信號與系統(tǒng)教案第5章 連續(xù)系統(tǒng)的s域分析

1、第五章 連續(xù)系統(tǒng)的s域分析5.1 拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換二、收斂域三、(單邊)拉普拉斯變換5.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)5.3 拉普拉斯變換逆變換5.4 復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解二、系統(tǒng)函數(shù)三、系統(tǒng)的s域框圖四、電路的s域模型點擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)第五章 連續(xù)系統(tǒng)的s域分析 頻域分析以虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2t(t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題。 本章

2、引入復(fù)頻率 s = +j,以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率 s ，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。5.1 拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-t(為實常數(shù)）乘信號f(t) ，適當(dāng)選取的值，使乘積信號f(t) e-t當(dāng)t時信號幅度趨近于0 ，從而使f(t) e-t的傅里葉變換存在。 相應(yīng)的傅里葉逆變換 為f(t) e-t= Fb(+j)= f(t) e-t= 令s = + j,d =ds/j，有5.1 拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換對

3、Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。 二、收斂域 只有選擇適當(dāng)?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。 使 f(t)拉氏變換存在的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。 下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。5.1 拉普拉斯變換例1 因果信號f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯變換。 解 可見，對于因果信號，僅當(dāng)Res=時，其拉氏變換存在。 收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界5.1 拉普拉斯變換例2 反因果信號f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯變換。 解 可見，對于反因果信號，僅當(dāng)Res=時，其收斂域為 Re

4、s 2Res= 3 3 2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。5.1 拉普拉斯變換通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻為坐標(biāo)原點。這樣，t ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。 三、單邊拉氏變換 簡記為F(s)=f(t) f(t)= -1F(s) 或 f(t) F(s)5.1 拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換 1、(t) 1， -2、(t)或1 1/s ， 03、指數(shù)函數(shù)e-s0t -Res0cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 sin0t = (ej0t e-j0t )/2j 5.1 拉普拉斯變換4、周期信號fT(t) 特例：T(t) 1

5、/(1 e-sT) 5.1 拉普拉斯變換五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系 Res0 要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號。 根據(jù)收斂坐標(biāo)0的值可分為以下三種情況： （1）0-2；則 F(j)=1/( j+2)5.1 拉普拉斯變換（2）0 =0，即F(s)的收斂邊界為j軸， 如f(t)= (t)F(s)=1/s = () + 1/j （3）0 0，F(xiàn)(j)不存在。 例f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里葉變換不存在。5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)一、線性性質(zhì)若f1(t)F1(s) Res1 , f2(t)F2(s) Res2則 a1f1(t)+a2

6、f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax(1,2) 例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度變換若f(t) F(s) , Res0，且有實數(shù)a0 ，則f(at) Resa0 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)例：如圖信號f(t)的拉氏變換F(s) =求圖中信號y(t)的拉氏變換Y(s)。解：y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)三、時移（延時）特性 若f(t) F(s) , Res0, 且有實常數(shù)t00 ,則f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) , Res0 與尺度變換相結(jié)合f(at-t0)(at-t0)例1:求

7、如圖信號的單邊拉氏變換。解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)F1(s)=F2(s)= F1(s)5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)例2:已知f1(t) F1(s),求f2(t) F2(s)解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)例3:求f(t)= e-2(t-1)(t) F (s)=?5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)四、復(fù)頻移（s域平移）特性 若f(t) F(s) , Res0 , 且有復(fù)常數(shù)sa=a+ja,則f(t)esat F

8、(s-sa) , Res0+a 例1:已知因果信號f(t)的象函數(shù)F(s)= 求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。 解：e-tf(3t-2) 例2:f(t)=cos(2t/4) F(s)= ?解cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4) 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)五、時域的微分特性（微分定理） 若f(t) F(s) , Res0, 則f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 若f(t)為因果信號，則f(n)(t) snF(s) 例1:(n)(t) ? 例2:例3:5.2 拉普拉斯變換性

9、質(zhì)六、時域積分特性（積分定理） 若f(t) F(s) , Res0, 則 例1: t2(t)? 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)例2:已知因果信號f(t)如圖 ,求F(s)解：對f(t)求導(dǎo)得f(t)，如圖由于f(t)為因果信號，故f(0-)=0f(t)=(t)(t 2) (t 2) F1(s)結(jié)論：若f(t)為因果信號，已知f(n)(t) Fn(s) 則 f(t) Fn(s)/sn5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)七、卷積定理 時域卷積定理 若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res1 , f2(t) F2(s) , Res2則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 復(fù)頻域（s域）卷積定理 例1：

