1083幾何基礎(chǔ)-國家開放大學(xué)2020年1月至2020年7月期末考試試題及答案（202001-202007共2套）

1、試卷代號(hào)：1083 座位號(hào)國家開放大學(xué)2 0 1 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試幾何基礎(chǔ)試題（半開卷）2020年1月一、選擇題（每小題4分，本題共20分）1. y軸的齊次線坐標(biāo)為( ) A1，0，0 B1，1，0 C0，1，O D1，1，12若點(diǎn)P在二次曲線上，那么它的極線一定是的( ) A直徑 B切線 C半徑 D漸近線3( )對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定兩個(gè)點(diǎn)列間射影 A3 B1 C4 D24仿射變換把三角形的中位線變成( ) A中位線 B中線 c高線 D角分線5若(AB，CD)=-1，則A，B，C，D四點(diǎn)( ) A不共線 B重合 C等距 D調(diào)和共軛二、填空題（每小題4分，本題共20分）6菱形在仿射變換下變成

2、_7射影對(duì)應(yīng)把正方形對(duì)角線變成8不重合的_對(duì)對(duì)應(yīng)元素確定唯一一個(gè)對(duì)合對(duì)應(yīng)9設(shè)a=（1，0，-1，b=1，-1，o，則口與苔的夾角為_10由配極原則可知，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極線一定通過_三、計(jì)算題（每小題10分共30分）11.求過兩直線x-y+2=0與x+y-1=0的交點(diǎn)和點(diǎn)(1，l，1)的直線方程.12求二次曲線3x12+ 2x22+x1x2+ x2x3=0與x軸的交點(diǎn)，并求出過交點(diǎn)的切線方程13求四點(diǎn)A（2，1，-1），B（1，-1，1），C(1，0，0)，D（1，5,-5）的交比(AB ,CD)四、證明題（每小題10分，共30分）14試證明，以任意三角形的三條中線為邊可做一個(gè)三角形第14題圖 15

3、設(shè)XYZ是完全四點(diǎn)形ABCD的對(duì)邊三點(diǎn)形,XZ分別交AC，BD于L，M證明YZ，BL，CM共點(diǎn) 第15題圖 16若三角形ABC的三邊AB、BC、CA分別通過共線的三點(diǎn)P，Q，R二頂點(diǎn)B與C各在定直線上移動(dòng)，求證頂點(diǎn)A也在一條直線上移動(dòng) 第16題圖 試卷代號(hào)：1083國家開放大學(xué)2 0 1 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試幾何基礎(chǔ) 試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（半開卷）（供參考） 2020年1月一、選擇題（每小題4分，本題共20分） 1C 2B 3A 4A 5D二、填空題（每小題4分，本題共20分） 6平行四邊形 7任意四邊形的對(duì)角線 8兩對(duì) 93 10中心三、計(jì)算題（每小題10分，共30分） 11解兩直線x-y

4、+2=0與x+y-1=0的齊次坐標(biāo)形式分別為x1-x2+2x3一0，x1+x2-x3 =0, 3分 交點(diǎn)為 u1u2u31-1211-1=-1，3，2 6分 于是，過點(diǎn)（-1，3，2）與點(diǎn)(1，1，1)的直線方程為 x1x2x3132111=x1+3x2-4x3=0 9分 即x1+3x2-4x3=0 10分 12解 二次曲線給3x12 +2x22+x1x2+x2x3=0與x軸的交點(diǎn)由方程組 3x12 +2x22+x1x2+x2x3=0 x2=0 確定，解之得(0，0，1) 4分 過該點(diǎn)的切線方程為0 0 1312122120120 x1x2x3=0 化簡(jiǎn)后為x2 =0，切線方程為x2 =0 1

5、0分 1 3解 取A和B為基點(diǎn)，將A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)依次表汞為a，b，a+1b，a+2b3分 則四點(diǎn)的交比為 AB,CD=12 5分 這里3C=A+B，于是1=1，D=2A-3B，于是1=-32， 8分 因此AB ,CD=12=-23 10分四、證明題(每小題10分，共30分) 14，證明如圖，設(shè) AB=c，BC=a，CA=b，則a+b+c-0 . 2分 設(shè)AD=m，BC=n，CF=l，則以m，n，l為邊可作成一個(gè)三角形當(dāng)且僅當(dāng)m+n+l=0 5分 在ABD中m=c+ 12a 在BCE中n=a+12b 在CAF中l(wèi)=b+12c 8分以上三式相加得m+n+l =a+b+c+12(a+b+c

6、)=0 于是三條中線構(gòu)成三角形 10分15證明如圖，對(duì)四線形ABCD，根據(jù)定理4.10可知，在對(duì)角線AC邊上的四點(diǎn)A，C，y，L調(diào)和共軛，即(AC，YL)=-1在四點(diǎn)形YBZL中，LB與YZ交于N設(shè)MN與YL交于C，由定理4.9可知，過對(duì)角點(diǎn)M有一組調(diào)和線束，即MA、MC和MY、ML，于是AC，YL=-1，所以，點(diǎn)C應(yīng)與點(diǎn)C重合，即YZ，BL，CM共點(diǎn) 10分16證明 如圖所示，取Q為透視中心，則(B，B1，B2，)(C，C1，C2，)，于是P(B，B1，B2，)R(C，C1，C2，)3分在這兩個(gè)射影線束中，PR是自對(duì)應(yīng)元素，所以，由定理4.15， PB，B1，B2，RC，C1，C2， 8分

