高中數(shù)學(xué)圓錐曲線問題解題技巧通用PPT課件

1、 (2005全國卷文科)已知雙曲線 的一條準(zhǔn)線為 ，則該雙曲線的離心率為 ( )A B C D x y oF1F2 b cos =1+k2.(k為雙曲線漸近線的斜率.) (2004全國東北理科卷)設(shè)雙曲線的焦點在x軸上,兩條漸近線為y = x，則該雙曲線的離心率e=( ) A. 5 B. C. D.=1+k2. 其中k為雙曲線漸近線的斜率.C e2=5/4. (2005全國卷文科)已知雙曲線 的一條準(zhǔn)線為 ，則該雙曲線的離心率為 ( )A B C D x y oF1F2 ba將k2=e2-1代入上式, 整理得9e4-9e2-4=0e2=4/3.D4 已知F1、F2為雙曲線 (a 0,b 0)的

2、焦點，過F2作垂直于 x 軸的直線交雙曲線于P, 且PF1F230(如圖), 求雙曲線的漸近線方程. xyoPF1F2即 ec 3a, e23, 已知F1、F2為雙曲線 (a 0,b 0)的焦點，過F2作垂直于 x 軸的直線交雙曲線于P, 且PF1F230(如圖), 求雙曲線的漸近線方程. xyoPF1F2|PF1|2|PF2|， exP+a=2(exP-a)，exP3a, k2=e2-1=2.y= x. (2005福建理科) 已知F1、F2是雙曲線 - = 1(a0, b0)的兩焦點, 以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2, 若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 ( ) A. 4

3、+2 B. -1 C. D. +1 x y oF1F2MA30 x1由已知, |AF1|=c, |AF2|= c,即 ex1-a=c, ex1+a= c, 兩式相減：2a=( -1)c, 兩邊同除以a得 e=(2005福建理科)已知F1、F2是雙曲線 (a 0,b 0)的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2, 若邊MF1的中點在雙曲線上, 則雙曲線的離心率是 ( ) A. 4+2 B. -1 C. D. +1因為|NF1|=exN-a=c, 即exN+a= c y x oMF2NF1又|NF2|= |NF1|,D 2exN=( +1)c將xN=c/2代入即得. 要點提煉：設(shè)雙曲線的

4、離心率為e, 一條有較小傾斜角 的漸近線的斜率為k,則雙曲線的如下性質(zhì)在解題時十分有用：過焦點作一條漸近線的垂線,垂足在雙曲線的準(zhǔn)線上, 垂線段的長等于半虛軸長；arccos(1/e)； e2k21. 此外, 雙曲線的焦半徑公式：r1|ex0a|，r2|ex0a| 在處理涉及雙曲線的焦半徑問題時是十分有用的,必須要學(xué)生熟記它.設(shè) 設(shè)而不求 (1994全國)設(shè)F1, F2為雙曲線 的兩個焦點，點P在雙曲線上，且F1PF2=90則 F1PF2的面積是 ( ) A. 1 B. C. 2 D.=1.A x y oF1F2P 以F1F2為直徑的圓的方程是： x2+y2=5, (2005全國卷)已知雙曲線

5、 的焦點為F1、F2, 點M在雙曲線上且MF1MF2=0,則點M到 x軸的距離為( )A B C D x y oF1F2Mx2+y2=3MF1MF2=0MF1MF2x2+y2=3,2x2-y2=2 y =平幾知識的應(yīng)用C 已知F1、F2為雙曲線 (a 0,b 0)的焦點，M為雙曲線上的點, 若F1MF290, 則F1MF2的面積等于_. x y oF1F2M一般化x2+y2=c2,b2x2-a2y2=a2b2 c2y2=b2(c2-a2)=b4 y=b2/c SF1MF2=b2. (2005全國卷)已知雙曲線 的焦點為F1、F2, 點M在雙曲線上且MF1MF2=0,則點M到 x 軸的距離為(

