強基計劃 數(shù)學(xué)講義 測試題解析 最新版

1、強基計劃講義(教師版)1.設(shè)力,B是兩個隨機事件，且P(A)豐0 , P(B)豐0 ,則P(B | A) = P(A | B)的充要條件是()P(B / A) = P(A / B)P(A / B) = P(B / A)C. P(A / B) = P(B / A)D.P(A / B) = P(B / A)【答案】由 P(B | A) = P(A | B)可知：P(A) = P(B)，故 P(A) = P(B) .A 正確. TOC o 1-5 h z 2.已知占=1，則 + 277777 =2sin近-2 + -丄的值為() 1B. 0C. D. 1【答案】由 =1 得 1 + + 2 +7si

2、n6 sin 42 sin66 sin78 = sin6 cos48 cos24 cos12 = 16cos6 sin6 cos48 cos24 cos12 =丄16cos6o cos42o cos66o cos78o = 1(cos72 + cos60)(cos120 + cos36) = 0，所以有 + 22 + -1 = + 2, + 3 2 = 1，選 D .23.下列等式中成立的有().2兀.4n.6nA.sin+ sin+ sin=17772n4n6 兀1B.cos+ cos+ cos=7772C.sin 6o sin 42osin 66osin 78o =116D.cos 6o

3、cos 42o cos 66o cos 78o116答案】 B C D TOC o 1-5 h z .2兀/2兀4n6兀、2n4 兀6ncos + cos + cos =777sin (cos + cos + cos )7 7 7 7.2nsin7.4n . 6兀.2n . 8兀 .4n16cos6sin+ sinsin+ sin + sin,1(cos72 cosl20 + cos72 cos36 + cosl20 cos60 + cos36 cos60/Cos36 cos721c 廠。、 /Cos36 cos72 cos108 + cos36、 TOC o 1-5 h z (+ cos72

4、 cos36 ) (+)4=41?cos108 -cos72 + 2cos361 _(cos108 + cos36) (cos72 cos36)1816 - 8164sin18 sin541 _ 4sin18 cos18 cos361 _ sin721 _ 1816 -8cos1816 - 8cos18 _ 16 - 16 4.已知JXx +尹y + y = 2，則2x + y的最大值為（）A3B 4C5D6【答案】由E+y =2可知（x，y）為y = -+1上的點，且在（4,-3）處的切線斜率為-2，故(2x+ y)max =8-3= 55.設(shè)P,q,r是質(zhì)數(shù)，且pqr 是整數(shù)，則（）p+q

5、+ra.P,q,r中有兩個數(shù)相等P,q,r中有一個等于2C.p,q,r中有一個等于3D.pqyP+q+r是質(zhì)數(shù)【答案】法一、p = 2, q = 3,r = 5 , p = 2, q = 5,r = 7 , p = 3, q = 5,r = 7，都對，說明只能選 D.法二、設(shè) 2 p q r，所以 r p + q + r pqr .Pqr由是整數(shù)，且p,q,r是質(zhì)數(shù)，可知p+q+ r = pq或p + q+ r = Pr或p + q+ r = qr.p+q+rp =7不妨考慮p + q + r = pq，整理得r +1 = (p - 1)(q -1)，只需令q = 11即可，故選D.、r =

6、596. a,b,c e R , a,c豐0，方程ax2 + bx + c = 0的兩個虛數(shù)根旺，x2滿足工為實數(shù)，則丈p X2k=0 I x2 .等于(A.1B. 0C. V3iD.前三個答案都不對【答案】設(shè) x = x2 = r(cos6 + isin0)，所以乩= r(cos30 + isin30)為實數(shù), x2XX所以6 =竺.= cos 26 + i sin 26，1 _ (迢_)2016X=07.隨機事件A與B相互獨立，且P(B) = 0.5，P(A - B) = 0.2，則()A P( A) = 0.4B P(B -A) =0.3C P( AB) = 0.2 D P( A +B)

7、 =0.9【答案】P(A - B) = P(A) - P(AB) = P(A) - P(A)P(B) = 0.2解得 P( A) = 0.4 ， P(B - A) = P(B) - P( A)P(B) = 0.3P( AB) =P( A)P(B) =0.2P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.7 故選 ABC33、/3 + 6-&已知向量a， b滿足| a冃b |= -,| a + b |2 = -， 且有(c - 2a) - (c b) = 0，則| a - c |滿 足()最大值為旦1B.最大值為3 C.最小值為1 D.最小值為二12 2 2 2【答案】由題

8、意得：=-6女口圖，a = OA,b = OB,c = OC,2a = OD,4 3b = OE,7 = OC.2由(c-也a) - (c - 2b) = 0知點C在以F為圓心半徑為| EF冃FD |1的圓上.當(dāng)A,F,C共線時有最大值及最小值.| AF |= 1 .故最大值與最小值分別為3和-，故選BC .22邊 長 為 2 的 等 邊 三 角 形 ABC ， 點 P 是 三 角 形 所 在 平 面 內(nèi) 的 一 點 ， 且 滿 足0 2 1AP =幾AB + “AC(Q, “u R)，其中2 ,卩滿足0 p 1.則下列說法正確的是()1 2 + 2ab 一 ab = ab,所以 ab 12.

