2014屆高考數學一輪復習教學案(基礎知識+高頻考點+解題訓練)圓的方程

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)圓_的_方_程知識能否憶起1圓的定義及方程定義平面內與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圓心：eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)，半徑：eq f(1,2)eq r(D2E24F)2點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若

2、M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內，則(x0a)2(y0b)2r2.小題能否全取1(教材習題改編)方程x2y24mx2y5m0表示圓的充要條件是()A.eq f(1,4)m1Bmeq f(1,4)或m1Cmeq f(1,4) Dm1解析：選B由(4m)2445m0得meq f(1,4)或m1.2(教材習題改編)點(1,1)在圓(xa)2(ya)24內，則實數a的取值范圍是()A(1,1) B(0,1)C(，1)(1，) D(1，)解析：選A點(1,1)在圓的內部，(1a)2(1a)24，1a1.3圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的

3、方程為()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21解析：選A設圓心坐標為(0，b)，則由題意知eq r(012b22)1，解得b2，故圓的方程為x2(y2)21.4(2012濰坊調研)圓x22xy230的圓心到直線xeq r(3)y30的距離為_解析：圓心(1,0)，deq f(|13|,r(13)1.答案：15(教材習題改編)圓心在原點且與直線xy20相切的圓的方程為_解析：設圓的方程為x2y2a2(a0)eq f(|2|,r(11)a，aeq r(2)，x2y22.答案：x2y221.方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是：(1)B0

4、；(2)AC0；(3)D2E24AF0.2求圓的方程時，要注意應用圓的幾何性質簡化運算(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上(2)圓心在任一弦的中垂線上(3)兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線圓的方程的求法典題導入例1(1)(2012順義模擬)已知圓C關于y軸對稱，經過點(1,0)且被x軸分成兩段弧長之比為12，則圓C的方程為()A.eq blc(rc)(avs4alco1(xf(r(3),3)2y2eq f(4,3)B.eq blc(rc)(avs4alco1(xf(r(3),3)2y2eq f(1,3)Cx2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(r(3),3)2eq f(4

5、,3) Dx2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(r(3),3)2eq f(1,3)(2)已知圓C經過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為_自主解答(1)由已知知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為eq f(2,3)，設圓心(0，b)，半徑為r，則rsineq f(,3)1，rcoseq f(,3)|b|，解得req f(2,r(3)，|b|eq f(r(3),3)，即beq f(r(3),3).故圓的方程為x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(r(3),3)2eq f(4,3).(2)圓C的方程為x2y2DxF0，則eq blcrc (

6、avs4alco1(265DF0，,10DF0，)解得eq blcrc (avs4alco1(D4，,F6.)圓C的方程為x2y24x60.答案(1)C(2)x2y24x60由題悟法1利用待定系數法求圓的方程關鍵是建立關于a，b，r或D，E，F的方程組2利用圓的幾何性質求方程可直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程，體現了數形結合思想的運用以題試法1(2012浙江五校聯考)過圓x2y24外一點P(4,2)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則ABP的外接圓的方程是()A(x4)2(y2)21Bx2(y2)24C(x2)2(y1)25 D(x2)2(y1)25解析：選D易知圓心為坐標原點O，根據圓的

7、切線的性質可知OAPA，OBPB，因此P，A，O，B四點共圓，PAB的外接圓就是以線段OP為直徑的圓，這個圓的方程是(x2)2(y1)25.與圓有關的最值問題典題導入例2(1)(2012湖北高考)過點P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域(x，y)|x2y24分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為()Axy20 By10Cxy0 Dx3y40(2)P(x，y)在圓C：(x1)2(y1)21上移動，則x2y2的最小值為_自主解答(1)當圓心與P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件圓心O與P點連線的斜率k1，直線OP垂直于xy20.(2)由C(1,1)得|OC|eq r(2)，則|OP|

8、mineq r(2)1，即(eq r(x2y2)mineq r(2)1.所以x2y2的最小值為(eq r(2)1)232eq r(2).答案(1)A(2)32eq r(2)由題悟法解決與圓有關的最值問題的常用方法(1)形如ueq f(yb,xa)的最值問題，可轉化為定點(a，b)與圓上的動點(x，y)的斜率的最值問題(如A級T9)；(2)形如taxby的最值問題，可轉化為動直線的截距的最值問題(如以題試法2(2)；(3)形如(xa)2(yb)2的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的最值問題(如例(2)以題試法2(1)(2012東北三校聯考)與曲線C：x2y22x2y0相內切，同時又與直線l：y

