湖南工業(yè)大學“專升本”高等數(shù)學考試大綱及習題資料

1、第一部分 函數(shù)、極限與連續(xù)考核知識點1.函數(shù)的概念：函數(shù)的定義；函數(shù)的表示法；分段函數(shù)2.函數(shù)的簡單性質(zhì)：有界性；單調(diào)性；奇偶性；周期性3.反函數(shù)：反函數(shù)的定義；反的函數(shù)的圖形4.基本初等函數(shù)及其圖形：冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù)5.復合函數(shù)6.初等函數(shù)考核要求1.理解函數(shù)的概念(定義域、對應規(guī)律)。理解函數(shù)記號的意義并會運用。熟練掌握求函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值。會建立簡單實際問題中的函數(shù)關系式。2.了解函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)，掌握函數(shù)的有界性、奇偶性的判別。3.掌握基本初等函數(shù)及其圖形的有關知識。4.理解復合函數(shù)概念。掌握將一個復合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)的復合方

2、法。練習1.1（函數(shù)）1、設，將表示成的函數(shù)表達式為 。2、與等價的函數(shù)是（ ） A. B. C. D.3、函數(shù)在定義域內(nèi)為（ ）A.有上界無下界 B.無上界有下界C.有界，且 D.有界，4、函數(shù)的定義域為 。判斷對錯：5、分段函數(shù)都不是初等函數(shù)。（ ） 6、函數(shù)是周期函數(shù)。（ ）計算：7、下列函數(shù)可以看成由哪些簡單函數(shù)復合而成：(1) （2）8、設 ，求考核知識點1.數(shù)列的極限：數(shù)列極限的定義；數(shù)列極限的性質(zhì)；數(shù)列極限的四則運算法則2.函數(shù)的極限：函數(shù)極限的定義；左極限與右極限的概念；自變量趨向于有限值時函數(shù)極限存在的充分必要條件；函數(shù)極限的四則運算法則兩個重要極限3.無窮小量和無窮大量：無

3、窮小量和無窮大量的定義；無窮小量和無窮大量的關系；無窮小量的性質(zhì)考核要求1.了解極限概念(對極限定義的“”，“”等形式的描述不作要求)，了解左極限與右極限概念，知道自變量趨向于有限值時函數(shù)極限存在的充分必要條件。2.掌握極限四則運算法則。3.掌握用兩個重要極限求極限的方法。4.了解無窮小量、無窮大量的概念。知道無窮小量的性質(zhì)，無窮小量與無窮大量的關系。練習1.2（數(shù)列的極限）1、。 2、。3、其中 4、練習1.3（函數(shù)的極限）1、= ； 2、 ；3、= ；4、 ；5、 。判斷對錯：6、則時，的極限存在。（ ）7、則時，的極限存在。（ ）計算：8、求函數(shù)的及，并確定是否存在？9、設，試討論在處的

4、極限。10、證明：用求左右極限證明而不存在。練習1.4（無窮小與無窮大，極限的運算法則）判斷對錯：1、無窮小量與一個非無窮小量的和、差、積為無窮小量。 （ ）2、兩個非無窮小量的和、差、積、商一定不是無窮小量。 （ ）3、兩個無窮小的商一定是無窮小。 （ ）4、若為無窮小量，則一定為無窮大量。 （ ）5、計算下列極限（1） (2) （3） (4) （5） 練習1.5（兩個重要極限，無窮小的比較）判斷對錯1、 ( ) 2、 ( ) 3、 ( ) 4、 ( ) 5、 ( ) 6、 ( )計算：7、 8、 9、 10、考核知識點1.函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)在一點連續(xù)的定義 左連續(xù)與右連續(xù) 函數(shù)(含分段函數(shù)

5、)在一點連續(xù)的充分必要條件 函數(shù)的間斷點及其分類2.連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理 介值定理(包括零點定理) 最大值與最小值定理考核要求1.理解函數(shù)在一點連續(xù)與間斷的概念。掌握判斷簡單函數(shù)(含分段函數(shù))在一點的連續(xù)性。了解函數(shù)在一點連續(xù)與在一點極限存在之間的關系。2.掌握求函數(shù)的間斷點及確定其類型。3.了解初等函數(shù)在其定義區(qū)間的連續(xù)性。了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會運用介值定理推證一些簡單命題。練習1.6（函數(shù)的連續(xù)性和間斷點）1、當= 時，在其定義域內(nèi)連續(xù)。2、是的 型間斷點；補充定義 ，則在處連續(xù)。3、判斷對錯：在上連續(xù)。（ ）4、求極限：（1） （

