在數(shù)學(xué)發(fā)展中ppt課件

1、： 86647： 授課: 68學(xué)分：4 在數(shù)學(xué)開展中，實際和計算是嚴(yán)密聯(lián)絡(luò)的?，F(xiàn)代計算機的出現(xiàn)為大規(guī)模的數(shù)值計算發(fā)明了條件，集中而系統(tǒng)的研討適用于計算機的數(shù)值方法變得非常迫切和必要。數(shù)值計算方法正是在大量的數(shù)值計算實際和實際分析任務(wù)的根底上開展起來的，它不僅僅是一些數(shù)值方法的簡單積累，而且提示了包含在多種多樣的數(shù)值方法之間的一樣的構(gòu)造和一致的原理。數(shù)值算法是進(jìn)展科學(xué)計算必不可短少的起碼常識；更為重要的是經(jīng)過對它們的討論，可以使人們掌握設(shè)計數(shù)值算法的根本方法和普通原理，為在計算機上處文科學(xué)計算問題打下根底。因此，計算方法曾經(jīng)成為工科大學(xué)生必修課程。為什么要開設(shè)這個課呢？1. 認(rèn)識建立算法和對每個

2、算法進(jìn)展實際分析是根本 義務(wù)，自動順應(yīng)“公式多的特點；2. 注重各章建立算法的問題的提法，搞清問題的基 本提法，逐漸深化；3. 了解每個算法建立的數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)原理和根本 線索，對最根本的算法要非常熟習(xí)；4. 仔細(xì)進(jìn)展數(shù)值計算的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)各章算法完全是 為用于實踐計算，必需真會算。如何進(jìn)展學(xué)習(xí)？科學(xué)素質(zhì)：拓寬對21世紀(jì)科學(xué)的了解； 加深對數(shù)學(xué)思想的了解； 培育用數(shù)學(xué)思索世界的習(xí)慣數(shù)學(xué)才干：數(shù)學(xué)知識的運用才干； 對專業(yè)中問題建立數(shù)學(xué)求解方法與 實踐計算才干 運用問題中數(shù)學(xué)發(fā)明性才干計算知識：常用算法的數(shù)學(xué)實際； 在“誤差、存貯、速度之下的實 際計算方法； 對結(jié)果的數(shù)值分析方法 記好課堂筆記 保證

3、課堂紀(jì)律 按時完成作業(yè) 按時上課，不遲到早退幾點要求數(shù)值分析講述的根本內(nèi)容如何把數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為數(shù)值問題如何制定快速的算法如何估計一個給定算法的精度分析誤差在計算過程中的積累和傳播如何構(gòu)造精度更高的算法如何使算法較少的占用存儲量如何分析算法的優(yōu)缺陷本課程的根本要求掌握數(shù)值方法的根本原理掌握常用的科學(xué)與工程計算的根本方法能用所學(xué)方法在計算機上算出正確結(jié)果 本章內(nèi)容1 引言2 誤差的來源及分類 3 誤差的度量 4 誤差的傳播 5 減少運算誤差的原那么 第一章計算方法與誤差小結(jié) 要求掌握的內(nèi)容第一章計算方法與誤差概念 包括有效數(shù)字、絕對誤差、絕對誤差限、相對誤差、相對誤差限等誤差截斷誤差、舍入誤差的詳

4、細(xì)內(nèi)容，誤差種類等分析運算誤差的方法和減少運算誤差的假設(shè)干原那么1.1 引言 數(shù)值分析又稱計算方法, 它是研討各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法及其實際的一門學(xué)科。數(shù)值分析的義務(wù)實踐問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計算方法程序設(shè)計上機計算數(shù)值結(jié)果 根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計算方法直到編出程序上機算出結(jié)果，這一過程邊是數(shù)值分析研討的對象1. 對于要處理的問題建立數(shù)學(xué)模型2. 研討用于求解該數(shù)學(xué)問題近似解的算法和過程3. 按照2進(jìn)展計算，得到計算結(jié)果建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)值公式進(jìn)展計算數(shù)值方法解題的普經(jīng)過程 數(shù)值計算以及計算機模擬包括當(dāng)前流行的虛擬現(xiàn)實的方法，曾經(jīng)是在工程技術(shù)研討和經(jīng)濟、社會科學(xué)中廣泛運用的方法，帶來宏大的經(jīng)