6、)A B C D x y oF1F2MCSF1MF2=b2=2設(shè)點M到 x 軸的距離為d,則 cd=S d= 將直角坐標(biāo)系中的曲線平移(或平移坐標(biāo)軸)，曲線上任意兩點之間的距離（弦長）、兩條定弦之間的夾角、以及曲線上任一點處的切線的斜率，都是平移變換下的不變量. (1995全國)直線l過拋物線y2a(x+1)(a0)的焦點, 并且與x軸垂直, 若l被拋物線截得的線段長為4, 則a . 直線l過拋物線 y24(x+1)的焦點, 并且與x軸垂直, 若 l 被拋物線截得的線段長為 . 4 4 y2a(x-3)（2003 新課程卷）設(shè)a0，f(x)=ax2+bx+c, 曲線 y=f(x)在點 P(x0

7、, f(x0)處的切線的傾斜角的取值范圍為 ，則點P到曲線y=f(x)對稱軸距離的取值范圍為 ( ) A. B. C. D. 曲線 y=f(x)在點 P(x0, f(x0)處的切線的斜率 k=2ax0.依題意,0k1,即 02ax01.B f (x)=2ax, x y oFP y=ax2 y=- y =2ax, y | =1. 證明：點P處的切線斜率為1 x y oFP 證明：點P處的切線斜率為1 法一：由 y2=2px 2yy=2p,法二：由F 回 顧 y2=2pxPF= p x y oAx=- 命題1 設(shè)拋物線y2=2px(p0)的通徑為PQ，則拋物線在點P、Q處的切線的斜率分別為1和-1

8、,且切線通過拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點.xyOPQFx= -M x y oFP (2004 全國東部卷) 設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是 ( ) A. B. -2,2 C. -1,1 D. -4,4 y2=18x y2=8(x-6)C 已知F為拋物線C：y24x的焦點，P為C上的任一點，過點F且斜率為1的直線與C交于A、B兩點，若PAB的面積為4 ，則這樣的點P有 ( ) (A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個 AB：x-y-1=0 求得|AB|=8 ；取點M(1,2) MAB的面積為4C 點M到直線AB的距離

9、為 x y oABFM 引申1橢圓通徑一個端點處切線的斜率 x y oF1P由得 引申2 雙曲線通徑端點處切線的斜率為e. 引申3 過橢圓 上一點 P (x0, y0) 的切線方程為： 引申4 過雙曲線 上一點 P (x0, y0) 的切線方程為： 引申5 過拋物線y2=2px上一點P (x0, y0)的切線方程為： y0y=p (x+x0 ) y0y=p (x+x0 )k切= 命題2 若PQ為焦點在x軸上的圓錐曲線的通徑，則曲線在點P、Q處的切線的斜率為e和-e，且切線通過相應(yīng)準(zhǔn)線與x軸的交點. 或表述為：過焦點在x軸上的圓錐曲線的準(zhǔn)線與x軸的交點，且斜率為e(或-e)的直線，與圓錐曲線相切

10、，且切點為圓錐曲線一條通徑的端點. x y o作離心率為1/2的橢圓 x y oFAB|OF|c, |FA|b, |OA|a. c|AB|2ab |AB|作離心率為2的雙曲線 (2004湖南理科卷)如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m) (m0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點. ( I ) 設(shè)點P分有向線段AB所成的比為，證明QP(QA-QB)； ( II ) 設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程. x y oAPBQ x y oAPBQ(0,-m)(x1,y1)(x2,y2)AP=(-x1,

11、 m-y1), PB=(x2, y2-m), 由已知, x1=-x2, y1-m=-(y2-m).即因為A、P、B共線, 且AP=PB.QP= QA+ QB= (QA+QB).欲證QP(QA-QB), 只須證QP (QA-QB)=0, 即證|QA|2-2|QB|2=0. 而 |QA|2-2|QB|2= +(y1+m)2-2 +(y2+m)2光 的 反 射基本原理: ()光的傳播遵循“光行最速原理”; ()光的反射應(yīng)滿足：“入射角=反射角”;由此推得 入射線與反射線關(guān)于法線對稱; 投影線為水平線時, k入射線+k反射線=0.光 的 反 射基本技巧:始點終點 入射線; 始點終點的對稱點反射線.始點