6、2） 5、證明證明方程在區(qū)間（0，1）至少有一個根。自 測 題 1一、選擇或填空1、函數(shù)的定義域是( ) A. B. C.(-3,1) D.2、函數(shù)的定義域是（ ） A. B. C.（-4，3） D.3、函數(shù)是（ ）A.偶函數(shù) B.奇函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.奇偶函數(shù)4、函數(shù)的最小正周期是（ ） A. B. C. 4 D.5、設，則當（ ）時，有 A. B. C. D. 任意取 6、設，則（ ）A. -1 B. 1 C. 0 D.不存在7、當時，與等價的無窮小量是（ ） A. B. C. D. 8、已知數(shù)列，則（ ） A. B. C. ，但無界 D. 發(fā)散，但有界9、若極限（常數(shù)），則函數(shù)在

7、點（ ） A.有定義且 B.不能有定義 C.有定義，但可以為任意數(shù)值 D.可以有定義也可以沒有定義10、函數(shù)在處連續(xù)，則 .二、計算：1、 2、 3、 4、三、證明奇次多項式至少存在一個實根。第二部分 導數(shù)與微分考核知識點導數(shù)的定義 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系 導數(shù)的幾何意義與物理意義2.導數(shù)的四則運算法則 導數(shù)的基本公式3.求導方式 復合函數(shù)的求導法 隱函數(shù)的求導法 對數(shù)求導法 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法4.高階導數(shù)的概念5.微分微分的定義 微分的幾何意義 微分與導數(shù)的關系 微分法則 一階微分形式不變性考核要求1.理解導數(shù)概念。知道導數(shù)的幾何意義及了解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。2.掌

8、握求曲線上一點處的切線方程與法線方程。3.熟練掌握導數(shù)基本公式及導數(shù)的四則運算法則。熟練掌握復合函數(shù)的求導方法。4.掌握求隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導數(shù)的方法。會使用對數(shù)求導法。5.了解高階導數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的二階導數(shù)求法。6.理解函數(shù)的微分概念及微分的幾何意義。掌握微分運算法則。會求函數(shù)(含隱函數(shù))的微分。練習2.1（導數(shù)的概念）1、則其導函數(shù)定義域為（ ） A. B. C. D.2、設函數(shù)在點不可導，則( ) A.在點沒有切線 B. 在點有鉛直切線 C. 在點有水平切線 D.有無切線不一定3、若在處可導，則=( ) A. B. C. D. 4、初等函數(shù)在其定義域區(qū)間內(nèi)是（

9、） A.單調(diào)的 B.有界的 C.連續(xù)的 D.可導的5、設函數(shù)，其中在點連續(xù)，則必有（ ）A. B. C. D. 計算：6、設求。7、若在處可導，請計算的值。練習2.2（求導法則）1、，求。 2、設，求。3、，求。 4、，求。5、，求。 6、，求。練習2.3（高階導數(shù)）1、，求。 2、求。 3、已知，求。 4、驗證滿足關系式： 。練習2.4（隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)）1、，計算。 2、已知，求。 3、已知，求。 4、設，求。練習2.5（微分）1、已知，計算處當時= ，= 。2、（1）（ ）=； （2）（ ）=；（3）（ ）=； （4）（ ）=；（5）（ ）=； （6）（ ）=；（7）（

10、 ）=； （8）（ ）=。3、求下列函數(shù)的微分（1） （2） 4、求由方程所確定的隱函數(shù)的微分和導數(shù)。自 測 題 2一、選擇題1、若函數(shù)在點的導數(shù)，則曲線在點處的法線（ ） A.與軸相平行 B. 與軸相垂直C.與軸相垂直 D. 與軸既不平行也不垂直2、若函數(shù)在點不連續(xù)，則在（ ） A.必不可導 B.必定可導 C.不一定可導 D.比無定義3、如果（ ），那么。 A. B.C. D.4、如果處處可導，那么（ ） A. B. C. D. 5、已知函數(shù)具有任意階導數(shù)，且，則當為大于2的正整數(shù)時，的階導數(shù)是（ ）A. B. C. D.6、若函數(shù)為可微函數(shù)，則（ ） A.與無關 B.為的線性函數(shù) C.當時

11、，為的高階無窮小 D.與為等價無窮小7、設函數(shù)在點處可導，當自變量由增加到時，記為的增量，為的微分，等于（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 二、求下列函數(shù)的導數(shù)1、 2、 三、設，求。四、已知，證明方程成立。第三部分 中值定理及導數(shù)的應用考核知識點1.中值定理：羅爾(Rolle)定理；拉格朗日(Lagrange)中值定理2.洛必達法則3.函數(shù)單調(diào)性的判定4.函數(shù)極值與極值點的概念及其求法5.曲線的凹凸性、拐點及其求法6.曲線的水平漸近線與垂直漸近線及其求法考核要求1.理解羅爾定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會用羅爾定理證明方程根的存在性。會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。