9、2x相切的半徑最小的圓的半徑是_(2)已知實數x，y滿足(x2)2(y1)21則2xy的最大值為_，最小值為_解析：(1)依題意，曲線C表示的是以點C(1，1)為圓心，eq r(2)為半徑的圓，圓心C(1，1)到直線y2x即xy20的距離等于eq f(|112|,r(2)2eq r(2)，易知所求圓的半徑等于eq f(2r(2)r(2),2)eq f(3r(2),2).(2)令b2xy，則b為直線2xyb在y軸上的截距的相反數，當直線2xyb與圓相切時，b取得最值由eq f(|221b|,r(5)1.解得b5eq r(5)，所以2xy的最大值為5eq r(5)，最小值為5eq r(5).答案：

10、(1)eq f(3r(2),2)(2)5eq r(5)5eq r(5)與圓有關的軌跡問題典題導入例3(2012正定模擬)如圖，已知點A(1,0)與點B(1,0)，C是圓x2y21上的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|BC|，求AC與OD的交點P的軌跡方程自主解答設動點P(x，y)，由題意可知P是ABD的重心由A(1,0)，B(1,0)，令動點C(x0，y0)，則D(2x01,2y0)，由重心坐標公式得eq blcrc (avs4alco1(xf(112x01,3)，,yf(2y0,3)，)則eq blcrc (avs4alco1(x0f(3x1,2)，,y0f(3y,2)y00，)代入x2

11、y21，整理得eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,3)2y2eq f(4,9)(y0)，故所求軌跡方程為eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,3)2y2eq f(4,9)(y0)由題悟法求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程(2)定義法：根據直線、圓、圓錐曲線等定義列方程(3)幾何法：利用圓與圓的幾何性質列方程(4)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等以題試法3(2012鄭州模擬)動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，則動點P的軌跡方程為()Ax2y232B

12、x2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216解析：選B設P(x，y)，則由題意可得2eq r(x22y2)eq r(x82y2)，化簡整理得x2y216.1圓(x2)2y25關于原點P(0,0)對稱的圓的方程為()A(x2)2y25Bx2(y2)25C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25解析：選A圓上任一點(x，y)關于原點對稱點為(x，y)在圓(x2)2y25上，即(x2)2(y)25.即(x2)2y25.2(2012遼寧高考)將圓x2y22x4y10平分的直線是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30解析：選C要使直線平分圓，只要直線經過圓的圓心即可，圓心坐標為(1

13、,2)A，B，C，D四個選項中，只有C選項中的直線經過圓心3(2012青島二中期末)若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x3y0和x軸都相切，則該圓的標準方程是()A(x3)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(7,3)21 B(x2)2(y1)21C(x1)2(y3)21 D.eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)2(y1)21解析：選B依題意設圓心C(a,1)(a0)，由圓C與直線4x3y0相切，得eq f(|4a3|,5)1，解得a2，則圓C的標準方程是(x2)2(y1)21.4(2012海淀檢測)點P(4，2)與圓x2y24上任一點連線的中點的軌跡

14、方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析：選A設圓上任一點為Q(x0，y0)，PQ的中點為M(x，y)，則eq blcrc (avs4alco1(xf(4x0,2)，,yf(2y0,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(x02x4，,y02y2.)因為點Q在圓x2y24上，所以(2x4)2(2y2)24，即(x2)2(y1)21.5(2013杭州模擬)若圓x2y22x6y5a0，關于直線yx2b成軸對稱圖形，則ab的取值范圍是()A(，4) B(，0)C(4，) D(4，)解析：選A將圓的方程變形為(x1)

15、2(y3)2105a，可知，圓心為(1，3)，且105a0，即a2.圓關于直線yx2b對稱，圓心在直線yx2b上，即312b，解得b2，ab4.6已知點M是直線3x4y20上的動點，點N為圓(x1)2(y1)21上的動點，則|MN|的最小值是()A.eq f(9,5) B1C.eq f(4,5) D.eq f(13,5)解析：選C圓心(1，1)到點M的距離的最小值為點(1，1)到直線的距離deq f(|342|,5)eq f(9,5)，故點N到點M的距離的最小值為d1eq f(4,5).7如果三角形三個頂點分別是O(0,0)，A(0,15)，B(8,0)，則它的內切圓方程為_解析：因為AOB是

16、直角三角形，所以內切圓半徑為req f(|OA|OB|AB|,2)eq f(15817,2)3，圓心坐標為(3,3)，故內切圓方程為(x3)2(y3)29.答案：(x3)2(y3)298(2013河南三市調研)已知圓C的圓心與拋物線y24x的焦點關于直線yx對稱，直線4x3y20與圓C相交于A，B兩點，且|AB|6，則圓C的方程為_解析：設所求圓的半徑是R，依題意得，拋物線y24x的焦點坐標是(1,0)，則圓C的圓心坐標是(0,1)，圓心到直線4x3y20的距離deq f(|40312|,r(4232)1，則R2d2eq blc(rc)(avs4alco1(f(|AB|,2)210，因此圓C的

