2001-10武漢理工大學(xué)高等代數(shù)

1、武漢理工大學(xué)2001年碩士研究生入學(xué)考試試題專業(yè)應(yīng)用數(shù)學(xué) 課程 高等代數(shù)（共 2 頁，共 8 大題，答題時不必抄題，標(biāo)明題目序號）（考試時間 3 小時，滿分 100分，武漢理工大學(xué)數(shù)學(xué)與物理系。）一、（15分）計(jì)算下列各題：1設(shè)A為3階方陣，A*為伴隨矩陣，|A|=8，計(jì)算|（3 A）-1 - 8A* |。（5分）2已知4階行列式D的第3行元素分別為-1, 0, 2, 4,第4行元素對應(yīng)的余子式依次 是5，10，a，4,求a的值。（5分）3設(shè) A, B 均為 4 階方陣，|A|=2, |B|=1, A = （a,Y2,Y3,Y4），B = （P,Y2,Y3,Y4），a, /3, Y2, Y3,

2、 Y4均為4維列向量，計(jì)算|A+B|。（5分）二、（13 分）設(shè)A=（aj）是3階實(shí)矩陣，Aj為元素a#的代數(shù)余子式，若aij = Aij并且 a33 =-1,求：（1） A|； （8 分） （2）方程AX= （0, 0,1）的解。（5 分） 三、（12分）設(shè)方程組23x1 + a1x2 + a1 x3 = a12x1 + a2 x2 + a2 x3=a2x1 + a3x2 + a3 x32x1 + a4 x2 + a4 x3（1）證明若ai, a2, a3, a兩兩不等，則此方程組無解；（4分）（2）設(shè)ai = a3 = k, a2 = a4 = k, （kHO）；且已知0，B2是該方程組的

3、兩個解，其中J3i =（-1,1,1）,02 =（1, 1,-1），試寫出此方程組的通解。（8分） 四、（13分）設(shè)AW （pnxn表示n階方陣的全體）（1）證明 C（A） = Bp | AB = BA 是pnxn 的一個子空間；（5 分）（2）當(dāng)A = E （E為n階單位陣）時，求C（A）;（3分）（3）當(dāng)A為對角陣，對角線元素a”，i = 1,2,均不為0時，求C（A）的維數(shù)與一組基。 （5 分）五、（12分）設(shè)廠是p2x2 上的線性映射，T定義如下：對任意2階方陣:齊P 有T (:北（1）證明：T是p22上的一個線性變換；（5分）（2）求T在基下的矩陣；（5 分）（3）求線性變換T的跡。

4、（2分）六、（10 分） 設(shè)xn = xn-1 + 2yn-1yn = 4xn-1 + 3yn-1且 x0 = 2, y0 = 1, 求 x100 。七、（10 分）設(shè)Rnxn表示全體n階實(shí)矩陣所構(gòu)成的線性空間，在Rnxn上定義一個2元實(shí)函數(shù)（，）：（A, B） = Tr（AB） VA, B e R力表示方陣的跡。（1）證明函數(shù)（，）滿足內(nèi)積條件，從而Rnxn構(gòu)成一個歐氏空間；（5分）（2）求這個歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；（5分） 八、（15 分）（1）設(shè)。為非零的n維列向量，E為n階單位陣，證明矩陣H = E aoC a a 為正交矩陣；（7 分）（2）設(shè)A為mxn的實(shí)矩陣，且秩A = n,

5、證明AA是正定矩陣。（8分）武漢理工大學(xué)2002年研究生入學(xué)考試試題課程髙等代數(shù)（共2頁，共8題,答題時不必抄題，標(biāo)明題目序號）、（15分）計(jì)算下列各題；設(shè)A為3階方陣，A為伴隨矩陣，己知| A |=1/2,計(jì)雋（3A） l-2A*lo （5 分）已知4階行列式D的第四行元素分別為一1、念各飆 第三行元素 對應(yīng)的余子式依次為5 10 a. 4.求a的值耳鳥分3設(shè)A. B均為4階方陣，|A|=1,匕Bj老倂（“皿匕，Q）， B= （mm, m E ）, 口、8、扒i計(jì)躡為4維列向量；計(jì)算f AB j 0 （5分）二（10分設(shè)2 （孤L為m介賣方陣，Aij是元素引的代數(shù)余子式， 若 8jj=Ajj