10、t (t) ?例2：已知F(s)= 例3：5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)八、s域微分和積分 若f(t) F(s) , Res0, 則 例1：t2e-2t(t) ? e-2t(t) 1/(s+2) t2e-2t(t) 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)例2：例3：5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)九、初值定理和終值定理 初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理設(shè)函數(shù)f(t)不含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則 終值定理 若f(t)當(dāng)t 時存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00，則 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)例1：例2

11、：5.3 拉普拉斯逆變換5.3 拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換-復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法 （1）查表 （2）利用性質(zhì) （3） 部分分式展開 -結(jié)合 若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為 若mn （假分式）,可用多項式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。 5.3 拉普拉斯逆變換由于L-11=(t)， L -1sn=(n)(t)，故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。 下面主要討論有理真分式的情形。 部分分式展開法若F(s)是s的實系數(shù)有理真分式（mn)，則可寫為 式中A(s)稱為F(s)的特征多項式，方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特

12、征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率）。n個特征根pi稱為F(s)的極點。 5.3 拉普拉斯逆變換（1）F(s)為單極點（單根）例1:5.3 拉普拉斯逆變換5.3 拉普拉斯逆變換例2:5.3 拉普拉斯逆變換5.3 拉普拉斯逆變換特例：若F(s)包含共軛復(fù)根時(p1,2 = j)K2 = K1* f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t) 若寫為K1,2 = A jBf1(t)= 2e-tAcos(t) Bsin(t) (t) 5.3 拉普拉斯逆變換例35.3 拉普拉斯逆變換5.3 拉普拉斯逆變換例4： 求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)。 解：A(s)=0有6個單根，它們分別是s1=

13、0，s2= 1，s3,4= j1 ，s5,6= 1j1，故 K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= 1 K3= (s j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej(/2) ,K4=K3*=(1/2)e-j(/2) K5= (s+1 j)F(s)|s=-1+j= K6=K5*5.3 拉普拉斯逆變換（2）F(s)有重極點（重根） 若A(s) = 0在s = p1處有r重根， K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 5.3 拉普拉斯逆變換舉例:5.3 拉普拉斯逆變換5.4 復(fù)頻域分析 5.4 復(fù)頻域系統(tǒng)

14、分析 一、微分方程的變換解 描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路：用拉普拉斯變換微分特性若f (t)在t = 0時接入系統(tǒng)，則 f (j )(t) s j F(s)5.4 復(fù)頻域分析例1 描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t)已知初始狀態(tài)y(0-) = 1，y(0-)= -1，激勵f (t) = 5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)解： 方程取拉氏變換，并整理得y(t)， yx(t)， yf(t)s域的代數(shù)方程Yx(s)Yf(s)5.4 復(fù)頻域分

15、析y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - 4e2t (t) + yx(t)yf (t)暫態(tài)分量yt (t)穩(wěn)態(tài)分量ys (t)若已知y(0+)=1，y(0+)= 9Yx(s)Yf(s)5.4 復(fù)頻域分析二、系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為 它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵、初始狀態(tài)無關(guān)。yf(t)= h(t)*f (t)H(s)= L h(t)Yf(s)= L h(t)F(s)5.4 復(fù)頻域分析例2 已知當(dāng)輸入f (t)= e-t(t)時，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) yf(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。 解

16、h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程為 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yf(s) + 5sYf(s) + 6Yf(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆變換 yf(t)+5yf(t)+6yf(t) = 2f (t)+ 8f (t) 5.4 復(fù)頻域分析三、系統(tǒng)的s域框圖 時域框圖基本單元f(t)af(t)y(t) = a f (t)s域框圖基本單元s1F(s)Y(s) = s1F(s)aF(s)Y(s) = a F(s)f1(t)f2(t)y(t) = f1(t)+ f2(t)+F1(s)Y(s) = F1(s)+F2(s)F2(s)+5.4 復(fù)頻域分析X(s)s-1X(s)s-2X(s)例3 如圖框圖，列出其微分方程解 畫出s域框圖,s-1s-1F(s)Y(s)設(shè)左邊加法器輸出為X(s)，如圖X(s) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s) s域的代數(shù)方程Y(s) = X(s) + 4s-2X(s) 微分方程為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t) 再求h(t)?5.4 復(fù)頻域分析四、電路的s域模型 對時域