12、2.掌握用洛必達法則求型未定式的極限。3.掌握利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。4.理解函數(shù)極限的概念。掌握求函數(shù)的極值的方法。掌握簡單的最大(小)值的應用問題的求解。5.會判定曲線的凹凸性、會求曲線的拐點。6.會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。7.會作出簡單函數(shù)的圖形。練習3.1（中值定理）1、驗證羅爾定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性。2、證明：當時，。3、若，試證方程只有惟一的實根。練習3.2（洛必達法則）計算1、 2、 3、。 4、。 5、驗證極限存在，但不能用洛必達法則得出。練習3.3（函數(shù)的單調(diào)性與極值）1、確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1） ；

13、（2） ；2、求下列函數(shù)的極值：（1）； （2）；3、證明：當時，。練習3.4（曲線的凹凸性）1.曲線的凹凸性為（ ）（a）凸的； （b）在內(nèi)凹，在內(nèi)凸；（c）凹的；（d）在內(nèi)凸，在.2.曲線的拐點是（ ）。（a）；（b）（ 0 , 0 ）; (c) 無拐點；（d）都不是。3.設時，恒有，則曲線在內(nèi)（ ）凸的； （b）凹的； （c）單調(diào)增加；（d）單調(diào)減少。4.若點是曲線的拐點，則（ ）（a）； （b）不存在； （c）或不存在； （d）且5.曲線在區(qū)間_內(nèi)是凸的，在區(qū)間_內(nèi)是凹的，曲線上_是拐點6.若點（ 0，1）是曲線的拐點，則b =_,c = _.7 利用曲線的凹凸性，證明不等式：）練習3

14、.5（函數(shù)的最值）判斷對錯：1、函數(shù)的極值點一定也為最值點；（ ）2、函數(shù)的最值點一定也為極值點；（ ）3、函數(shù)定義域為，則其極值點不能取端點或；（ ）4、函數(shù)定義域為，則其極值點不能取端點或；（ ）計算：5、函數(shù)求的最大值、最小值：6、某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋，現(xiàn)在存磚只夠砌20米長的墻壁。問應圍成怎樣的長方形才能使這間小屋的面積最大？練習3.6（函數(shù)圖形的描繪）曲線的水平漸近線是_;鉛垂?jié)u近線是_.2求曲線的水平漸近線，鉛垂?jié)u近線及斜漸近線。自 測 題 3一、選擇題1、一元函數(shù)微分學的三個中值定理的結論都有一個共同點，即( )A.都給出了點的求法； B.都肯定了點一定存在，且給出了求

15、的方法；C.都先肯定了點一定存在，而且如果滿足定理條件，就都可以用定理給出的公式計算求；D.都只肯定了的存在，卻沒有說出的值是什么，也沒有給出求的方法。2、已知在可導，且方程在有兩個不同的根與，那么在內(nèi)（ ）。 A.必有 B. 可能有 C. 沒有 D.不能確定3、如果在連續(xù)，在可導，為介于之間的任一點，那么在（ ）找到兩點，使成立。 A.必有 B. 可能 C. 不能 D.無法確定能4、若在連續(xù)，在可導，且時，又則（ ）A.在上單調(diào)增加，且； B.在上單調(diào)增加，且；C.在上單調(diào)減少，且； D.在上單調(diào)增加，但的正負號無法確定。5、是可導函數(shù)在點處有極值的（ ） A.充分條件 B.必要條件 C.充

16、要條件 D.非充要條件6、若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小值，則（ ） A.極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值； B.極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值；C.極大值不一定是最大值，極小值也不一定是最小值； D.極大值必大于極小值。二、計算 1、求的單調(diào)區(qū)間。 2、計算函數(shù)的極值。3、求函數(shù)在區(qū)間上的最值。三、試證方程只有一個實根。第四部分 不定積分考核知識點1.不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義；原函數(shù)存在的定理；不定積分的性質(zhì)2.不定積分法：基本積分公式；第一換元法(即湊微分法)；第二換元法分部積分法；簡單有理函數(shù)的不定積分法考核要求1.理解原函數(shù)與不定積分的概念。2

17、.了解不定積分的性質(zhì)。3.熟練掌握不定積分的基本積分公式。4.掌握不定積分第一換元法、第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)及分部積分法。5.會求簡單有理函數(shù)的不定積分(分解定理不作要求)。練習4.1（不定積分的概念與性質(zhì)）判斷對錯：1、與是同一個函數(shù)的原函數(shù)。 （ ）2、若，則。 （ ）3、若是周期函數(shù)，則也必是周期函數(shù)。 （ ）4、已知，那么.（ ）選擇：5、（ ）即。 A. B. C. D.6、（ ） A. B. C. D.7、若的導函數(shù)是，則有一個原函數(shù)是( ) A. B. C. D.計算：8、 9、 練習4.2（第一類換元積分法即湊微分法）1、 ； 2、 ；3、 ；4、 ；5、

