2013年數(shù)學(xué)全真模擬試卷2（教師版）

1、PAGE PAGE 9啟東市2013年數(shù)學(xué)全真模擬試卷二一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.1 已知為虛數(shù)單位，則 -1 i2+(i3+i4+i5+i6)+(i7+i8+i9+i10)=i2=；2 在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)，則該數(shù)為正數(shù)的概率是 易得正數(shù)的取值區(qū)間長(zhǎng)度是2，總長(zhǎng)度是3，由幾何概型得所求概率為；3 對(duì)某種電子元件使用壽命跟蹤調(diào)查，所得樣本頻率分布直方圖如圖，若一批電子元件中壽命在100300小時(shí)的電子元件的數(shù)量為400，則壽命在500600小時(shí)的電子元件的數(shù)量為 300 開(kāi)始S2，i1i2011ii+1結(jié)束輸出S YN（第5題圖）

2、400500100200300壽命（h）600（第3題圖）壽命在100300小時(shí)的電子元件的頻率是，故樣本容量是， 從而壽命在500600小時(shí)的電子元件的數(shù)量為；4 設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象與圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則的值為易得銳角滿足，即，所以于是5 運(yùn)行如圖所示的流程圖，則輸出的結(jié)果是 2 變量i的值分別取1，2，3，4，時(shí)，變量S的值依次為，不難發(fā)現(xiàn)變量S的值是以3為周期在變化，當(dāng)i的取值為2010時(shí)，而后i變?yōu)?011退出循環(huán)6 在中，分別是角的對(duì)邊，若成等差數(shù)列，則的最小值為 易得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）7 若定義在上的函數(shù)（為常數(shù)）滿足，則的最小值是 0 由得，即，所以偶函數(shù)在上是單調(diào)

3、增函數(shù)，在上是單調(diào)減函數(shù)，所以；8 已知雙曲線（）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為 sinPF1F2=，sinPF1F2=，由正弦定理得，又易得tanF1PF2=，所以cosF1PF2，由利用余弦定理得，所以，故，又，所以離心率；9 函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，其中，則 6 （第10題圖） 易求得切線方程為，令y0得，x，即，故數(shù)列是等差數(shù)列，所以；10如圖，在的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量,滿足（），則 .由向量坐標(biāo)的引入可以認(rèn)為，代入得， 故；11記當(dāng)時(shí)，觀察下列等式： ， ， ， ， ， 可以推測(cè)， ABC（第12題圖）解：易觀

4、察出A，對(duì)于，可令n1得，即有，所以；12有一個(gè)各條棱長(zhǎng)均為的正四棱錐，現(xiàn)用一張正方形包裝紙將其完全包住，不能剪裁，但可以折疊，則包裝紙的最小邊長(zhǎng)是 解:如圖，是某正四棱錐的平面展開(kāi)圖，等腰的底邊BC即為所求正方形包裝紙的邊長(zhǎng)的最小值，由余弦定理得；13定義在上的函數(shù)滿足：；當(dāng)時(shí)，則集合中的最小元素是 12 解：易得， 由條件可知，上的最大值依次為1，2，4，即最大值構(gòu)成一個(gè)以2為公比的等比數(shù)列，結(jié)合圖象不難發(fā)現(xiàn)時(shí)x的最小值是12；14已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次不等式的解集為，則的最小值是 8 解：由題意得，所以，令，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）二、解答題：15（本題滿分14分）已知集合，（1）若，

5、求實(shí)數(shù)的值； （2）設(shè)全集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍 命題立意：本題主要考查集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算以及一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力解：（1）易得集合，集合，（4分）由得所以m=5（7分）（第16題圖）（2）由（1）得，（10分）因?yàn)?，所以，解?16如圖，在四棱錐中，平面，且（1）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若二面角的大小為，求證：平面平面 16命題立意：本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、二面角的概念等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象、推理論證能力證明：（1）取BP得中點(diǎn)F，連結(jié)AF，EF，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)， 且，且， 所以EFBCAD， 所以四邊形ADEF是平行四邊形，

6、(2分) 故EDAF， 又因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，所以平面PAB(5分)（2）因?yàn)椋?，所以，又?所以 于是，即有，(7分) 此時(shí)， 又，故，(9分)因?yàn)椋?又， 所以， 又， 所以，且，又， 所以，(12分) A B C P （第17題圖） 又， 所以(14分)17如圖，點(diǎn)在內(nèi)，記（1）試用表示的長(zhǎng)； （2）求四邊形的面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)的值 命題立意：本題主要考查三角形的余弦定理與面積公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力解：（1）與中，由余弦定理得， ，（4分）由得，解得；（7分）（2）由（1）得（13分）所以當(dāng)時(shí)，（15分）18在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，圓：，

