排列組合常用方法總結(jié)(全)

1、解決排列組合問(wèn)題常見策略學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、排列組合的本質(zhì)區(qū)別在于對(duì)所取出的元素是作有序排列還是無(wú)序排列。組合問(wèn)題可理解為把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是無(wú)序的。較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題一般是先分組，再排列。必須完成所有的分組再排列，不能邊分組邊排列。排列組合問(wèn)題的常見錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏。弄清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，適當(dāng)?shù)姆诸悾侠淼姆植绞墙鉀Q這個(gè)錯(cuò)誤的關(guān)鍵，采用不同的思路檢驗(yàn)結(jié)果是否一致是解決這個(gè)錯(cuò)誤的技巧。集合是常用的工具之一。為了將抽象問(wèn)題具體化，可以從特殊情形著手，通過(guò)畫格子，畫樹圖等幫助理解。“正難則反”是處理問(wèn)題常用的策略。常用方法：一. 合理選擇主元例1. 公共汽車上有3個(gè)座位，現(xiàn)在上來(lái)5名乘

2、客，每人坐1個(gè)座位，有幾種不同的坐法？例2. 公共汽車上有5個(gè)座位，現(xiàn)在上來(lái)3名乘客，每人坐1個(gè)座位，有幾種不同的坐法？分析：例1中將5名乘客看作5個(gè)元素，3個(gè)空位看作3個(gè)位置，則問(wèn)題變?yōu)閺?個(gè)不同的元素中任選3個(gè)元素放在3個(gè)位置上，共有種不同坐法。例2中再把乘客看作元素問(wèn)題就變得比較復(fù)雜，將5個(gè)空位看作元素，而將乘客看作位置，則例2變成了例1，所以在解決排列組合問(wèn)題時(shí)，合理選擇主元，就是選擇合適解題方法的突破口。二. “至少”型組合問(wèn)題用隔板法對(duì)于“至少”型組合問(wèn)題，先轉(zhuǎn)化為“至少一個(gè)”型組合問(wèn)題，再用n個(gè)隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，將元素分成n1份。例5. 4名學(xué)生分6本相同的書，

3、每人至少1本，有多少種不同分法？解：將6本書分成4份，先把書排成一排，插入3個(gè)隔板，6本書中間有5個(gè)空隙，則分法有：（種）三. 注意合理分類元素（或位置）的“地位”不相同時(shí)，不可直接用排列組合數(shù)公式，則要根據(jù)元素（或位置）的特殊性進(jìn)行合理分類，求出各類排列組合數(shù)。再用分類計(jì)數(shù)原理求出總數(shù)。例6. 求用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字組成的比2015大的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)。解：比2015大的四位數(shù)可分成以下三類：第一類：3，4，5，共有：（個(gè)）；第二類：21，23，24，25，共有：（個(gè)）；第三類：203，204，205，共有：（個(gè)）比2015大的四位數(shù)共有237個(gè)。四. 特殊元素（位置）用

4、優(yōu)先法把有限制條件的元素（位置）稱為特殊元素（位置），對(duì)于這類問(wèn)題一般采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。例1. 6人站成一橫排，其中甲不站左端也不站右端，有多少種不同站法？分析：解有限制條件的元素（位置）這類問(wèn)題常采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。解法1：（元素分析法）因?yàn)榧撞荒苷咀笥覂啥耍实谝徊较茸尲着旁谧笥覂啥酥g的任一位置上，有種站法；第二步再讓其余的5人站在其他5個(gè)位置上，有種站法，故站法共有：480（種）解法2：（位置分析法）因?yàn)樽笥覂啥瞬徽炯祝实谝徊较葟募滓酝獾?個(gè)人中任選兩人站在左右兩端，有種；第二步再讓剩余的4個(gè)人（含甲）站在中間4個(gè)位置，有種，故站法共有：（種）五.