18、；6、 ；7、 ；8、 。計算：9、； 10、；11、； 12、；13、； 14、； 15、； 16、練習4.3（第二類換元積分法）1、當被積函數(shù)含有時，可考慮令（ ） A. B. C. D.2、要通過令使化為有理函數(shù)的積分，應?。?） A.4 B.6 C.12 D.24計算：3、 4、 5、 6、練習4.4（分部積分法）1、= ； 2、= ；3、的原函數(shù)是，則= ；4、已知，則= ；計算：5、 6、 7、 8、 9、自 測 題 4一、選擇1、設是區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)的兩個不同的原函數(shù)，且，則在區(qū)間內(nèi)必有（ ）A. B. C. D. 2、若，則（ ） A. B. C. D.3、在某區(qū)間內(nèi)具備了條件（

19、 ）就可保證它的原函數(shù)一定存在。 A.有極限存在 B.連續(xù) C.有界 D.有有限個間斷點4、下列結論正確的是（ ） A.初等函數(shù)必存在原函數(shù) B.每個不定積分都可以表示為初等函數(shù)C.初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù) D.A、B、C都不對5、已知一個函數(shù)的導數(shù)為，且時，這個函數(shù)是( ) A. B. C. D. 6、，且，則（ ） A. B. C. D. 7、（ ）。 A.1 B. C. D. 8、（ ） A. B. C. D. 二、計算：1、 2、 3、 4、三、已知曲線上任意點的切線斜率為，并且過點，試求該曲線的方程。第五部分 定積分考核知識點1.定積分的概念：定積分的概念及其幾何意義；定積分的

20、性質(zhì)2.變上限的積分及其求導定理；牛頓萊布尼茨公式3.定積分的應用：平面圖形的面積；旋轉體體積；物體沿直線運動時變力所做的功4.無窮區(qū)間的廣義積分：收斂；發(fā)散；計算方法考核要求1.理解定積分的概念與幾何意義。2.理解定積分的性質(zhì)。3.理解變上限積分為其上限的函數(shù)及其求導定理。掌握對上限函數(shù)進行分析運算。4.熟練掌握牛頓萊布尼茨公式。5.掌握用定積分的換元法和分部積分計算定積分。6.掌握用定積分求平面圖形的面積和簡單的封閉平面圖形繞坐標軸旋轉所成旋轉體體積。會用定積分求沿直線運動時變力所做的功。7.了解廣義積分收斂與發(fā)散的概念。會求上述廣義積分。練習5.1（定積分的概念與性質(zhì)）1、積分中值定理，

21、其中（ ） A.是內(nèi)任一點 B. 是必定存在的某一點C. 是內(nèi)惟一的某一點 D. 是的中點2、設在上連續(xù)，且，則（ ） A.在的某個子區(qū)間上，； B. 在上，； C. 在內(nèi)至少有一點，； D. 在不一定有，使。3、 ；計算：4、比較與的大小。 5、不計算定積分，估計的值。練習5.2（N-L公式）1、設在連續(xù)，則（ ） A.是在上的一個原函數(shù)B. 是在上的一個原函數(shù)C. 是在上唯一的原函數(shù)D. 是在上唯一的原函數(shù)2、（ ） A. B. C. D. 3、，則當時，是的( )A.同階無窮小，但不等價 B.等價無窮小 C.低階無窮小 D.高階無窮小4、 ；5、設方程組確定了是的函數(shù)，則= 。計算：6、

22、 7、8、，求。練習5.3（定積分的換元積分法與分部積分法）1、下列積分中不為零的是（ ） A. B. C. D.2、（ ） A. B. C. D.計算：3、 4、 5、 6、 7、 8、練習5.4（反常積分）計算：1、 2、 3、 4、5、求曲線、直線及軸所圍成圖形位于部分的面積。練習5.6（平面圖形的面積）計算：1、求所圍圖形面積。2、由和所圍面積為6，求大于零的。3、求與半圓所圍圖形的面積。4、求阿基米德螺線和極軸所圍的面積。練習5.7（體積）計算：1、求所圍成區(qū)域繞軸旋轉所形成的立體體積。2、求所圍成區(qū)域繞軸旋轉所形成的立體體積。3、求所圍成區(qū)域繞軸旋轉所旋轉所產(chǎn)生的旋轉體的體積。4、

