2022年一題多解教案

1、深本數(shù)學(xué)教案東小莊小學(xué)一題多解訓(xùn)練，就是啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不 同的運(yùn)算過程去分析、解答同一道數(shù)學(xué)題的練習(xí)活動(dòng)。上這種課的主要目的有三條：一是 為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，提高他們綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解答數(shù)學(xué)問題的技能技巧；二是為了鍛煉學(xué)生思維的靈活性，促進(jìn)他們長知識(shí)、長智慧；三是為了開闊學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生靈活地掌握知識(shí)的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性。怎樣上一題多解訓(xùn)練課？下面僅就多步應(yīng)用題教學(xué)過程中的一題多解訓(xùn)練課，初略 地介紹一下我的基本做法：在實(shí)際教學(xué)中，我一般采用以下兩種方法：1一般的一題多解的練習(xí)。題目是由淺入深，由易到難。解法、時(shí)間、速度等 要

2、求逐步提高。2看誰的解法多。我們知道，一題多解訓(xùn)練的目的，不是單純地解題，而是為了 培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的智力，提高學(xué)生的解題能力。所以，在實(shí)際訓(xùn)練中，我們不能滿足于學(xué)生會(huì)用幾種一般的方法來分析解答應(yīng)用題。如果只以一般的幾種解法為 滿足，對(duì)學(xué)生通過多向思維求得的其他解法特別是一些較為復(fù)雜的解法不提倡，不鼓勵(lì)，甚至還挖苦、批評(píng)、責(zé)備學(xué)生，這樣就會(huì)挫傷學(xué)生思維的積極性，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。實(shí)踐證明，學(xué)生的解法越多，表明學(xué)生的思維越靈活，思路 越開闊。學(xué)生能夠根據(jù)題意和數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用所學(xué)習(xí)和掌握的知識(shí)不拘泥、不守舊，樂于 打破一般的框框去進(jìn)行廣闊的思維，十分用心地

3、去探求各種解題方法，就越有利于促進(jìn)其 思維的發(fā)展，提高創(chuàng)造能力。我們就越應(yīng)當(dāng)給予肯定和鼓勵(lì)。對(duì)于學(xué)生“ 別出心裁”、“ 獨(dú) 辟蹊徑” 的解題方法，我總是給以表揚(yáng)和鼓勵(lì)。這對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)一題多解 的積極性是很有好處的。第一課 進(jìn)行一題多解的實(shí)際練習(xí)1一般的一題多解的練習(xí)。題目是由淺入深，由易到難。解法、時(shí)間、速度等要求逐步提高。題 1：南北兩城的鐵路長357 公里，一列快車從北城開出，同時(shí)有一列慢車從南城開出，兩車相向而行，經(jīng)過3 小時(shí)相遇，快車平均每小時(shí)行79 公里，慢車平均每小時(shí)比快車少行多少公里？解法 1 357-(79 3) 3 =357-237 3 =120 3 =40(公

4、里) 即慢車平均每小時(shí)行 40 公里，已知快車平均每小時(shí)行 79 公里，慢車平均每小時(shí)比快車少行多少公里就是 79-40=39( 公里 ) 答：慢車平均每小時(shí)比快車少行 39 公里。解法 2 79-(357 3-79) =79-(119-79) =79-40 =39(公里) 答： ( 同上 ) 解法 3 設(shè)慢車平均每小時(shí)行 x 公里 79 3+3x=357 3x=357-237 3x=120 x=40(公里 ) 79-40=39( 公里 ) 答： ( 同上 ) 2看誰的解法多。例如：上面的題 1，除了那三種解法之外，學(xué)生還想出以下十幾種解法：解法 4 設(shè)慢車平均每小時(shí)行 x 公里 (79+x)

5、 3=357 237+3x=357 3x=357-237 3x=120 x=40(公里 ) 79-40=39( 公里 ) 答： ( 同上 ) 解法 5 設(shè)慢車平均每小時(shí)行 x 公里3x=357-79 3 解法 6 設(shè)慢車平均每小時(shí)行 x 公里357-3x=79 3 解法 7 設(shè)慢車平均每小時(shí)行 x 公里79+x=357 3 解法 8 設(shè)慢車平均每小時(shí)行 x 公里357 3-x=79 解法 9 設(shè)慢車平均每小時(shí)比快車少行 x 公里(79-x) 3+79 3=357 474-3x=357 3x=117 x=39(公里 ) 答： ( 同上 ) 解法 10 設(shè)慢車平均每小時(shí)比快車少行 x 公里(79-

