全國大學生數(shù)學競賽決賽試卷（數(shù)學三四年級）

1、第六屆中國大學生數(shù)學競賽決賽三 四年級試卷(數(shù)學類，2015年3月)考試形式：閉卷考試時間：180分鐘滿分：100分題號一二三四五總分滿分20151520101010100得分注意：1.前5大題是必答題，再從6-11大題中任選兩題，題號要填入上面的表中.所有答題都須寫在此試卷紙密封線右邊，寫在其它紙上一律無效.密封線左邊請勿答題，密封線外不得有姓名及相關(guān)標記.如答題空白不夠，可寫在當頁背面，并標明題號.得分評閱人一、(本題20分，每小題5分)填空題(2) ?數(shù) 力3的和為-(1)實二次型2X1X2 X1X3 + 5x2X3的規(guī)范型為(3)計算第一型曲面積分的值:( X 2 + 2 y 2 +

2、3 z 2 ) d Sx2+y2+z2=1(4) A = (aij)為3階實對稱矩陣(n 1), rank(A) = n 1, A的每行元素之和均 為0.設(shè)2, 3,.,n為A的全部非零特征值.用An表示A的元素an所對應的代數(shù) 余子式.則有An =得分評閱人二、（本題15分）設(shè)空間中定點P到一定直線l的距 離為p. 一族球面中的每個球面都過點P,且截直線l得到 的弦長都是定值a.求該球面族的球心的軌跡.得分評閱人三、（本題15分）設(shè)rz1 z2-Z2ZiZi, Z2 G C其中C表示復數(shù)域.試證明：VA G r, A的Jordan標準形Ja仍然屬于r；進一步還存在可逆矩陣p G r使得P-i

3、AP = JA.得分評閱人四、（本題20分）設(shè)f(x)1x sin ,x0,x = 0;x = 0.求滿足不等式的最大常數(shù)a.0, a(t) 2 1, Vt G R. j0 f (t)dt = +x.已知 C2 函數(shù) x(t) 滿足x(t) + a(t)f (x(t) W 0, Vt G R.求證：x(t)在0, +x)有上界.得分評閱人的非常值整函數(shù)f (z).求滿足方(1)六、(本題10分)設(shè)a,b是兩個不同的復數(shù).(尸(z)2 = (f (z) a)(f(z) b)姓名: 準考證號:所在院校:考生座位號:專業(yè)：O 密封線答題時不要超過此線O港11+ ,(井関5) 5S 淞用一 FsLgs

4、ch 亍醫(yī) L-schi-tz彗涉 K)-Mm*sLebesgue 到角=淋 E G 洛期 A K 771(E) Mn_u mLebesgue得分評閱人八、(本題10分)設(shè)三維空間的曲面S滿足： P0 = (0, 0, -1) G S;對任意P G S OP 1.得分評閱人九、（本題10分）考慮求解線性方程組Ax = b的如下 迭代格式（aD - C）x（k+1） = （a - 1）D + CT）x（k）+ b,其中D為實對稱正定方陣，C是滿足C + CT = D - A的實方陣，a為實數(shù).若A 是實對稱正定方陣，且aD - C可逆，a 1/2.證明：上述迭代格式對任何初始向 量x（0）收斂.得分評閱人十、（本題10分）設(shè)R為0,1上的連續(xù)函數(shù)環(huán)，其 加法為普通的函數(shù)加法，乘法為普通的函數(shù)乘法.I為R 的一個極大左理想.證明：Vf,g g I, f與g在0,1上必 有公共的零點.得分評閱人十一、本題10分）設(shè)在國際市場上對我國某種出 口商品每年的需求量X （單位：噸）是隨機變量，X服從 100, 200上的均勻分布.每