空間變尺度因子球坐標(biāo)系與四維時空度規(guī)

1、中國科技論文在線- PAGE 13 - FORMTEXT 空間變尺度因子球坐標(biāo)系與四維時空度規(guī) FORMTEXT 卞保民， FORMTEXT 賴小明， FORMTEXT 李振華， FORMTEXT 賀安之作者簡介：卞保民（1956），男，教授，主要研究方向：理想氣體自相似運動模型. E-mail: bianbaomin_56SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET bkCompanyEN Department of Information Physics and Engineering, Nanjin

2、g University of Science and Technology;Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology;Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology;Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University

3、 of Science and Technology * MERGEFORMATDepartment of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology;Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology;Department of Information Physics and Engineering, Nanjing Universit

4、y of Science and Technology;Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and TechnologySET bkCompanyCHN 南京理工大學(xué)信息物理與工程系;南京理工大學(xué)信息物理與工程系;南京理工大學(xué)信息物理與工程系;南京理工大學(xué)信息物理與工程系 * MERGEFORMAT南京理工大學(xué)信息物理與工程系;南京理工大學(xué)信息物理與工程系;南京理工大學(xué)信息物理與工程系;南京理工大學(xué)信息物理與工程系SET bkPostcode 210094; * MER

5、GEFORMAT210094;SET bkMobile * MERGEFORMASET bkTelphone 02584315019; * MERGEFORMAT02584315019;SET bkAddress 南京理工大學(xué)理學(xué)院; * MERGEFORMAT南京理工大學(xué)理學(xué)院;SET bkEmail bianbaomin_56;laixiaoming1981;Zhenhuali;HAnZhi * MERGEFORMATbianbaomin_56;laixiaoming1981;Zhenhuali;HAnZhiSET bkIntroduct

6、ion 卞保民（1956），男，教授，主要研究方向：理想氣體自相似運動模型; * MERGEFORMAT卞保民（1956），男，教授，主要研究方向：理想氣體自相似運動模型;SET bkAuthorCHN 卞保民;賴小明;李振華;賀安之 * MERGEFORMAT卞保民;賴小明;李振華;賀安之SET bkAuthorEN BIAN Baomin;LAI Xiaoming;LI Zhenhua;HE Anzhi * MERGEFORMATBIAN Baomin;LAI Xiaoming;LI Zhenhua;HE AnzhiSET bkContact 卞保民 * MERGEFORMAT卞保民SET

7、 bkFund * MERGEFORMAT SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET version 1.5 * MERG

8、EFORMAT1.5SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET version 1.5 * MERGEFORMAT1.5SET bkReferencesInfo 1*|*期刊*|*Bennett C L, Hill R S, Hinshaw G, Nolta M R, Odegard N, Page L, Spergel D N, Weiland J L, Wright E L, Halpem M, Larosik N, Kogut A, Limon M, Meyer S S, Tucker G S,

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21、kAuthorsInfo *|1|卞保民|BIAN Baomin|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology|卞保民（1956），男，教授，主要研究方向：理想氣體自相似運動模型|南京理工大學(xué)理學(xué)院|210094|bianbaomin_56|025843150192|賴小明|LAI Xiaoming|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics

22、 and Engineering, Nanjing University of Science and Technology|laixiaoming1981|3|李振華|LI Zhenhua|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology|Zhenhuali|4|賀安之|HE Anzhi|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics and Engineering, Na

23、njing University of Science and Technology|HAnZhi| * MERGEFORMAT*|1|卞保民|BIAN Baomin|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology|卞保民（1956），男，教授，主要研究方向：理想氣體自相似運動模型|南京理工大學(xué)理學(xué)院|210094|bianbaomin_56|025843150192|賴小明|LAI Xiaomi

24、ng|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology|laixiaoming1981|3|李振華|LI Zhenhua|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology|Zhenhuali|4|賀安之|HE Anzhi|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|De

25、partment of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology|HAnZhi|SET bkTitleInfo 空間變尺度因子球坐標(biāo)系與四維時空度規(guī)|Variable Space Scale Factor Spherical Coordinates & Time-space Metric| * MERGEFORMAT空間變尺度因子球坐標(biāo)系與四維時空度規(guī)|Variable Space Scale Factor Spherical Coordinates & Time-spac