5、濟效益天氣預(yù)告與億次計算機波音777的無紙設(shè)計與有限元CT、核磁共振計算流膂力學(xué)與爆炸工程能源問題與大型計算第一章計算方法與誤差計算作為工程技術(shù)研討方法計算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法的數(shù)學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計進(jìn)展計算實驗并分析實驗結(jié)果。與純數(shù)學(xué)的實際方法不同，用數(shù)值計算方法所求出的結(jié)果普通不是解的準(zhǔn)確值或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。第一章計算方法與誤差 例如方程 x2=2sinx，在區(qū)間(1,2)內(nèi)有獨一根, 但找不出求根的解析式, 只能用數(shù)值計算方法求其近似解。有些數(shù)學(xué)問題雖有實際上的準(zhǔn)確的公式解, 但不一定適用, 例如行

6、列式解法的Cramer法那么原那么上可用來求解線性方程組,用這種方法解一個n元方程組,要算n+1個階行列式的值,總共需求n!(n-1)(n+1)次乘法,當(dāng)n=20時,其乘除法運算次數(shù)約需1021次方,即使用每秒千億次的計算機也得需求上百年,而用高斯Guass消去法約需2660次乘除法運算,并且愈大,相差就愈大?？梢娧杏懞瓦x擇好的算法是非常重要的。 算法(數(shù)值算法):是指有步驟地完成解數(shù)值問 題的過程。數(shù)值算法的特點 目的性，條件和結(jié)論、輸入和輸出數(shù)據(jù)均要有明 確的規(guī)定與要求。 確定性，準(zhǔn)確地給出每一步的操作(不一定都是運 算)定義, 不允許有歧義。 可執(zhí)行性，算法中的每個操作都是可執(zhí)行的 有窮

7、性，在有限步內(nèi)可以終了解題過程計算機上的算法，按面向求解問題的不同， 分為數(shù)值算法和非數(shù)值算法。第一章計算方法與誤差1.2 誤差的來源及分類 早在中學(xué)我們就接觸過誤差的概念，如在做熱力學(xué)實驗中，從溫度計上讀出的溫度是23.4度，就不是一個準(zhǔn)確的值，而是含有誤差的近似值?，F(xiàn)實上，誤差在我們的日常生活中無處不在，無處不有。如量體裁衣，量與裁的結(jié)果都不是準(zhǔn)確無誤的，都含有誤差。在用數(shù)值方法解題過程中能夠產(chǎn)生的誤差歸納起來有如下幾類：1. 模型誤差2. 觀測誤差3. 截斷誤差4. 舍入誤差第一章計算方法與誤差用數(shù)學(xué)方法處理一個詳細(xì)的實踐問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要對實踐問題進(jìn)展籠統(tǒng)、簡化，因此數(shù)學(xué)

8、模型本身總含有誤差，這種誤差叫做模型誤差數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)言語模擬現(xiàn)實而建立起來的有關(guān)量的描畫數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與實踐問題的真解不同實踐問題的真解數(shù)學(xué)模型的真解為減化模型忽略次要要素定理在特定條件下建立與實踐條件有別1. 模型誤差在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、長度、電壓等，這些參數(shù)往往是經(jīng)過觀測得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差叫觀測誤差數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測和實驗得到的由于丈量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制,使數(shù)據(jù)含有丈量誤差,這類誤差叫做觀測誤差或數(shù)據(jù)誤差根據(jù)實踐情況可以得到誤差上下界數(shù)值方法中需求了解觀測誤差,以便選擇合理的數(shù)值方法與之順應(yīng)2. 觀

9、測誤差準(zhǔn)確公式用近似公式替代時,所產(chǎn)生的誤差叫截斷誤差 例如, 函數(shù)f(x)用泰勒(Taylor)多項式 3. 截斷誤差介于0與x之間近似替代，那么數(shù)值方法的截斷誤差是 截斷誤差的大小直接影響計算結(jié)果的精度和計算 任務(wù)量，是數(shù)值計算中必需思索的一類誤差在數(shù)值計算中只能對有限位字長的數(shù)值進(jìn)展運算需求對參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果作有限位字長的處置任務(wù)，這種處置任務(wù)稱作舍入處置用有限位數(shù)字替代準(zhǔn)確數(shù)，這種誤差叫做舍入誤差，是數(shù)值計算中必需思索的一類誤差4. 舍入誤差第一章計算方法與誤差 例如在計算時用3.14159近似替代，產(chǎn)生的誤差R= -3.14159=0.0000026就是舍入誤差。 上述種種誤

