高中數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)-題型歸納-解題方法

1、-. z.數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列1.根本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、公差比為根本量，借助于消元思想及解方程組思想等。轉(zhuǎn)化為“根本量是解決問(wèn)題的根本方法。2.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系1假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，其中是常數(shù)，是的公差。a0且a1；2假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，其中是常數(shù)且，是的公比。3假設(shè)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則是非零常數(shù)數(shù)列。3.等差與等比數(shù)列的比擬等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式=+n-1d=+n-kd=dn+-d求和公式中項(xiàng)公式A=推廣：2=。推廣：性質(zhì)1假設(shè)m+n=p+q則假設(shè)m+n=p+q，則。2假設(shè)成A.P其中則也為A.P。假設(shè)成等比數(shù)

2、列 其中，則成等比數(shù)列。3 成等差數(shù)列。成等比數(shù)列。4 ， 4、典型例題分析【題型1】 等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系例1 2010*文16an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.求數(shù)列an的通項(xiàng);求數(shù)列2an的前n項(xiàng)和Sn.解：由題設(shè)知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列得，解得d1，d0舍去， 故an的通項(xiàng)an1+n11n.()由知=2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.小結(jié)與拓展：數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，其中是常數(shù)，是的公差。a0且a1.【題型2】 與“前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an、常用求通項(xiàng)公式的結(jié)合例2 數(shù)列

3、an的前三項(xiàng)與數(shù)列bn的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)一樣，且a12a222a32n1an8n對(duì)任意的nN*都成立，數(shù)列bn1bn是等差數(shù)列求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式。解：a12a222a32n1an8n(nN*)當(dāng)n2時(shí)，a12a222a32n2an18(n1)(nN*)得2n1an8，求得an24n，在中令n1，可得a18241，an24n(nN*)由題意知b18，b24，b32，b2b14，b3b22，數(shù)列bn1bn的公差為2(4)2，bn1bn4(n1)22n6，法一迭代法bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)8(4)(2)(2n8)n27n14(nN*)法二累加法即bnbn12n8，bn1bn2

4、2n10，b3b22，b2b14，b18，相加得bn8(4)(2)(2n8)8eq f(n1)(42n8),2)n27n14(nN*)小結(jié)與拓展：1在數(shù)列an中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為：.是重要考點(diǎn)；2韋達(dá)定理應(yīng)引起重視；3迭代法、累加法及累乘法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。【題型3】 中項(xiàng)公式與最值數(shù)列具有函數(shù)的性質(zhì)例3 2009*一模在等比數(shù)列an中，an0 (nN，公比q(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，a3與as的等比中項(xiàng)為2。1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；2設(shè)bnlog2 an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn當(dāng)最大時(shí)，求n的值。解：1因?yàn)閍1a5 + 2a3a5 +

5、a 2a825，所以， + 2a3a5 +25 又ano，a3a55 又a3與a5的等比中項(xiàng)為2，所以，a3a54而q0,1，所以，a3a5，所以，a34，a51，a116，所以，2bnlog2 an5n，所以，bn1bn1，所以，bn是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。所以，所以，當(dāng)n8時(shí)，0，當(dāng)n9時(shí)，0，n9時(shí)，0，當(dāng)n8或9時(shí)，最大。小結(jié)與拓展：1利用配方法、單調(diào)性法求數(shù)列的最值；2等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)。數(shù)列的前n項(xiàng)和1.前n項(xiàng)和公式Sn的定義：Sn=a1+a2+an。2.數(shù)列求和的方法11公式法：1等差數(shù)列求和公式；2等比數(shù)列求和公式；3可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4常用公式:；。2分

6、組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解。3倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩端等“距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，則求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法。如：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的。4裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。適用于其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；局部無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1和其中等差可裂項(xiàng)為：；2。根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消 求和常見(jiàn)裂項(xiàng)公式：1；2；3；45常見(jiàn)放縮公式：.3.典型例題分析【題型1】 公式法例1 等

7、比數(shù)列的前項(xiàng)和S2p，則_.解：1當(dāng)n=1時(shí)，；2當(dāng)時(shí)，。 因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以從而等比數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。故等比數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。小結(jié)與拓展：1等差數(shù)列求和公式；2等比數(shù)列求和公式；3可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4常用公式:見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)局部。5等比數(shù)列的性質(zhì)：假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列及也為等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為、，公比分別為、?！绢}型2】 分組求和法例2 2010年豐臺(tái)期末18數(shù)列中，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；在數(shù)列中，依次抽取第3，4，6，項(xiàng)，組成新數(shù)列，試求數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和.解：點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，。，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，。

8、依題意知：=.小結(jié)與拓展：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)，再把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解?！绢}型3】 裂項(xiàng)相消法例3 2010年?yáng)|城二模19改編數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)證明數(shù)列是等比數(shù)列；數(shù)列滿足，求。證明：由于，當(dāng)時(shí)，得 所以又， 所以因?yàn)?，且，所以所以故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列解：由可知，則小結(jié)與拓展：裂項(xiàng)相消法是把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。它適用于其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；局部無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1和其中等差可裂項(xiàng)為：；2。根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消求和4.數(shù)列求和的方