6、 （i、j=l、2、3jj anT 求 | A | 三、10）設(shè)戸-申汐，J是線性方程AXP的一個基礎(chǔ)解系，3產(chǎn)X j+t沁外.pptw嚴(yán)twr B尸匚+心?！捌渲星小Ｊ菍?shí)常數(shù)勺試 問：體怎滿足什么關(guān)系時，Bi,弘，匕也是AXP的一個基礎(chǔ)解系。3x3x+2ax2xi（a0）通迄正 交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形件代吃此+5幾 求參數(shù)a及所用的正交變換短陣飩六、（15 分）設(shè) A= 0 1（1）證明：Pk中與A可交換的矩陣集合W是pm的罄空聞了（5分）（2）寫出W中矩陣的一般形式；（5分）（3）求W的基與維數(shù)。6分）七、（15分設(shè)。是!1維線性空吐V的缽變換.EEV,如果。哥E HO，證明：J尸E是V的一組基

7、，并求。在這 組基下的矩陣。八、（10）設(shè)唇（駒2是斥盼實(shí)矩陣，如果對于內(nèi)積（a B） -aXPA a P eR股作成一間，證明A定是正定矩陣課程一高等代數(shù)（共1頁，共8題，答題時不必抄題標(biāo)明題目序號）計(jì)算下列各題（25分，每小題5分）設(shè)d階矩陣A的行列式|A|=a0,而為A的伴隨矩陣，求|A牛設(shè)3階矩陣/士( 、 a2n,B =r.g0丿2.已知琦|B|=2,求3.設(shè)A為3階矩陣，且|Af=2,求|4A4+A*|O6.2 6 求秩（AB）。Qr 14.設(shè)A為4X3矩陣，且秩A=2*而By 6設(shè)A為！1階可逆矩陣，將A的第佛箏丿行變換后得到矩陣B,求AB二（15分）設(shè)A是n （n2）階琳電勰陣

8、;負(fù)元素與其代數(shù)余子式鈿相， 等，求|A|三、設(shè)方程組（20分）i禹古處時屯=al證胡親、為、4兩兩不等，則此方程組無解：右設(shè)N丄碼二匕 込二迅| = 一痕工0且已知島=（-），盡=（口廠認(rèn)暹該方程組的二個解，試求出此方程組的通解。（共20分，第1題8分，第2題12分）, （2 -1 2、L己知 =（!,）是矩陣/= 5 Q 3的一個特征向量，試確定參 J b -2丿數(shù)拓b及特征向量冬所對應(yīng)飽特征值J已知3階矩陳A的特征值為U -1； 2,設(shè)矩陣B=2A3+A （!）求B的特征值及其相似的矩陣;求|B|；（3）求|A+E|五、（2Q分）_fl 1、設(shè)J住於證明：CA）BeR2ABBa是爐心的子

9、空間;求C0）中元素B的一般形式；求C（/）的維數(shù)及一組基 六、（15分）設(shè)/= ； ； e胛,史任意2用巴 定義T （B） -BA；1-證明：T是7?說上的線妙換/（I爐N求T在基&嚴(yán) A氐的矩陣.七、（15分廠巳知二茨型/&汁工力巧上凸豐3衣+3#+2心內(nèi)（00）通過正奎變換牝?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)形/ = z2 + 2加+ ”；,求參數(shù)a及所用的正交變換.人 0分）設(shè)A暹n階實(shí)矩陣，證明：疋對于內(nèi)積依/）=曲風(fēng)疣/丘必作 成一個歐氏空間的充要條件是A為正定矩陣.武漢理工大學(xué)2004年研究生入學(xué)考試試題03課程 _高等代數(shù) _ 一 （共1頁，共8題、答題時不必抄題、標(biāo)開題目序號一、計(jì)算下列各題45分）01

10、)2* I -Hl|l L +坨：一月4,( 2 / Gi 扌+ 切M中人是川1中元素的代建余了式匚?4 m陣月與0刪以用邛仁】的恃征值為晦必計(jì)注丿宀時H?l E為4階單位陣；1000卩0340200O100也求.1 J為3拆非零那陣丿=心 求i的fj農(nóng)2I)一 2),3維列向筮口二（匕匕！八 已知 2 ?; 口線悝杓匚m】o分）設(shè)卅維向墾&二（氐CL2衛(wèi)），c2.試討論心h為何值時.方魁級便有零鮮/f把空 多傑？井&許無窮多解村*求具全部館，般用星礎(chǔ)解系我F全備解四、（WZ已綿打是3階實(shí)對稱世陣，崗足月2.0,秩3）沁求行列云快訛G 心lTb具4 w R , F為3階皿位肘仁”-1.13階實(shí)