26、e Metric|（南京理工大學(xué)信息物理與工程系）SET bkTitleInfo * MERGEFORMAT SET bkAuthorsInfo * MERGEFORMAT 摘要： FORMTEXT 時空度規(guī)是廣義相對論的一個基礎(chǔ)性概念，是宇宙學(xué)和天體物理學(xué)建立模型的邏輯基礎(chǔ)。本文將隨時序參數(shù)變化的空間尺度因子函數(shù)引入相對論四維時空間隔模型，研究空間球?qū)ΨQ形式的四維平直時空度規(guī)、史瓦西度規(guī)、Robertson-Walker(RW)度規(guī)之間的變換條件?；诳臻g變尺度因子球坐標(biāo)系的時空間隔，通過嚴(yán)格的計算，分別推導(dǎo)出RW度規(guī)中與K1對應(yīng)的尺度因子函數(shù)解析解，推導(dǎo)出星球外非真空條件下的四維時空度規(guī)。

27、提出了一種理解現(xiàn)代物理學(xué)非平直時空模型的新視角。關(guān)鍵詞： FORMTEXT 廣義相對論1；標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型2；尺度因子3；中圖分類號： FORMTEXT O41SET bkAuthorsInfo * MERGEFORMAT SET bkTitleInfo * MERGEFORMAT FORMTEXT Variable Space Scale Factor Spherical Coordinates & Time-space Metric FORMTEXT BIAN Baomin, FORMTEXT LAI Xiaoming, FORMTEXT LI Zhenhua, FORMTEXT HE Anz

28、hi(Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology)Abstract: FORMTEXT The time-space metric is a fundamental concept of general relativity, and it is the logical foundation of cosmology and astrophysics. A time-related space scale factor is introduced

29、to the 4-dimensional time-space interval model. The transformations among the flat metric, the Schwarzschild metric and the Robertson-Walker(RW) metric are obtained in spherical coordinate systems. Based on the time-space interval of the time-related scale factor coordinate, the solutions of R-W met

30、ric with parameter K1 and the non-vacuum metric outside stars are deduced. A new point of view is advanced to comprehend the modern physical non-flat time-space.Key words: FORMTEXT general relativity1； the standard cosmological model2； scale factorkey word 3引言R-W度規(guī)是現(xiàn)行宇宙學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其中包含一個待定的尺度因子和表征時空拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的

31、常數(shù)k。宇宙學(xué)家認(rèn)為，普遍存在的河外星系的紅移現(xiàn)象是R-W度規(guī)的變尺度因子的客觀依據(jù)，并獲得宇宙四維時空均勻膨脹的重要結(jié)論。近一個世紀(jì)以來，宇宙微波背景12、a超新星光度與紅移、345以及宇宙大尺度結(jié)構(gòu)6等天文觀測數(shù)據(jù)，被認(rèn)為是物理宇宙處于膨脹、加速膨脹狀態(tài)的反映。研究者們假設(shè)宇宙的基本演化遵循標(biāo)準(zhǔn)的熱大爆炸宇宙學(xué)模型，但為了解釋“宇宙加速膨脹”，需要引進(jìn)具有負(fù)壓強(qiáng)特性的暗能量。目前人們已建立了諸多的暗能量模型，如將宇宙學(xué)常數(shù)視為暗能量加冷暗物質(zhì)的模型7、廣義的Chaplygin氣體模型8、quintom模型9以及復(fù)標(biāo)量場模型10等。以上宇宙學(xué)都可以屬于標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型范疇。除標(biāo)準(zhǔn)模型以外，還有一

32、些研究者給出了一些非標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型。例如Avinash K和Rvachev V L認(rèn)為宇宙空間在大尺度上滿足非阿基米德幾何，對應(yīng)于物理現(xiàn)象上等效于引入了一種變尺度因子的宇宙模型11。Sorrell W H則退回到Zwicky的光疲勞的理論建立了一個靜態(tài)宇宙，并能解釋Ia型超新星揭示的加速膨脹的宇宙，不過以光疲勞概念為基礎(chǔ)的模型并不具有很強(qiáng)的說服力12。標(biāo)度相對論的研究者Nottale L等認(rèn)為宇宙時空具有分形結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上研究了宇宙的加速膨脹等現(xiàn)象13。也有用變光速模型研究宇宙學(xué)疑難問題14。與上述模型不同，文獻(xiàn)15基于引力作用下氣體一維不定常流自相似運動微分方程，得到空間變尺度因子函數(shù)一般