5、分排問(wèn)題用直排法對(duì)于把幾個(gè)元素分成若干排的排列問(wèn)題，若沒有其他特殊要求，可采取統(tǒng)一成一排的方法求解。例5. 9個(gè)人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，則不同的坐法共有多少種？解：9個(gè)人可以在三排中隨意就坐，無(wú)其他限制條件，所以三排可以看作一排來(lái)處理，不同的坐標(biāo)共有種。六. 復(fù)雜問(wèn)題用排除法對(duì)于某些比較復(fù)雜的或抽象的排列問(wèn)題，可以采用轉(zhuǎn)化思想，從問(wèn)題的反面去考慮，先求出無(wú)限制條件的方法種數(shù)，然后去掉不符合條件的方法種數(shù)。在應(yīng)用此法時(shí)要注意做到不重不漏。例6. 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，取其中4個(gè)不共面的點(diǎn)，則不同的取法共有（ ）A. 150種 B. 147種 C. 144種

6、D. 141種解：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類。第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），它的4個(gè)點(diǎn)共面，有3種。以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同的取法共有：（種）。七. 多元問(wèn)題用分類法按題目條件，把符合條件的排列、組合問(wèn)題分成互不重復(fù)的若干類，分別計(jì)算，最后計(jì)算總數(shù)。例7. 已知直線中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。解：設(shè)

7、傾斜角為，由為銳角，得，即a，b異號(hào)。（1）若c0，a，b各有3種取法，排除2個(gè)重復(fù)（，），故有：3327（條）。（2）若，a有3種取法，b有3種取法，而同時(shí)c還有4種取法，且其中任意兩條直線均不相同，故這樣的直線有：33436（條）。從而符合要求的直線共有：73643（條）八. 排列、組合綜合問(wèn)題用先選后排的策略處理排列、組合綜合性問(wèn)題一般是先選元素，后排列。例8. 將4名教師分派到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分派方案共有多少種？解：可分兩步進(jìn)行：第一步先將4名教師分為三組（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（種），第二步將這三組教師分派到3種中學(xué)任教有種方

8、法。由分步計(jì)數(shù)原理得不同的分派方案共有：（種）。因此共有36種方案。九順序問(wèn)題用“除法”對(duì)于幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素同其余元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例：7個(gè)節(jié)目，甲、乙、丙三個(gè)節(jié)目按給定順序出現(xiàn)，有多少種排法？分析：7個(gè)節(jié)目的全排列為A77,甲、乙、丙之間的順序已定。所以有A77A33=840種。答案：840種。十特征分析研究有約束條件的排數(shù)問(wèn)題，需緊扣題中所提供的數(shù)字特征，結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理，分析求解。例：由1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)且是6的倍數(shù)的五位數(shù)？分析：6的倍數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)。是2的倍數(shù)，個(gè)位上為

9、2、4或6；是3 的倍數(shù)必須滿足各個(gè)數(shù)字上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的特征。把這6個(gè)數(shù)分組（3）、（6）、（1，5）、（2，4），每組的數(shù)字和都是3的倍數(shù)，因此可分成兩類討論。第一類：由1、2、4、5、6作數(shù)碼，首先從2、4、6中任選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)字，有A31種，然后其余4個(gè)數(shù)字在其它數(shù)字上全排列有A44,所以，N1=A31A44個(gè)，第二類：由1、2、3、4、5作數(shù)碼，依上法有N2=A21A44個(gè)。故N=N1+N2=120個(gè)。答案：120個(gè)。十一、對(duì)應(yīng)有些時(shí)候，一個(gè)事件與一個(gè)結(jié)果之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例：在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng)比賽后，失敗者退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，需舉行多

10、少場(chǎng)比賽？分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰99名選手。要淘汰掉一名選手，必須舉行一場(chǎng)比賽；反之，每場(chǎng)比賽恰淘汰一名選手。兩者之間一一對(duì)應(yīng)。故要淘汰99名選手，應(yīng)舉行99場(chǎng)比賽，從而產(chǎn)生一名冠軍。十二、用比例法有些排列應(yīng)用題，可以根據(jù)每個(gè)元素出現(xiàn)機(jī)會(huì)占整個(gè)問(wèn)題的比例，從而求得問(wèn)題的結(jié)果。例：從6個(gè)運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加4100米接力賽。如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共有多少種不同的參賽方案？分析：若不受條件限制，則參賽方案有A64=360種，但其中限制甲、乙兩人不能跑第一棒，即跑第一棒的只能是其他的人，而這4人在第一棒中出現(xiàn)的可能性為4/6故所求參賽方案有46A64=240種。答案：240種。十三、

