè)列向量是齊次線(xiàn)性方程組的解向量. 另設(shè)矩陣的列向量為，則由知向量組即為的列向量，因可逆，所以向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因此的列向量就是的根底解系.例組的一組根底解系.解：利用初等列變換，得從而，所求根底解系為.定理2. 設(shè)為n階方陣，則其特征矩陣可通過(guò)初等列變換化為下三角矩陣，記為，從而使的解就是矩陣的全部特征值.證明：由初等變換理論，存在n階可逆矩陣，使，由此得.從而使的解就是的解.這樣，由定理1和定理2可以得到同時(shí)求解方陣的特征值與特征向量的一種解法：第一步，作如下初

27、等變換：，并由求得矩陣的特征值.第二步，將代入，則有或. 因?yàn)椋杂啥ɡ?即知的列向量就是的對(duì)應(yīng)于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.例 求矩陣的特征值與特征向量.解：所以，由得矩陣的特征值為. 將代入，得. 所以對(duì)應(yīng)于的特征向量為( 此處二重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量). 將代入，得. 所以對(duì)應(yīng)于的特征向量為. 這里用初等列變換的方法同時(shí)求出來(lái)矩陣的特征值與特征向量，完全類(lèi)似地，利用初等行變換也可以實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程，其方法如下：(1) 對(duì)矩陣施行初等行變換將其化為矩陣，其中為含有的上三角矩陣，為經(jīng)過(guò)初等變換得到的矩陣； (2) 由行列式求得矩陣的特征值；(3) 將代入中，假設(shè)不是行標(biāo)準(zhǔn)形， 則

28、通過(guò)初等行變換將其化為行標(biāo)準(zhǔn)型，并記秩， 則中的后個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置就是對(duì)應(yīng)的特征向量 例征值與特征向量.解：因?yàn)樘卣骶仃?，所?從而由即求得的特征值為二重和. 當(dāng)時(shí)，所以，且的后兩行的轉(zhuǎn)置即為對(duì)應(yīng)的特征向量，即. 當(dāng)時(shí)，所以，且的最后一行的轉(zhuǎn)置即為對(duì)應(yīng)的特征向量，即.4矩陣的特征值與特征向量的應(yīng)用研究4.1n階矩陣的特征值和特征向量. 假設(shè)是n階矩陣的特征值，非零向量為對(duì)應(yīng)于的特征向量，則，是的特征值，非零向量是對(duì)應(yīng)于特征值，的特征向量.證明： 由于是的特征值，為對(duì)應(yīng)于的特征向量，則有，則：1.在兩端同時(shí)左乘系數(shù)得，即.所以是方陣的特征值，且向量是方陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.2.由于，所以是方陣

29、的特征值，且向量是方陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.3.由于， 所以是方陣的特征值，且向量是方陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量. 4在兩端同時(shí)左乘得，即，有成立，所以是方陣的特征值，且向量是方陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量. 5.在兩端同時(shí)左乘得，由于，則，即有成立，所以是方陣的特征值，且向量是方陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量. 6，則=. 上面的證明用到了3的結(jié)論，由可知是的特征值，且向量是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.例矩陣，求的特征值和特征向量. 分析：此題是求矩陣的多項(xiàng)式的特征值和特征向量，假設(shè)按一般思路求解，則需計(jì)算的5次冪并進(jìn)展多項(xiàng)式運(yùn)算，再求其特征值和特征向量，計(jì)算量非常大，但假設(shè)利用6的結(jié)論，計(jì)算變的很簡(jiǎn)單.

30、解：矩陣的特征多項(xiàng)式為：.，得矩陣的特征值為.當(dāng)時(shí)，解其次方程即得其通解為，其根底解系中只含有一個(gè)解向量，即為特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量. 當(dāng)時(shí)，解齊次方程，即得通解為，其根底解系中含有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量：，即為特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.設(shè)，則，即為的特征值.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為.4.2n階矩陣的高次冪的求解當(dāng)n階矩陣可對(duì)角化時(shí)，即矩陣可與對(duì)角陣相似時(shí)，計(jì)算其高次冪有簡(jiǎn)單的方法，當(dāng)n階矩陣滿(mǎn)足下面的四個(gè)條件之一時(shí)，即可對(duì)角化，即.1.n階矩陣有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；2.n階矩陣有n個(gè)互不相等的特征值；3.n階矩陣的每個(gè)特征值，均有，即特征值的幾何常數(shù)等于其代數(shù)常數(shù)；4.