6、x+79) 3=357 解法 11 設(shè)慢車平均每小時(shí)比快車少行 x 公里(79-x) 3=357-79 3 解法 12 設(shè)慢車平均每小時(shí)比快車少行 x 公里357-(79-x) 3=79 3 解法 13 設(shè)慢車平均每小時(shí)比快車少行 x 公里79+(79-x)=357 3 解法 14 設(shè)慢車平均每小時(shí)比快車少行 x 公里 357 3-(79-x)=79 解法 15 設(shè)慢車平均每小時(shí)比快車少行 x 公里 79-x=357 3-79 一道應(yīng)用題，學(xué)生能夠想出這么多的解法，表明學(xué)生的思路很開闊，思維很靈活。智 力發(fā)達(dá)的同學(xué)爭先恐后，智力較差的同學(xué)也積極動(dòng)腦。全班同學(xué)都進(jìn)入積極的思維狀態(tài)，互相啟發(fā)，不甘

7、落后，課堂氣氛很活躍，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性都可以調(diào)動(dòng)起來。第二課：口述不同的解題思路和解題方法口述不同的解題思路和解題方法，就是只要求學(xué)生說出不同的 ( 或叫新的 ) 解題 思路和解題方法，不用具體解答。它是進(jìn)行一題多解實(shí)際練習(xí)的另一種形式。這種練習(xí)和 前一種練習(xí)所不同的地方是： 前一種練習(xí)偏重于學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)手，進(jìn)行一題多解的實(shí)際練習(xí)；這種練習(xí)偏重于學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)口，尋求新的解題思路和不同的解題方法。簡言之，前者是動(dòng) 腦動(dòng)手，后者是動(dòng)腦動(dòng)口。進(jìn)行這種訓(xùn)練，主要是為了使學(xué)生在單位時(shí)間內(nèi)更多地、更好 地認(rèn)識(shí)和掌握應(yīng)用題的多種解法，提高一題多解訓(xùn)練的課堂教學(xué)效率。在實(shí)際教學(xué)中，這種練習(xí)我一般是采取全班和分組兩

8、種形式交錯(cuò)進(jìn)行。開始，全班同學(xué)一起， 分別對(duì)某一道應(yīng)用題口述不同的解題思路和解題方法，一人一次口述一種。然后分組進(jìn)行，便于增加學(xué)生口述的機(jī)會(huì)，達(dá)到人人動(dòng)腦，人人口述。這種練習(xí)的基本過 程是：先全班后小組再全班。這樣交錯(cuò)進(jìn)行。好、差學(xué)生都有口述機(jī)會(huì)，達(dá)到共同提高的 目的。例 1 兩地相距 383 公里，甲乙兩人從兩地相向而行，甲先走 1 天，一共走 5 天才和乙相遇，已知每天甲比乙多走10 公里，問甲乙兩人每天各走多少公里？口述 1：甲走 5 天，乙僅走 5-1=4( 天) 。假如甲每天比原來少行 10 公里，則與乙的速度相等。那么甲行 5 天，乙行 4 天，就相當(dāng)于乙行 5+4=9(天) ，這

9、時(shí)兩人還相距 10 5=50(公里) 。乙 9 天共行 383-50=333( 公里 ) ，乙每天走的就可以求出來了。乙每天走多少公里知（原文地址 /thread-8645-1-1.html）道了，甲每天走的也就可以知道了?？谑?2：甲行 5 天，乙行 4 天，假如乙每天比原來多行 10 公里，則與甲的速度相等。那么甲行 5 天，乙行 4 天，就相當(dāng)于甲行 5+4=9(天) ，這樣兩人所走的路程的和就要多出 10 4=40(公里) 。即甲 9 天共行 383+40=423(公里 ) ，所以甲每天走的就可以求出來了。甲每天走的知道了，乙每天走的也就可以知道了?？谑?3：除上述兩種方法外，本題還可

10、以用列方程來解。設(shè)甲每天行 x 公里，那么乙每天行的就是 (x-10) 公里，已知甲行 5 天，乙行 4 天，兩地相距 383 公里，則可列出方程：5x+4 (x-10)=383 解方程，就可以求出甲每天行多少公里，甲每天行的求出來了，乙每天行的也就可以求出來了。本題也可以設(shè)乙每天行x 公里，則甲每天行的就是 (x+10) 公里。已知甲行 5 天，乙行 4 天，兩地相距 383 公里，則可列出方程：(x+10) 5+4x=383 解方程，就可以求出乙每天行多少公里，乙每天行的求出來了，甲每天行的也就 可以求出來了。 實(shí)踐證明，口述不同的解題思路和解題方法，不僅可以促使學(xué)生積極動(dòng)腦，努 力探求應(yīng)

