第4章離散時間的金融市場均衡和資產(chǎn)估值多期模型ppt課件

1、第四章 離散時間的金融市場平衡和資產(chǎn)估值：多期模型.4.1多期經(jīng)濟4.1.1 跨期的信息構造我們有以下的根本假設和記號：1這個經(jīng)濟體總共跨越 T+1 時期：t=0,1,T 。2這個經(jīng)濟體的每個形狀記為 ，它表示這個經(jīng)濟體從 t=0 時期演化到 t=T 時期的一種能夠的歷史過程。要留意： 是外生的，一切的 區(qū)分和描寫了經(jīng)濟體的外部環(huán)境； 把一切能夠的外部環(huán)境形狀進展了完好的區(qū)分；一切能夠的形狀記為 ，每個 可以看作是形狀空間 的元素點。3經(jīng)濟體的真實形狀是逐漸地從 t=0 時期演化到 t=T 時期，這樣一個演化過程實踐上也是一個信息結構逐漸展現(xiàn)的過程，可以用事件樹來表示。.下面用一個簡單的例子來

2、闡明事件樹和信息構造。 例 ：思索一個三期模型 t=0,1,2 此處 T=2 。到 t=T 時期總共有5種能夠出現(xiàn)的事件 ，能夠的演化過程可用圖4.1的事件樹表示。 對此事件樹做以下解釋： 一切的事件在這個簡單的事件樹中總共能夠出現(xiàn)8個事件： 它們都是形狀空間 的子集。假設兩個事件 和 ，有 ，那么 和 成為相互分別的事件。形狀空間 的一個劃分是一組事件 ，使得 ，有 。到 t 時期，經(jīng)濟體展現(xiàn)的有關形狀的信息通常來說對一切的投資者都一樣可以用形狀空間 的一個劃分 來表示。 .在圖4.1的事件樹中，到了 t=1 時期，投資者獲得的有關形狀的信息就是劃分 ，其中： ， 。于是投資者根據(jù)這樣的信息

3、就可以判別，假設在 t=1 時期出現(xiàn)的事件是 ，那么，到期末 t=2 時期，只能夠出現(xiàn) 這3個事件之一；假設在 t=1 時期出現(xiàn)的事件是 ，那么，到期末t=2 時期，只能夠出現(xiàn) 這2個事件之一。假設投資者具有無限的記憶才干，那么隨著時間的推移，展現(xiàn)的信息會越來越精細，即有 ， 比 精細，這意味著 。各個時期展現(xiàn)的信息匯總起來，就是整個信息構造，表示為 為了方便起見，我們可以以為 和 。4把形狀空間 看作根本的樣本空間，就可以在其上定義概率測度： 。對于恣意事件 ，該事件發(fā)生的概率就是 . 這樣，我們就有了跨期信息構造的完好定義。 闡明：前面定義的每個形狀 表示的是經(jīng)濟體從 t=0 時期演變到

4、t=T 時期的一種能夠的歷史過程，也就是事件樹上從期初到期末的一條能夠的途徑，和期末各種能夠出現(xiàn)的事件是不同的。但是，在圖4.1的例子中，到達期末恣意事件 的途徑都只需一條，所以很容易在了解上混同起來。 由圖4.2可知，到期末，只能夠發(fā)生3個不同的事件 但能夠的形狀有4個，由于有4條能夠的途徑。其中 也是按這4條能夠的途徑來劃分的。.4.1.2 證券市場 定義4.1 ：一個時間/事件或有要求權是1份有價證券，到 t時期，在事件 發(fā)生時，支付1個單位的消費品。 時間/事件或有要求權就是多期模型中的Arrow-Debreu證券基本證券，對于一切多期模型中的金融資產(chǎn)的不確定性現(xiàn)金流，我們都可以采用時

