以圓為背景的相似三角形的計(jì)算及證明

1、. 以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與證明【經(jīng)典母題】如圖Z131，DB為半圓的直徑，A為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AC切半圓于點(diǎn)E，BCAC于點(diǎn)C，交半圓于點(diǎn)F.AC12，BC9，求AO的長(zhǎng)圖Z131經(jīng)典母題答圖解：如答圖，連結(jié)OE，設(shè)O的半徑是R，則OEOBR.在RtACB中，由勾股定理，得ABeq r(AC2BC2)15.AC切半圓O于點(diǎn)E，OEAC，OEA90C，OEBC，AEOACB，eq f(OE,BC)eq f(AO,AB)，eq f(R,9)eq f(15R,15)，解得Req f(45,8)，AOABOB15Req f(75,8).【思想方法】利用圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑構(gòu)造直角三角

2、形，從而得到相似三角形，利用比例線段求AO的長(zhǎng)【中考變形】圖Z1321如圖Z132，在RtACB中，ACB90，O是AC邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連結(jié)OD.(1)求證：ADOACB；(2)假設(shè)O的半徑為1，求證：ACADBC.證明：(1)AB是O的切線，ODAB，CADO90，AA，ADOACB；(2)由(1)知，ADOACB.eq f(AD,AC)eq f(OD,BC)，ADBCACOD，OD1，ACADBC.22017如圖Z133，RtABC，C90，D為BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的O交AB于點(diǎn)E.(1)求證：DE是O的切線；(2)假設(shè)AEEB12，BC6，求A

3、E的長(zhǎng)圖Z133中考變形2答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OE，EC，AC是O的直徑，AECBEC90，D為BC的中點(diǎn)，EDDCBD，12，OEOC，34，1324，即OEDACB，ACB90，OED90，DE是O的切線；(2)由(1)知BEC90，在RtBEC與RtBCA中，BB，BECBCA，BECBCA，eq f(BE,BC)eq f(BC,BA)，BC2BEBA，AEEB12，設(shè)AE*，則BE2*，BA3*，BC6，622*3*，解得* eq r(6)，即AE eq r(6).3如圖Z134，AB是O的直徑，BCAB，連結(jié)OC，弦ADOC，直線CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：直線

4、CD是O的切線；(2)假設(shè)DE2BC，求ADOC的值圖Z134中考變形3答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)DO.ADOC，DAOCOB，ADOCOD.OAOD，DAOADO，CODCOB.又COCO，ODOB，CODCOB(SAS)，CDOCBO90，即ODCD.又點(diǎn)D在O上，直線CD是O的切線；(2)由(1)知，CODCOB，CDCB.DE2BC，DE2CD.ADOC，EDAECO，eq f(AD,OC)eq f(DE,CE)eq f(DE,DECD)eq f(2,3).42016如圖Z135，O是ABC的外接圓，BC是O的直徑，ABC30.過(guò)點(diǎn)B作O的切線BD，與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，與半徑

5、AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)A作O的切線AF，與直徑BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.(1)求證：ACFDAE；(2)假設(shè)SAOCeq f(r(3),4)，求DE的長(zhǎng)；(3)連結(jié)EF，求證：EF是O的切線圖Z135中考變形4答圖解：(1)證明：BC為O的直徑，BAC90，又ABC30，ACB60，又OAOC，OAC為等邊三角形，即OACAOC60，AF為O的切線，OAF90，CAFAFC30，DE為O的切線，DBCOBE90，DDEA30，DCAF，DEAAFC，ACFDAE；(2)AOC為等邊三角形，SAOCeq f(r(3),4)OA2eq f(r(3),4)，OA1，BC2，OB1，又DBEO30，B

6、D2eq r(3)，BEeq r(3)，DE3eq r(3)；(3)證明：如答圖，過(guò)點(diǎn)O作OMEF于點(diǎn)M，OAOB，OAFOBE90，BOEAOF，OAFOBE(SAS)，OEOF，EOF120，OEMOFM30，OEBOEM30，即OE平分BEF，又OBEOME90，OMOB，EF為O的切線52017株洲如圖Z136，AB為O的一條弦，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，E為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，且BEEF，線段CE交弦AB于點(diǎn)D.(1)求證：CEBF；(2)假設(shè)BD2，且EAEBEC31eq r(5)，求BCD的面積圖Z136中考變形5答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)AC，BE，作直線O

