5.3.1函數(shù)的單調(diào)性課件

1、第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性 必備知識(shí)自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.怎樣描述函數(shù)的圖象上升、下降的性質(zhì)?2.什么是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?1.函數(shù)的單調(diào)性(1)定義函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)圖示 條件設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間IA.如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2,當(dāng)x1x2時(shí),都有_都有_結(jié)論(1)y=f(x)在區(qū)間I上是_(2)I稱(chēng)為y=f(x)的增區(qū)間(1)y=f(x)在區(qū)間I上是_(2)I稱(chēng)為y=f(x)的減區(qū)間f(x1)f(x2)增函數(shù)減函數(shù)(2)本質(zhì):函數(shù)的單調(diào)性反映的是兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)變換規(guī)律,定量地刻畫(huà)了函數(shù)在區(qū)間上圖象的變化趨勢(shì),是函數(shù)諸多性質(zhì)中最核心、最本質(zhì)的性質(zhì).(3)應(yīng)用:證明函數(shù)的單調(diào)性、比較

2、大小、解不等式、求參數(shù)范圍等.【思考】函數(shù)單調(diào)性的定義中,能否將“任意”改為“存在”?提示:不能,一些特殊的值滿(mǎn)足并不能說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性.2.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù),那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.增區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)區(qū)間.【思考】函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的每一個(gè)區(qū)間D1,D2,上都單調(diào)遞減,那么函數(shù)在定義域上是減函數(shù)嗎?你能舉例說(shuō)明嗎?提示:不是.如函數(shù)y= 在(-,0),(0,+)上都單調(diào)遞減,但在定義域上不具有單調(diào)性.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”)(1)函數(shù)f(x)=x2,因?yàn)?12,且f(-1)f(2),則函

3、數(shù)是增函數(shù).()(2)函數(shù)f(x)= 在(-,0)(0,+)上是減函數(shù).()(3)函數(shù)f(x)在某一區(qū)間D上要么是增函數(shù)要么是減函數(shù).()提示:(1).函數(shù)f(x)=x2在R上不具有單調(diào)性.(2).函數(shù)f(x)= 的減區(qū)間為(-,0),(0,+),不能用“并”表示.(3).常數(shù)函數(shù)不具有嚴(yán)格的單調(diào)性.2.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,其減區(qū)間是() A.-4,4B.-4,-31,4C.-3,1D.-4,-3,1,4【解析】選D.由圖象知函數(shù)在-4,-3以及1,4上是減函數(shù),則對(duì)應(yīng)的減區(qū)間為-4,-3,1,4.3.(教材二次開(kāi)發(fā):習(xí)題改編)若函數(shù)f(x)=(2k-1)x+1是減函數(shù),則實(shí)數(shù)k的

4、取值范圍是_.【解析】由題意知,2k-10,解得k .答案: 關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.(2020龍巖高一檢測(cè))圖中是定義在區(qū)間-5,5上的函數(shù)y=f(x),則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)在區(qū)間-5,-3上是增函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間1,4上是增函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間-3,14,5上是減函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間-5,5上沒(méi)有單調(diào)性2.(2020海淀高一檢測(cè))下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()A.y=|x|-2B.y=|x-3|C.y= D.y=-x23.(2020周口高一檢測(cè))函數(shù)y=|x|(1-x)在區(qū)間A上是減函數(shù),那

5、么區(qū)間A是()A.(-,0)B. C.0,+)D.(-,0), 【解析】1.選C.若一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí),不能用“”連接.2.選A.根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A,y=|x|-2= 在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù),符合題意;對(duì)于B,y=|x-3|= 在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù),不符合題意;對(duì)于C,y= ,在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù),不符合題意;對(duì)于D,y=-x2,在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù),不符合題意.3.選D.y=|x|(1-x)= 再結(jié)合二次函數(shù)圖象可知函數(shù)y=|x|(1-x)的減區(qū)間是(-,0), 【解題策略】圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)作圖:作出函數(shù)的圖象.(2)結(jié)論

