解析幾何綜合題解題思路案例分析課件

1、天馬行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632解析幾何綜合題解題思路案例分析天馬行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632解析幾何綜合題是高考命題的熱點內(nèi)容之一. 這類試題往往以解析幾何知識為載體，綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識，所涉及到的知識點較多，對解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時，常常表現(xiàn)為無從下手，或者半途而廢。據(jù)此筆者認(rèn)為：解決這一類問題的關(guān)鍵在于：通觀全局，局部入手，整體思維. 即在掌握通性通法的同時，不應(yīng)只形成一個一個的解題套路，解題時不加分析，跟著感覺走，做到那兒算那兒. 而應(yīng)當(dāng)從宏觀上去把握，從微觀上去突

2、破，在審題和解題思路的整體設(shè)計上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運(yùn)算難關(guān).天馬行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：1755696321判別式-解題時時顯神功案例1已知雙曲線，直線過點，斜率為，當(dāng)時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值及此時點B的坐標(biāo)。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式

3、直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程有唯一解簡解：設(shè)點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.2判別式與韋達(dá)定理-二者聯(lián)用顯奇效案

4、例2已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分

5、析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點Q的軌跡方程為： （）.點評：由方程組實施

6、消元，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點在引出參，活點在應(yīng)用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.3求根公式-呼之欲出亦顯靈案例3設(shè)直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手，

7、=已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解1：當(dāng)直線垂直于x軸時，可求得;當(dāng)與x軸不垂直時，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因為橢圓關(guān)于y軸對稱，點P在y軸上，所以

8、只需考慮的情形.當(dāng)時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結(jié)合得. 綜上，.點評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界