MATLAB精品教程課件 第13講 插值

1、數(shù)學建模與數(shù)學實驗后勤工程學院數(shù)學教研室 插 值1實驗目的實驗內(nèi)容2、掌握用數(shù)學軟件包求解插值問題。1、了解插值的基本內(nèi)容。1一維插值2二維插值3實驗作業(yè)2拉格朗日插值分段線性插值三次樣條插值一 維 插 值一、插值的定義二、插值的方法三、用Matlab解插值問題返回3返回二維插值一、二維插值定義二、網(wǎng)格節(jié)點插值法三、用Matlab解插值問題最鄰近插值分片線性插值雙線性插值網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值散點數(shù)據(jù)的插值4一維插值的定義已知 n+1個節(jié)點其中互不相同，不妨設求任一插值點處的插值節(jié)點可視為由產(chǎn)生,，表達式復雜,，或無封閉形式,，或未知.。5 構(gòu)造一個(相對簡單的)函數(shù)通過全部節(jié)點, 即再用計算插值

2、，即返回6 稱為拉格朗日插值基函數(shù)。 已知函數(shù)f(x)在n+1個點x0,x1,xn處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 。求一n次多項式函數(shù)Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解決此問題的拉格朗日插值多項式公式如下其中Li(x) 為n次多項式：拉格朗日(Lagrange)插值7拉格朗日(Lagrange)插值特別地:兩點一次(線性)插值多項式:三點二次(拋物)插值多項式:8 拉格朗日多項式插值的這種振蕩現(xiàn)象叫 Runge現(xiàn)象 采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)，當n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結(jié)果圖形.例返回To Matl

3、ablch(larg1)9分段線性插值計算量與n無關;n越大，誤差越小.xjxj-1xj+1x0 xnxoy10To MATLABxch11，xch12，xch13，xch14返回例用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.1.在-6,6中平均選取5個點作插值(xch11)4.在-6,6中平均選取41個點作插值(xch14)2.在-6,6中平均選取11個點作插值(xch12)3.在-6,6中平均選取21個點作插值(xch13)11比分段線性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。 光滑性的階次越高，則越光滑。

4、是否存在較低次的分段多項式達到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個很好的例子。三次樣條插值12 三次樣條插值g(x)為被插值函數(shù)。13例用三次樣條插值選取11個基點計算插值(ych)返回To MATLABych(larg1)14用MATLAB作插值計算一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法被插值點插值節(jié)點xi處的插值結(jié)果nearest ：最鄰近插值linear ： 線性插值；spline ： 三次樣條插值；cubic ： 立方插值。缺省時： 分段線性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過x的范圍。15 例：在1-12的11小時內(nèi)，

5、每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值。To MATLAB(temp)hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)16xy機翼下輪廓線例 已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改

6、變0.1時的y值。To MATLAB(plane)返回17二維插值的定義xyO第一種（網(wǎng)格節(jié)點）：18 已知 mn個節(jié)點 其中互不相同，不妨設 構(gòu)造一個二元函數(shù)通過全部已知節(jié)點,即再用計算插值，即19第二種（散亂節(jié)點）：yx020已知n個節(jié)點其中互不相同， 構(gòu)造一個二元函數(shù)通過全部已知節(jié)點,即再用計算插值，即返回21 注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。最鄰近插值xy(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O 二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點最鄰近的節(jié)點的函數(shù)值即為所求。返回22 將四個插值點（矩形的四個頂點）處的函數(shù)值依次簡記為：

7、 分片線性插值xy(xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)Of (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f423插值函數(shù)為：第二片(上三角形區(qū)域)：(x, y)滿足插值函數(shù)為：注意：(x, y)當然應該是在插值節(jié)點所形成的矩形區(qū)域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；分兩片的函數(shù)表達式如下：第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足返回24 雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。雙線性插值函數(shù)的形式如下：其中有四個待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個頂點（插值節(jié)點）的函數(shù)值，得到四

8、個代數(shù)方程，正好確定四個系數(shù)。雙線性插值xy(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O返回25 要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點插值方法用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值nearest 最鄰近插值linear 雙線性插值cubic 雙三次插值缺省時, 雙線性插值26例：測得平板表面3*5網(wǎng)格點處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 試作出平

9、板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)的圖形。輸入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三維坐標畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲圖.2以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個單位的地方進行插值.27再輸入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)畫出插值后的溫度分布曲面圖. To MATLAB(wendu)28 通過此例對最近鄰點插值、雙線性插值方法和雙三次插值方法的插值效果進行比較。To MATLAB (moutain)返回29 插值函數(shù)griddata格式為: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）用MATLAB作散點數(shù)據(jù)的插值計算 要求cx取行向量，cy取為列向量。被插值點插值方法插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值nearest 最鄰近插值linear 雙線性插值cubic 雙三次插值v4- Matlab提供的插值方法缺省時, 雙線性插值30 例 在某海域測得一些點(x,y)處的水深z由下表給出，船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域（75，200）*