自動控制理論：5第五章 頻率特性法-3

1、2022/7/13第三節(jié) 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制一、開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的繪圖方法 控制系統(tǒng)一般由多個環(huán)節(jié)組成，在繪制系統(tǒng)Bode圖時， 應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。 常用方法有三種：環(huán)節(jié)曲線疊加法 ，順序斜率疊加法，計算法。2022/7/13第三節(jié) 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制二、開環(huán)系統(tǒng)極坐標圖的繪圖方法 一般工業(yè)控制系統(tǒng)都是由多個環(huán)節(jié)組成的，若逐點計算繪圖將十分繁瑣，以下介紹工程常用的繪制概略幅相曲線的方法，主要步驟為: 1.將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解為 Gi(S）（i=1,2,）除K/sv外的其他典型環(huán)節(jié)。2022/7/132.確定幅相曲線的起點和終點幅相曲線

2、的起點為G（j0+）H（j0+），終點為G（j）H（j）。（1）起點=0+(即低頻段)，除比例、積分和微分環(huán)節(jié)外，其他典型環(huán)節(jié)的頻率特性在起點處有Gi(j0) H(j0+) =1ej0+。故與系統(tǒng)的類型有關(guān)，見圖5-25。一般有圖5-25 頻率特性的低頻段形狀2022/7/13幅相特性曲線的起點有以下結(jié)論：起點處的幅值：起點處的相角：有時需要求取幅相特性的低頻漸近線（2）終點(即高頻段)，此時頻率特性的幅值與分子和分母多項式的階次差（n-m）值有關(guān)。對于實際物理系統(tǒng)總有nm，可得 2022/7/13終點處的幅值：終點處的相角：3確定幅相曲線與實軸、虛軸的交點及中頻段的其他特征點系統(tǒng)幅相特性曲線

3、與負實軸的交點坐標是判定系統(tǒng)穩(wěn)定的關(guān)鍵因素，而與實軸的交點可用于確定中頻段的位置，中頻段的形狀主要由頻率特性的分子、分母中各因子的時間常數(shù)決定。2022/7/13.求出，代入實部ReG(j)H(j)中，可得幅相曲線與實軸的交點坐標。（2）曲線與虛軸交點坐標的求取。 同理令實部ReG(j)H(j)=0 ，求得代入虛部可確定曲線與虛軸的交點坐標。（3）列表計算一些中、高頻段的頻率點坐標4. 逐點描繪幅相特性曲線（1）曲線與實軸交點坐標的求取令虛部ImG(j)H(j)=0，即或2022/7/13【例5-5】設(shè)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為： 試繪制系統(tǒng)的極坐標圖。解：本系統(tǒng)m=0,n-m=3, =1 低頻段0

4、+時，G(j)H(j)= -90o，高頻段 時，G(j)H(j)= 0 -90o 32022/7/13中頻段：令I(lǐng)mG(j)H(j)=0，求出 =10,取 =10 代入 ReG(j)H(j)=-0.4 可知與實軸交點坐標為(-0.4,j0)。 由ReG(j)H(j)=0，可得 = 表明： 幅相特性曲線僅在坐標原點處與虛軸相交。將以上特征點概略地繪制如圖5-26。圖5-26 例5-5系統(tǒng)的極坐標圖2022/7/13用matlab繪制的該系統(tǒng)極坐標圖如圖5-27所示。圖5-27 例5-5系統(tǒng)的極坐標圖2022/7/13圖5-27 例5-5系統(tǒng)的極坐標圖（放大）2022/7/13三、最小相位系統(tǒng)和非

5、最小相位系統(tǒng)Minimum phase systems and non-minimum phase systems最小相位傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)既無極點也無零點的傳遞函數(shù)非最小相位傳遞函數(shù)：在右半s平面內(nèi)有極點和（或）零點的傳遞函數(shù)最小相位系統(tǒng)：具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng):具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)請看例子2022/7/13對于最小相位系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)由單一的幅值曲線唯一確定。對于非最小相位系統(tǒng)則不是這種情況。見圖5-29。 圖5-28 最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的零-極點分布圖2022/7/13非最小相位系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng) 圖5-29的相角特性 相同的幅值特性和2022/7