11、対稱用旳淞足才-討-皿E丿爐險單沽肘L洩聖r I - r A A；.rr、.五、25分）設(shè)_,次型 = tn： +工：一2斗鼻；：2如k 辺/ 0 ）具中；：；翟 怕血陣岀的特征逬Z和為1持征值乙瞅1戈，門）求小列勺值：（2）利用F交變險尚承型”化為柿準(zhǔn)妙并求聽唄勺 F交變換所對網(wǎng)的正龍業(yè)陣幾六5爪設(shè)“。！11） iiF/OI： C（A）站史丄初-滋是Rg的了空訓(xùn)；忘川旳-曲是R :fj :J內(nèi)職防充要條件是A為疋定迫!出課程代碼483 課程名稱離等代數(shù)（共頁，共7題，答題時不必抄題，標(biāo)明題目序號）一填空題（共25分,每小題5分）p 1 PE設(shè)矩陣顯=121J 1耳為a的伴隨矩陣*則+小（i2

12、r卡?。?丄3）=2 3 42. 6 / 2 宀6 3；8= 3(2,3,4)F 若R b丿(A+AB)=2(則怦3, A n階矩陣，對于齊決線性方程組= 若A申每行元黨之和均為零，且R（A）n-,剜方程組的通解是4.若四階矩陣AB相似，矩陣A的特征斷?坯兀%，%，則行列式5.若矩陣fQ0有3個緣性無莫的特征向，則丿a=二（15分）設(shè)n階矩釋求I上丨中所有元素的代數(shù)余壬期和龍竝三 15(2 1 0試問:昭工! -a2X2 +日3尤3 + 口4X4 =偽勺鳳+婦幻+傀羽+乞工4 =2*營竝宜5的通解是W內(nèi) + C2X2 + 5 羽 + t?4X4 = G占禺 +爲(wèi)冷+ 可+ 耳=久0）7.若令込

13、=（碣勺 J ）7（/ = 1,23.4,5）+ A（1 -1 （能否由勺，旳，勺線性叢示？（2）。4能否由兌廠厲幻線性乘示?井說明理由-2xr + （2 4- 口）屁寺十 2xn = 0 H （20分）設(shè)齊次線性方程組（n2）g 十 nx2 + + （” + a）xn = 0試問尬取何值時.該方程組有非零解.并求其通解.1 2 -五（20分） 設(shè)矩陣/= -1 4 -3的特征方程有一個二窶根，求乳的爲(wèi) 井討論A、1 a 5 星否可相似于対角陳.A （15分）已知實(shí)二次型fxx,x2,x3） = （斗笛*#理疣乃+ 4旺兀+牡出經(jīng)正交變換尤=/化為標(biāo)準(zhǔn)形求口的值;勞求出所朋的正交孌換R七共40

14、分，每小題1Q分） .罐證明：評是尸的子宇射求肖的基和維數(shù)；3.對任意脛嚀飭盧護(hù)求-氐切其中B =門、對任意脛嚀EQ0盧護(hù)其中證明cr是謁上的線性變換;I。1/銀 求線性a）=BrX-X!B在（2）中所求基下的矩陣武漢現(xiàn)兀丈學(xué)武漢理工大學(xué)2006年研究生入學(xué)考試試題課程代碼483課程名稱高等代數(shù)(共1頁，共8題，答題時不必抄題，標(biāo)明題目序號)填空題(25分，毎小題5分)I，設(shè) A,B 均為 n 階方陣，且曲 7 BBT 1/11 + 11=0,則+設(shè)/ = (%)為三階方陣，如=3吋列為引的代數(shù)余子式，已知A有特征值為i 1人=1,乂2 = 3,則 J-Z-T-3J-%9I設(shè)向量紐2 =(6衛(wèi)

15、+ 1,7卩，/5 =(2.2)kQ)r性栢關(guān)，且a工4則a =己知二次型/(兀，備壬帀彳+2遲+(1-約2召並選正空的，則參數(shù)k應(yīng)滿足的條件是二，(15分設(shè)矩陣A杓伴鶴矩陣.2 0 0 00 2 0 0 *1 00Q1(0 0 2 0,且矩陣A, B滿足(射曲=2川9 + 12,求矩陣B。三，(20 分)確定向量03 = (2, a, bf,使向量組Z?. =(1,1, 0/.=(1J,1) A 與向銀組=(0,1,1/, a2(l, 2,1) a3-(U0,-l)r的秩相同，且爲(wèi)可由叭宀5線性 表示。f 2 3、 四，(20分)已知三階方陣A的第一行是(a,b,c) ab,c,不全為零，矩