23、計算曲線與軸之間位于第二象限的平面圖形繞軸旋轉產(chǎn)生的旋轉體體積。自 測 題 5一、填空或選擇1、設，函數(shù)在區(qū)間上的平均值= ；2、= ；3、已知，則= ；4、定積分在幾何上表示（ ） A.線段長 B.線段長 C.矩形面積 D.矩形面積5、設在上連續(xù)，且為偶函數(shù)，則( ) A.是奇函數(shù) B. 是偶函數(shù)C. 是非奇非偶函數(shù) D. 可能是奇函數(shù)，也有可能是偶函數(shù)6、設為連續(xù)函數(shù)，則等于（ ）A. B. C.0 D.不存在二、計算： 1、求的導數(shù)。 2、3、 4、三、應用題：1、求曲線及直線所圍成的平面圖形的面積；2、把拋物線及直線所圍的圖形繞軸旋轉，計算所得旋轉拋物體的體積。第六部分 向量代數(shù)與空間

24、解析幾何考核知識點1.向量的概念：向量的定義；向量的模；單位向量；向量在坐標軸上的投影向量的坐標表示；向量的方向余弦2.向量的線性運算：向量的加法；向量的減法；向量的數(shù)乘運算3.向量的數(shù)量積：二向量的夾角；二向量垂直的充分必要條件4.二向量的向量積：二向量平行的充分必要條件考核要求1.理解向量的概念。掌握向量的坐標表示法，了解單位向量，方向余弦、向量在坐標軸上的投影。2.掌握向量的線性運算、向量的數(shù)量積、二向量的向量積的運算方法。3.會判定二向量的平行與垂直。 練習6.1（向量及其線性運算，空間直角坐標系）1、判斷對錯：設，則。（ ） 2、點（-1，-2，-3）第 卦限；3、，則= ；4、在軸

25、上點 與和的距離相等。計算：5、求證以為頂點的三角形是等邊三角形。6、用向量法證明三角形的中位線定理。練習6.2（向量的坐標）1、已知向量，求向量的坐標表示式為 ；2、設，則向量的分解式為 ；3、已知兩點，則向量= ，= 。4、平行于向量的單位向量為 。計算：5、已知，求向量的模、方向余弦、方向角和單位向量。練習6.3（向量的數(shù)量積、向量積）1、判斷下列各組向量是否平行或垂直：（1）； ；（2）； ；計算：2、已知向量之間的夾角，且，求. 3、已知向量，且試計算。 4、已知，求的面積。5、已知三點，求與同時垂直的單位向量。6、設質(zhì)量為100千克的物體從點沿直線移動到點，試計算重力所做的功（長度

26、單位為米，重力方向為軸負方向，取重力加速度為9.8。）考核知識點1.常見的平面方程：點法式方程；一般式方程2.兩平面的關系 3.空間直線方程：標準式方程(又稱對稱式方程或點向式方程)；一般式方程；參數(shù)式方程4.兩直線的關系；直線與平面的關系考核要求1.掌握平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。2.掌握直線的標準式方程、參數(shù)式方程、一般式方程。會判定兩直線平行、垂直。3.會判定直線與平面間的關系(垂直、平行、直線在平面上)。練習6.4（平面與空間直線）1、已知平面在軸上的截距為1、2、3，則其方程為 ；2、點到平面的距離為 ；3、平行于軸且過點及的平面方程為 ；4、兩平面的夾角

27、為 ；5、直線的對稱式方程為 ；6、直線與直線的夾角為 。計算：7、求平行于平面且經(jīng)過點的平面方程。8、求過且平行于平面及的直線方程。9、求一直線方程，使之過點且平行于直線。考核知識點球面；母線平等于坐標軸的柱面；旋轉拋物面；圓錐面；橢球面考核要求了解球面；母線平等于坐標軸的柱面；旋轉拋物面；圓柱面和橢球面的方程及其圖形。練習6.5（曲面與空間曲線）1、寫出適合下列條件的旋轉曲面方程：（1）把曲線繞軸旋轉一周； ；（2）把曲線繞軸旋轉一周； ；2、指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形：（1） 、 ；（2） 、 ；（3） 、 ；（4） 、 .計算：3、一動點與點的距離是它

28、到平面的距離的，試求動點的方程。 自 測 題 6一、選擇：1、向量與二向量的位置關系是( ) A.共面 B.共線 C.垂直D.斜交2、設向量與三軸正向夾角依次為，當時有( ) A.面 B. 面 C. 面 D. 面3、設平面方程為，且B、C、D，則平面（ ） A.平行于軸 B.平行于軸 C.經(jīng)過軸 D.垂直于軸4、向量兩兩垂直，且，則的長度是( ) A.6 B.14 C. D.165、設直線方程為，且A、B、C、D、E、F，則直線（ ） A.過原點 B.平行于軸 C.垂直于軸 D.平行于軸6、曲面與直線的交點是( ) A.(1,2,3)、（2，-1，-4） B.（1，2，3） C.(2,3,4)