7、C，BEEF，F(xiàn)EBF，AEBEBFF，F(xiàn) eq f(1,2)AEB，C是eq o(AB,sup8()的中點(diǎn)，eq o(AC,sup8()eq o(BC,sup8()，AECBEC，AEBAECBEC，AECeq f(1,2)AEB，AECF，CEBF；(2)DAEDCB，AEDCEB，ADECBE，eq f(AD,CB)eq f(AE,CE)，即eq f(AD,CB)eq f(3,r(5)，CBDCEB，BCDECB，CBECDB，eq f(BD,CB)eq f(BE,CE)，即eq f(2,CB)eq f(1,r(5)，CB2eq r(5)，AD6，AB8，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，OCAB，

8、設(shè)垂足為G，則AGBGeq f(1,2)AB4，CGeq r(CB2BG2)2，SBCDeq f(1,2)BDCGeq f(1,2)222.6如圖Z137，AB是O的直徑，C為O上一點(diǎn)，AE和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為E，AE交O于點(diǎn)D，直線EC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連結(jié)AC，BC，PBPC12.(1)求證：AC平分BAD；(2)探究線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由圖Z137中考變形6答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OC.PE是O的切線，OCPE，AEPE，OCAE，DACOCA，OAOC，OCAOAC，DACOAC，AC平分BAD；(2)線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系為AB3PB.理

9、由：AB是O的直徑，ACB90，BACABC90，OBOC，OCBABC，PCBOCB90，PCBPAC，P是公共角，PCBPAC，eq f(PC,PA)eq f(PB,PC)，PC2PBPA，PBPC12，PC2PB，PA4PB，AB3PB.72016棗莊如圖Z138，AC是O的直徑，BC是O的弦，P是O外一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，AB，PBAC.(1)求證：PB是O的切線；(2)連結(jié)OP，假設(shè)OPBC，且OP8，O的半徑為2eq r(2)，求BC的長(zhǎng)圖Z138中考變形7答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OB，AC是O的直徑，ABC90，CBAC90.OAOB，BACOBA，PBAC，PBAOBA

10、90，即PBOB.PB是O的切線；(2)O的半徑為2eq r(2)，OB2eq r(2)，AC4eq r(2)，OPBC，BOPOBCC，又ABCPBO90，ABCPBO，eq f(BC,BO)eq f(AC,PO)，即eq f(BC,2r(2)eq f(4r(2),8)，BC2.82017聊城如圖Z139，O是ABC的外接圓，O點(diǎn)在BC邊上，BAC的平分線交O于點(diǎn)D，連結(jié)BD，CD，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.(1)求證：PD是O的切線；(2)求證：PBDDCA；(3)當(dāng)AB6，AC8時(shí)，求線段PB的長(zhǎng)圖Z139中考變形8答圖解：(1)證明：圓心O在BC上，BC是O的直徑

11、，BAC90，如答圖，連結(jié)OD，AD平分BAC，BAC2DAC，DOC2DAC，DOCBAC90，即ODBC，PDBC，ODPD，OD為O的半徑，PD是O的切線；(2)證明：PDBC，PABC，ABCADC，PADC，PBDABD180，ACDABD180，PBDACD，PBDDCA；(3)ABC為直角三角形，BC2AB2AC26282100，BC10，OD垂直平分BC，DBDC，BC為O的直徑，BDC90，在RtDBC中，DB2DC2BC2，即2DC2BC2100，DCDB5eq r(2)，PBDDCA，eq f(PB,DC)eq f(BD,AC)，即PBeq f(DCBD,AC)eq f(5r(2)5r(2),8)eq f(25,4).【中考預(yù)測(cè)】2017黃岡模擬如圖Z1310，AB為O的直徑，CD與O相切于點(diǎn)C，且ODBC，垂足為F，OD交O于點(diǎn)E.證明：(1)DAEC；(2)O