31、為是對(duì)稱(chēng)矩陣.對(duì)于，是由的n個(gè)特征向量組成的矩陣.是由的n個(gè)特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，則有：其中，故. 例矩陣，求其中為正整數(shù). 分析 矩陣的高次冪的求解一般是有技巧的，這里因矩陣為是對(duì)稱(chēng)矩陣，故可對(duì)角化，可按上面討論的方法求之.解：因?yàn)?，所以矩陣為是?duì)稱(chēng)矩陣，故可對(duì)角化. 由例知，矩陣的3個(gè)特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為，故對(duì)角陣，且，又，則有，則.4.3矩陣特征值反問(wèn)題的求解 矩陣特征值反問(wèn)題的求解，即根據(jù)矩陣的特征值和特征向量的信息來(lái)決定矩陣中的元素.當(dāng)矩陣有n個(gè)互不相等的特征值時(shí)，必有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，則矩陣必可對(duì)角化，故，其中相似變換矩陣由的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量組成.例.設(shè)3階方陣的

32、特征值為，對(duì)應(yīng)于特征向量分別是：，求 分析 此題給出了矩陣的3個(gè)不一樣的特征值及其特征向量.則矩陣可對(duì)角化，顯然是矩陣特征值的反問(wèn)題，可按上面討論的方法求之.解： 由于是方陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，于是有：，令，則則有，其中.由上式可得即為所求.4.4特征值與特征向量在線(xiàn)性遞推關(guān)系中的應(yīng)用用特征值和特征向量對(duì)一般線(xiàn)性遞推關(guān)系進(jìn)展討論.設(shè)階線(xiàn)性循環(huán)數(shù)列滿(mǎn)足遞推關(guān)系：其中是常數(shù)，且，方程組可表示為矩陣形式 1令則1可寫(xiě)成： 2由2式遞推得，其中，于是求通項(xiàng)就歸結(jié)為求，也就是求.如果可對(duì)角化，即存在可逆矩陣，使得，則，由于 從第一列開(kāi)場(chǎng)每一列乘以加到后一列上，就得到如下的矩陣： 假設(shè)是的特征值，顯然

33、有，則線(xiàn)性齊次方程組的根底解系中只含有一個(gè)解向量，因此當(dāng)有個(gè)特征值時(shí)，這個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，由這個(gè)特征向量為列構(gòu)成的方陣記為，則是可逆的，并且.其中例 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足遞推關(guān)系：，并且，求通項(xiàng).解：是三階循環(huán)數(shù)列，將方程組用矩陣表示為：，令并由上式遞推得其中由，即得的特征值為：再由特征方程解得對(duì)應(yīng)于的特征值的特征向量分別為：令：則代入2式得：例計(jì)算n階行列式解：將按第一行展開(kāi)得：其中與分別是元素和的余子式，再將它們分別按第一列展開(kāi)得：則是三階線(xiàn)性循環(huán)數(shù)列.將方程組表示成矩陣形式為：令由上式遞推得： 3由解得的特征值為，再由特征方程，解得對(duì)應(yīng)于的特征值的特征向量分別為：令則由3式可得：將代入

34、上式得：4.5特征值法求解二次型的條件最值問(wèn)題二次型的條件最值問(wèn)題及求解該問(wèn)題的特征值方法 二次型的條件最值問(wèn)題是一類(lèi)特殊的多元函數(shù)極值問(wèn)題 定義 設(shè)有滿(mǎn)足條件的n個(gè)變量，當(dāng)存在變量的一組值，使或時(shí)，稱(chēng)為最大或最小值.特征值法原理定理1二次型在條件下的最大值最小值恰是其實(shí)數(shù)特征值中最大值最小值的c倍.證明：利用拉格朗日數(shù)乘法，先作拉格朗日函數(shù)，其中：為參數(shù)，再令其關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)為0，得 1由于，所以1可化為2這是一個(gè)齊次線(xiàn)性方程組由于，所以不全為0，從而2有非零解，即該方程的系數(shù)行列式為0，于是， 3所以是系數(shù)矩陣的特征值.又依次用分別乘1再相加得，又，因此.特別地，二次型在條件下的最大值最

35、小值恰是二次型實(shí)特征值中的最大值最小值.定理2 二次型在條件下的最大值最小值是二次型正數(shù)特征值倒數(shù)中的最大值最小值的k倍；當(dāng)特征值為0時(shí)，在條件下沒(méi)有最大值，最小值為最大正數(shù)特征值倒數(shù)的k倍.證明：作拉格朗日函數(shù)，令其關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)為0，得， 4接下來(lái)證明參見(jiàn)定理1，直到是系數(shù)矩陣的特征值.再用分別乘4再相加得，又由于，因此，.由于隨正數(shù)特征值的減小而增大，且當(dāng)時(shí)，的極限不存在，所以不存在最大值，而其最小值則是最大整數(shù)特征值倒數(shù)的k倍，證畢.特別地，二次型在條件下的最大值最小值是二次型正特征值倒數(shù)中的最大值最小值.特征值方法的求解步驟：根據(jù)定理1和定理2，只要知道二次型的特征值，就可以知道或