11、用題的多種解法，培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力和語言表達(dá)能力，而且可以幫 助學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)把應(yīng)用題的多種不同解法都挖掘出來，這對(duì)學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和掌握 應(yīng)用題的各種解法，提高分析解答應(yīng)用題的能力和效率等都有重要作用。第三課：引導(dǎo)學(xué)生自己找出最簡便的解法引導(dǎo)學(xué)生自己找出最簡便的解法，就是在上面兩步練習(xí)的基礎(chǔ)上，在學(xué)生求得多種解題方法之后，讓他們自己去分析比較，可以相互討論，也允許相互爭論，讓學(xué)生在 分析比較，相互討論、相互爭論的過程中，找出最簡便的解題方法。這一過程，就是一個(gè)繼續(xù)思維的過程，也是一個(gè)對(duì)應(yīng)用題的各種解法的再認(rèn)識(shí)的過程。它是一題多解訓(xùn)練的一個(gè)不可忽視的環(huán)節(jié)。學(xué)生通過前面兩步的訓(xùn)練，求

12、得應(yīng)用題的多種解法之后，解題思維不 能到此完結(jié)，對(duì)各種解題方法的認(rèn)識(shí)也不是非常深刻。學(xué)生求得的幾種解題方法是否完全正確，分析解題的過程是否都很恰當(dāng)，哪些是一般的解法，哪些是自己的創(chuàng)新，哪種解法 簡便等等，這些都要引導(dǎo)學(xué)生自己去進(jìn)一步思維，進(jìn)一步去認(rèn)識(shí)。否則是對(duì)是錯(cuò)，是優(yōu)是劣，是簡是繁，學(xué)生都不知道，這樣就不能達(dá)到提高學(xué)生解題能力的目的。只有通過引導(dǎo) 學(xué)生自己對(duì)上述求得的各種解題方法進(jìn)行逐一比較，展開熱烈的討論或爭論，才能真正把握應(yīng)用題的最簡便的解題方法，才能進(jìn)一步提高解答應(yīng)用題的能力和效率。例 1 幸福小學(xué)原計(jì)劃買12 個(gè)籃球，每個(gè) 72 元，從買籃球的錢中先拿出432 元買足球，剩下的錢還夠

13、買幾個(gè)籃球？解法 1 (72 12-432) 72 432 72 =6(個(gè)) 答：剩下的錢還可以買 6 個(gè)籃球。解法 2 12-432 72 =12-6 =6(4) 答： ( 同上 ) 解法 3 設(shè)剩下的錢還可以買 x 個(gè)籃球 72x=12 72-432 72x=432 x6 答： ( 同上 ) 解法 4 設(shè)剩下的錢還可以買 x 個(gè)籃球 72x+432=72 12 72x+432864 72x=864-432 72x=432 x=6 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題一題多解教學(xué)反思本題上述多種解法，思維分析過程不同，解法和運(yùn)算過程也不同。解法 1 是一般的思維和一般的算術(shù)解法；解法 3，4 是列方程的解法。解法

14、 2 也是算術(shù)解法，但解題思路新，解答方法、解題過程簡便。當(dāng)一個(gè)學(xué)生說出這個(gè)解題思路：“ 把拿出 432 元買足球的錢看作是少買了幾個(gè)籃球的錢，再用計(jì)劃買的12 個(gè)籃球數(shù)減掉少買的籃球數(shù)所得的差，就是所求的答案。” 列出：“ 12-432 72” 這個(gè)式子后，全班同學(xué)連連點(diǎn)頭，紛紛稱贊這位 同學(xué)的解題思路獨(dú)特又有新意，解題方法簡便，解題過程簡單。實(shí)踐證明，進(jìn)行這種訓(xùn)練，讓學(xué)生在比較、討論、爭論中，找出最簡便的解法 和獨(dú)特的富有新意的解題思路，有利于加深學(xué)生對(duì)多種解題方法的認(rèn)識(shí)，從而更熟練地把 握應(yīng)用題的多種分析解題方法。一題多解訓(xùn)練，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：(1) 目的要明確。上這種課，不是單純地追

