專升本必做基礎(chǔ)練習(xí)題

1、i .求+1+天+辦- jr+i的反函數(shù)2,設(shè)/*)在x = 0處連續(xù)，且對(duì)Vx,有/(2x) = /(x)cosx,求在xwO時(shí)/a)的表達(dá)式c3,求極限 lim 1 2 + 3 4 + (1)+)4,設(shè)/*) = lim2 + (2x) + /(0),討論/(x)的可導(dǎo)性 T85.設(shè)數(shù)列x滿足M=+，x+16 ,設(shè)q = l, ak = k(ak_1 +1),試計(jì)算 lim 1A=1 V+ ak)7.(1)設(shè)/(x)為在。向上的連續(xù)正值函數(shù)。求證：lim),/(刈心=max/(x) T8 V %axbax-8IL計(jì)算limx-01 -cosxcos2xcos3xx213 .計(jì)算 lim一8

2、 n12.計(jì)算 lim Vx14.if算 lim V1 +x +j2 +x3 -yj + x + x 磔+ )XT+880.設(shè)函數(shù)/*)在0 J上可積，且0 團(tuán)W f(x) W M ,求證竺 1 ,求證：級(jí)數(shù)- =11+ 2a + 3 + + 0收斂83 .設(shè)/*,刃為具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二次齊次函數(shù)，即時(shí)任意的X、y、/,都有、2 求證：/(x,y) = 2/(xj) I dx dy)(2)設(shè)。是由:/+產(chǎn)=4正向一周所圍成的閉區(qū)域，求證:= jjMMgrad f(x,y)dxdy LD84.設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間。力上連續(xù),g(x)在a,b上正值連續(xù),如果Ja)ga)力=/c(x)g”)力,

3、(x)(a,x),求 呵JaJax-a Y n85 .平面區(qū)域。是卜,刃iW+fq,乙是。的邊界正向一周，求證:1班泗一河定x2 +xy+2y24 一冗586 ,設(shè)函數(shù)/(乃在0上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(0) = 0,/=1 ,求證：對(duì)任意的xw0J,有 /()一/*)1ax 2187.求證：對(duì)任意的xNO,yNO,有X2 +歹2x+y-2io.設(shè)函數(shù) /(x)、g(x)在a,b上連續(xù)，且滿足 , xea,b,f/力= fg)力，求證：fV*心J：xg(xg.設(shè)函數(shù)/*)二階可導(dǎo)且/(幻0,對(duì)任意的x,有/*)/”*)一/(刈2 NO,求證：(1)對(duì) 7$廣2，有/(X)/*2)N/2 2 7

4、(2)假設(shè)/(0)=1,求證：對(duì)VxcR,都有.設(shè)為自然數(shù)，/1) =(/-2)siY)力，求證：/*)在0,+oo)可取得最大值，且max f(x) x e)(2+ 2 )(2+ 3) TOC o 1-5 h z QO00.設(shè)與為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，求證:=1=|00 18(1)假設(shè)。也+也用, =1,2,.,，那么級(jí)數(shù)z 發(fā)散時(shí)，z4發(fā)散： /=1 a nn=l(2)假設(shè)對(duì)某個(gè)正常數(shù)a,有勺上匚一。+小a/ = l,2,.，那么級(jí)數(shù)收斂時(shí)，收 bfi+in=w=i斂。.設(shè)/*) = sin(e)力，求證：ej/(jc)| 24_.設(shè)/)=心，求J區(qū)/)或者證明它不存在.設(shè)為曲線/+/ =雙(常數(shù)R。