16、陣B= 2 4 6(3 6 k(k為常數(shù))且AB=0,求線性方程組AX=0的通解五，（20分，每小題5分）已知二階方陣A與三維列向HX,使向址組X.AX, /2_丫線 性無關(guān)且滿足A3X3AX-2A2X令P = （XtAXfA2X）tt 求三階方陣B,使 A = PBPX:求A的特征值；求可逆陣C,使CAC為對角形；求M + E|c六，（20 分）設(shè) V = * =（6）乂0；+勺2 =0 證明：V是r2x2的一個子空艮h &分2求V的維數(shù)與一卜基：0分）七，（20分）設(shè)J（40!w R 2d ,対任童As R %：，定義：三決）UB；證明：丁是RE的-個線性變換；5兮3,求R 2上的一個基，

17、愷T在該基下的矩陣為對角矩陣八R分）*八，（10分）設(shè)n維歐氏空間V的兩個子空間人和若汗的一個基為冏，心仃藝1）,匕的一個基為人,角，幾1）.證明y與召正交的允要條件是（勺，A） =0, （i=l. 2,r; 戸 12,s）.武漢理兀大李武漢理工大學(xué)2007年研究生入學(xué)考試試題課題代碼：483課程名稱：高等代數(shù)(共I頁，卻題，答題時不必抄題，標(biāo)明題目序號)、填空題(共5小題，每小題5分.共25分)1 0 P設(shè)矩陣0 2 0,且滿足 如十才+趴 其中E為三階是單位陣，則 、T 0 b TOC o 1-5 h z B=設(shè)用階方陣貿(mào)= (a)満足冊為正整數(shù)，E為冷階單位陣，又B = (A.)nt其中

18、A.為叫的代數(shù)余子式.則擴(kuò)_.設(shè)A為4階方陣稅A=3, 為A的伴隨矩陣，則A = 0的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為已知三階方陣盤的樸行元累之和均為1S則A有特征值 ”特企向量一一匚設(shè)A為三階可逆陣A交換第1列與第2列得到氐將B的第二列加到第3 列得到G則PA = C 1中的P =二、(15分 已知0 = (3、_2,_人廳不能由向量組隔=(1,-1再) 陽=(-6,10, a)r, cr4=(4,-L0,W)r 線性表示(D試求並f的值；(2求出向量組閔，吧,內(nèi),務(wù)的一個極大無關(guān)組，井將其雜向量由此極大無關(guān)組 線性表示。三、(20分)已知非齊次線性方程組JC|十也+可+石 =-4看+ 3工2 +

19、5兀-兀=一 1OC十眄+ 3心+叭=1有三個線性無關(guān)的解證明方程組系數(shù)矩陣A的秩R=2；求s仃的值及方程組的通解*四、（25分）設(shè)3階實(shí)對稱陣A的各行元素之和均為向量圧嚴(yán)（72-1廠 幻=（0, - J）r是線性方程紐Ax = 0的兩個解（1求A的特征值與特征向量；（2）求正交矩陣Q和對荊陣乩 使* （3）求沖及其中E為3階單位陣五、（20 分）設(shè)W =X，3+=0kX2l X22 ）（1）證明職是1!嗣（二階方陣的全體的子空間;（2）求護(hù)的基和維數(shù)；求A = P在所求基下的坐標(biāo)-5 3A.（25分） 在多項(xiàng)式空間列小中（円山表示次數(shù)乞2的多項(xiàng)式全體）設(shè)fi）Xi+x2i + x/t定義變換

20、卩1/“）=（勺+西）+（舟+3V + U十勿片（1）證明T是珥厲上的線性變換；（2）求T在基lj.f2下的矩陣】（3）求鬥須的個基，使T在此基下的矩陣為對角陣七、（20分） 設(shè)門錐實(shí)線性空間V的一個基為口，旳，中向量並0在 此基下的坐標(biāo)分別為佃形,工J, 4旳，必八定義（。0） = 兀為證 *1明；（1）V對（Z 0）構(gòu)成歐氏空間；（2）在此內(nèi)枳意義下.片禺，耳是歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)帀交基卩式漢理工大學(xué)丿武漢理工大學(xué)2008年研究生入學(xué)考試試應(yīng)課程代碼817（共2頁.共7 答題時不必抄課程名稱髙尊代數(shù)口 7 標(biāo)明超目序號丿“r眾爲(wèi).其中沙矩勺2,設(shè)n階可逆矩陣A滿足傘| =網(wǎng)/0則1 0 0o昇，