9、法25錯(cuò)位相減法：適用于差比數(shù)列如果等差，等比，則叫做差比數(shù)列即把每一項(xiàng)都乘以的公比，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。如：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的. 6累加乘法7并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求。8其它方法：歸納、猜測(cè)、證明；周期數(shù)列的求和等等。5.典型例題分析【題型4】 錯(cuò)位相減法例4 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) 設(shè)制錯(cuò)位得錯(cuò)位相減【題型5】 并項(xiàng)求和法例5 求10029929829722212解：10029929829722212

10、(100 99)(9897)(21)5050.【題型6】 累加乘法及其它方法：歸納、猜測(cè)、證明；周期數(shù)列的求和等等例6 求之和.解：由于找通項(xiàng)及特征分組求和6.歸納與總結(jié)以上一個(gè)8種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式構(gòu)造，使其能進(jìn)展消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它的根本求和公式來(lái)解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。數(shù)列的通項(xiàng)公式1.數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列an的與之間的函數(shù)關(guān)系，如果可用一個(gè)公式anf(n)來(lái)表示，我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式2.通項(xiàng)公式的求法11定義法與觀察法合情推理：不完全歸納法：直接利用等差數(shù)列或

11、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于數(shù)列類型的題目；有的數(shù)列可以根據(jù)前幾項(xiàng)觀察出通項(xiàng)公式。2公式法：在數(shù)列an中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為：(數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).3周期數(shù)列由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。4由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。類型2 1遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。2由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)可如下求得：由遞推式有，依次向前代入，得，這就是疊迭代法的根本模式。類型3 遞推公式為其中p，q均為常數(shù)，。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。3.

12、典型例題分析【題型1】 周期數(shù)列例1 假設(shè)數(shù)列滿足，假設(shè)，則=_。答案：。小結(jié)與拓展：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。【題型2】 遞推公式為，求通項(xiàng)例2 數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累加法時(shí),要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).【題型3】 遞推公式為，求通項(xiàng)例3 數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累乘法時(shí),還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).【題型4】 遞推公式為其中p，q均為常數(shù)，求通項(xiàng)例4 在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，有，求的通項(xiàng)公式。解法1：設(shè)，即有，比照，得，于是得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3

13、為公比的等比數(shù)列，所以有。解法2：由遞推式，得，上述兩式相減，得，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。所以，即，所以。小結(jié)與拓展：此類數(shù)列解決的方法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)展求解，構(gòu)造的方法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)，展開整理，比擬系數(shù)有，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為。二是用做差法直接構(gòu)造，兩式相減有，所以是公比為的等比數(shù)列。也可用“歸納猜測(cè)證明法來(lái)求，這也是近年高考考得很多的一種題型.4.通項(xiàng)公式的求法25構(gòu)造法構(gòu)造法就是在解決*些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析，有時(shí)會(huì)聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，如*種數(shù)量關(guān)系，*個(gè)直觀圖形，或者*

14、一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造.假設(shè)條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，此類題通常較難，但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新的感覺(jué).1構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題，假設(shè)能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.2構(gòu)造差式與和式解題的根本思路就是構(gòu)造出*個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.3構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.4構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列假設(shè)通過(guò)取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，使問(wèn)

15、題得以解決.6歸納猜測(cè)證明法數(shù)學(xué)歸納法7數(shù)列前項(xiàng)之積Tn，一般可求Tn-1，則an注意：不能忘記討論.如：數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則_.四、典型例題分析【題型5】 構(gòu)造法：1構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列例5 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項(xiàng).解：，. 即是以2為公差的等差數(shù)列，且.小結(jié)與拓展：由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題，假設(shè)能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.【題型6】 構(gòu)造法：2構(gòu)造差式與和式解題的根本思路就是構(gòu)造出*個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6 設(shè)是首項(xiàng)為1的

16、正項(xiàng)數(shù)列，且，nN*，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得.，.【題型7】 構(gòu)造法：3構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.例7 數(shù)列中，前n項(xiàng)的和，求.解：，【題型8】 構(gòu)造法：4構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列假設(shè)通過(guò)取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，使問(wèn)題得以解決.例8 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，n2.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對(duì)數(shù)得：，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，.，【題型9】 歸納猜測(cè)證明例9 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程*2an*an0有一根為Sn1，n1，2，3，求a1，a2；an的通項(xiàng)公式解：()當(dāng)n1時(shí)，*2a1*a10有一根為S11a11于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1EQ f(1,2)當(dāng)n2時(shí)，*2a2*a20有一根為S21a2EQ f(1,2)，于是(a2EQ f(1,2)2a2(a2EQ f(1,2)a20，解得a1EQ f(1,6)()由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10 由()知S1a1EQ f(1,2)，S2a1a2EQ f(1,2)EQ f(1,6)EQ f(2,3) 由可得S3EQ f(3,4)由此猜