10、差都會影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此需求了解與研討誤差，在數(shù)值計算中將著重研討截斷誤差、舍入誤差，并對它們的傳播與積累作出分析1.3 誤差的度量 1.3.1 絕對誤差和絕對誤差限 定義1.1 設(shè)準(zhǔn)確值x的近似值 x* ，稱差 e(x*) =x-x* 近似值x*的絕對誤差，簡稱誤差。 e(x*)又記為e* 當(dāng)e*0時，x*稱為弱近似值，當(dāng)e*0時，x*稱為強近似值|e*|越小， x*的精度越高 由于準(zhǔn)確值普通是未知的,因此e* 不能求出來, 但可以根據(jù)丈量誤差或計算情況設(shè)法估計出它的取值范圍，即誤差絕對值的一個上界或稱誤差限。1.3 誤差的度量 定義1.2 設(shè)存在一個正數(shù)，使那么稱為近似值的絕對誤差

11、限，簡稱誤差限或精度。 實踐運用中經(jīng)常運用這個量來衡量誤差限, 這就是說, 假設(shè)近似數(shù) 的誤差限為 , 那么闡明準(zhǔn)確值 x 必落在 上, 常采用下面的寫法來表示近似值的精度或準(zhǔn)確值x所在的范圍。1.3 誤差的度量a-a+aA例1 設(shè)x =3.1415926 近似值x* =3.14,它的絕 對誤差是 0.001 592 6，有 x-x*=0.0015926 0.002=0.210-2例2 又近似值x* =3.1416，它的絕對誤差是 0.0000074，有 x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5例3 而近似值x* =3.1415，它的絕對誤差是 0.0000926，有 x

12、-x*=0.0000926 0.0001=0.110-3可見，絕對誤差限*不是獨一的，但*越小越好1.3.2 相對誤差和相對誤差限 只用絕對誤差還不能闡明數(shù)的近似程度,例如甲打字每100個錯一個,乙打字每1000個錯一個,他們的誤差都是錯一個,但顯然乙要準(zhǔn)確些,這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差外,還必需顧及量的本身。定義1.3 絕對誤差與準(zhǔn)確值x的比值 稱為相對誤差。 簡記為1.3.2 相對誤差和相對誤差限 相對誤差越小,精度就越高,實踐計算時,x通常是不知道的,因此可用以下公式計算相對誤差定義1.4 設(shè)存在一個正數(shù) ，使 那么稱 為近似值 的相對誤差限。 簡記為 1.3.2 相對誤差和相對誤差限

13、例4. 甲打字每100個錯一個，乙打字每1000個 錯一個，求其相對誤差解： 根椐定義:甲打字時的相對誤差 乙打字時的相對誤差 1.3.3 有效數(shù)字定義1.5 設(shè)x的近似值 其中 是0到9之間的任一個數(shù),但n是正整數(shù), m是整數(shù),假設(shè) 那么稱 為x的具有n位有效數(shù)字的近似值， 準(zhǔn)確到第n位， 是 的有效數(shù)字。 1.3.3 有效數(shù)字例5. 3.142作為的近似值時有幾位有效數(shù)字解： 3.141592= 0.3141592 3.142 = 0.3142 m = 1 |-3.142 |=|0.3141592 -0.3142 | 0.000041 0.0005= m n =1n =-3 所以 n =4

14、，具有4位有效數(shù)字例6. 當(dāng)取3.141作為的近似值時 -3.141=0.3141592101 -0.3141101 0.0000592 101 0.005=1/2 10-2 m-n=1-n=-2 所以n=3具有3位有效數(shù)字推論 假設(shè)近似數(shù)x*誤差限是某一位的半個單位, 由該位到x*的第一位非零數(shù)字一共有n位 x*就有n位有效數(shù)字,也就是說準(zhǔn)確到該位再如3.1416作為的近似值時 -3.1416 = 0.3141592101-0.31416101 0.00000074 101 0.00000740.00005 0.5 10-4 m-n=1-n=-4 所以 n=5x*= 3.1416有5位有效數(shù)