7、由定義4. 10，兩個(gè)透視對(duì)應(yīng)的線束對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)A，A1，A2，共線，即頂點(diǎn)A也在一條直線上移動(dòng)。 10分試卷代號(hào)：1083座位號(hào)國家開放大學(xué)2 0 2 0年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試幾何基礎(chǔ) 試題 2020年7月一、選擇題（每小題4分，本題共20分）1如果兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例，則二者( ) A平行 B垂直 C相交 D不一定2若二次曲線的極點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則在此處與無窮遠(yuǎn)直線( ) A相切 B相離 C有兩個(gè)不同交點(diǎn) D不相切3點(diǎn)列之間的射影對(duì)應(yīng)是由( )對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定 A4 B2 C1 D34若(AB，CD)=r，則(DB，AC)=( ) A1r Br C1-1r D1-r5無窮遠(yuǎn)直線的齊次線

8、坐標(biāo)為( ) A1，0，0 B0，0，1 C1，1，0 D1，0，1二、填空題（每小題4分，本題共20分）6仿射變換把等腰三角形底邊上的高線變成_.7已知共線四點(diǎn)A、B、C、D的交比(CA，DB)=2，則(CD，AB)=_.8極線上的點(diǎn)與極點(diǎn)_.9射影對(duì)應(yīng)把等腰三角形底邊上的高變成_10幾何公理體系的三個(gè)基本問題包括_、_、_三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）11求使直線x-2y-1=0的每個(gè)點(diǎn)不變，且把點(diǎn)(1，1)變成點(diǎn)(-1，1)的仿射變換12若直線l1，l2，l3，l4的方程為x-2y-1=0，2x+3y-2=0，3x-y-9=0，x+y-2=0，求(l1，l2，l3，l4)13求點(diǎn)關(guān)

9、于（1，-1，0）二階曲線的3x12+5x22+x32+7x1x3+5x2x3=0極線四、證明題（每小題10分，共30分）14證明：以任意三角形的三條中位線為邊可做一個(gè)三角形15設(shè)ABC的頂點(diǎn)A，B，C分別在共點(diǎn)的三直線l，m,n咒上移動(dòng)，且直線AB和BC分別通過定點(diǎn)P和Q，求證CA也通過PQ上一個(gè)定點(diǎn)16設(shè)OX，OY，OZ為三條定直線，A，B為二定點(diǎn)，其連線過O，點(diǎn)R為OZ上的動(dòng)點(diǎn)，且直線RA，RB分別交OX，OY于點(diǎn)P，Q，求證：PQ通過AB上一定點(diǎn)試卷代號(hào)：1083國家開放大學(xué)2 0 2 0年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試幾何基礎(chǔ) 試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（供參考） 2020年7月一、選擇題（每小題4分

10、，本題共20分） 1A 2A 3D 4C 5B二、填空題（每小題4分，本題共20分） 6三角形底邊上的中線 7-1 8共軛 9過頂點(diǎn)相交于對(duì)邊的任意一條直線 10.相容性、獨(dú)立性、完備性三、計(jì)算題（每小題10分，共30分） 11.解設(shè)所求的仿射變換為 x=a+a11x+a12yy=b+a21x+a22y （3分） 在直線x-2y-1=0上任取兩點(diǎn)(1，0)，（-1，-1），則所求的仿射變換把三點(diǎn)(1，1)，(1，O)，（-1，-1），分別變成點(diǎn)（一1，1），(1，0)，（-1，-1），將這三對(duì)點(diǎn)代人仿射變換式得 -1=+a+a11+a121=b+a21+a221=a+a110=b+a21-1=

11、a-a11-a12-1=b-a21-a22 解得 a=-1b=0a11=2a12=-2a21=0a22=1 （8分） 因此，所求的仿射變換式為 x=2x-xy-1y=y （10分） 12.解l1，l2，l3，l4與x軸的交點(diǎn)分別為 x1=1，x2=1，x3=3，x4=2 （5分） 于是 l1l2，l3l4=(3-1)(2-1)(3-1)(2-1)=1 （10分） 13.解將點(diǎn)（1，-1，0）的坐標(biāo)及aij（i，j=1，2，3）的值代入極線方程 a11y1+a12y2+a13y3x1+a21y1+a22y2+a23y3x2+a31y1+a32y2+a33y3x3=0 即 3-72+0 x1+72

12、-5+0 x2+2-52+0 x3=0 ( 5分) 整理即得所求極線方程 x1+3x2+x3=0 10分四、證明題（每小題10分，共30分）14證明 如圖，設(shè)AB=c，BC=a，CA=b，則a+b+c=0 3分設(shè)B，F(xiàn)，D分別為ABC三邊AC，AB，BC的中點(diǎn) 則EF=12BC=12a，F(xiàn)D=12AC=12b，ED=12AB=12c， 6分 EF+FD+ED=12BC+12AC+12AB=12a+12b+12c=12a+b+c=0 即，以中位線EF，F(xiàn)D，ED為邊可作成一個(gè)三角形， 10分 15.證明 如圖，設(shè)ABC是滿足條件的另一個(gè)三角形，在ABC和ABC中，由于對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線l,m,n共點(diǎn)O， 5分 由笛沙