5、間/事件或有要求權的組合來復制。 假設在證券市場上一共有N+1 種有價證券在進展競爭型買賣。令 是第 K 種證券在 t 時期的價錢。顯然， 是 的函數(shù)。如果采用向量和矩陣的記法， 是一切 N+1 種有價證券在 t 時期的價錢向量， 是一切 N+1 種有價證券在 t 時期的紅利利息向量。 和 都是相對于 的可測隨機序列，我們稱 和 順應于信息構造 。 采用 ， 和信息構造 F 描寫多期模型的證券市場。.4.1.3 投資者偏好 假設在我們的多期模型經(jīng)濟中總共有 位消費者/投資者。他們在 t 時期的消費量記為 ，是 的函數(shù)，即有一切的 也都是相對于 的可測隨機序列，即都順應于信息構造 F 同樣，消費

6、者/投資者要最大化他們的馮諾伊曼摩根斯坦期望成效函數(shù)值。期望成效函數(shù)在數(shù)學上表示為此處 表示消費者/投資者在事件樹中的一條能夠的途徑 上的全部消費。 我們假設消費者/投資者具有以下方式的時間可加、形狀可區(qū)分和各個形狀相互間獨立的偏好，可用以下方式的成效函數(shù)表示：留意： 曾經(jīng)包含了消費的時間偏好在內(nèi)。 并且，我們假定1嚴厲的非饜足性，即 ；2嚴厲的風險厭惡，即 。4.1.14.1.2.4.1.4 經(jīng)濟稟賦和消費/投資戰(zhàn)略 對于消費者/投資者 i ，令 是他她在 t 時期對一切 N+1 種證券的持倉量，假設投資者在 t 時期買賣證券，即調(diào)整他她的投資組合中各種證券的持倉量，那么， 是指買賣前即調(diào)整

7、投資組合前的持倉量。因此， 就是在 t+1 時期進展買賣前調(diào)整投資組合前投資組合中各種證券的持倉量。假設投資者在 t 時期減持即賣掉部分有價證券，將所得的貨幣資金用于消費的話，在 t 時期消費的量由于曾經(jīng)假設只需一種消費品記為 。 這樣，一個買賣戰(zhàn)略即投資戰(zhàn)略也就是一個隨時間變化調(diào)整投資組合中各種證券的持倉量的隨機過程在離散情況下是隨機序列。 為什么是一個隨機過程而不是一個確定性的過程？由于作為一個面向不確定性的戰(zhàn)略，在期初制定時，它必需是一個“隨機應變的戰(zhàn)略，在從 t=0 時期演化到 t=T 時期的過程中，面對各種能夠出現(xiàn)的形狀采用相應的不同措施。. 定義4.2 ：一個買賣戰(zhàn)略投資戰(zhàn)略是一個

8、 N+1 維的隨機序列 順應于信息構造 F 。一個消費戰(zhàn)略那么是一個1維的隨機序列 也順應于信息構造 F 。 定義4.3 ：一個買賣戰(zhàn)略投資戰(zhàn)略 稱為是可采用的，如果相應地存在一個消費戰(zhàn)略 ，使得 ，有一切可采用的買賣戰(zhàn)略都滿足預算的約束。遵照4.1.3式的消費戰(zhàn)略 被稱為是依托買賣戰(zhàn)略投資戰(zhàn)略 融資的。 是 t 時期除紅或付息前投資組合的價值。如今在 時期進展買賣，賣掉一部分證券將所得用于消費，消費量是 ，剩下的調(diào)整后的投資組合的價值就是 ，調(diào)整后的持倉量就成為 。此時還在 t 時期，價錢依然是 t 時期價格，但曾經(jīng)除紅或付息，所以證券價錢依然為 。這樣，按照新的持倉量計算，調(diào)整后的投資組合

9、的價值為 ，于是就有4.1.3式。4.1.3. 定義4.4 ： 是第 i 位消費者/投資者在 t 時期擁有的財富，即經(jīng)濟稟賦。 也是一個順應于信息構造 的隨機過程隨機序列。消費者/投資者在各時期各種形狀下即發(fā)生各種事件中所擁有的經(jīng)濟稟賦財富構成了消費和投資的預算約束。.4.2 最優(yōu)消費/投資戰(zhàn)略 消費者選擇他她的消費/投資戰(zhàn)略這樣的戰(zhàn)略用來表示使本人的成效函數(shù)最大化： 在模型4.2.1中，除了 t=0 時期的變量外，其他的變量都是隨機變量。4.2.1 動態(tài)規(guī)劃解法 動態(tài)規(guī)劃是運籌學中求解多期優(yōu)化問題的常用方法，該方法是貝爾曼在20世紀50年代初提出的，其根本思想是一種逆向的求解方法。1當 t=