5、)一周，口為上的外法線向量，*/)具有二階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且+ =r+。求,丁杰11.設(shè)二次函數(shù)歹= *)(其中/項(xiàng)的系數(shù)為1)的圖形與x軸的交點(diǎn)為一,0及(3,0), ( 2 y其中8= hm求使二元函數(shù)/(a,4)“雙幻一3 +夕)2公取得最小的實(shí)數(shù)a、8的值.設(shè)a =htan烏，其中600且60乃+工，求lima上222、一 尸 arctang- arctanx , 97 .計(jì)算 dxJox.設(shè) pC) =-F，/(刃=114一/。億)四,乃(4一x) +yJ實(shí)數(shù)，求/(幻的初等函數(shù)表達(dá)式.設(shè)函數(shù)/*)在0刀上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/(0) = /r(0其中虞x為任意實(shí)數(shù)，y為正) = 0，/(

6、1) = /(1) = 1，求證:k、-r+8/ x5 x7100 .計(jì)算(X+4J。2 2-4 246.計(jì)算sin(Mg (提示： e.求證：對(duì)于任意的自然數(shù)，有二1 ，201 加.求極限 lim ，2 -,kk A=1“5、八 /X4x6,)(1+、+)dx22 22-42 22-42-62 正、dx =) 2-n4k8JOM12104 .計(jì)算-dx a-x.設(shè)函數(shù)尸(x)=/(x)g(x),其中/*)與 g(x)滿足：fx) = g(x), g,(x)=f(x),/(0) = 0, /*) + g*)=2e、，求。(x).己知犯治存在，求證：廣 W% = /(0)ln2 % XJoXa1

7、08.設(shè)xNO ,設(shè)函數(shù)/(幻=lim 1108.設(shè)xNO ,設(shè)函數(shù)/(幻=lim 1,g*) =/(， J。(l)求函數(shù)g(x)在xNO局部的水平漸近線(2)求函數(shù)g(x)與其水平漸近線及y軸在x 2 0局部所圍成的圖形的面積力.求平而曲線C,使得。上兩點(diǎn)(0J),*/)之間的弧長(zhǎng)為獷二1.設(shè)函數(shù)/(x)在0,24上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(幻20,求證：對(duì)任意正整數(shù)，有f(x) sin nxdx f(x) sin nxdx 0)的非鉛直漸近線(1 + x)113,設(shè)函數(shù)/*)在上連續(xù)，計(jì)算lim華斗公J-1 匯 + x114 .設(shè)/是二次可微的函數(shù)，滿足/(0)=1,/(0) = 0 ,且對(duì)

8、VxNO,有/(x)-6/(x) + 5/(x)N0,求證:對(duì)VxNO,都有115 .拋物線= 以+ c在點(diǎn)M(l,2)處曲率圓的方程為1? ( 5丫x 2)+ VV 2)皿算缶去117,設(shè)函數(shù)/*)在。萬上二階可導(dǎo)，且/(0) = /(0), /(-) = 0 ,求證：至少存在一點(diǎn)3/.設(shè)正值函數(shù)/(X)在區(qū)間oj上連續(xù)，求證：J4/)公.設(shè)歹=y(x)由方程+V = 39確定，求f】，小 J廣一xTT120,設(shè)函數(shù)g(x)在R內(nèi)具有非負(fù)二階導(dǎo)數(shù)，求證：對(duì)于V0,彳上連續(xù)函數(shù)/*),有:F J02 /(x)sin Jt/x +oox-K219.(1)設(shè) /(x) = arcsin(x + M

9、 )J也,求 /(O)V 1 + k（2 ）設(shè)函數(shù)/（外者）在（-8,+8）上有定義，且對(duì)于Vxj（-8,+8）,恒有fix+y) = f(x)g(y)+f(y)g(x)，且 /(O) = 0, g(0) = 1,八0) = 1, g1x-322,設(shè)函數(shù)/（X）在+ 內(nèi)無窮次可導(dǎo)，證明，對(duì)任意的正整數(shù)，都有如下式子成立。limdnU)XT。.設(shè)/*)在0,1上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且有/(0)=/=0。求證:。2心弓口八刈2必(2)心彳口八刈2公.計(jì)算:J，+1)225.(1)計(jì)算卜In(sinx)公(2)利用計(jì)唬言26.(1)(2)計(jì)算 limsin2(Vn2 + n) 一8計(jì)算 limsin(;r