7、點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將坐標(biāo)平面折疊，使得圓心恰與點(diǎn)重合，折痕與直線交于點(diǎn)（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求MN的最小值；（3）設(shè)過(guò)圓心的直線交圓于點(diǎn)，以點(diǎn)分別為切點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上 命題立意：本題主要考查直線、圓、橢圓基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解、綜合應(yīng)用能力解：（1）由題意得，故P點(diǎn)的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，則，所以， 故P點(diǎn)的軌跡方程是（5分） （2）法1（幾何法） 四邊形SMC2N的面積， 所以，（9分） 從而SC2取得最小值時(shí)，MN取得最小值， 顯然當(dāng)時(shí)，SC2取得最大值2， 所以（12分）法2（代數(shù)法） 設(shè)S(x0，

8、y0)，則以SC2為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 該方程與圓C2的方程相減得，（8分） 則圓心到直線MN的距離， 因?yàn)?，所以?從而， 故當(dāng)時(shí)dmax， 因?yàn)?，所?（12分） （3）設(shè)，則“切點(diǎn)弦”AB的方程為， 將點(diǎn)（-1，0）代入上式得， 故點(diǎn)Q在定直線上（16分）19已知整數(shù)列滿足，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起依次成等比數(shù)列 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出所有的正整數(shù) HYPERLINK m，使得 命題立意：本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用基本量 進(jìn)行探索求解、推理分析能力解：（1）設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)的公差為d，則，d為整數(shù) 又a5，a6，a7成等比數(shù)列，

9、所以，解得， 當(dāng)n6時(shí)，（3分） 由此，數(shù)列從第5項(xiàng)起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為2， 所以，當(dāng)n5時(shí)，. 故（7分）（2）由（1）知，數(shù)列為：3，2，1，0，1，2，4，8，16， 當(dāng)m1時(shí)等式成立，即3216(3)(2)(1)； 當(dāng)m3時(shí)等式成立，即1010；（11分） 當(dāng)m2或4時(shí)，等式均不成立；（13分）當(dāng)m5時(shí)，因?yàn)椋?，所以是偶?shù)，所以，于是，故m1，或m3（16分）20（本題滿分16分）已知函數(shù)，（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：“方程有唯一解”的充要條件是“”命題立意：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、 化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與討論思想進(jìn)行運(yùn)算

10、求解、推理論證的綜合能力解：（1）記，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故為上的單調(diào)增函數(shù)，所以，（2分）當(dāng)時(shí)，由得（負(fù)值已舍），若，即時(shí)，恒成立，故為上的單調(diào)增函數(shù)，所以，（4分）若，即時(shí)，在上恒小于0，在上恒大于0，所以在上的單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增，故， 綜上所述，（6分）所以且 解得（8分）（2）1充分性：當(dāng)時(shí)，方程，即，記，由得（負(fù)值已舍），所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即在有唯一解，即證（11分）2必要性：因?yàn)榉匠逃形ㄒ唤?，記，由得（?fù)值已舍），所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，且（13分）即2得，記，則函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)，且，所以方程有唯一解，將代入式得，即證由1、2得，“方程有唯一解

11、”的充要條件是“”（16分）試題（附加題）21B（矩陣與變換）若直線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的直線過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值命題立意：本題主要考查二階矩陣的變換，考查運(yùn)算求解能力解：設(shè)變換T：， 則，（5分） 即代入直線得， 將點(diǎn)代入得k4（10分） （注：本題亦可將點(diǎn)在矩陣的逆矩陣作用下得到點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，從而求出k的值）C（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，求曲線與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)命題立意：本題主要考查直線與圓的極坐標(biāo)方程，考查運(yùn)算求解能力解：將直線與圓分別化為普通方程得， 直線與圓，（6分）易得直線與圓切于點(diǎn)Q， 所以交點(diǎn)Q的極坐標(biāo)是（10分）【必做題】第22、23題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)?/p>

12、答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文（第22題） 字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22如圖，在正方體中，（1）若，求直線與所成角的正弦值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線平面？并說(shuō)明理由 命題立意：本題主要考查空間向量的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力解：（1）如圖，分別以DA，DC，D D1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，由得，所以，所以， 所以，直線與所成角的正弦值為（5分）（2）假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)，因?yàn)椋?所以，故 要使，只需， 由得， 此時(shí)， 由得（10分）23我們知道，對(duì)一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同可以構(gòu)造等式，這是一種非常有用的思想方