15、字關(guān)于有效數(shù)字闡明 用四舍五入取準(zhǔn)確值的前n位x*作為近似值,那么 x*必有n位有效數(shù)字。如3.142作為 的近似值 有4位有效數(shù)字，而3.141為3位有效數(shù)字 有效數(shù)字一樣的兩個近似數(shù)，絕對誤差不一定 一樣。例如，設(shè)x1*=12345,設(shè)x2*=12.345,兩者 均有5位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣 x- x1* =x- 12345 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.3450.0005=1/210-3 把任何數(shù)乘以10p(p=0,1,)不影響有效位數(shù) 準(zhǔn)確值具有無窮多位有效數(shù)字,如三角形面積 S=1/2ah=0.5ah 由于0.5是真值,沒有誤差 *=0,因此n,準(zhǔn)確值具有

16、無窮位有效數(shù)字1.3.4 有效數(shù)字與相對誤差定理1.1 假設(shè)近似數(shù)x*=0.x1x2xn10m具有 n 位 有效數(shù)字，那么其相對誤差證: x* = 0.x1x2xn10m x* x110 m-1 又 x*具有n位有效數(shù)字,那么x- x*1/210 m - n 普通運用中可以取r*=1/2x1 10-(n-1),n越大,r*越小, 有效數(shù)字越多，相對誤差就越小例7 取3.14作為的四舍五入的近似值時，求其 相對誤差解：3.14=0.314 101 x1=3 m=1 四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字 n=3 r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=17%1.3.4 有效數(shù)字與

17、相對誤差例8 知近似數(shù)x*有兩位有效數(shù)字，試求其相 對誤差限解：知 n=2 代入公式 r*=1/2x1 10-(n-1)得 r*=1/2x1 10-1 x*的第一位有效數(shù)字x1沒有給出，可進(jìn)展如下討論：當(dāng) x1=1 r*=1/2x1 10-1=1/2*1 10-1=5% x1=9 r*=1/2x1 10-1=1/2*9 10-1=0.56% 取 x1=1 時相對誤差為最大，即 5%1.3.4 有效數(shù)字與相對誤差1.3.4 有效數(shù)字與相對誤差定理1.2 假設(shè)近似數(shù)x*=0.x1x2xn10m相對誤差 那么該近似數(shù)具有n位有效數(shù)字證: x*=0.x1x2xn10m x* (x1+1) 10m-1由

18、有效數(shù)字定義可知,x*具有n位有效數(shù)字。證畢例9 知近似數(shù)x*的相對誤差限為0.3%，問x* 有幾位有效數(shù)字？解：由得當(dāng)x1=1時,310-3=1/410-(n-1)1210-3=10-(n-1) 上式兩邊取以10為底的對數(shù)得 lg22+lg3+(-3)=-n+1 lg2=0.3010 lg3=0.4771 20.3010+0.4771-4=-n n=2.9209 當(dāng)x1=9時,310-3=1/2010-(n-1) 610-3=10-n 上式兩邊取以10為底的對數(shù)得 lg2+lg3+(-3)=-n n=2.2219 x*至少有3位有效數(shù)字 例10 為使 的近似數(shù)的相對誤差小于0.1%， 問查開

19、方表時，要取幾位有效數(shù)字？解： 8 9 x1=8 -(n-1)lg2+2lg3+(-3) -n1.2552-4 -n2.7448 取 n =3即查平方表時 8.37取三位有效數(shù)字 留意: 知有效數(shù)字,求相對誤差用公式 知相對誤差,求具有幾位有效數(shù)字公式 1.4.1 函數(shù)運算誤差 函數(shù)運算誤差可用泰勒展開式來分析 設(shè)一元函數(shù)f(x)，自變量x的近似值x*，f(x)的近似值f(x*)，其誤差限記為f(x*) ，對f(x) 在近似值x* 附近泰勒展開1.4 誤差的傳播介于x,x*之間其中*為近似數(shù)x*的絕對誤差限，設(shè)f(x* )與f (x* )相差不大,可忽略*的高次項,于是可得出函數(shù)運算的誤差和相