11、“樹圖”表示法對(duì)某些分步進(jìn)行的問(wèn)題，可依次對(duì)每步可能出現(xiàn)的情況用“樹”狀圖形表示出來(lái)。例：四人各寫出一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡的不同分配方式有（）種。A.6 B.9 C.11 D.32分析：將四張賀卡分別記為A,B,C,D。由題意，某人（不妨設(shè)為A卡的供卡人）取卡有3種情況。因此將卡的不同分配方式分為三類，對(duì)于每一類，其它人依次取卡分步進(jìn)行。為避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象，可用樹狀圖表示。ADCADBABCBCDA CDAB DCABDACDBACBA所以共有9種不同的分配方式。又或：分析：設(shè)4人為甲、乙、丙、丁，則甲送出的卡片可以且只可以由其他三人中的一人收到，

12、故有3種分配方式。以乙收到為例，其他人收到卡片的情況可分為兩類：第一類，甲收到乙送出的卡片，這時(shí)丙、丁只有互送卡片1種分配方式；第二類，甲收到的不是乙送出的卡片，這時(shí)，甲收到卡片的方式有2種（分別是丙或丁送出的），對(duì)每一種情況，丙、丁收到卡片的方式只有1種。因此，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的分配方式有：3（12）9（種）。注意：解題的關(guān)鍵在第2個(gè)人和第3個(gè)人的拿法，只要給他們規(guī)定一個(gè)拿卡的順序，依次進(jìn)行，則根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求得。例4.把棵不同的蔬菜，分別捆成捆，在下列情況下，分別有多少分捆的方法？每捆棵；一捆3棵，一捆2棵，一捆1棵.解：例5.把6棵不同的菜，分別種在3塊不同的土地上，在下列情

13、況下，分別有多少種植方法？每塊地上種2棵；甲地3棵，乙地2棵，丙地1棵；一塊地上3棵，一塊地上2棵，一塊地上1棵.解：變式：如果是7棵不同的菜，種到3塊土地上，一塊地上3棵，一塊地上2棵，還有一塊地上2棵呢？答案為典型易錯(cuò)題：例1某天有六節(jié)不同的課，若第一節(jié)排數(shù)學(xué)，或第六節(jié)排體育，問(wèn)共有多少種不同的排法？錯(cuò)解數(shù)學(xué)排第一節(jié)的排法有種，體育排第六節(jié)的排法也有種，根據(jù)加法原理，第一節(jié)排數(shù)學(xué)或排體育的排法共有2240種剖析在數(shù)學(xué)排第一節(jié)的排法中，存在著體育排第六節(jié)的排法，在排體育第六節(jié)的排法中，存在著數(shù)學(xué)排第一節(jié)的排法，它重復(fù)計(jì)算了數(shù)學(xué)排第一節(jié)，同時(shí)體育排第六節(jié)的排法，即多算種。正確結(jié)果是：216種例

14、2從4名男生3名女生中選3人成立科技小組，問(wèn)當(dāng)選者中至少有一名男生和一名女生的選法有幾種？錯(cuò)解先選一名男生，有種選法，再選一名女生，有種選法，最后從余下的5名學(xué)生中選一名有種選法，故共有選法60種剖析上述解法中，每一種選法都符合要求，但是否有重復(fù)計(jì)算呢？為此我們不妨設(shè)4名男生為A1，A2，A3，A4，3名女生為B1，B2，B3，把上面選法中含有一名男生的選法分為4類。在含有男生A1的一類的選法有：A1，B1，A2，即先選A1，再選B1，最后選A2；在含有男生A2的一類中有A2，B1，A1，即先選A2，再選B1，最后選A1。顯然這兩種選法被重復(fù)計(jì)算了。因此上述解法是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的原因在于沒有將符

15、合要求的選法進(jìn)行正確分類，分類要不重不漏。正解以男生人數(shù)分類，則符合條件的有且僅有兩類，一類是男生一名女生兩名，有種選法，另一類是男生兩名女生一名，有。故共有30種例3n個(gè)不同的球放入n1個(gè)不同的盒子，假設(shè)每個(gè)盒子都有足夠大的容量，問(wèn)每個(gè)盒子中至少有一個(gè)球的放法共有多少種？錯(cuò)解先在每盒子中放入一球共有種放法，再將剩下的一球放入，有n1種放法。由乘法原理，共有放法（n1）（n1）n！種.剖析將這n個(gè)球和n1個(gè)盒子均依次編號(hào)，設(shè)先在每盒中放入一球時(shí)，有一種放法是第I號(hào)盒子恰好放入第I號(hào)球，其中I1，2，n1，然后再考慮剩下的第n號(hào)球的放法，假設(shè)第n號(hào)球恰好放入第1號(hào)盒，這樣，除1號(hào)盒中放有第一號(hào)與

