2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題-專題26-幾何證明綜合復(fù)習(xí)(判定四邊形形狀-菱形)(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專題26 幾何證明綜合復(fù)習(xí)（判定四邊形形狀-菱形）教學(xué)重難點(diǎn)1.培養(yǎng)學(xué)生通過探索和證明，發(fā)展推理意識和能力2.通過證明舉例的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，懂得演繹推理的一般規(guī)則，并掌握規(guī)范表達(dá)的格式；了解證明之前進(jìn)行分析的基本思路；3.體會用“分析綜合法”探求解題思路；4.學(xué)習(xí)添置輔助線的基本方法，會添置常見的輔助線；5.會用文字語言、圖形語言、符號語言三種數(shù)學(xué)語言進(jìn)行證明說理。【說明】：本部分為知識點(diǎn)方法總結(jié)性梳理，目的在于讓學(xué)生能從題目條件和所證明結(jié)論，去尋找證明思路，用時大概5-8

2、分鐘左右。【知識點(diǎn)、方法總結(jié)】：中考幾何題證明思路總結(jié)幾何證明題重點(diǎn)考察的是學(xué)生的邏輯思維能力，能通過嚴(yán)密的因?yàn)?、所以邏輯將條件一步步轉(zhuǎn)化為所要證明的結(jié)論。這類題目出法相當(dāng)靈活，不像代數(shù)計算類題目容易總結(jié)出固定題型的固定解法，而更看重的是對重要模型的總結(jié)、常見思路的總結(jié)。所以本文對中考中最常出現(xiàn)的若干結(jié)論做了一個較為全面的思路總結(jié)。一、證明兩線段相等 1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。 2.同一三角形中等角對等邊。 3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。 4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。 5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。 6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距

3、離相等。 7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。 9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。 10.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。 11.等于同一線段的兩條線段相等。二、證明兩角相等1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。2.同一三角形中等邊對等角。3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等；7.相似三角形的對應(yīng)角相等；8

4、.等于同一角的兩個角相等。三、證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3.平行四邊形的對邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。四、證明兩直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條

5、。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對角線互相垂直。10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙摇?1.利用半圓上的圓周角是直角。五、證明線段的和、差、倍、分1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。 2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。4.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。六、證明角的和、差、倍、分

6、1.作兩個角的和，證明與第三角相等。2.作兩個角的差，證明余下部分等于第三角。3.利用角平分線的定義。4.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。七、證明兩線段不等1.同一三角形中，大角對大邊。2.垂線段最短。3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。八、證明兩角不等1.同一三角形中，大邊對大角。2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。九、證明比例式或等積式1.利

7、用相似三角形對應(yīng)線段成比例。2.利用內(nèi)外角平分線定理。3.平行線截線段成比例。4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。5.與圓有關(guān)的比例定理-相交弦定理、切割線定理及其推論。6.利用比利式或等積式化得。 以上九項(xiàng)是中考幾何證明題中最常出現(xiàn)的內(nèi)容，只要掌握了對應(yīng)的方法，再根據(jù)題目中的條件進(jìn)行合理選擇，攻克難題不再是夢想！1.（2019楊浦區(qū)二模）已知：如圖，在中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，、的延長線相交于點(diǎn)，連接、求證：（1）四邊形是菱形；（2）四邊形是正方形【整體分析】（1）由三角形中位線知識可得，根據(jù)菱形的判定的判定可得四邊形是菱形；（2）連結(jié)，交于點(diǎn)，利用平行四邊形的對角

8、線互相平分可得，又，所以再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形得證四邊形是菱形，再根據(jù)一組鄰邊相等的菱形即可求解【滿分解答】證明：（1）點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，又點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，同理：四邊形是平行四邊形，連結(jié)，交于點(diǎn)，四邊形是菱形；（2）四邊形是平行四邊形，又，即：四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形2.（2020靜安區(qū)一模）18.如圖，有一菱形紙片ABCD，A60，將該菱形紙片折疊，使點(diǎn)A恰好與CD的中點(diǎn)E重合，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上，聯(lián)結(jié)EF，那么cosEFB的值為_【整體分析】連接BE，由菱形和折疊的性質(zhì)，得到AF=EF，C=A=60，由cosC=，得到BCE是直角三角形，則，則

9、BEF也是直角三角形，設(shè)菱形的邊長為，則EF=，由勾股定理，求出FB=，則，即可得到cosEFB的值.【滿分解答】解：如圖，連接BE，四邊形ABCD是菱形，AB=BC=CD，C=A=60，ABDC，由折疊的性質(zhì)，得AF=EF，則EF=ABFB，cosC=，點(diǎn)E是CD的中線，BCE是直角三角形，即BECD，BEAB，即BEF是直角三角形.設(shè)BC=m，則BE=，在RtBEF中，EF=，由勾股定理，得：,，解得：，則，；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，從而利用解直角三角形進(jìn)行解題.