15、求一題多解，而是要通過這種練習(xí)活 動(dòng)，達(dá)到鍛煉學(xué)生的思維，拓寬學(xué)生的思路，增長學(xué)生的知識(shí)，培養(yǎng)和提高學(xué)生創(chuàng)造性學(xué) 習(xí)能力這個(gè)根本目的。所以，教學(xué)內(nèi)容的安排，教學(xué)活動(dòng)的組織，教學(xué)方法的選擇等等，都要有利于實(shí)現(xiàn)這個(gè)根本目的。這是上這種課的總要求。(2) 要注意把握上這種課的時(shí)間。這種課必須要在學(xué)生對(duì)有關(guān)的知識(shí)和技能熟練 掌握的基礎(chǔ)上進(jìn)行。如果學(xué)生對(duì)有關(guān)的知識(shí)和技能沒有熟練掌握，就談不上靈活運(yùn)用，就 談不上縱向、橫向聯(lián)系，也就不能進(jìn)行一題多解。所以，上這種課，一般是在學(xué)生對(duì)某一 部分知識(shí)或某幾部分知識(shí)熟練掌握的時(shí)候，在綜合練習(xí)時(shí)進(jìn)行。學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握得越 深刻，越透徹；基本技能越嫻熟，越靈活，就越

16、能夠進(jìn)行一題多解，上這種課就越能收到 好的效果。(3) 選題要得當(dāng)，方法要靈活。選題得當(dāng)是學(xué)生一題多解的前提條件。它既要能 夠一題多解，又要顧及班上差生、好生的具體情況，使差生想想也能找出幾種解法，使好 生也有用武之地；一題多解訓(xùn)練的具體方式方法是很多的，不能死搬硬套，人云亦云。要從實(shí)際出發(fā)， 不能千題一律， 堂堂如此。要根據(jù)班上學(xué)生學(xué)習(xí)的具體情況和實(shí)際教學(xué)需要，靈活選擇教學(xué)方法。只有這樣，才能調(diào)動(dòng)全班學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，取得好的教學(xué)效果。綜上所述，我的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的主要經(jīng)驗(yàn)是：根據(jù)兒童認(rèn)知的特點(diǎn)和學(xué)習(xí) 遷移的原理，在知識(shí) ( 概念) 教學(xué)中，突出基本結(jié)構(gòu)的教學(xué)，在應(yīng)用題教學(xué)中，突出數(shù)學(xué)能

17、力的培養(yǎng)，既改革教材 ( 沒有超出教學(xué)大綱 ) ，又創(chuàng)造了一套新的教學(xué)方法。由于抓住基本 結(jié)構(gòu)的教學(xué)，知識(shí)能產(chǎn)生廣泛的遷移，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)變得容易些、快些，理解比較深，記憶比較牢。由于抓住數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，就抓住了技能訓(xùn)練的綱。學(xué)生有了數(shù)學(xué)能力，就 能產(chǎn)生廣泛的遷移，就能順利地掌握數(shù)學(xué)解題技能，就能舉一反三，不但能解同類題、相 似題，也能解未見過的題。第四課 斜三角形的“ 一題多解”一題多解的“ 解”, 若當(dāng)作解法 , 即為一道題有多種解法 , 但數(shù)學(xué)中把解又當(dāng)作結(jié)果, 所以也可理解為一道題有多種結(jié)果 . 通常人們是以第一種解釋為多 , 這里筆者想借此談點(diǎn)教學(xué)解斜三角形時(shí)的一些新想法 . 解斜三

18、角形 , 就是利用三角形的已知元素, 求出未知元素的過程 . 其原理是正弦定理. 條件必須滿足 3 個(gè), 就是在斜三角形三角三邊個(gè)元素中 , 必須已知其中的三個(gè) , 而已知三個(gè)角時(shí) , 三角形不確定 , 所以三個(gè)條件中至少要有一條邊. 這樣我們可以把已知條件分為三種類型 :1 、已知三邊 . 由定理可知 , 要用余弦定理開解 ;2 、已知兩角一邊 . 因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角和是 180 , 所以實(shí)際是已知三角一邊, 由定理可知 , 不管是已知夾邊還是對(duì)邊, 用正弦定理都可以解 ;3 、已知兩邊一角 . 這種類型要注意 . 由定理可知 , 若是已知夾角要用余弦定理來解 . 經(jīng)過這樣的分析 , 我們