17、方程是x2(y1)210.答案：x2(y1)2109(2012南京模擬)已知x，y滿足x2y21，則eq f(y2,x1)的最小值為_解析：eq f(y2,x1)表示圓上的點P(x，y)與點Q(1,2)連線的斜率，所以eq f(y2,x1)的最小值是直線PQ與圓相切時的斜率設直線PQ的方程為y2k(x1)即kxy2k0.由eq f(|2k|,r(k21)1得keq f(3,4)，結合圖形可知，eq f(y2,x1)eq f(3,4)，故最小值為eq f(3,4).答案：eq f(3,4)10過點C(3,4)且與x軸，y軸都相切的兩個圓的半徑分別為r1，r2，求r1r2.解：由題意知，這兩個圓的

18、圓心都在第一象限，且在直線yx上，故可設兩圓方程為(xa)2(ya)2a2，(xb)2(yb)2b2，且r1a，r2b.由于兩圓都過點C，則(3a)2(4a)2a2，(3b)2(4b)2b2即a214a250，b214b250.則a、b是方程x214x250的兩個根故r1r2ab25.11已知以點P為圓心的圓經過點A(1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|4eq r(10).(1)求直線CD的方程；(2)求圓P的方程解：(1)直線AB的斜率k1，AB的中點坐標為(1,2)則直線CD的方程為y2(x1)，即xy30.(2)設圓心P(a，b)，則由P在CD上得ab

19、30.又直徑|CD|4eq r(10)，|PA|2eq r(10)，(a1)2b240.由解得eq blcrc (avs4alco1(a3，,b6)或eq blcrc (avs4alco1(a5，,b2.)圓心P(3,6)或P(5，2)圓P的方程為(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.12(2012吉林摸底)已知關于x，y的方程C：x2y22x4ym0.(1)當m為何值時，方程C表示圓；(2)在(1)的條件下，若圓C與直線l：x2y40相交于M、N兩點，且|MN|eq f(4r(5),5)，求m的值解：(1)方程C可化為(x1)2(y2)25m，顯然只要5m0，即m5時方程C表示

20、圓(2)因為圓C的方程為(x1)2(y2)25m，其中m5，所以圓心C(1,2)，半徑req r(5m)，則圓心C(1,2)到直線l：x2y40的距離為deq f(|1224|,r(1222)eq f(1,r(5)，因為|MN|eq f(4r(5),5)，所以eq f(1,2)|MN|eq f(2r(5),5)，所以5meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(5)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(5),5)2，解得m4.1(2012常州模擬)以雙曲線eq f(x2,6)eq f(y2,3)1的右焦點為圓心且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是()A(xeq r(3

21、)2y21 B(x3)2y23C(xeq r(3)2y23 D(x3)2y29解析：選B雙曲線的漸近線方程為xeq r(2)y0，其右焦點為(3,0)，所求圓半徑req f(|3|,r(12r(2)2)eq r(3)，所求圓方程為(x3)2y23.2由直線yx2上的點P向圓C：(x4)2(y2)21引切線PT(T為切點)，當|PT|最小時，點P的坐標是()A(1,1) B(0,2)C(2,0) D(1,3)解析：選B根據切線長、圓的半徑和圓心到點P的距離的關系，可知|PT|eq r(|PC|21)，故|PT|最小時，即|PC|最小，此時PC垂直于直線yx2，則直線PC的方程為y2(x4)，即y

22、x2，聯立方程eq blcrc (avs4alco1(yx2，,yx2，)解得點P的坐標為(0,2)3已知圓M過兩點C(1，1)，D(1,1)，且圓心M在xy20上(1)求圓M的方程；(2)設P是直線3x4y80上的動點，PA、PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值解：(1)設圓M的方程為(xa)2(yb)2r2(r0)根據題意，得eq blcrc (avs4alco1(1a21b2r2，,1a21b2r2，,ab20.)解得ab1，r2，故所求圓M的方程為(x1)2(y1)24.(2)因為四邊形PAMB的面積SSPAMSPBMeq f(1,2)|AM|PA|eq f(1,2)|BM|PB|，又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以S2|PA|，而|PA|eq r(|PM|2|AM|2)eq r(|PM|24)，即S2eq r(|PM|24).因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x4y80上找一點P，使得|PM|的值最小，所以|PM|mineq f(|31418|,r(3242)3，所以四邊形PAMB面積的最小值為S2eq r(|PM|oal(2,min)4)2eq r(324)2eq r(5).1在圓x2y22x6y0內，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