16、第n號(hào)兩個(gè)球外，其余各盒均只放有一個(gè)與盒子同號(hào)的球，若先在每盒中放入一球時(shí)，第n號(hào)球恰好放入第1號(hào)盒，而其余各盒所放的球均與盒子同號(hào)，這樣，再將剩下的1號(hào)球放入盒中時(shí)，必有一種放法是恰好放入1號(hào)盒，這時(shí)，出現(xiàn)與前一次完全相同的結(jié)果，但在上面的解法中被當(dāng)成兩種不同的放法來(lái)計(jì)算，故重復(fù)。正確的解法是：先從n個(gè)球中任取2個(gè)組成一組，共有種方法；然后把這2個(gè)球當(dāng)作1份，另外n2個(gè)球每個(gè)球算1份，共有n1份，把這n1份分放在n1個(gè)盒子中，且使每盒中恰有1份，共有種放法，由乘法原理，符合題意的放法種數(shù)為n！例4、將4個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盆子內(nèi)（1）共有幾種放法？（2）恰有一個(gè)盆子未放球，共幾種放法？（

17、3）恰有一個(gè)盆子內(nèi)有2球，共幾種放法？（4）恰有兩個(gè)盆子內(nèi)未放球，共有幾種放法？解題思路分析：（1）把球作為研究對(duì)象，事件指所有球都放完。因每一只球都有四種放法，故由分步計(jì)數(shù)原理，共有44=256（種）；（2）問(wèn)題即為“4個(gè)球放入三個(gè)盆子，每個(gè)盆子內(nèi)都要放球，共有幾種放法？”第一步是把4只球分成2，1，1三組，共有C42種放法；第二步把3組球放入三個(gè)盆子中去（作全排列），有A43種；由分步計(jì)數(shù)原理，共有N=C42A43（種）評(píng)注：第二步應(yīng)是A43，而不是A33，因還要選從四個(gè)盆子中選三個(gè)盆子，然后作全排。（3）仔細(xì)審題，認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)。“恰有一盆子內(nèi)入2個(gè)球”即另三個(gè)盆子放2球，也即另外3個(gè)盆

18、子恰有一個(gè)空盆，因此，“恰有一個(gè)盆子放2球”與“恰有一個(gè)盆子不放球”是等價(jià)的。（4）先取走兩個(gè)不放球的盆子，有C42種取法；其次將4球分兩類放入所剩2盆；第一類均勻放入，有C42C22種放法；第二步按3，1分組放入，有C43C11A22種放法。故有N=C42(C42C22+C43C11A22)=84（種）。例5、用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字組成各位數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)，若按由小到大排列，試問(wèn)：（1）42130是第幾個(gè)數(shù)？（2）第60個(gè)數(shù)是什么？解題思路分析：（1）要知道42130是第幾個(gè)數(shù)，只要知道比它小的有幾個(gè)數(shù)，就基本解決了。根據(jù)數(shù)的大小比較的原則，比42130小的數(shù)可以分成如下幾類：1，2，3型的；40，41型的；420型的；4200型的。各類的數(shù)分別有C31A44，C21A33，C11A22，C11A11個(gè)，所以比42130小的數(shù)有C31A44+C21A33+C11A22+C11A11=87個(gè)，42130是第88個(gè)。（2）萬(wàn)位1的數(shù)，即1型的數(shù)，有A44=24個(gè)；萬(wàn)位為2的，同樣有A44=24個(gè)；萬(wàn)位為3的也有24個(gè)，所以第60個(gè)數(shù)是萬(wàn)位為3的這一類數(shù)中的第12個(gè)數(shù)，再具體分類：30型的有A33=6個(gè)；31型的有A33=6個(gè)所以，第12個(gè)數(shù)是31型的數(shù)中