19、可以進(jìn)行總結(jié)并歸納為口訣 邊夾一角 ; 正弦兩邊一對(duì)角 , 雙角必定用正弦 . ”: “ 三邊必定用余弦 , 還有兩有了定理 , 有了口訣 , 只是初步掌握 . 請(qǐng)看例一 : 在 ABC中, 已知A=45 ,a=2,b=2, 求B.簡解為 : 。例二：在中，已知求 ，簡解為：且 或 。以上兩例 , 同樣是正弦定理 , 卻存在著一解或兩解的問題, 按照“ 大邊對(duì)大角 , 小邊對(duì)小角” 的原則 , 例一是已知大邊對(duì)大角 , 求小邊的對(duì)角 , 只能有一解 , 而例二是已知小邊對(duì)小角 , 求大邊的對(duì)角 , 則有銳角和鈍角兩種結(jié)果 . 這種“ 一題多解” 的問題因該特別小心 , 不能出現(xiàn)漏解或是增解的情

20、況 . 在斜三角中 , 已知三邊 , 已知兩角一邊和已知兩邊一夾角時(shí) , 三角形都是唯一確定的 ; 一有已知兩邊一對(duì)角時(shí) , 才有可能出現(xiàn)一解、兩解或是無解的情況 . 這里“ 大邊對(duì)大角” 的原則起著決定性的作用 . 有了定理 , 有了口訣 , 有了原則 , 還要能靈活運(yùn)用各種不同的解法 , 以求達(dá)到“ 一題多解”. 請(qǐng)看例三 : 在 ABC中, 已知 A=30求 c。簡解為：由正弦定理得：且 或 。當(dāng) ，則 ，當(dāng) 則 所以， 。這是已知兩邊一對(duì)角的情形 , 按口訣應(yīng)該用正弦定理如上所解 ,但是用余弦定理也是可行的 . 簡解為 : 由公式 ，代入得 , 化簡 ， ，所以 , 或 8 或 4,此

21、法不僅簡潔且不會(huì)漏解 , 值得重視 . 第五課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解系列】幾何計(jì)算題（一）例: 有兩個(gè)完全相同的長方體恰好拼成了一個(gè)正方體，正方體的表面積是 30 平方厘米 . 如果把這兩個(gè)長方體改拼成一個(gè)大長方體，那么大長方體的表面積是多少？【分析 1】因?yàn)檎襟w有 6 個(gè)相等的面，所以每個(gè)面的面積是 30 6=5 平方厘米 .拼成一個(gè)大長方體要減少一個(gè)面的面積，同時(shí)增加兩個(gè)面的面積 . 由此可求大長方體的表面積 . 【解法 1】30-30 6+30 6 2 =30-5+10=35（平方厘米） . 或： 30+30 6 （ 2-1 ）=30+5=35（平方厘米） . 【分析 2】因?yàn)槠闯纱箝L方體

22、后，表面積先減少一個(gè)面的面積，同時(shí)又增加兩個(gè)面的面積，實(shí)際上增加了一個(gè)面的面積 . 【解法 2】 30+30 6=30+5=35（平方厘米） . 【分析 3】把原來正方體的表面積看作“1” . 先求出增加的一個(gè)面是原來正方體表面積的幾分之幾，再運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的解法求大長方體的表面積 . 【分析 4】因?yàn)樵瓉碚襟w的表面積是6 個(gè)小正方形面積的和，拼成大長方體的表面積是 7 個(gè)小正方形面積的和，所以可先求每個(gè)小正方形的面積，再求 7 個(gè)小正方形的面積 . 【解法 4】30 6 （ 6+1）=30 6 7=35（平方厘米） . 答：大長方體的表面積是 35 平方厘米 . 【評(píng)注】比較以上四種解

23、法，解法2 和解法 3 是本題較好的解法 . 第六課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解系列】幾何計(jì)算題（二）例: 大正方體棱長是小正方體棱長的2 倍，大正方體體積比小正方體的體積多21立方分米，小正方體的體積是多少？【分析 1】把小正方體的體積看作“1 倍” ，那么大正方體的體積是小正方體的2 2 2=8（倍），比小正方體多 8-1=7（倍） . 由此本題可解 . 【解法 1】21 （ 2 2 2-1）=21 7=3（立方分米） . 【分析 2】把小正方體的棱長看作“ 1 ” ，那么大正方體棱長就是2. 【分析 3】先求出大、小正方體的體積比，再求出每份的體積即小正方體的體積 . 【解法 3】大、小正方體的體