10、+1) zi27 .記C(a)為(1 +x)a在/ = 0處的基級(jí)數(shù)的展開式中/018的系數(shù)，計(jì)算積分伍”)1+ +j + 1 y + 2 y + 2018.28 ,設(shè)函數(shù)/(XJ)在單位圓域上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上的值恒為0,求證:八。=一岬其中。是圓域iwi+v4.29.設(shè)函數(shù)/*)在0,+8)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，己知/(0)=廣(0) = 0,對(duì)Vxw0,+8),都有廣(x) + 3/(x) + 2/(x)N0成立,求證:f(x) 030,設(shè)/*)在血1上連續(xù)，記/(/) = /*)公，4/) = 42*)辦，求函數(shù)/(幻使31 .求不定積分J31 .求不定積分JX)n ntan 32

11、.計(jì)算 limT8 普 一+/33.(1)設(shè)函數(shù)/(X)= N，-肛；T)。將函數(shù)/(X)展開為傅里葉級(jí)數(shù)(2)(2)-H 1萬 2利用(1)的結(jié)論證明二一 6 k2 6(3)求積分的值J。 + eu34.設(shè)函數(shù)/*)是定義在04x41,0441上的二元函數(shù)，/(0,0) = 0,且在點(diǎn)(0,0)處/(xj)可微,求極限lim xtO100 35.求2的整數(shù)局部n-36.設(shè)/*) = 36.設(shè)/*) = 00,n + 一 n2 + 3+ +一 n n1 (、lim -Inarctann ,(2)+,x工0，求/)的表達(dá)式一8 37.設(shè)函數(shù)/(xj)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),37.設(shè)函數(shù)/(xj)具有

12、一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),滿足 df(x.y) = yevdx + x(l + y)evdy，及/(0,0) = 0,求/(羽刃32 _ 合2 _ g一.函數(shù)二二二*/)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足方程+ 二+，=二。求證：經(jīng) dx dxdy dx變換 = ,(x + y), v = -(x-y), w = ”，以、p作自變量，w作因變量，方程可化 2為一-+= 2wdu dudv39 .設(shè) y = y(x)滿足(x2 + y2 )239 .設(shè) y = y(x)滿足(x2 + y2 )22a*(a。)，求/可證得可.假設(shè) D： x2 y2 ,求那么!，)-dxdy.設(shè)/&)=半萼，求/2。(0) J1-W

13、.求滿足如。=(/)+ fu(t)dt及(0)= 1的可微函數(shù) dtJo.設(shè)/*)在(一1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且/)20,對(duì)于(一11)內(nèi)任意的xwO,存在唯一的。(x)w(OJ),使得/(x) = /(0) + /(0(x)x)x成立，計(jì)算limO(x)x-0In -.設(shè)Ovqvl/ = l,2,，且Hm = q (有限或+8),求證:18 nn0000(1)當(dāng)ql時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)令1時(shí)級(jí)數(shù)、發(fā)散;21n 丫21n 丫(2)判斷級(jí)數(shù)=2的斂散性45 .設(shè)。、6均為常數(shù)，一2, 4工0,求實(shí)數(shù)4、b,使得2/ +瓜 + 4 小，1 dxI x(2x + q)= ln(l-r2)dfr成立46

14、.計(jì)算力，其中。是由直線x+y=l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域47.設(shè)一平面過原點(diǎn)和點(diǎn)（6,-3,2）,且與平面4x-y + 2=8垂直，求該平面方程.設(shè)函數(shù)/*）在區(qū)間口力上非負(fù)可積，求證:(1)當(dāng)0a1時(shí),1 Cb（2）當(dāng)之1或義0時(shí),、八 xsinxarccot(2017), TOC o 1-5 h z .計(jì)算定積分/= ；-dxJf 1 + cos X.求函數(shù)乂二）=正 + / +三在（X - J）? 一二2 二 1條件下的極值nI.計(jì)算 limarctan-71sinx, 0 j 2占2k252 .計(jì)算(：/(1)g(x-。山(xNO),其中 xNO 時(shí)/(x)=x,而 g(x) =