20、對誤差多元函數(shù)亦類似，用泰勒展開即可推導(dǎo)出來例11 已測得某場地長L的值L*=110m,寬d的值 d*=80m,知 L-L* 0.2m, d-d*0.1m 求場地面積S=Ld的絕對誤差限和相對誤差限解：其中 (d*)=0.1m , (L*)=0.2m絕對誤差限 (s*)(800.2+110 0.1)m2=27m2相對誤差限1.4.2 算術(shù)運算誤差 計算機的數(shù)值運算主要是加、減、乘、除四那么運算，帶有誤差的數(shù)在多次運算過程中會進(jìn)展傳播。使計算結(jié)果產(chǎn)生誤差。 誤差的變化可以用微分簡單描畫。留意到準(zhǔn)確值x與其近似值通常很接近，其差可以為是較小的增量，即可以把差看作微分，由此可得誤差的微分近似關(guān)系式。

21、 dx 即x的微分表示x的絕對誤差，dlnx的微分表示x的相對誤差，利用這兩個關(guān)系式及微分運算可以得到一系列有關(guān)四那么運算的誤差結(jié)果。 1.4.2 算術(shù)運算誤差 由d( xy)=dxdy 可得兩數(shù)之和(差的誤差等于兩數(shù)的誤差之和差； 由 可得兩數(shù)之積的相對誤差等于兩數(shù)的相對誤差之和； 由 可得兩數(shù)商的相對誤差可看作是被除數(shù)與除數(shù)的相對誤差之差。 例12 正方形的邊長約為100cm,怎樣丈量才干使其 面積誤差不超越1cm2 ?解： 設(shè)正方形邊長為x cm,丈量值為x*cm,面積 y=f(x)=x2 由于 f (x)=2x 記自變量和函數(shù)的絕對誤差分別是e*、e(y*),那么 e*=x-x* e(

22、y*)=y-y* f (x*)(x-x*)=2x*e*=200e* 現(xiàn)要求 e(y*) 200e* 1 ,于是 e* 1/200cm=0.005cm 要使正方形面積誤差不超越1cm2，丈量邊長時絕對誤差應(yīng)不超越0.005cm。1.5 減少運算誤差原那么 誤差是用來衡量數(shù)值方法好與壞的重要標(biāo)志 為此對每一個算法都要進(jìn)展誤差分析(1)兩個相近的數(shù)相減，會嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字 例如x =1958.75，y =1958.32都具有五位 有效數(shù)字，但x-y=0.43只需兩位有效數(shù)字 通常采用的方法是改動計算公式,例如當(dāng)與 很接近時,由于用右端替代左端公式計算,有效數(shù)字就不會損失 1.5 減少運算誤差原那么當(dāng)

23、x很大時可作相應(yīng)的變換 那么用右端來替代左端。 1.5 減少運算誤差假設(shè)干原那么當(dāng)x接近0時 普通情況，當(dāng)f(x)f(x*)時，可用泰勒展開 取右端的有限項近似左端。 假設(shè)計算公式不能改動，那么可采用添加有效位數(shù)的方法保證精度 2防止大數(shù)“吃掉小數(shù)例 求二次方程x2-105x+1=0的根 解：按二次方程求根公式 x1=(105+(1010-4)1/2)/2 x2=(105-(1010-4)1/2)/2 在8位浮點數(shù)計算得 x1=(105+105 )/2=105 (正確, x2=(105-105 )/2=0 (錯誤產(chǎn)生錯誤的緣由 出現(xiàn)大數(shù)1010吃掉小數(shù)4的情況 分子部分出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減而喪失

24、有 效數(shù)位常稱為災(zāi)難性的抵消3絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù)當(dāng)分母為兩個相近數(shù)相減時,會喪失有效數(shù)字這里分子的誤差被擴展104倍,再如假設(shè)將分母變?yōu)?.0011,即分母只需0.0001的變化時,計算結(jié)果卻有了很大變化 1.5 減少運算誤差假設(shè)干原那么例1.8 計算 解: 分子分母分別計算后相除(取9位小數(shù))A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012 =0.000000009(有舍入)B=0.0003*0.0125*0.0=0.00000375*0.0 =0.000000051(有舍入)D=A/B=0.17647真值為0.16948148，所以D只準(zhǔn)確到小數(shù)后一位1.5 減少運算誤差假設(shè)干原那么例： 計算 算法2。分成三組因子。每組只取六位小數(shù)計算 a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入) b=0.0143/0.0125=1.144000 c=0.0012/0.0=0.088889 (有舍入) D=a*b*c=1. 666667* 1.144000* 0.088889 =0.169482,準(zhǔn)確到小數(shù)后5位。bca1.5 減少運算誤差假設(shè)干原那么4簡化計算步驟，減少運算次數(shù) x255