24、積比？（2 2 2）（ 1 1 1）=81 小正方體的體積是多少立方分米？21 （8-1 ）=3（立方分米）答：小正方體的體積是 3 立方分米 . 【評(píng)注】解法 1 的思路簡單，運(yùn)算簡便 . 21 立方分米的對(duì)應(yīng)份數(shù)，最后求第七課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解系列】幾何計(jì)算題（三）例: 一個(gè)圓錐形麥堆，底面周長是25.12 米，高是 3 米. 把這些小麥裝入一個(gè)底面直徑是 4 米的圓柱形糧囤內(nèi)正好裝滿，這個(gè)圓柱形糧囤的高是多少米？【分析 1】由題意可知，麥堆的體積等于圓柱糧囤的體積 . 所以先求出麥堆的體積，再除以圓柱糧囤的底面積，即得糧囤的高?！窘夥?1】麥堆的底面半徑是多少？25.12 3.14 2=

25、4（米）麥堆的體積是多少立方米？圓柱糧囤的高是多少米？綜合算式：【分析 2】根據(jù)麥堆的體積和圓柱糧囤體積相等列方程解 . 【解法 2】設(shè)圓柱糧囤高是 h 米. 體積，而這個(gè)圓柱與糧囤的體積相等，即積一定，根據(jù)圓柱體積 = r2h 可知，圓柱高 h 與半徑的平方 r2 成反比例 . 由此列方程解 . 【解法 3】設(shè)圓柱糧囤高為 h 米. 麥堆底半徑： 25.12 3.14 2=4（米）糧囤底半徑： 4 2=2（米）16=4h h4 答：這個(gè)圓柱形糧國的高是 4 米. 【評(píng)注】解法 3 的思路最簡單、最靈活，運(yùn)算最簡便，是本題的最佳解法 . 第八課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解系列】幾何計(jì)算題（四）例: 一個(gè)

26、圓錐體的體積是36 立方分米，高是9 分米，比與它等底的圓柱體的體積小 12 立方分米，這個(gè)圓柱體的高是多少分米？【分析 1】先求圓錐的底面積即圓柱的底面積，再求圓柱體積，最后求圓柱的高 . 【解法 1】圓柱底面積是多少？36 3 9=12（平方分米）圓柱的體積是多少？36+12=48（立方分米）圓柱的高是多少？48 12=4（分米）綜合算式：（36+12） （ 36 3 9）=48 12=4（分米） . 【分析 2】如果設(shè)圓柱高為h，那么它相當(dāng)于高為3h 的等底圓錐，而這的高與圓錐的體積成正比例 . 【解法 2】設(shè)圓柱體的高是 h 分米 . （36+12） 3h=369 答：這個(gè)圓柱體的高是

27、 4 分米?！驹u(píng)注】解法2 的思路簡單明白，運(yùn)算最為簡便，是本題的較好解法. 本題還可用方程解，讀者試解一下 . 第九課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解系列】幾何計(jì)算題（五）例：如下圖，求陰影部分的面積（單位：厘米）. 【分析 1】從圖中條件可知， 三角形為等腰直角三角形， 所以兩個(gè)銳角都是 45 .因此用三角形的面積分別減去三個(gè)扇形的面積，即得陰影面積 . 【解法 1】（10+10） （ 10+10） 2 =20 20 2-3.14 25-3.14 25 =200-78.5-78.5=43 （平方米）【分析 2】因?yàn)槿齻€(gè)空白扇形恰好拼成180 的扇形，所以用三角形的面積減去圓心角是 180 的扇形面積，即

28、得陰影部分的面積 . 【解法 2】（10+10） （ 10+10） 2 =20 20 2-3.14 10 10 2 =200-157=43（平方厘米） . 【分析 3】同分析 2. 用三角形的面積減去半圓的面積，即得陰影部分的面積 . 【解法 3】（10 2） （ 10 2） 2-3.14 10 10 2 =200-157=43（平方厘米） . 答：陰影部分的面積是 43 平方厘米 . 【評(píng)注】比較以上三種解法，解法3 的思路較靈活，運(yùn)算簡便，是本題較好解法. 第十課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解系列】幾何計(jì)算題（六）例： 右下圖是由若干個(gè) 立方厘米？1 立方厘米的正方體木塊擺成的圖形，它的體積是多少【分