21、興S；0 0 0,3,設(shè)矩陣4,000、04、設(shè)A為4階方陣，且秩侶2,/為A的 量的個數(shù)為.若n階可逆矩陣A的每行元寮之 值為j,則矩陣3力-2腫有一個特征|+2,其中才是A的伴隨矩設(shè)A為3階方陣.A有三個不同的特征值對應(yīng)的特征向盤依次為 耳,勺,勺令0=匕+勺+ 6，證明：,a2p線性無玄.四、（20分）設(shè)3階實(shí)對稱陣A蹄征伽=也吆右=-2如（W是A的屬于入購一個特征向肚記力月、4力V其中E為3階單佗陣. 求B的全部待征值和特征向Al （N分）-（2）求矩陣B（6分）五、（20分） 設(shè) AeR六、（20分）（1）證明T地Rm上的一慮丫中定義（A2 2B)=工工叭,A.Rg R2-3 -i

22、/-IB）構(gòu)成歐氏空間：（1（）分）山陽構(gòu)成子空間一心蟲），求腫的-組基；（10分）應(yīng)用已知的妙和腫的基求腫的一個標(biāo)準(zhǔn)正沁遜分）武漢理工丸學(xué)武漢理工大學(xué)2009年研究生入學(xué)考試試題課程代碼 817課程名稱高等代數(shù)（共？頁共7題，答題時不必炒艦 標(biāo)胡題目序號）填空題（共導(dǎo)小JS*毎小麼磊分#共2聶分 仏設(shè)3砂矩陣4的特征值互不梅囲，若行列式口卜0則X的秩為2s 設(shè)（10-1）1 矩陣AaaTtar為既的轉(zhuǎn) 界為iESSt Wl|2-|=3“設(shè)閔冋耳;你九爲(wèi)是疋的兩粗基*且p嚴(yán)a十 j 爲(wèi)=2a嚴(yán)丐-硯0嚴(yán)創(chuàng)+2如-再劇由幾第屆到阿冋曲的過直矩莽為. 4、設(shè)兒B為3階菲零矩陣，B的每個列囪量均為X

23、X = （1,0,0/ 驚軼_職設(shè)二次壁/（坷,引屯）=彳+喝+Xj +2（可巧-屯屯二件航）勒氐 炭HHWIHWW6 hM a -*二（30分冀3小IL毎小H10） 設(shè)“元嵯性方程給銘=6.其中 % 1a1 2a 1K用敷學(xué)卿納漱呷掙敵魂M|=S+l）a%當(dāng)囪為何恤時*井求和3*雷*浚何但畔該方程組有無勞多解.并求通Ik玉會0分.共2鈿8.每小題怡分矽為3階矩陣*的嗎為蟲的分別廉于特征值-1J 輸特征向 向磅満足Aak il朗：apa2,tfe性無關(guān)2令pH(偽，函J *求PAP釀C2D分.共2力題.第丁小題8分，M2 48 12分） / 4 c設(shè)D = lc J為正定矩陣其中分別為肺毗 加

24、階對稱矩陣# C為mxn9ftf 陣.K計(jì)算嚴(yán)M其中尸耳C（1垃丿2利用本題（1）的結(jié)果料斷矩陣號-crc理否為正定矩陣，井譚爾稱的緒論.五、（20分*共2小題.每小810）已知尸=（；）命護(hù)=“滬*府=刃j K證KB琢是田（2初障的全體的子卿h Z求臚的維效和一坦碁.沁（20分.共2小風(fēng) 第1小題呂俗 尊2血F櫓分）已知0 = ：時靜?聲曲7求=（；:*和+巧嚴(yán)0上的變換T為TX）二圧& 二丈工 X e W）K SfflrftfF的塞變1石2.求齊的一緝JL fefWT的矩降為対滋陣，七.世分*嶽g小脈第1小SR分.第2創(chuàng)H7分）沁輒護(hù)瀾子空間刃R珂；:：卜 MVT = PJ0E吃。必*址！ 1K=fu leFF, EIF定義(Xt3 yn)證陰護(hù)對定義的（X, /）構(gòu)成歐氏空間辛2、求護(hù)中的一組標(biāo)準(zhǔn)IE交基武漢理工大學(xué)武漢理工大學(xué)2010年研究生入學(xué)考試試題課程代碼伯課程名稱一葛尊代數(shù)共】頁，其8題，答題時不必抄題，標(biāo)明題目序號)填空題(共2$分.共5小題，每小題3分t-設(shè)蟲均為2階方陣” C分別為心8的伴隨矩眸，若國=2,岡=3,則分塊矩陣 (0 A TOC o 1-5 h