6、/13在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)）的相角范圍，在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍 最小相位系統(tǒng)，幅值特性和相角特性之間具有唯一的對應(yīng)關(guān)系這意味著，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定但這個結(jié)論對于非最小相位系統(tǒng)不成立。 反之亦然2022/7/13最小相位系統(tǒng)，相角在時變?yōu)椋簄為極點數(shù)，m為零點數(shù)。因此，為了確定系統(tǒng)是不是最小相位的既需要檢查對數(shù)幅值曲線高頻漸近線的斜率，又需檢查在 時相角。判斷最小相位系統(tǒng)的另一種方法時的斜率都等于對數(shù)幅值曲線在由對數(shù)幅頻特性反求傳遞函數(shù)例：已

7、知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性如下圖，試求其開環(huán)傳遞函數(shù)2022/7/13解：有圖可以看出，系統(tǒng)有6個典型環(huán)節(jié)構(gòu)成，低頻段斜率為0，說明沒有積分環(huán)節(jié)，所以可以求出開環(huán)增益2022/7/13在 漸近線斜率改變了20dB/dec，對應(yīng)一階微分環(huán)節(jié)在 漸近線斜率各改變了-20dB/dec，對應(yīng)四個一階慣性環(huán)節(jié)由于最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸近線與開環(huán)傳遞函數(shù)一一對應(yīng)，所以，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成：2022/7/13式中K=31.62，其它他交接頻率待定。由于漸近線是由直線段構(gòu)成，而各個線段都給出了斜率x，所以有：2022/7/13由此可得：所以，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:2022/7/132022/7/1

8、32022/7/13四、系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性與閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系 在一定輸入信號作用下，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（類型）及開環(huán)放大系數(shù)K值有關(guān)。靜態(tài)位置、速度和加速度誤差系數(shù)分別描述了0型、1型和2型系統(tǒng)的低頻特性。通過分析給定的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線（Bode圖），可確定系統(tǒng)的誤差系數(shù)，從而求出穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的類型確定了低頻時對數(shù)幅值曲線的斜率。因此，對于給定的輸入信號，控制系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小，都可以從觀察對數(shù)幅值曲線的低頻區(qū)特性予以確定。2022/7/131、0型系統(tǒng) 對類似圖5-30所示的0型系統(tǒng)的Bode圖，通過低頻段高度L(0)=20lgKp（dB）,可求

9、出Kp=10L(0)/20。從而計算出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。圖5-30 0型系統(tǒng)的bode圖2022/7/132、I 型系統(tǒng)對圖4-31所示I型系統(tǒng)Bode圖,低頻段漸近線斜率為-20dB/dec。有兩種情況：（1）低頻段或低頻段延長線與0dB線相交，則交點處的頻率 =Kv ； (2) 低頻段或低頻段漸近線的延長線在=1時的幅值為20lg Kv 。圖5-31 I型系統(tǒng)的bode圖2022/7/13證明：（1）在I型系統(tǒng)中有： （2）設(shè)與實軸的交點上的頻率為2022/7/133、II型系統(tǒng) 圖4-32所示為II型系統(tǒng)Bode圖，低頻段漸近線的斜率為-40dB/dec，有兩種不同情況： (1)低頻段或低頻段的延長線在=1時的幅值為20lg Ka。(2)低頻段漸近線或低頻段漸近線的延長線與0dB線相交， 則交點處的頻率=Ka1/2；圖5-32 II型系統(tǒng)的bode圖2022/7/13證明：（1）在II型系統(tǒng)中有：（2）與實軸交點處幅值為02022/7/13【例5-6】有 I型系統(tǒng)如圖 5-33所示。試證明：