12、的對稱點終點 (1989全國) 自點A( -3, 3 )發(fā)出的光線 l 射到x軸上被 x 軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切, 求光線 l 所在直線的方程. (x-2)2+(y-2)2=1 x1 y o1-1.A.A始點的對稱點終點 -反射線；終點的對稱點始點 -入射線. (2005江蘇) 點P(-3,1)在橢圓 的左準(zhǔn)線上, 過點P且方向為a=(2,-5)的光線, 經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點, 則這個橢圓的離心率為 ( ) A. B. C. D. x y oP(-3,1)F(-c,0)MNl解法一：依題意, 入射線方程為y-1=- (x+3)令y=-2

13、, 得M(- , -2);令y=0, 得N(- ,0).F(-1,0) a2=3 x y oP(-3,1)F(-c,0)MNl解法二： 點F關(guān)于直線y=-2的對稱點為Q(-c,-4 ).c=1 a2=3 依題意, kPQ=- ,Q要點提煉： 光反射的理論依據(jù)，是物理學(xué)中的光行最速原理；數(shù)學(xué)中處理這類問題的基本方法是運用平面幾何中的對稱性，這就是“通法”. 只有把握住“通法”，不論題目如何變化，你才能在解題時得心應(yīng)手，游刃有余. (2004江蘇卷)已知橢圓的中心在原點，離心率為 ，一個焦點是F(-m,0) (m是大于零的常數(shù)). ()求橢圓方程； ()設(shè)Q是橢圓上的一點，且過點F，Q的直線l與y

14、軸交于點M，若|MQ|=2|QF|，求直線l的斜率.()() x y oMQF|MQ|=2|QF|()分析：由題設(shè)，|xM-xQ|=2|xQ-xF|，即|xQ|=2|xQ+m|，即xQ=-2m 或 xQ=- m.3x2+4y2=12m2,y=k(x+m)(3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2-12m2=0令x=-2m ，得k=0；令x=- m ，得k=2 .(2004東北理科卷) 給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點. () 設(shè)l的斜率為1，求OA與OB的夾角； () 設(shè)BF=FA, 若4, 9，求l在y軸上截距的變化范圍. x y oABF () 由

15、對稱性，我們只須研究如圖的情況. x y oABF( 1 ) 當(dāng)yB=-4yA時，yA=1m = .令x=0，得y1=( 2 ) 當(dāng)yB=-9yA時，同理可得y2= mCDABE (2000新課程卷) 如圖, 已知梯形ABCD中, |AB|=2|CD|, 點E分有向線段AC所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點. 當(dāng) 時，求雙曲線離心率e的取值范圍.由|AE|=|EC|,xy設(shè)|AB|=2c, 則A(-c,0), C( , yC), 又設(shè)E(x0, y0),得 x0+c=( -x0),x0=|EC|= (exC+a)-(-ex0-a)=2a+e(xC+x0),因為|EC|=|AC

16、|-|AE|因為|EC|= (exC+a)-(-ex0-a)=2a+e(xC+x0), |AE|=|EC|,x0=所以-ex0-a=2a+e( +x0) t = -2et-2=4+e(e+2t) 2e(+1)t= -(e2+4+2) 將代入兩邊同乘以 e2(-2)= -(e2+4+2) e2= 因為所以 7 e210,得 (2004天津理科卷)橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2 ，相應(yīng)于焦點F(c,0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|.過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點. ()求橢圓的方程及離心率； ()若OPOQ=0，求直線 PQ的方程； ()設(shè)AP=AQ(1).過點P且平行于l的直線與橢圓相交于另一點M. 證明：FM=-FQ.MAPQOFxye= x y-3=0MAPQOFxy()設(shè)AP=AQ(1).過