29、 D. （2，-1，-4）7、已知球面經(jīng)過（0，-3，1）且與面的交成圓周，則此球面的方程是（ ） A. B. C. D. 8、下列方程中所示曲面是雙葉旋轉雙曲面的是（ ） A. B. C. D. 二、計算：1、求與向量的夾角等于，且，求。2、設平行四邊形二邊為向量，求其面積。3、求通過直線且垂直于平面的平面方程。4、求過點（-1，-4，3）并與兩直線都垂直的直線方程。三、證明：已知為兩非零不共線向量，求證：。第七部分 多元函數(shù)微積分學考核知識點1.二元函數(shù)：多元函數(shù)的定義；二元函數(shù)的幾何意義；二元函數(shù)的定義域2.二元函數(shù)的極限與連續(xù)：二元函數(shù)極限的概念；二元函數(shù)的連續(xù)的概念3.偏導數(shù)與全微分

30、：偏導數(shù)；全微分；二階偏導數(shù)4.復合函數(shù)的偏導數(shù)5.隱函數(shù)的偏導數(shù)考核要求1.了解多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義和定義域。了解二元函數(shù)極限與連續(xù)概念(對計算不作要求)。2.理解偏導數(shù)概念，了解全微分概念，知道全微分存在的必要條件和充分條件。3.掌握二元初等函數(shù)的一、二階偏導數(shù)的計算方法。4.掌握復合函數(shù)一階偏導數(shù)求法(含抽象函數(shù))。5.會求二元函數(shù)的全微分(含抽象函數(shù))。6.掌握由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導數(shù)的計算方法。練習7.1（多元函數(shù)的基本概念）1、設，若當時，有，則 。2、用不等式表示由所圍成的平面區(qū)域 。3、函數(shù) 的定義域為 。4、的間斷點為 。計算：5、 6、 7、 8、 練

31、習7.2（偏導數(shù)）1、求在點（0，1）處的偏導數(shù)。 2、已知的偏導數(shù)。3、求的偏導數(shù)。 4、求的二階偏導數(shù)。5、求函數(shù)在點(0,0)的偏導數(shù)。練習7.3（全微分）一、填空題:1、設,則_；_；_.2、若,則_.3、若函數(shù),當, 時,函數(shù)的全增量_;全微分_.若函數(shù),則的偏增量_; _.二、求函數(shù)當 時的全微分.練習7.4（多元函數(shù)求導法則）1、設已知，求。2、已知，求。 3、設，求。 4、設，求。考核知識點1.二重積分的概念2.二重積分的性質(zhì)3.二重積分的計算 4.二重積分的應用考核要求1.了解二重積分的概念及其性質(zhì)。2.掌握選擇積分次序與交換積分次序的方法。3.掌握二重積分的計算方法(直角坐

32、標系、極坐標系)。4.會用二重積分解決簡單的應用問題(限于空間曲面所圍成的體積、平面薄板質(zhì)量)。練習7.5（二重積分的概念、性質(zhì)與計算）1、已給二重積分，其中區(qū)域是單位圓在第一象限的部分。判斷如下各累次積分是否正確：（1）=（ ）；（2）=（ ）；（3）= （ ）；(4) = （ ）；（5）= ( ).2、判斷下列更換二重積分的積分次序的式子的對錯：（1） ( )（2） ( )3、若是以為頂點的平行四邊形，則= 。4、比較和的大小，其中。5、估計的值，其中。6、求，其中由所圍成.7、計算，其中。8、計算，其中是由及軸所圍成的區(qū)域。9、計算，其中是單位圓在第一象限的部分。自 測 題 7一、填空或

33、選擇1、二元函數(shù)的定義域是 ；2、設，則= ；3、交換積分次序：= ；4、當D是（ ）圍成的區(qū)域時，。 A.軸、軸及 B.C. 軸、軸及 D.5、設，其中D由所圍成，則I=( ) A. B. C. D. 6、設，則（ ） A.與是相同函數(shù) B. 與是相同函數(shù)C. 與是相同函數(shù) D.其中任何兩個都不是相同函數(shù)7、曲線在點(2,4,5)處的切線與軸的正向所成的角為 ；8、由所圍成的閉區(qū)域化為不等式組為 。二、計算1、； 2、 3、求的偏導數(shù)。4、計算，其中D是閉區(qū)域：。第八部分 無窮級數(shù)考核知識點1.數(shù)項級數(shù)：數(shù)項級數(shù)的概念；級數(shù)的收斂與發(fā)散；級數(shù)的基本性質(zhì)；級數(shù)收斂的必要條件2.正項級數(shù)斂散性的