33、解，給出一種無發(fā)散性宇宙模型，并能解釋“宇宙加速膨脹”現(xiàn)象。當(dāng)然，用于恒星外局域時空特性的真空模型史瓦西度規(guī)則也是與宇宙學(xué)有關(guān)一種中心對稱模型。為了進(jìn)一步厘清文獻(xiàn)15中變尺度因子模型的物理意義，以及它們在宇宙學(xué)、天體物理學(xué)模型中的應(yīng)用價值，本文以相對論四維時空間隔概念為基礎(chǔ)，在閔可夫斯基空間球坐標(biāo)系形式中引入隨時序變化的空間尺度因子函數(shù)，在此基礎(chǔ)上研究分析含變尺度因子的空間球?qū)ΨQ四維時空度規(guī)，并獲得廣義相對論四維非線性時空R-W度規(guī)、史瓦西度規(guī)中的空間尺度因子解析解。本文的研究結(jié)果表明，文獻(xiàn)15中變尺度因子模型具有普遍意義?？臻g變尺度因子球坐標(biāo)系四維時空間隔閔可夫斯基空間四維時空間隔定義為 (

34、1)取空間球坐標(biāo)形式：、，則(1)式可寫成 (2)(2)式中代表空間固定尺度，為與對應(yīng)的球坐標(biāo)。代表運動質(zhì)點本征時序；由條件下，可推斷代表原點時序。引入具有長度量綱的非零待定函數(shù)15，定義空間變尺度因子球坐標(biāo)系的徑向坐標(biāo) (3)任意坐標(biāo)點到原點的徑向距離的另一類描述形式為 (4)兩個相鄰坐標(biāo)點的徑向距離元，將、新形式代入(2)式可得 (5)與空間變尺度因子對應(yīng)的四維時空度規(guī)一般形式為 (6)由(5)式還可推出一種變量分離微元關(guān)系式 (7)文獻(xiàn)15給出了中心對稱氣體動力學(xué)模型空間變尺度因子函數(shù)一般解 (8)特征參數(shù)、的數(shù)值與具體物理模型有關(guān)。基于(5)式能夠推導(dǎo)空間變尺度因子球坐標(biāo)系時空度規(guī)（6

35、）式的對角化形式?？臻g變尺度因子時空度規(guī)的對角化一、將代入(5)式，并進(jìn)行下列整理 (9)若(8)式中取，即尺度因子滿足為常量，則存在全微分 (10)再引入非線性徑向坐標(biāo)變換 (11)由和(11)式可得 (12)由(11)式可得 (13)將坐標(biāo)變換代入(9)式，可得 (14)與時空坐標(biāo)對應(yīng)的四維時空度規(guī)對角化形式 (15)由(14)式還可得時空變量微元分離形式 (16)二、若以運動質(zhì)點本征時為空間尺度因子函數(shù)的自變量，即，則可定義空間變尺度因子球坐標(biāo)系的徑向坐標(biāo) (17)將(2)式重新寫成 (18)再將（17）式和代入(18)式，并進(jìn)行如下整理 (19)與(9)式類似，取尺度因子滿足為常量，則

36、存在全微分 (20)再引入非線性徑向坐標(biāo)變換 (21)由和(21)式可得 (22)由(21)式可得 (23)將坐標(biāo)變換代入(19)式，則有時空變量微元分離形式 (24)取為時間單位統(tǒng)一符號，進(jìn)行下列非線性變換 (25)與(25)式對應(yīng)的逆變換為 (26)由(26)式作微分計算 (27)結(jié)合(26)、(27)兩式，可得 (28)將(28)式代入(24)式，并整理可得 (29)與時空坐標(biāo)對應(yīng)的四維時空度規(guī)對角化形式(30)三、四維時空間隔能夠與原點輻射的一對相鄰光子被自由運動質(zhì)點依次接收的過程元對應(yīng)。將(5)式進(jìn)行下列整理 (31)取該運動質(zhì)點的徑向坐標(biāo)滿足 (32)將（32）式化解 (33) (