10、T 時，此時曾經(jīng)到了多期模型的終期，投資組合將被全部變現(xiàn)用于消費，所以有 ，并且4.2.1.2我們標志到 t 期時，在當時所能獲得的信息條件下的預期值數(shù)學期望值為 ，并記當時的投資組合的價值為 ，那么在 t=T-1 期的消費/投資戰(zhàn)略模型4.2.1就轉變成 這里， 是 T-1 期的值函數(shù)。3當 t=T-2 時，可以反復上面的步驟，得到優(yōu)化模型4.2.24.2.3.留意：援用貝爾曼的“最優(yōu)化原理，這個模型的值函數(shù)即優(yōu)化目標函數(shù)可以改寫成以下的“嵌套方式： 和 互換位置是由于去預期值概率平均值 與 的優(yōu)化決策選擇無關。留意： “嵌套中的值函數(shù) 是曾經(jīng)在4.2.2式的約束條件下優(yōu)化后的結果。于是，4

11、.2.3式的模型最終可改寫為4.2.54.2.4.4以此類推，我們就可以得到普通的 t 期模型： 模型4.2.6就是我們求解多期消費/投資優(yōu)化戰(zhàn)略的動態(tài)規(guī)劃模型。4.2.6.4.2.2 求解最優(yōu)消費/投資戰(zhàn)略 記為第 k 種證券在 t+1 時期的收益率。于是，第 i 位消費者/投資者在 t+1 期的財富可以表示為其中， 是第 t+1 期在第 t+1 期進展買賣調(diào)整持倉量之前第 i 位消費者/投資者持有第 k 種證券的貨幣價值。于是，從第 t 期到第 t+1 期在第 t+1 期進展買賣調(diào)整持倉量之前，消費者/投資者的財富應該是(4.2.7).代入4.2.7式，就有假設第0種證券是無風險資產(chǎn)，在第

12、 t+1 期的收益率記為 ，就有4.2.8. 于是，我們可以把多期消費/投資優(yōu)化戰(zhàn)略的動態(tài)規(guī)劃模型4.2.6改寫成 我們依然假設消費者/投資者是非饜足和風險厭惡的，于是就可以求一階最優(yōu)化條件F.O.C.：1相對于 的一階最優(yōu)化條件2相對于 的一階最優(yōu)化條件 由模型4.2.6，可以直接得到4.2.64.2.9.由一階最優(yōu)化條件4.2.9可以推出 這可以看作包絡條件。這個包絡條件的經(jīng)濟涵義是 對于優(yōu)化的消費/投資戰(zhàn)略而言，今天消費的邊沿效用等于其財富的邊沿成效，而財富的邊沿成效就是預期的未來消費的邊沿成效。 如今假設 是嚴厲的凹函數(shù)，那么 對于 也是嚴厲的凹函數(shù)。這樣就可以解出最優(yōu)消費戰(zhàn)略 由于

13、是 的嚴厲凹函數(shù)，所以一階最優(yōu)化條件F.O.C.曾經(jīng)保證了所求得的解是最優(yōu)解。 留意：這里采用動態(tài)規(guī)劃方法求出的最優(yōu)消費/投資戰(zhàn)略是針對個別消費者/投資者的，還未涉及整個金融市場的平衡問題。4.2.104.2.11.4.3 平衡定價4.3.1 多期模型的Arrow-Debreu經(jīng)濟 首先定義多期模型的Arrow-Debreu證券，并假設如今t=0時期存在這樣的Arrow-Debreu證券的完選集。 定義4.5 ：在一個多期經(jīng)濟體中，假設 ，存在一項有價證券，它的支付函數(shù)是 ，其中 是示性函數(shù)：這樣的有價證券被稱為多期模型的Arrow-Debreu證券形狀或有要求權。. 我們把買賣多期模型的Ar