29、析 1】把此圖分為三層，最底層的長是 5 厘米，寬是 4 厘米，高是 1 厘米，由此可求底層的體積 . 同樣可求第一層和第二層的體積，再將三層的體積加起來即得此形體體積 . 【解法 1】最底層的體積是多少？5 4 1=20（立方厘米）第一層和第二層的體積共多少？4 2 2=16（立方厘米）此形體的體積是多少？20+16=36（立方厘米）綜合算式： 5 4 1+4 2 2 =20+16=36（立方厘米） . 【分析 2】把這個(gè)形體切成一個(gè)長4 厘米、寬 3 厘米、高 1 厘米和一個(gè)長 4 厘米、寬 2 厘米、高 3 厘米的兩個(gè)長方體，求其體積和 . 【解法 2】4 3 1+4 2 3 =12+2

30、4=36（立方厘米） . 【分析 3】把原形體補(bǔ)充為一個(gè)長5 厘米、寬 4 厘米、高 3 厘米的長方體，求出它的體積，再減去多補(bǔ)充的體積 4 3 2=24（立方厘米），即得原形體的體積 . 【解法 3】5 4 3-4 3 2 =60-24=36（立方厘米） . 【分析 4】因?yàn)榈谝?、二層共? 2 2=16（塊），第三層有 4 5=20（塊），三層共 36 塊，并且每塊 1 立方厘米，由此可求 36 塊多少立方厘米 . 【解法 4】1 （ 4 2 2+4 5）=1 （16+20）=36（立方厘米） . 答：它的體積是 36 立方厘米 . 【評(píng)注】以上四種解法各有特色，讀者可根據(jù)自己的實(shí)際情況靈

31、活選用 . 第十一課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解系列】幾何計(jì)算題（七）例如圖，已知圓的直徑是8 厘米，求陰影部分的周長和面積. 【分析 1】圖中陰影部分的周長是大圓半周長與小圓兩個(gè)半周長的和，它的面積是 大半圓的面積與小半圓面積的差，再加小半圓面積的和 . 【解法 1】周長： 3.14 8 2+3.14 （ 8 2） 2 2 =25.12 2+12.56 2 2 =12.56+12.56=25.12 （厘米）=3.14 4 4 2-3.14 2 2 2+3.14 2 2 2 =25.12（平方厘米） . 【分析 2】由圖可知兩個(gè)小半圓是相等的，因此陰影小半圓恰好補(bǔ)充空白小半圓，那么陰影面積等于大圓面積減

32、去空白大半圓面積；陰影周長是小圓周長與大圓半周長的 和. =12.56+12.56=25.12 （厘米）=3.14 16-3.14 8 =3.14 （ 16-8）=25.12（平方厘米） . 【分析 3】因?yàn)榇髨A直徑是小圓直徑的2 倍，所以小圓的周長和大圓的半周長相等，由此可知陰影部分周長恰是大圓的周長 . 將陰影小半圓移到空白小半圓使其重合，那 么陰影部分恰是大半圓 . 【解法 3】周長： 3.14 8=25.12（厘米）=3.14 16 2=25.12（平方厘米） . 答：略 . 解法 . 【評(píng)注】比較以上三種解法，解法 3 的思路最直接最靈活，運(yùn)算最簡便，是最佳第十二課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解

33、系列】幾何計(jì)算題（九）例： 如圖，求陰影部分的面積（單位：厘米）. 【分析 1】先求出扇形的半徑和圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形面積公式求陰影的面積. 【解法 1】半徑： 36 2=18（厘米）圓心角： 360 -60 =300 陰影面積：=847.8（平方厘米） . 【分析 2】先求出扇形所在圓的面積，再求陰影部分占圓面積的幾分之幾，最后運(yùn)用分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的解法求陰影面積 . =3.14 270=847.8（平方厘米） . 【分析 3】先求扇形所在圓的面積，再求空白扇形的面積，用圓面積減去空白扇形面積，即得陰影扇形的面積 . =3.14 18 18-3.14 18 3 =847.8（平方厘米） .