37、34)即有 (35)則有待定函數(shù)解 (36)由(8)式可得 (37)則有 (38)式中為空間球體積。將球質(zhì)量、平均密度代入(38)式 (39)由引力常數(shù)和、（或）可構(gòu)成無量綱參數(shù) (40)取尺度因子參數(shù)，則可得，代入(40)式可得無量綱數(shù)與時空坐標(biāo)無關(guān)的條件為 (41)即宇宙平均密度。若取，則，可得 (42)無量綱數(shù)與時空坐標(biāo)無關(guān)的對應(yīng)條件為 (43)由（39）、（40）、（33）式，可得，代入(31) (44)與自由質(zhì)點對應(yīng)，（44）式中四維時空度規(guī)的對角化形式為(45)上述計算過程表明，平直時空四維間隔模型結(jié)合空間尺度因子函數(shù)、，能夠演繹出不同的對角化四維時空度規(guī)形式。可見，上述幾種對角化

38、四維時空度規(guī)并不具有完全的獨立性。討論廣義相對論對稱性時空度規(guī)的四維間隔標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型R-W度規(guī)對應(yīng)的時空間隔形式為16 (46)根據(jù)最大對稱空間唯一性定理16，(2)、(14)、(29)式即為的R-W度規(guī)時空間隔形式。對應(yīng)的尺度因子函數(shù)分別為、。星球外真空條件下的廣義相對論史瓦西度規(guī)四維間隔形式為 (47)（44）式對應(yīng)的兩個尺度因子函數(shù)、，當(dāng)取局域近似條件時則有，即。(44)式取即與(47)式等效。可見，變尺度因子模型與廣義相對論吻合。變尺度因子空間球坐標(biāo)系的徑向坐標(biāo)變換關(guān)系原點輻射光子自由程的原點時序度量形式和固定尺度因子平直空間球坐標(biāo)度量形式分別為“”。結(jié)合（4），可推導(dǎo)變尺度因子球坐標(biāo)

39、系徑向坐標(biāo)與之間的變換關(guān)系。取計時單位，由關(guān)系中的最后等式可得 (48)不失一般性，取。與尺度因子相關(guān)的徑向坐標(biāo)變換式 (49)與尺度因子相關(guān)的徑向坐標(biāo)變換式 (50)相對于平直時空形式，變換后徑向坐標(biāo)的值域。隨著徑向距離的增大，反映能力逐漸喪失。與尺度因子相關(guān)的徑向坐標(biāo)變換式 (51)與尺度因子相關(guān)的徑向坐標(biāo)變換式 (52)與(8)式對應(yīng)的徑向坐標(biāo)一般變換式 (53)相對于平直四維時空形式，均為空間徑向距離的非線性映射形式。其中，類坐標(biāo)與（8）式的空間變尺度因子函數(shù)R直接對應(yīng)，比值隨原點輻射光子自由程增大而減小，故相應(yīng)的時空坐標(biāo)系拓?fù)渚S數(shù)小于“4”。實物元徑向坐標(biāo)定義域受限條件為 (54)則

40、可推出變尺度因子空間坐標(biāo)系實物元映射受到相應(yīng)的限制條件：。結(jié)合具體物理信號過程的分析表明，變尺度因子模型并不一定代表三維空間具有均勻膨脹性?？臻g球坐標(biāo)系與時鐘參數(shù)可取任一實物光源為原點建立空間球坐標(biāo)系模型，原點時序參數(shù)定義為。物理學(xué)必須借助信號傳播過程、傳播信號參數(shù)的變化（即測量）標(biāo)定非原點實物元的坐標(biāo)值。在基于光子自由程度量空間距離的變尺度因子球坐標(biāo)系中，運動質(zhì)點記錄時序與原點記錄時序不等價。設(shè)、分別對應(yīng)原點處時序間隔為先后輻射的兩個自由光子，為吸收該對光子的本征時間隔，由（2）式可得 (55)(55)式與運動時鐘變慢的相對論形式吻合。且可得質(zhì)點運動距離元的計算公式 (56)(55)、（56

