信號分析與處理：第5章 離散時間信號與系統的時域分析

1、第5章 離散時間信號與系統的時域分析5.1離散時間基本信號5.2離散信號的卷積運算及卷積性質5.3離散LTI系統的時域分析5.4單位樣值響應5.5離散系統的零輸入響應和零狀態(tài)響應5.1.1 離散時間信號的描述1. 函數表示法 x(n)可以寫成一般閉合形式的表達式，例如 5.1 離散時間基本信號5.1.1 離散時間信號的描述2. 波形表示法 序列 還可以用圖形表示如下： 5.1 離散時間基本信號5.1.1 離散時間信號的描述3. 序列表示法 也可逐個列出x(n)的序列值，寫成 5.1 離散時間基本信號5.1.1 離散時間信號的描述4. 表格表示 也可用表格表示如下： 5.1 離散時間基本信號 序

2、列 n-3-2-101233-210-12-3右移m點的單位樣值序列為 單位樣值序列 1.單位樣值序列用(n)表示 右移m點的單位樣值序列 5.1.2 典型的離散時間信號抽樣性：序列x(n)在n=m處的樣本可用單位樣值序列表示為 組合性：考慮所有樣點，序列 x(n) 可表示為 上式說明，任一序列可用不同加權并移位的樣值序列表示。例如，序列 也可表示為 2. 單位階躍序列(n)(n)與(n)的關系:(n) = (n) (n-1) 單位階躍序列 反因果階躍序列 反因果階躍序列單位階躍序列的基本特性是單邊性。 3單位斜變序列 4. 單位矩形序列RN (n)N稱為矩形序列的長度。矩形序列常用來表示序號

3、的取值范圍，如可以寫成： 式中稱為正弦序列的數字角頻率，單位是弧度。如果正弦序列是由模擬信號采樣得到的，那么5. 正弦序列因此，數字角頻率與模擬角頻率之間的關系為 式中，Ts為采樣周期?？梢钥闯?，數字角頻率與模擬角頻率之間為線性關系。 正弦序列是周期序列的條件:需要指出的是，正弦（余弦）序列不一定是周期序列。周期序列的定義為：如果存在一個最小的正整數N，使序列x(n)=x(n+N)，-n，則序列x(n)是周期序列，周期為N。設任意正弦序列為 顯然，滿足 0N=2k 時，x(n) = x(n+N)，正弦序列為周期序列，N、k為正整數。因此，正弦序列是周期序列的條件是： 為有理數（整數和分數）。

4、1）當2/0為整數時，k=1，正弦序列是以N為周期的周期序列。例 sin(/8) n ，0 =/8，2/0 =16，該正弦序列周期為16。2）當2/0為分數時，設2/0 =N/k，式中N、k是互為素數（意思是不可約分）的正整數，則正弦序列是以N為周期的周期序列。例 sin(3/7) n，0 = 3/7， 由于2/0= 14/3為有理數，故它的周期為N= 14。3）當2/0是無理數（不循環(huán)的無限小數），任何整數k都不能使N為正整數，因此，此時的正弦序列不是周期序列。 例 sin(3 n) ，0 = 3， 由于2/3為無理數，故它是非的周期序列。正弦序列是周期序列的條件是： 為有理數（整數和分數）

5、。 6. 指數序列 (1) 實指數序列 ， a為實數 如果|a|1， x(n)的幅度隨n的增大而增大，則稱為發(fā)散序列。(2) 復指數序列1) 時間周期性2) 頻率周期性 當指數序列的數字頻率為時有是頻率的周期函數，角頻率周期為5.2 離散信號的卷積運算及卷積性質5.2.1 卷積的定義例 已知激勵信號序列，單位脈沖響應，求零狀態(tài)響應。 解 由卷積和定義， 考慮單位階躍序列(n)特性，有 5.2.2 卷積的運算1解析法 例 已知求零狀態(tài)響應解:2. 圖解法與卷積運算一樣，用圖解法求兩序列的卷積和運算也包括信號的反轉、移位、相乘、求和等四個基本步驟。 3. 豎式法 解：兩序列樣值以各自n的最低位按左