10、3.（2017上海）已知：如圖，四邊形中，是對角線上一點(diǎn)，且（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果，且，求證：四邊形是正方形【整體分析】（1）首先證得，由全等三角形的性質(zhì)可得，由可得，易得，可得，易得，利用平行線的判定定理可得四邊形為平行四邊形，由可得四邊形是菱形；（2）由可得為等腰三角形，可得，利用三角形的內(nèi)角和定理可得，易得，可得，由正方形的判定定理可得四邊形是正方形【滿分解答】證明：（1）在與中，四邊形為平行四邊形，四邊形是菱形；（2），四邊形是菱形，四邊形是正方形已知：如圖，在中，的平分線交于，垂足為，連結(jié)，交于點(diǎn)。（1）求證：；（2）如過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，猜想四邊形是什么圖形？并證明你

11、的猜想。 F【解法點(diǎn)撥】可參考以下方法引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題 一.尋找題目中的已知量和特殊條件： 1.邊的關(guān)系：，平分； 2.角的關(guān)系：，；二證明：根據(jù)題目中的條件，聯(lián)想到用全等證明，證明ACDAED可得。三判斷四邊形是什么圖形：根據(jù)得FH=HD ；再結(jié)合得四邊形是菱形?！緷M分解答】證明：（1），的平分線交于， 在ACD和AED中ACDAEDAC=AE（2）四邊形是菱形。（如上右圖） AC=AE， CH=HE，F(xiàn)H=HD四邊形是菱形. 5.已知：如圖，在梯形中，AD / BC，點(diǎn)E、F在邊BC上，DE / AB，AF / CD，且四邊形是平行四邊形。（1）試判斷線段與的長度之間有怎樣的數(shù)量

12、關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）現(xiàn)有三個論斷：AD = AB；B +C= 90；B = 2C。請從上述三個論斷中選擇一個論斷作為條件，證明四邊形是菱形?！窘夥c(diǎn)撥】可參考以下方法引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題 一.尋找題目中的已知量和特殊條件： 1.邊的關(guān)系：AD / BC，DE / AB，AF / CD ； 2.特殊圖形：梯形，平行四邊形。 二.試判斷線段與的長度之間的數(shù)量關(guān)系：分別證明四邊形和是平行四邊形，即可得到。 三.選擇條件，證明四邊形是菱形：選擇條件，證明四邊形有一組鄰邊相等即可?！緷M分解答】（1）解：線段AD與BC的長度之間的數(shù)量為：證明： AD / BC，DE / AB， 四邊形是平行

13、四邊形 AD = BE同理可證，四邊形AFCD是平行四邊形即得 AD = FC又 四邊形AEFD是平行四邊形， AD = EF AD = BE = EF = FC （2）解：選擇論斷作為條件證明： DE / AB， B =DEC B +C = 90， DEC +C = 90即得 EDC = 90又 EF = FC， DF = EF 四邊形AEFD是平行四邊形， 四邊形AEFD是菱形。6.如圖，四邊形中，點(diǎn)在的延長線上，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DB ，且。(1) 求證：；（2）當(dāng)平分時，求證：四邊形是菱形。【解法點(diǎn)撥】可參考以下方法引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題 一.尋找題目中的已知量和特殊條件： 1.邊

14、的關(guān)系：，； 2.角的關(guān)系：。 二.證明：用題目中的條件證明即可。 三.求證四邊形是菱形： 1.先用角度相等證明，結(jié)合得到四邊形是平行四邊形； 2.再用角平分線證明，得到四邊形是菱形?！緷M分解答 （1）證明：， ， ，（如右上圖）又， 又，四邊形是平行四邊形， 平分， 四邊形是菱形。 1.（2018閔行區(qū)二模）已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是A當(dāng)時，四邊形是菱形B當(dāng)時，四邊形是菱形C當(dāng)時，四邊形是矩形D當(dāng)時，四邊形是正方形【分析】根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形【解答】解：、根據(jù)鄰邊

15、相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形是平行四邊形，當(dāng)時，它是菱形，故本選項(xiàng)錯誤；、根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形知：當(dāng)時，四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯誤；、根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形知：當(dāng)時，四邊形是矩形，故本選項(xiàng)錯誤；、根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知：當(dāng)時，它是矩形，不是正方形，故本選項(xiàng)正確；綜上所述，符合題意是選項(xiàng)；故選：2.（2019松江區(qū)二模）如圖，已知中，垂足為點(diǎn)，延長、交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)（1）求證：四邊形是菱形；（2）聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，如果，求證：【分析】（1）首先證明四邊形是平行四邊形，再證明即可解決問題（2）證明，可得解決問題【解答】（1）證明：，四邊形是平行四邊形，四邊

16、形是平行四邊形，四邊形是菱形（2）解：連接交于四邊形是菱形，3.如圖，在四邊形中，平分，。（1）求證：四邊形是等腰梯形； （2）取邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)。求證：四邊形是菱形。 【解法點(diǎn)撥】可參考以下方法引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題 一.尋找題目中的已知量和特殊條件： 1.邊的關(guān)系：，； 2.角的關(guān)系：平分，。 二.證明四邊形是等腰梯形： 1.用平分和證明； 2.在說明與不平行即可。 三.求證四邊形是菱形：用直接三角形的性質(zhì)證明先證明四邊形是平行四邊形，再結(jié)合得到?！緷M分解答】證明：（1）， 平分， ，在中，, ， 與不平行， 四邊形是等腰梯形 （2）， 在中，,，四邊形是平行四邊形四邊形是菱形。4.如圖，已知，。 （1）求證：四邊形為平行四邊形； （2）聯(lián)結(jié)GD，若GB=GD，求證：四邊形ABCD為菱形?！窘夥c(diǎn)撥】可參考以下方法引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題 一.尋找題目中的已知量和特殊條件： 1.邊的關(guān)系：，。 二