人教版高中數(shù)學(xué)-基本不等式(一)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)人教版高中數(shù)學(xué)同步練習(xí)3.4基本不等式：eq r(ab)eq f(ab,2)(一)課時(shí)目標(biāo)1理解基本不等式的內(nèi)容及其證明；2能利用基本不等式證明簡(jiǎn)單不等式1如果a，bR，那么a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào))2若a，b都為正數(shù)，那么eq f(ab,2)eq r(ab)(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)，稱上述不等式為基本不等式，其中eq f(ab,2)稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq r(ab)稱為a，b的幾何平均數(shù)3基本不等式的常用推論(1)abeq blc(rc)(av

2、s4alco1(f(ab,2)2eq f(a2b2,2) (a，bR)；(2)當(dāng)x0時(shí)，xeq f(1,x)2；當(dāng)x0時(shí)，eq f(b,a)eq f(a,b)2；當(dāng)ab0，b0，則eq f(ab,2)，eq r(ab)， eq r(f(a2b2,2)，eq f(2ab,ab)中最小的是()A.eq f(ab,2) B.eq r(ab) C. eq r(f(a2b2,2) D.eq f(2ab,ab)答案D解析方法一特殊值法令a4，b2，則eq f(ab,2)3，eq r(ab)eq r(8)， eq r(f(a2b2,2)eq r(10)，eq f(2ab,ab)eq f(8,3).eq f(

3、2ab,ab)最小方法二eq f(2ab,ab)eq f(2,f(1,a)f(1,b)，由eq f(2,f(1,a)f(1,b)eq r(ab)eq f(ab,2) eq r(f(a2b2,2)，可知eq f(2ab,ab)最小2已知maeq f(1,a2) (a2)，neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x22 (xn Bmn Cmn Dmn答案A解析m(a2)eq f(1,a2)22eq r(a2f(1,a2)24，n22x2n.3設(shè)a，bR，且ab，ab2，則必有()A1abeq f(a2b2,2) Bab1eq f(a2b2,2)Cabeq f(a2b2,2)1 D.

4、eq f(a2b2,2)ab1答案B解析abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2，ab，abeq f(ab,2)0，eq f(a2b2,2)1，ab1eq f(a2b2,2).4已知正數(shù)0a1,0b2eq r(ab)，a2b22ab，所以，最大的只能是a2b2與ab之一而a2b2(ab)a(a1)b(b1)，又0a1,0b1，所以a10，b10，因此a2b2ab，所以ab最大5設(shè)0ab，且ab1，在下列四個(gè)數(shù)中最大的是()A.eq f(1,2) Bb C2ab Da2b2答案B解析abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2，abeq f(1,4)，2a

5、beq f(ab,2)0， eq r(f(a2b2,2)eq f(1,2)，a2b2eq f(1,2).b(a2b2)(bb2)a2b(1b)a2aba2a(ba)0，ba2b2，b最大6若不等式x2ax10對(duì)一切xeq blc(rc(avs4alco1(0，1)恒成立，則a的最小值為()A0 B2 Ceq f(5,2) D3答案B解析x2ax10在xeq blc(rc(avs4alco1(0，1)上恒成立axx21aeq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)max.xeq f(1,x)2，eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)2

6、，a2.二、填空題7若a1，則aeq f(1,a1)有最_值，為_答案大1解析a1，a10，y0，eq f(2,x)eq f(5,y)eq f(2,x)eq f(x,2)2(x2時(shí)取等號(hào))9已知x，yR，且滿足eq f(x,3)eq f(y,4)1，則xy的最大值為_答案3解析x0，y0且1eq f(x,3)eq f(y,4)2eq r(f(xy,12)，xy3.當(dāng)且僅當(dāng)eq f(x,3)eq f(y,4)時(shí)取等號(hào)10若對(duì)任意x0，eq f(x,x23x1)a恒成立，則a的取值范圍為_答案eq blcrc)(avs4alco1(f(1,5)，)解析x0，eq f(x,x23x1)0，易知a0.

7、eq f(x23x1,x)eq f(1,a)，eq f(1,a)xeq f(1,x)3.x0，xeq f(1,x)32eq r(xf(1,x)35(x1時(shí)取等號(hào))，eq f(1,a)5.aeq f(1,5).三、解答題11設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證：eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc.證明a、b、c都是正數(shù)，eq f(bc,a)、eq f(ca,b)、eq f(ab,c)也都是正數(shù)eq f(bc,a)eq f(ca,b)2c，eq f(ca,b)eq f(ab,c)2a，eq f(bc,a)eq f(ab,c)2b，三式相加得2eq blc(rc)(avs4al

8、co1(f(bc,a)f(ca,b)f(ab,c)2(abc)，即eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc.12abc，nN且eq f(1,ab)eq f(1,bc)eq f(n,ac)，求n的最大值解abc，ab0，bc0，ac0.eq f(1,ab)eq f(1,bc)eq f(n,ac)，neq f(ac,ab)eq f(ac,bc).ac(ab)(bc)，neq f(abbc,ab)eq f(abbc,bc)，neq f(bc,ab)eq f(ab,bc)2.eq f(bc,ab)eq f(ab,bc)2 eq r(f(bc,ab)f(ab,bc)2(2bac

9、時(shí)取等號(hào))n4.n的最大值是4.能力提升13已知不等式(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A8 B6 C4 D2答案C解析只需求(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)的最小值大于等于9即可，又(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)1aeq f(x,y)eq f(y,x)aa12 eq r(af(x,y)f(y,x)a2 eq r(a)1，等號(hào)成立僅當(dāng)aeq f(x,y)eq f(y,x)即可，所以(eq r(a)22 eq r(a)1

10、9，即(eq r(a)22 eq r(a)80求得eq r(a)2或eq r(a)4(舍去)，所以a4，即a的最小值為4.14已知a，b，c為不等正實(shí)數(shù)，且abc1.求證：eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c).證明eq f(1,a)eq f(1,b)2 eq r(f(1,ab)2eq r(c)，eq f(1,b)eq f(1,c)2 eq r(f(1,bc)2eq r(a)，eq f(1,c)eq f(1,a)2 eq r(f(1,ac)2eq r(b)，2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)f(1,c)2(eq r(a)eq r(b)eq r(c)，即eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)eq r(a)eq r(b)eq r(c).a，b，c為不等正實(shí)數(shù)，eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c).1設(shè)a，b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，用min(a，b)表示a，b中的較小的數(shù)，用max(a，b)表示a，b中的較大的數(shù)，則有min(a，b)eq f(2,f(1,a)f(1,b)eq r(ab)eq