14、row-Debreu證券的市場經(jīng)濟稱為多期模型的Arrow-Debreu經(jīng)濟。假設對多期模型的信息構造中一切能夠的事件，都存在相應的Arrow-Debreu證券，這些Arrow-Debreu證券就構成完選集。存在多期模型的Arrow-Debreu證券的完選集的市場就稱為多期模型的Arrow-Debreu經(jīng)濟的靜態(tài)完全市場或具有靜態(tài)完全性。 假設：金融市場只在 t=0 時期開放，即只需在 t=0 時期可以投入貨幣資金構筑投資組合，或者可以變現(xiàn)投資組合獲得貨幣資金用于消費。 令 是上述定義4.5中支付函數(shù)為 的Arrow-Debreu證券在 t=0 時期的市場價錢。在存在多期模型的Arrow-De

15、breu證券的完全集時，我們就可以建立以下多期模型的Arrow-Debreu經(jīng)濟平衡的概念。 . 定義4.6 ：在一個多期經(jīng)濟體中， Arrow-Debreu經(jīng)濟平衡是指存在一個形狀價錢集合 ，使得1每位消費者/投資者 ， 都實現(xiàn)本人跨期的消費方案的優(yōu)化，即有2市場結清4.3.2.其中，約束等式的經(jīng)濟涵義是第 i 位消費者/投資者如今和未來消費所遭到的財富稟賦約束。市場結清條件那么通知我們，無論是現(xiàn)在還是未來各期，在任何能夠出現(xiàn)的形狀下，市場都必需結清，也就是說，市場都必需處于供需平衡。在假設一切的消費者/投資者確實定性成效函數(shù) 延續(xù)、遞增和嚴格凹時，從普通平衡存在性的實際和福利經(jīng)濟學第一定理

16、可以導出：多期模型的Arrow-Debreu經(jīng)濟的普通平衡是存在的；多期模型的Arrow-Debreu經(jīng)濟的平衡是帕累托最優(yōu)有效的。.4.3.2 多期模型的理性預期平衡 在此，我們假設投資者不僅可以在 t=0 時期買賣，還可以在 t=0 之后的任何時期買賣。 這樣，消費者/投資者就可以根據(jù)本人優(yōu)化的消費/投資戰(zhàn)略不斷地調(diào)整本人的投資組合的持倉量來求得成效最大化。普通來說，對于未來可以經(jīng)過買賣調(diào)整持倉量的時機，市場的平衡取決于投資者對未來發(fā)生的事情的預期。理性預期平衡模型就是要使市場平衡反映投資者的預期。 定義 4.7 ：理性預期平衡是一個順應于信息構造的價錢隨機過程 ，使得 1每位消費者/投資

17、者 ， 都實現(xiàn)對本人跨期的消費/投資戰(zhàn)略的優(yōu)化，即有4.3.3.約束條件中的 是第 位消費者/投資者在期初所持有的投資組合的持倉量。 2市場結清 在以后的任何時期的任何形狀下，不論如何進展買賣，市場上一切證券的數(shù)目不變，市場都處于平衡，當然，證券的價錢 隨著時間的推移和市場形狀的變化在不斷地變化，期間還會派發(fā)紅利或利息 ，因此，整個市場的總的市值也在不斷的變化過程中。留意：在市場到達理性預期平衡時，市場關于未來證券價錢的預期是完全由價錢過程 來表現(xiàn)的。理性預期平衡必需符合后驗性要求，即買賣者的預期要與事后的結果一致。在定義4.7中，由于對于 都能結清市場而實現(xiàn)平衡，這意味著在這樣的預期下， 都

18、可以在市場上實現(xiàn)，也就符合后驗性要求。4.3.4.于是，我們可以得到以下結論:假設市場在每個時期都開放，就一定存在一種理性預期平衡，這種理性預期平衡一切的買賣都只會在 t=0 時期發(fā)生，而這種理性預期平衡所實現(xiàn)的資源配置和市場在 t=0 時期之后不再開放的多期模型的Arrow-Debreu經(jīng)濟平衡的配置是一樣的。于是，對于理性預期平衡而言，就和多期模型的Arrow-Debreu經(jīng)濟平衡一樣，證券的平衡價錢直接由消費者/投資者相關的邊沿成效值確定。 上述結論隱含的假設：存在Arrow-Debreu證券的完選集，假設不存在，情況就不同，這是市場的完全性問題，如今引入動態(tài)完全性這一概念。.4.3.3

