845抽象代數(shù)A-2019年碩士研究生入學考試真題-暨南大學_第1頁
845抽象代數(shù)A-2019年碩士研究生入學考試真題-暨南大學_第2頁
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1、2019年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題 *招生專業(yè)與代碼：網(wǎng)絡空間安全083900考試科目名稱及代碼：抽象代數(shù) 845 （A 卷）考生注意：所有答案必須寫在答題紙（卷）上，寫在本試題上一律不給分。 一、判斷題（共5小題，每題4分，共20分）1. 設是群的單位，。如果, 則。 ( ) 2. 有限非交換群的階至少為6。 ( )3. 是循環(huán)群。 ( ) 4. 域上的多項式不可約當且僅當在上沒有根。 ( )5. 模8剩余類環(huán)是有限域。 ( ) 二、填空題（共5小題，每題5分，共25分）。1. 設群是8階循環(huán)群，則元素的階為_,子群在中的指數(shù)是_。2. 把置換寫成不相交輪換的乘積為_。3. 設為高

2、斯整環(huán)，則生成的理想為_。4. 模6剩余類環(huán)的所有零因子為_。5. 在有理數(shù)域上的極小多項式為_。三、（15分）設是兩個有限集合，它們的勢分別為和，到的不同映射共有多少個？（8分）到的單射有多少個？（7分） 四、（10分）設是正整數(shù)，試證：滿足方程的復數(shù)解的全體在通常乘法運算下是一個階循環(huán)群。五、（20分）設是兩個群。設是群同態(tài)，。試證：，這里。（10分）設是群同態(tài)，若是的一個有限階元，證明的階整除的階。（10 分）六、（20分）設為正整數(shù)，求證：模剩余類環(huán)中元可逆當且僅當。（10分）若為素數(shù)，則是元有限域；若不是素數(shù)，則不是整環(huán)。（10分）七、（15分）設是多項式的一個實根。求證。（5分）將, 分別表示成的-線性組合。（10分）八、（15分）（1）設是含幺環(huán)，為環(huán)的理想。并且當時，。證明有環(huán)同構。（10分）（2）解同余方程組，求出最小正整數(shù)解。（5分）九、（10分）

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