9、有氐阿=1 absinC = ab 2) 同學(xué),且滿足任意兩位被選中的同學(xué)之間至少間隔一 人,則不同選法的種數(shù)為( )A 361B 364C 365D367【答案】若選 2 人,則有 C121 = 55種,若選 3 個人則有 C130 =120 種,若選 4 個人,則有 C94 =126種,若選 5 個人,則有 C85 = 56 種,若選 6 個人,則有 C76 = 7 種.所以共有 364 種,選 B比 為正整數(shù)，貝0 arcsin + arcsin一+ + arcsin的值為 (26n(n +1)Aarcsinn+1B1arccosn+1C1arccos2nDarccos【答案】設(shè)原式=S

10、(n).sigin匝幕產(chǎn)J(k + 廳 一 1 一 Jk2 - 1k (k +1)sin(arcsin 一 arcsin 1 ) = sin(arcsin 丄)cos(arcsin) 一 cos(arcsin 丄)sin(arcsin)kk + 1kk +1kk + 1故 sinarcsin)2)2J(k + 1)2 一 1 Jk2 一 1 k (k +1) k (k +1)J(k +1)2 1 - Jk -1k (k +1)=arcsin() - arcsin()kk +1所以 S (n) = arcsin1 - arcsin-n+1n11arcsin= arccos2n + 1n + 11

11、4.已知復(fù)數(shù)z滿足arg( z) = n，則| z2 -1 - i | +1 zV3 - i |的最小值為()6a. 1 b. V2c. V3D半【答案】由arg(z)=可知arg(z2)=，故| z2 -1 -i | +1 z2 -y3 -i |表示直線y = 上一點到 63(1,1)和(館,1)兩點距離之和的最小值，即直線y = 43x上一點到(1,1)和(0,2)兩點距離之和的最小值為 JI2 +12 =42，選B .15.已知正數(shù)a,b,c滿足a + b + c = 1，則a(5b + c)(a + 2c)的最大值為(Ab. 125162D.【答案】kak(5b + c)k(a + 2

12、c)% + 宀 + 汽 +也+ 如”令 k + k :阻:k + 2 = 1：1：1，則不妨設(shè) k = 3,k = 1,k = 2時取等.a(5b+c)(a+2c) 6中=162，(a,b,c)=(9,36,36)16.正數(shù) a,b,c 滿足 a2 + b2 + c2 = 1，則喬+帀+硏苗+五+帀的最小值為()a. V6b. a/3c. 2D. 3【答案】卜11119而 ab + ac + bc = 3a(a + b + c) b(a + b + c) c(a + b + c) 1 + 2+a(a + b + c) + b(a + b + c) + b(a + b + c) 9 a(a +

13、b + c) b(a + b + c) c(a + b + c)又 a(a + b + c) + b(a + b + c) + b(a + b + c) = 1 + 2(ab + ac + bc)11a=b=c=豐時取等.x - 1己知函數(shù)f (x) =，則()ex不等式0 W f (x) W1的解集是x|x$1e2不等式0 W f (x) W1的解集是x |1W x W 2e2直線y = 2x-1與曲線y = f (x)只有一個交點 直線y = |(x-1)與曲線y = f (x)只有一個交點【答案】 A C2- x1【解析】f x)= 斗,f (x)在(叫2上單調(diào)遞增，在(2, +上單調(diào)低

14、價，且f (2) = -1,故A正 exe2確， B 錯誤.-2ex - x+ 2g (x) = f (x) 2x +1，貝O g(x)=，當(dāng) x 0 時，g (x) 0 ； 當(dāng) x 0 .且exg(x) = 0 , g (x) = 0，故 2x +1 f (x)構(gòu)造 h(x) = f (x) Rx 1) , h(4) = 4 1 0，所以存在 x0 e (1.06,4)3e 4e1.060運動會上，有 6 名選手參加 100 米比賽： 觀眾甲猜測：4道或 5 道的選手得第一名；觀眾乙猜測：3 道的選手不可能得第一名； 觀眾丙猜測：1， 2， 6 道選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測：4， 5