36、者在特定條件下的最大和最小值了，因此應(yīng)用特征值方法求解二次型條件最值問(wèn)題是方便的，其步驟可歸結(jié)為：1判定問(wèn)題確實(shí)屬于定理所描述的二次型條件最值問(wèn)題；2求二次型的特征值；3根據(jù)定理寫(xiě)出二次型或者在特定條件下的最大和最小值.應(yīng)用舉例例4.5.2.1求在時(shí)的最值.解：二次型的特征方程為解得特征值為10,1,1，根據(jù)定理1可知，在時(shí)的最大和最小值分別為70和7.例4.5.2.2在時(shí)的最值.解：二次型的特征方程為，的特征值為3,3,0，根據(jù)定理1可知，在時(shí)的最大值和最小值0和15.例4.5.2.3求在時(shí)的最值.解： 二次型的特征方程為的特征值為3,3,0，根據(jù)定理2可知，在是的最小值為，最大值不存在.4

37、.6特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中使用的性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)為n階方陣，為的n個(gè)特征值，則.性質(zhì)2.方陣可逆的n個(gè)特征值都不為零.性質(zhì)3.設(shè)為方陣的特征值，為的多項(xiàng)式，則為的特征值.性質(zhì)4.不為方陣的特征值.性質(zhì)5.凱萊哈密頓定理設(shè)的特征多項(xiàng)式為，則.性質(zhì)6.設(shè)n階方陣的n個(gè)特征值為，且為對(duì)應(yīng)的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，記，則.性質(zhì)7.設(shè)為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，是它的n個(gè)特征值，則當(dāng)且僅當(dāng)都大于零時(shí)，正定；當(dāng)且僅當(dāng)都小于零時(shí)，負(fù)定；當(dāng)且僅當(dāng)都非負(fù)，但至少一個(gè)等于零時(shí)，是半正定；當(dāng)且僅當(dāng)都非正，但至少一個(gè)等于零時(shí)，是半負(fù)定；當(dāng)且僅當(dāng)中既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)時(shí)，是不定的.特征值與特征

38、向量在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用1.求方陣的行列式以及的多項(xiàng)式的行列式.例.1.三階矩陣的特征值為1，-1,2，設(shè)，求；; .解：由性質(zhì)1可得； 因，由性質(zhì)3可知的特征值為，.故. 的特征多項(xiàng)式為，令，得.例.2設(shè)是的特征值，求.解：因是的特征值，即有，故2判斷方陣及的可逆性例.3.設(shè)，問(wèn)當(dāng)k為何值時(shí)，可逆.解：因，故，為的三個(gè)特征值，由性質(zhì)4可知，當(dāng)時(shí)，可逆.例.4設(shè)矩陣滿(mǎn)足，證明可逆.證明 設(shè)，則，因，即有，即，而，只有，于是，可知3不是的特征值，所以，即可逆.3.求方陣，的逆矩陣及的k次冪例.5.設(shè)，求; ; .解：,由性質(zhì)5有，故 由，可知0不是的特征值，由性質(zhì)2知可逆.而，故 ，故.例.6 設(shè)

39、3階方陣的特征值為；對(duì)應(yīng)的特征向量依次為，.求k為大于1的正數(shù).解：因線(xiàn)性無(wú)關(guān)，記，由性質(zhì)6有所以，故于是當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，；k為奇數(shù)時(shí)，.例.7.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為6,3,3與特征值6對(duì)應(yīng)的特征向量為，求.解：設(shè)對(duì)應(yīng)于3的特征向量為，因?qū)崒?duì)稱(chēng)的不同特征值下的特征向量正交，即有，即的分量滿(mǎn)足.又因特征值3的重?cái)?shù)為2，所以對(duì)應(yīng)于3恰有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，顯然的根底解系就是對(duì)應(yīng)于3的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量. 由得它的一個(gè)根底解系為. 令，由性質(zhì)6有.故4求方陣的多項(xiàng)式.例.8設(shè)，計(jì)算.解：，而顯然.由性質(zhì)5可知，所以5判斷實(shí)對(duì)稱(chēng)的正定性.例.9.設(shè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定，則存在矩陣，使，且也是

40、正定矩陣.證明：因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故存在正交矩陣，使，其中為的n個(gè)特征值.因正定，故有.于是總結(jié)矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中的一個(gè)重要局部，特征值與特征向量問(wèn)題是矩陣?yán)碚摰闹匾M成局部，特征值與特征向量有著許多具體的應(yīng)用，本文通過(guò)查閱相關(guān)的資料并在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)和建議下對(duì)特征值與特征向量原理進(jìn)展了歸納總結(jié).首先簡(jiǎn)單的表達(dá)了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，探究了特征值與特征向量的幾種解法，在此根底上重點(diǎn)介紹了特征值與特征向量的應(yīng)用問(wèn)題.矩陣的高次冪的求解是有技巧的，當(dāng)矩陣可對(duì)角化時(shí)，利用特征值與特征向量把矩陣對(duì)角化，可以簡(jiǎn)便的解出矩陣高次冪的值.如果知道矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量求出矩陣的計(jì)算方法以及特征值與特征向量在線(xiàn)性遞推關(guān)系中的應(yīng)用，利用矩陣的特