41、）式表明，“相鄰光子對”是反映實物元空間相對關(guān)系信息的觀測基礎(chǔ)。與“”不同組合對應(yīng)的、參數(shù)不是可直接計量的實物時鐘序數(shù)。這些形式“時鐘”的理論意義是使變換后的四維時空度規(guī)能呈現(xiàn)對角化形式。非原點實物元的運動狀態(tài)基本參數(shù)取變尺度因子模型，由(5)式可得 (57)不計角度變化，則有 (58)可見，非原點實物元狀態(tài)對應(yīng)于的基本參數(shù)為、，形式上都是原點時序的函數(shù)。在變尺度因子坐標(biāo)系形式下，坐標(biāo)參數(shù)和速度參數(shù)相互關(guān)聯(lián)，不具有完全獨立性。原點輻射光子自由程的映射模型標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型沒有給出R-W度規(guī)變尺度因子函數(shù)的具體解析形式，尺度因子函數(shù)隨時序增大的形式被理解為“宇宙物理空間具有均勻膨脹特性”。宇觀意義的尺

42、度因子只能是宇宙空間普遍存在的自由傳播信號特征的映射形式。由（11）式的徑向坐標(biāo)變換關(guān)系對應(yīng)的變尺度因子為 (59)（21）式的徑向坐標(biāo)變換關(guān)系對應(yīng)的變尺度因子為 (60)上述尺度因子、的時序?qū)?shù)均為常數(shù)，與離開原點后自由運動光子自由程對應(yīng)。所以，徑向坐標(biāo)映射的空間范圍受限條件為，或者。(45)式時空度規(guī)對應(yīng)的變尺度因子分別為 (61) (62)參考（41）式，與宇宙平均密度、哈勃常數(shù)相關(guān)，對應(yīng)的觀測量是自由傳播光子的周期參數(shù)?？紤]到哈勃常數(shù)數(shù)值，局域空間內(nèi)，為輻射光子本征周期。參考(43)式，與星球局域環(huán)境有關(guān)，在星球表面處，考慮到（47）式的廣義相對論史瓦西度規(guī)，隨時序變化與局域性光子引力

43、紅移對應(yīng)。不論尺度因子代表光子自由程，或者對應(yīng)于自由傳播光子的觀測參數(shù)，相應(yīng)的時序參數(shù)（或者）為該信號傳播過程度量形式。愛因斯坦將光子的自由傳播過程光子自由程作為空間距離的標(biāo)準(zhǔn)度量形式引入在相對論。（59）式、（60）式對應(yīng)的尺度因子與相對論宇宙時空模型一致。光子自由傳播過程的唯一性，在邏輯上保證了徑向距離度量結(jié)果的確定性。原點輻射光子的總“自由程”可取不同的空間球坐標(biāo)映射形式，。尺度因子也可理解成徑向坐標(biāo)附近、與單位坐標(biāo)間隔對應(yīng)的空間距離元（光程元）的映射形式。由（8）可得：，即平直空間坐標(biāo)系代表一種極限（抽象理想模型）形式。所以，原點輻射光子自由程或徑向距離的映射模型可取線性或非線性兩種邏

44、輯特性。結(jié)論基于一個引入空間球坐標(biāo)系的變尺度因子模型，以閔可夫斯基四維時空間隔定義為基礎(chǔ)，能夠推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型RW時空度規(guī)與對應(yīng)的尺度因子函數(shù)，也能夠推導(dǎo)出星球外非真空條件下的四維時空度規(guī)和廣義相對論史瓦西時空度規(guī)。計算給出具有對角化形式的不同時空度規(guī)的空間徑向坐標(biāo)的變換公式表明，隨時序參數(shù)變化的空間尺度因子所對應(yīng)的四維時空球坐標(biāo)系并不一定意味著三維空間的均勻膨脹。原點輻射光子信號是物理學(xué)空間模型的觀測基礎(chǔ)，抽象的、平直的四維時空幾何學(xué)是建立物理學(xué)時空模型的邏輯基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn) (References) FORMTEXT 1 Bennett C L, Hill R S, Hinshaw G, Nolta M R, Odegard N, Page L, Spergel D N, Weiland J L, Wright E L, Halpem M, Larosik N, Kogut A, Limon M, Meyer S S, Tucker G S, Wollack E 2003 Astrophys J (Suppl.)148 972 Mather J C, Cheng, E S, Cottingham D A, Eplee R E, Fixsen D J, H