15、， 6道的選手都不可能得 第一名比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲，乙，丙，丁中只有 1 人猜對比賽結(jié)果，此人是 ( )甲B.乙C.丙D. 丁【答案】 D 列表，將“不可能”改為肯定表述123456甲VV乙VVVVV丙VVV丁VVV觀察可知，若只有 1人猜對，貝此人是丁， 3 道選手得第一名.22設(shè)P為橢圓冷+才=1上一動點，過P作橢圓的切線與圓O:W+y2 = 12交于MN兩點，圓O在MN兩點處的切線交于點2則()A.B.C.D.22Q點的軌跡方程為命+ yr48 36x2Q點的軌跡方程為3648=1=1若點P在第一象限，則AOPQ的面積最大值為當(dāng) 若點P在第一象限，則AOPQ的面積最大值為豐【答

16、案】設(shè)P(s,t) , Q(m,n)，則 Imn :+ = 1，所以 3sx + 4ty = 12 .又 1臨:mx + ny = 12，所以 TOC o 1-5 h z (m)2(n )222.,(o) /I)x v4t3s = m,4t = m .因為(s,t)在橢圓上，所以3+ = 1，所以軌跡為+ = 1. % : y = 一x4336 48 OQ3sop。= | OQ | d = 9ss + 16t2 3=,因為 + = 1，所以 1 ，即 st y/3，所以 TOC o 1-5 h z 2216/2 24 3邁1 + 9ZS AM，D錯誤x223.已知橢圓方程為-+獷=1AB為長軸

17、，M1,M2,M5為AB的六等分點，過Mi = 123,4,5)做斜率為k的直線，交橢圓于P,鬥,P0，則AP1, AP2,APO這十條線的斜率乘積為(A. -1)B. -1C.-丄D.-21632【答案】法一：設(shè)AB等分點M(t,0)，過M的直線交橢圓于P1(x1,y1),P2(x2,y2)，lpp : x = my +1，聯(lián)立得：(m2 + 2)y2 + 2mty +t2 -2 = 0.所以 y+y-2mtm2 + 2t2 - 2 *=m+2kAp1 kAp2 = X/2 72=2(71)M1,M2,M5對應(yīng)的t分別為-半,0,f,半，所以斜率積為-右.選D法二：有 kAp1 - kAPw

18、 =-2設(shè) x,y, z, w 是復(fù)數(shù)，滿足 | x |2 + | y |2 = 1， | z |2 + | w |2 = 1， x - z + y - w = 0，則()A. | xw一 yz |= 1B. x - y + z - w = 0 C. | x |=| w |D. | y |=| z |【答案】| xw - yz |2 = (xw - yz)-(xw - yz)=| x |2| w |2 +1 y |2| z |2 -xwyz - xwyz =(| x |2 +1 y|2)(| w |2 +1 z |2) - xwyz 一 xwyz-|x |2| z|2 一| y |2|w |2

19、=1- xwyz - xwyz-| x |2| z |2 -| y |2| w|2=1 -(x - z + y - w).(x - z + y - w) = 1，故 A 正確.由 x - z + y - w = 0，可知 | x - z |2=| y - w |2，即| x |2| z |2=| y |2| w |2.因為 | x |2 + | y |2 = 1,| z |2 +1 w |2 = 1,| x |2| z |2 =|y |2| w |2,所以(1-1 y |2)(1-1 w |2) =|y |2| w|2，解得，| y |2 +1 w |2 = 1，這說明 | y |=| z |

20、，同理可知 | x| =| w |，故 CD 正確.(x - z + y - w) - (x - z + y - w) = 0| x |2 -1 z |2 +1 y |2 -1 w |2 + xwyz + -yzxw = 0(x - y + z - w) - (x - y + z - w) =| x |2| y |2 +1 z |2| w |2 + xyzw + zwxy因為 | x |2 -1 z |2 +1 y |2 -1 w |2 + xwyz + -yzxw = 0所以 | x - y + z - w |2 =|x |2| y |2 +1 z |2| w |2 -1 x |2 -1 z

21、 |2 -1 y |2 -1 w |2即 | x + z w |2 =|x |2 (|y |2 -1 z |2)-1 w |2 (| y |2 -1 z |2)=(| x |2 -1 w |2)(|y |2 -1 z |2)，由 CD 正確，得 | x y + z w |2 = 0，故 B 正確.x2已知橢圓T: + y2 = 1，P為其右準(zhǔn)線上一點，過P向橢圓做切線，切點分別為A,B，橢圓4的左焦點為 F ，則（）|AB |最小值為1AB |最小值為73C4FAB的周長為定值 FAB的面積為定值. 【答案】首先注意到結(jié)論：在橢圓準(zhǔn)線上任取一點，過該點作橢圓的兩條切線，那么兩切 點的連線必過該