15、oo |n n Jo sinxi456 .求由曲線4：歹=/+2尺04X41）繞直線右：y = K旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的面 積。57設(shè)函數(shù)/*）在x0時(shí)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且/=2,在右半平面*0）內(nèi)存在可微函數(shù)二網(wǎng)幾用使得力/=心+必制力，求函數(shù)/（X）和（XJ）.設(shè)銳角三角形Z3C的外接圓半徑是一定值，且N4、/B、NC所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、kda db deb、c,求證：+= 0cos J cos B cosC.設(shè)曲線C, ：/+y2=（wN） 記為C”的長(zhǎng)，求證：lim=8 n-oo.n/7n(1) 記 4 = ；+ + + -7 , 求4, 使得 lim4 = 4 + 1 /T+4AT+/Ti

16、s(2)記紇=(4一%)，求B ,使得lim紇=8-8(3)記C= (紇-8),求C,使得limC,=C -8.設(shè)函數(shù)/*）在區(qū)間0J上連續(xù)，求證：lim/*）& =/ n-oo JO.設(shè)函數(shù)/*/）在區(qū)域。=卜/）片+歹24/上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足/（入2=八以及（喘,/（入2=八以及（喘,、2+=a2,其中a 0 ,求證:f.y)dxdy Ddx4為常數(shù)63 .計(jì)算3 (1 + e *)( + /)64,設(shè)函數(shù)/(x)在上連續(xù)，且在(。*)可微(0。 0 , /(0) = 0, /X0) = 0,求lim&-。其中)AO f/W，是曲線y = /*)上點(diǎn)尸*,/(幻)處的切線在X軸上

17、的截距。,設(shè)函數(shù)/*)是0 J上的可積函數(shù)且滿足(/(x心=)公=1,求證：(fx) 4.設(shè)數(shù)列乙為 =6,均=53- JJ,乙+2 = ,3 - J3 + X(=1,2,),求證：數(shù)列乙 收斂并求極限.設(shè)/*)在0,+8)上可導(dǎo)，/(0) = 0,其反函數(shù)為g(x),假設(shè)力= /,求/*).求過點(diǎn)(-2,0,0)和(0,-2,0)且與錐面/+歹2=:2的交線為拋物線的平面方程。70.設(shè)函數(shù)/*)在閉區(qū)間0J上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(0) = /=0,求證: 4口/(幻2治取等號(hào)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)/*)=4*3-幻時(shí)成立，其中 71 .設(shè)函數(shù)/*/,二)在區(qū)域Q=(X, 乂二),2 + / +二24

18、上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足 d/i，（grad（/（xj,二）=6 72 .平面區(qū)域。是X,刃|十 丁 a, 是。的邊界正向一周，求證:rxesinydyyeinxcb tt 2017+2018/ W0973,設(shè)函數(shù)/*）是連續(xù)函數(shù)，且滿足= l +力，求/“）為74,設(shè)函數(shù)/*）在閉區(qū)間口,切上二階可導(dǎo)，/（。）0,且對(duì)任意的有八x） 0 J”*） 0，又對(duì)于數(shù)列瓦，其滿足乙+1 二 x一坐斗， =0J2，/ 二人 /（乙）（1）求證：方程/*） = 0在（4涉）內(nèi)恰有一個(gè)根J（2）求證：數(shù)列乙收斂于J.設(shè)S0,計(jì)算/=犬”公 1 Jo.設(shè)函數(shù)/*)在0,1上連續(xù)，且 /) = 0( = 0,1,，- 1),