34、判別法：比較判別法；比值判別法3.任意項級數(shù)：絕對收斂；條件收斂；交錯級數(shù)；萊布尼茨判別法考核要求1.理解級數(shù)收斂、發(fā)散的概念。知道級數(shù)收斂的必要條件，了解級數(shù)的基本性質(zhì)。2.掌握幾何級數(shù)的斂散性。3.掌握正項級數(shù)的比值判別法。會用正項級數(shù)的比較判別法。4.掌握調(diào)和級數(shù)與級數(shù)的斂散性。5.知道級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念。會使用萊布尼茨判別法。練習8.1 （數(shù)項級數(shù)）判斷對錯：1、若，則級數(shù)發(fā)散。（ ）2、若，則級數(shù)收斂；（ ）3、收斂級數(shù)加括號后所成的新級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和。（ ）4、發(fā)散級數(shù)加括號后所成的新級數(shù)仍發(fā)散。 （ ）判斷級數(shù)的斂散性：5、；6、；7、； 8、； 9、； 10、練

35、習8.2（正項級數(shù)的審斂法）1、判定的斂散性。 2、判定的斂散性。3、判定的斂散性。 4、討論的斂散性。5、試判定是否收斂？若收斂，試確定是條件收斂還是絕對收斂。考核知識點1.冪級數(shù)的概念：收斂半徑；收斂區(qū)間；收斂域2.冪級數(shù)的基本性質(zhì)3.將初等函數(shù)展開為冪級數(shù)考核要求1.了解冪級數(shù)的概念2.知道冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和、差、逐項求導與逐項積分)。3.掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的方法(包括端點處的收斂性)。4.會運用的馬克勞林展開式，將一些簡單的初等函數(shù)展開為x或的冪函數(shù)。練習8.3（冪級數(shù)）1、求的收斂半徑和收斂區(qū)間(不討論端點)。2、求的收斂區(qū)間(不討論端點)。3、求的收斂區(qū)

36、間(不討論端點)。 4、求的和函數(shù)。自 測 題 8一、填空或選擇1、部分和數(shù)列有界是正項級數(shù)收斂的 條件；2、是級數(shù)收斂的 條件；3、若級數(shù)級數(shù)收斂，則的取值范圍是 ；4、如果級數(shù)收斂，級數(shù)：（1）、（2) 、(3) 、(4) 中收斂的級數(shù)有 ；5、級數(shù)收斂，則的取值范圍是 ；6、若級數(shù)收斂于，級數(shù)則（ ） A.收斂于 B. 收斂于 C. 收斂于 D.發(fā)散7、若級數(shù)和都收斂，則級數(shù)( ) A.一定條件收斂 B.一定絕對收斂 C.一定發(fā)散 D.可能收斂也可能發(fā)散8、是以為周期的函數(shù)，且，則它的傅里葉級數(shù)( ) A.不含正弦項 B.不含余弦項 C.既有正弦項也有余弦項 D.不存在二、判定下列級數(shù)的

37、斂散性1、 2、 3、 4、三、求的收斂半徑與收斂區(qū)間（不討論端點）。第九部分 常微分方程考核知識點1.微分方程的概念：微分方程的定義；階解；通解；初始條件；特解2.可分離變量的方程3.一階線性方程考核要求1.了解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解等概念。2.熟練掌握可分離變量方程及齊次方程的解法。3.熟練掌握一階線性方程的解法。練習9.1（基本概念，可分離變量型微分方程）1、下列微分方程的階為：（1） ； （2） ；（3） ；2、判斷對錯：（1）是方程的通解；( )（2）不是方程的特解；( )（3）是微分方程的解，但既不是通解，也不是特解。（ ）計算：3、解微分方程。 4、求微分方程滿足

38、條件的特解。5、解微分方程練習9.2（齊次方程，一階線性微分方程）1、求方程的通解。2、求微分方程滿足條件的特解。3、解微分方程。4、若曲線上任一點處的切線斜率等于該點處橫坐標與縱坐標之和，且經(jīng)過點（0，2），求此曲線方程。考核知識點1.型方程。2.型方程?？己艘?.會用降階法解型方程。2.會用降階法解型方程。練習9.3（可降階的高階微分方程）1、求方程的通解。 2、求微分方程的通解。3、求方程滿足初始條件的特解。4、求方程滿足初始條件的特解?？己酥R點1.二階線性微分方程解的結構2.二階常系數(shù)齊次性微分方程3.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程考核要求1.了解二階線性微分方程解的結構。2.熟練掌