22、準(zhǔn)線對應(yīng)的焦點(證明略)應(yīng)用結(jié)論，故厶FAB的周長為定值，且知AB垂直于橫 軸時最小，此時AB |= 1，故選AC設(shè)數(shù)列an滿足 an+1 = a； - 3an + 4(n 21)且 a】=3，則()an是遞增數(shù)列an 是無界數(shù)列a100 = 101 lim+ - + . + - = 1n-8 ( a1 -1 a2 -1an -1 丿【答案】A B D【解析】 an +1 - an = an - 4an + 4 = (an - 2)顯然不存在 k 使 ak+1 = 2，否則 ak+1 = ak2 - 3ak + 4 = 2 n (ak - 2)(ak -1) = 0，即 ak = 2 或 ak

23、 = 1 但ak 1且a1 = 3，所以an+1-an 0 .所以an是遞增數(shù)列.又 an 3，所以 an+1 an = a： 4an + 4 = (an 2)? 1，所以an無界.計算得 a4 101 101因為 an+1-2 =(an - 2)(an -1) =0，所以an+1-21 1 1 1 1 + =an -2an -1an+1-2an -2an -1所以lim 心負a -11+ +a -1+丄=丄-丄+丄-丄+a “ 1 丿a 2 a 2 a 2 a 2a “ 2 a“+ 2a1-2an+1-2函數(shù)f (x)=不(x2 + 2x +1)的圖象與直線x = 0、直線x = 1以及x軸

24、圍成的面積為( )A. 1B. eC. 2e 1D. 4e1【答案】 C令 f =ex(x2 + 2x +1)的原函數(shù)為 F=ex(x2 + ax + b)則 F(x) = ex(x2 +ax+b+2x+ a)所以 a +2=2且 a+b=1故 a = 0 , b = 1, F(x) = ex (x2 +1)于是 J； ex (x2 + 2x + 1)dx = ex(x2 +1) 1 = 2e -1對正整數(shù)n，設(shè)整數(shù)xn, yn滿足x + yJ3 = (2 + ，則()對每個正整數(shù)n，有xn+1 = 2xn + 3yn對每個正整數(shù)n，有yn+1 = xn + 2yn存在正整數(shù)n，使得x” =

25、2019lim(xn -y”V3) = 0ng/【答案】A B D【解析】(2W3)n+1 = (x” + yJ3)(2 + 岳=(2x” + 3yn) + (x” + 2y”)也故 xn+1 = 2 xn + 3 yn ,”+1 = % + 2 yn(2 -母=xn - yJ3所以 lim(x” - yJ3) = lim(2 -盯)” =0 xn三1(mod3)或xn三2(mod3)，故不存在正整數(shù)n，使得x = 201929已知數(shù)列a”的通項a”a”， ” = 1,2, .數(shù)列an的最大項為a0數(shù)列a”的最小項為a】C.D.答案】 C D解析】a+ia19(n + -)()n+12 109

26、(n -1)()10當(dāng) n 10 時，an+1 an，當(dāng) n an，且 lim an = 0n T+s血=a+2 - a+1 = 9n - 76.5 ,當(dāng)n 9.5時，也 單調(diào)遞減.漸近線為bnan+1 -an10n-95bnbny = 0.9當(dāng) n =9時有最小值-0.9，當(dāng) x = 1 0時有最大值2.7棱長為1的正方體ABCD - &BGD中，P為線段A1B上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是()A. DC】丄DXPB.平面DAP丄平面AAPC.乙4戶9的最大值為90。D. AP + PD、的最小值為+忑【答案】C.Aid 丄 DC，AB 丄 DC，ADnAiB = A，DC 丄平面 ABCD，

27、DP u 平面 ABCD因此DC1丄D1P，A正確；由于DA丄平面AABB，DA u平面DAP，故平面D1 A】P丄平面A1AP，故B正確；/2當(dāng)0 A1P 冷-時，ZAP為鈍角，C錯；將面AA1B與面A1BCD1沿A1B展成平面圖形，線段AD1即為AP + PD1的最小值，利用余弦定理解AD = J2 +忑，故D正確。故答案為C.設(shè)函數(shù) f (x) = 9x - 3x+1 + a ( a 為常數(shù))，則() 當(dāng)f (x) 0對任意的x e (0,1)成立時，a的取值范圍是(-。-3) 當(dāng)存在x e (0,1)，使得f (x) 0成立時，a的取值范圍是f-,9當(dāng)方程f (x) = 3xa在0,1上有唯一解時，a的取值范圍是(-8,0 當(dāng)方程f (x) = 3xa在0,1上有解時，a的取值范圍是(-8,0【答案】B C D【解析】f (x) = 9x 3x+1 +a = (3x )2 3 x(