19、 靜態(tài)完全性和動態(tài)完全性 在多期模型中，假設市場具有靜態(tài)完全性，那么需求的Arrow-Debreu證券的數(shù)目是非常多的。 再者，假設市場具有靜態(tài)完全性，那么在 t=0 時期之后開放市場進展買賣投資者調(diào)整本人的投資組合變成沒有意義的事情，資源的最優(yōu)配置可以在 t=0 時期一下子完成前提是信息構造不發(fā)生變化。 假設允許在 t=0 時期之后開放市場進展買賣投資者因此可以動態(tài)地調(diào)整本人的投資組合，能否利用數(shù)目比較少的證券來實現(xiàn)最優(yōu)配置？只需對這個問題給出正面的答案，動態(tài)資產(chǎn)定價實際才是有意義的。這就是金融市場的動態(tài)完全性 問題。.我們用前面圖4.1的例子來加以闡明。. 事件樹上在 t=0 時期之后一共

20、有7個節(jié)點，假設市場具有靜態(tài)完全性，就需求有7個對應的Arrow-Debreu證券。 我們把在一切時期都可以買賣的證券稱為長壽命證券。如今假設一共只需3種長壽命證券在市場上買賣，它們都只在期末 T=2 時期才進展支付。它們在事件樹上一切8個節(jié)點上的價錢向量為. 留意：第一項證券實踐上是無風險證券，且不思索時間價值，即 。并且，到期末證券的價錢 就是支付。 如今我們來證明，我們可以動態(tài)地買賣這3種證券，實現(xiàn)任何消費方式。 假設我們希望建立一個投資組合戰(zhàn)略，使得到期末，假設出現(xiàn)形狀 ，那么投資組合可以提供1個單位的消費品；假設出現(xiàn)其他狀態(tài)，那么為0，即不提供任何消費品。 假設到期末要出現(xiàn)形狀 ，那

21、么在 t=1 時期必需出現(xiàn)形狀 。假設此時投資組合中3種證券的持倉量記為 ，為了到期末實現(xiàn)所要求的消費方式， 必需滿足其中4.3.5.是在 t=1 時期出現(xiàn)了形狀事件 ，到下一時期 T=2 時期這3種證券的支付矩陣。顯然， 是滿秩的。于是解得 這樣，投資組合 在 時期的價值就是 如今我們倒推到 t=0 時期。 在 t=0 時期，我們這樣來選擇投資組合 ，希望到 t=1 時期，假設出現(xiàn)形狀事件 ，那么該投資組合的價值為 ；假設出現(xiàn)形狀事件 ，那么該投資組合的價值為0。這就要求4.3.6.其中是到 t=1 時期這3種證券的支付矩陣。 4.3.6式的方程組的解不是獨一的。取 ，可以得到一個可行解 。

22、顯然，在 t=0 時期，投資組合 的市場價值就是 所以，買賣戰(zhàn)略 就可以使我們到期末實現(xiàn)我們所要求的消費方式，期初的本錢那么為 。 因此，到期末要求任何消費方式，都可以以類似的方法經(jīng)過動態(tài)地買賣這3種長壽命證券來實現(xiàn)。. 留意：采用動態(tài)買賣戰(zhàn)略 時，在中間節(jié)點經(jīng)過買賣調(diào)整投資組合中各種證券的持倉量時，實踐上是自融資的即，增持證券是依托減持原來投資組合中的其他證券來融資的。 以上例子闡明，只需有少數(shù)長壽命證券，對它們進展動態(tài)交易，就可以實現(xiàn)任何料想的消費方式。在這種情況下，消費者/投資者就可以經(jīng)過動態(tài)調(diào)整數(shù)量較少的長壽命證券的組合來實現(xiàn)全市場的帕累托最優(yōu)有效配置。一個金融市場假設可以做到這一點，