39、握二階線性常系數(shù)齊次微分方程的解法。3.掌握二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的解法(自由項限定為，其中為x的n次多項式，a為實常數(shù)；，其中為實常數(shù))。練習9.4（二階常系數(shù)線性微分方程）1、設是某二階線性非齊次微分方程的兩個特解，且相應齊次方程的一個解為，則該微分方程的通解為 ；2、微分方程的一個特解應具有形式： 。3、求微分方程的通解。4、求方程滿足初始條件的特解。5、求微分方程的通解。 6、求方程的一個特解。7、求方程的一個特解。 8、求的一個特解。9、求方程的通解。自 測 題 9一、選擇題1、的通解是（ ） A. B. C. D. 2、的特解是（ ） A. B. C. D. 3、方程的通解為

40、（ ）A. B. C. D.4、方程的通解為（ ）A. B. C. D. 5、若是二階齊次線性方程的兩個特解，則（其中為任意常數(shù)）（ ）A.為該方程的通解 B. 是該方程的解C. 為該方程的特解 D. 不一定是該方程的解二、計算：求解下列微分方程：1、。 2、。3、。 4、，時。三、已知某曲線經(jīng)過點(1,1),它的切線在縱軸上的截距等于切點的橫坐標，求該曲線的方程參 考 答 案練習1.11、 。2、D 。 3、C 。 4、。 5、。6、。 7、(1) （2）8、 .練習1.21、 。 2、2 。 3、提示：原極限=。4、提示：由夾逼性， 原極限=3.練習1.31、4 2、0 3、1 4、。 5

41、、0. 6、。 7、。 8、，不存在。 9、不存在。提示：。 10、略練習1.41-4：。5、(1) 。 (2) 1 。（3）0 。（4）0 。（5）1 。練習1.51-6： 。7、。8、0。 9、。10、，等價無窮小代換。練習1.61、1 。 2、可去 、-2 。 3、。 4、（1）。(2) 。 5、略。自測題1一、1-5:BDBCB 6-9:DCCD 10、. 二、1、2 。2、 。3、。4、 。三、提示:。練習2.11-5：CDACB 5：提示：用定義計算 。 6、100！提示：用定義求 。7、 提示：利用可導、連續(xù)的定義求。練習2.21、 。 2、。3、 。 4、。提示：。 5、。6、

42、 ，用取對數(shù)求導法。 練習2.31、 。 2、。 3、。提示：=。 4、略。練習2.41、 。 2、0 。 3、 。4、 ， 。練習2.51、1.161，1.1 2、（1）。 (2)。 (3)。 (4)。(5)。(6)。 (7)。 (8)。3、（1）。 (2)。 4、，。提示：先計算微分。自測題2一、選擇：1-7： BADD ABB 。二、1、2、三、 四、略練習3.11、提示：。2、提示:令，取區(qū)間，用拉格朗日中值定理證。3、提示：令，由零點定理知方程有一根，不妨設。再由反證法和羅爾定理證明只有一個實根。即設方程另有一實根，不妨設，則由羅爾定理，得。又，因所以。矛盾。練習3.21、 。 2、

43、 。 3、1 。 4、3 。 5、1 。練習3.31、（1）在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加；（2）在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加； 2、（1）極大值，極小值。用第二判別法判。 （2）極大值。用第一判別法判。 3、用單調(diào)性證。練習3.41、c 2.c 3.b 4.c 5、 6、7、。提示：在以為端點的區(qū)間內(nèi)考慮函數(shù)的凹凸性，然后利用凹凸性的定義即可證明所需結論。練習3.51-4： 。5、。 6、當垂直于墻壁的邊長為5米，平行于墻壁的邊長為10米時，所圍成矩形小屋的面積最大，為50平方米。練習3.61、， 2、無水平漸近線，鉛垂?jié)u近線為，斜漸近線。自測題3一、1-6：DAB DBC。二、1、

44、在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。 2、極大值：。 3、。三、顯見的根是存在的。令，利用單調(diào)性來證惟一性。練習4.11-4：。 5-7: CAB 。 8、。 9、 。練習4.21、 。2、 。3、 。4、 。5、 。 6、 。 7、 。 8、。 9、。10、。 11、。 12、。13、。 14、。 15、。16、。練習4.31-2: CC 。3、 ，令。4、，令。5、，令。 6、，令。練習4.41、。2、。3、。4、。5、。6、。7、。8、，連續(xù)用兩次分部積分法。9、，連續(xù)用兩次分部積分法，再解方程求得。自測題4一、1-4：DDBD 5-8：BBBC。 二、1、。2、。3、，提示：令。4、，用分部積分法。 三、。練習5.11-2：BC 3、0 。 4、 。5、 。練習5.21-3：ADD 。4、 。 5、 。 6、 。 7、 。 8、1。練習5.31-2：DD 。 3、。 4、。