34、 【分析 4】把扇形所在圓的面積看作“的面積 . =3.14 270=847.8（平方厘米） . 1” ，那么空白扇形的面積占圓答：陰影部分的面積是 847.8 平方厘米 . 法. 【評(píng)注】比較以上四種解法，解法 1 的思路最簡單，運(yùn)算最簡便，是本題最佳解第十三課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解系列】幾何計(jì)算題（十）例：在一個(gè)現(xiàn)代化的體育館里鋪設(shè)了 地板，這個(gè)體育館的面積有多少平方米？30 塊長 20 米、寬 3.5 米、厚 0.03 米的硬塑【分析 1】先求出每塊硬塑板的占地面積，再求 30 塊硬塑板的面積即體育館占地面積 . 【解法 1】20 3.5 30 =70 30=2100（平方米） . 【分析

35、2】把這 30 塊硬塑板平放成寬 個(gè)長方形的面積即體育館的面積 . 【解法 2】3.5 30 20 =105 20=2100（平方米） . 20 米，長是 30 個(gè) 3.5 米的長方形，求出這【分析 3】把這 30 塊硬塑板平放成長是 30 個(gè) 20 米、寬是 3.5 米的長方形，求出這個(gè)長方形的面積即體育館的面積 . 【解法 3】20 30 3.5 =600 3.5=2100（平方米） . 答：這個(gè)體育館的面積有 2100 平方米 . 【評(píng)注】解法 1 的思路最直接，解法最佳 . 第十四課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解系列】幾何計(jì)算題（十一）例 125 求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）. 【分析 1】

36、先求平行四邊形的面積，再求空白三角形的面積，用平行四邊形的面 積減去三角形的面積，即得陰影部分的面積 . 【解法 1】8 4-8 4 2 =32-16=16（平方厘米） . 【分析 2】假設(shè) AE是 6 厘米，那么 BE的長是 8-6=2 厘米 . 由此直接求出兩個(gè)陰影 三角形的面積，再求它們的面積和，即得陰影面積 . 【解法 2】假設(shè) AE長 6 厘米，那么 BE的長是 8-6=2 厘米 . 6 4 2+2 4 2 =12+4=16（平方厘米） . 【分析 3】因?yàn)槿切蜠EC和平行四邊形等底等高，所以三角形DEC的面積是平行四邊形面積的一半 . 由此求出平行四邊形的面積再除以【解法 3】8

37、 4 2=16（平方厘米） . 2 即得陰影部分的面積 . 【分析 4】把三角形 ADE沿 AB向右平移，使 AD與 BC重合，這樣兩個(gè)陰影三角形恰好拼成一個(gè)底是8 厘米、高是 4 厘米的三角形，求出此三角形的面積即得陰影面積. 【解法 4】8 4 2=16（平方厘米） . 答：陰影部分的面積是 16 平方厘米 . 【評(píng)注】解法1 和解法 2 雖然易于理解和掌握，但運(yùn)算較繁. 解法 3 和解法 4 的思路直接，簡單靈活，運(yùn)算簡便，是本題最佳解法 . 第十五課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解系列】幾何計(jì)算題（十二）例： 如圖，求陰影部分的面積（單位：厘米）. 【分析 1】先求大半圓的面積，再求小半圓的面積，用

38、大半圓面積減去小半圓面 積即得陰影部分的面積 . =1413-39.25 =1373.75（平方厘米） . 【分析 2】先求大圓面積，再求小圓面積，用大圓面積減去小圓面積，再除以 2 即得陰影部分的面積 . =（2826-78.5 ） 2 =2747.5 2=1373.75（平方厘米） . 【分析 3】本題是求半圓環(huán)面積 . 可先求圓環(huán)面積，再除以 2 即得 . 如果設(shè)大圓半 徑為 R，小圓半徑為 r ，那么圓環(huán)面積 = R2- r2= （ R2-r2 ）【解法 3】R=60 2=30（厘米）r=10 2=5（厘米）3.14 （ 30 30-5 5） 2 =3.14 （900-25） 2 =2

39、747.5 2=1373.75（平方厘米） . 【評(píng)注】比較以上五種解法， 前四種解法的綜合算式可通過乘法分配律相互轉(zhuǎn)化，其中解法 3 的運(yùn)算簡便，是本題的較好解法 . 第十六課【小學(xué)數(shù)學(xué)一題多解系列】幾何計(jì)算題（十三）例 129 從一個(gè)長方體上截下一個(gè)棱長4 厘米的正方體后， 剩下的是一個(gè)長方體， 它的體積是 32 立方厘米 . 原來長方體最長的一條棱是多少厘米？【分析 1】因?yàn)榻叵碌氖钦襟w， 所以剩下長方體的截面是正方形 . 因此可求出剩下長方體的長，再加上截下正方體的棱長，即得原來長方體的最長棱 . 【解法 1】剩下長方體的長？ 32 （ 4 4）=2（厘米）原來長方體的最長棱？2+4=6（厘米