23、就稱為動態(tài)完全市場，或者稱市場具有動態(tài)完全性。 顯而易見，市場的動態(tài)完全性所需求的長壽命證券的數(shù)目遠少于靜態(tài)完全性所要求的Arrow-Debreu證券的數(shù)目。 如今，重要的問題是：需求一個什么樣的長壽命證券組合才干使市場動態(tài)地完全化？分析上述例子，我們可以得到以下條件：.事件樹里每個節(jié)點上的長壽命證券的數(shù)目不能少于節(jié)點后分叉的數(shù)目；節(jié)點上“部分的支付矩陣的秩應等于節(jié)點后分叉的數(shù)目。 滿足以上條件的金融市場實踐上是“部分完全的，因此可以經(jīng)過動態(tài)買賣使整個市場動態(tài)完全性。 .定義4.8 ： Arrow-Debreu經(jīng)濟的理性預期平衡可以經(jīng)過證券市場的理性預期平衡來實現(xiàn)，假設滿足以下條件： 1證券市

24、場是動態(tài)完全的； 2在兩個理性預期平衡中證券的價錢是一樣的； 3兩個理性預期平衡的配置是一樣的。 意味著，只需證券市場是動態(tài)完全的，就可以經(jīng)過動態(tài)買賣實現(xiàn)帕累托最優(yōu)有效配置。.4.4 理性預期平衡的資產(chǎn)定價 在證券市場理性預期平衡時留意：這里我們并不要求市場具有動態(tài)完全性，我們來調(diào)查從 t 時期到 t+1 時期的情況。參照第三章的兩期模型中的結論，均可得出 t 時期的第 i 位消費者/投資者優(yōu)化本人的消費/投資戰(zhàn)略的條件： 這個優(yōu)化條件闡明：對第 i 位消費者/投資者的邊沿成效而言，今天多消費1個單位的消費品，和不消費這1個單位的消費品而把它投資用于下一期消費，二者對于消費者/投資者來說是沒有

25、差別的。 進一步可以將4.4.1式改寫成4.4.14.4.2. 假設市場是動態(tài)完全的，那么，上述優(yōu)化條件的配置就是帕累托最優(yōu)配置。參見3.6.1小節(jié)，就可以知道，存在代表性經(jīng)紀人，其預期成效函數(shù)為此處，對于一切的 ，有并且使得 ，有此處， ， 分別是 S 時期和 t 時期的總量消費。于是我們可以把由個別消費者/投資者優(yōu)化本人成效函數(shù)的條件改成全市場的平衡定價方程：4.4.34.4.4. 在純交換經(jīng)濟的情況下，就有由于一切消費都來自對金融資產(chǎn)投資而獲得的紅利利息收入。 令 是一切有風險金融資產(chǎn)從 t 時期到 t+1 時期的收益率，而 那么是該期間的無風險短期利率。利用4.4.5式，假設無風險證券

26、到 t+1 時期的支付為1，那么如今 t 時期無風險證券的定價就是用該期間的無風險利率的折現(xiàn)值故有 留意：假設如今是 t 時期，那么，由定價方程4.4.5式， 就不是隨機變量，我們可以推出 這被稱為基于消費的資本資產(chǎn)定價模型CCAPM。4.4.54.4.64.4.7證券數(shù)目歸一化為1.4.5 理性預期平衡和等價鞅測度 .4.6 套利定價：無套利與等價鞅測度平衡定價：信息構造、支付過程、消費者/投資者的成效偏好等根底上為一切在金融市場買賣的金融資產(chǎn)定價套利定價在知某些在金融市場買賣的有價證券平衡定價的根底上，為其他金融資產(chǎn)衍生證券定價。假設：消費者/投資者具有理性預期.幾點原那么：1.假設不存在無風險套利時機，某些證券衍生證券可以根據(jù)其他知平衡價錢的證券標的物采用無套利原理定價；2.一切的標的物價錢之間不應出現(xiàn)無風險套利時機；3.證券市場的價錢體系中不存在無風險套利時機，意味著存在等價鞅測度 使得.定義4.9：在多期模型中，假設存在一個由消費/投資戰(zhàn)略 融資的跨期消費方案c,使得就被稱為存在無風險套利時機。條件1意味著如今t=0時期不需求支出任何本錢；條件2未來t 0時期卻可以獲得價值為正的消費品。