6、端對齊，如下排列： 4 3 2 1 1 3 2 4 3 2 1 12 9 6 3 + 8 6 4 2 4 15 19 13 7 2 例 已知離散信號和單位脈沖響應有限長度序列的卷積 設序列 的區(qū)間為 ，長度為 序列 的區(qū)間為 ，長度為 則這兩個序列的卷積卷積后序列的起始點在n=A+C處，終點在n=B+D處，其長度 交換律5.2.3 序列卷積性質分配律結合律 移位 例 下圖所示FIR系統，已知輸入 求響應y（n）。解 1 2 0 3 1 -2 5 1 2 0 3 -2 -4 0 -6 + 5 10 0 15 1 0 1 13 -6 15 延遲單元相加單元倍乘單元5.3 離散LTI系統的時域分析

7、5.3.1 系統的差分方程及框圖描述解：y(n)=ay(n-1)+x(n)一階差分方程y(n)-ay(n-1)=x(n)例 系統方框如圖所示，寫出其差分方程。 例 已知一個離散LTI系統如圖所示，寫出系統的差分方程。 解：y(n)-y(n-1)+0.5 y(n-2) =x(n)二階差分方程 y(n) =x(n) y(n-1) -0.5 y(n-2) N 階差分方程的標準形式：遞推法（迭代法）時域經典法分別求零輸入響應和零狀態(tài)響應：利用齊次解得零輸入解，再利用卷積和求零狀態(tài)解。變換域法（Z變換法）狀態(tài)變量分析法5.3.2 差分方程的求解常系數差分方程的求解1.遞推法當差分方程階次較低時常用此法,

8、設差分方程固有響應強制響應輸入為0，僅有初始狀態(tài)產生的響應初始狀態(tài)為0，僅有輸入信號產生的響應2. 差分方程的時域經典解法 為了理清思路，將固有響應、強制響應、零輸入響應及零狀態(tài)響應之間的關系用一下式子表述零輸入響應yzin固有響應ynn強制響應yfn零狀態(tài)響應yzsn固有響應時域經典法特 征 方程： 有N個特征根齊次解（固有響應）：非重根時的齊次解i為l次重根時的齊次解共軛根時的齊次解差分方程例： 已知差分方程和系統的初始條件 ，試求齊次解。 解：代入初始條件 所以： 代入初始條件 方程的齊次解為 如果1是特征方程的r重根，即有1=2=r , N-r根，則差分方程的齊次解為 例 已知差分方程

9、 和初始條件 ，試求它的齊次解。 解：特解(強制響應)線性時不變系統輸入與輸出有相同的形式輸入輸出 （a與特征根重） 與差分方程等號右端相對應的強制響應 全響應表達式求出后，固有響應中的N個系數Ai由給定的邊界條件確定 求線性差分方程的完全解的經典解法一般步驟如下： (1)寫出與該方程相對應的特征方程；求出特征根，并寫出 其齊次解通式; (2) 根據原方程的激勵函數的形式，寫出其特解的通式； (3) 將特解通式代入原方程求出待定系數，確定特解形式； (4) 寫出原方程的通解的一般形式(即齊次解+特解)； (5) 把初始條件代入，求出齊次解的待定系數值。齊次解 特解形式： 帶入原方程： 特解為

10、全解為 將已知的初始條件帶入上式，有 例 解差分方程 ，其中 ，。解：（1）激勵為 （2）系統零狀態(tài)（3）用遞推法可求出（4） 時，變成求其差分方程的解 LTI零狀態(tài) 由(n)產生的系統零狀態(tài)響應定義為單位脈沖響應（也可以稱為單位樣值響應），記為 。 h(n)=T(n) 由于任意序列都可以用單位脈沖序列的移位加權和表示，根據線性系統的可加性，只要求得系統的單位脈沖響應，則多個單位脈沖序列作用于線性系統所引起的響應等于各個單位脈沖序列所引起的響應（單位脈沖響應）的線性組合。5.4 單位樣值響應 1) 遞推法 例5-8 已知某系統的差分方程 ，分別用遞推法、經典法求單位脈沖響應h(n)。 解： 2)經典法 差分方程的特征根 則n1時的單位脈沖響應為 根據h(0)=1可確定出C=1，故 時單位樣值響應表征系統的穩(wěn)定性單位樣值響應意義：線性時不變離散系統BIBO穩(wěn)定的充要條件