6、:上升圖象對(duì)應(yīng)增區(qū)間,下降圖象對(duì)應(yīng)減區(qū)間.【補(bǔ)償訓(xùn)練】 畫(huà)出函數(shù)y=|x|(x-2)的圖象,并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】y=|x|(x-2)= 函數(shù)的圖象如圖所示.由函數(shù)的圖象知:函數(shù)的增區(qū)間為(-,0)和1,+),減區(qū)間為0,1).類(lèi)型二利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【典例】證明函數(shù)f(x)= 在區(qū)間(2,+)上是減函數(shù).四步內(nèi)容理解題意條件:函數(shù)f(x)= ,x(2,+)結(jié)論:函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+)上是減函數(shù)思路探求任取x1,x2(2,+),且x1f(x2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+)上是減函數(shù)四步內(nèi)容書(shū)寫(xiě)表達(dá)設(shè)x1,x2為區(qū)間(2,+)上的任意兩個(gè)值,且x1x2

7、,因?yàn)?x10, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以函數(shù)f(x)= 在區(qū)間(2,+)上是減函數(shù).注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性:x1,x2取值任意且分大小;變形是解題關(guān)鍵. 題后反思利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是作差之后的變形,且變形的結(jié)果是幾個(gè)因式乘積的形式. 【解題策略】利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟【跟蹤訓(xùn)練】(2020哈爾濱高一檢測(cè))求證:函數(shù)f(x)=- -1在區(qū)間(-,0)上是增函數(shù).【證明】設(shè)x1,x2為(-,0)上的任意兩個(gè)值,且x1x2,f(x1)-f(x2)=因?yàn)閤1x20,所以x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0時(shí),函數(shù)y= 與y=f(x)

8、的單調(diào)性相反,對(duì)于f(x)0時(shí),函數(shù)f(x)與cf(x)具有相同的單調(diào)性;當(dāng)c0,函數(shù)y=x+ 的圖象如圖1所示,則函數(shù)y=x+ 的增區(qū)間是(-,- 和 ,+),減區(qū)間是(- ,0)和(0, ).(2)若a-1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.(3,+)B.(-,3)C.2,3)D.0,3)【思路導(dǎo)引】從定義域,單調(diào)性?xún)蓚€(gè)方面列不等式求范圍.【解析】選C.因?yàn)閒(2)=-1,所以由f(2x-4)-1得,f(2x-4)f(2),又因?yàn)閒(x)在0,+)上是減函數(shù),所以02x-42,解得2x-1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是2,3).【變式訓(xùn)練】本例的條件若改為“增函數(shù)”,試求x的取值范圍.【解析】因?yàn)閒(2)=

9、-1,所以由f(2x-4)-1,得f(2x-4)f(2),又f(x)在0,+)上是增函數(shù),所以2x-42,解得x3.角度2分段函數(shù)的單調(diào)性【典例】(2020宜春高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)= 是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【思路導(dǎo)引】分別考查x1,x1,分界點(diǎn)三個(gè)方面的因素求范圍.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)= 在(-,+)上是增函數(shù),又函數(shù)y= ax2-ax-1的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,所以 解得- a0,則m的取值范圍是()A.(-,-1)B.(-,-2)C.(-1,+)D.(-2,+)【解析】選D.因?yàn)閒(x)=x|x|= 所以f(x)在R上是增函數(shù),且f(-x)=-f(x),所以由f(2m+1)

10、+f(1-m)0得,f(2m+1)f(m-1),所以2m+1m-1,解得m-2,所以m的取值范圍為(-2,+).2.定義域在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意的x1,x2R,且x1x2,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,則有()A.f(-2)f(1)f(3)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(3)f(-2)f(1)D.f(3)f(1)0,當(dāng)x1x2時(shí),x1-x20,則f(x1)-f(x2)0,即f(x1)x2時(shí),x1-x20,則f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).可得函數(shù)f(x)是在R上的增函數(shù),所以f(-2)f(1)f(3).3.已知函數(shù)f(x)= 是定義在R上的減函數(shù),

11、則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【解析】根據(jù)題意,函數(shù)f(x)= 是R上的減函數(shù),必有 1,且a-40時(shí),恒有f(x)1.(1)求證:f(x)是增函數(shù).(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)2.【思路導(dǎo)引】(1)按照單調(diào)性的定義,構(gòu)造f(x2)-f(x1),再判斷符號(hào).(2)將2化為f(x0)的形式,再利用單調(diào)性解不等式.【解析】(1)設(shè)x1,x2是任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x10,所以f(x2-x1)1,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10,即f(x2)f(x1),所以f(x)是R上的增函數(shù).(2)因?yàn)閙,

12、nR,不妨設(shè)m=n=1,所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1,即f(2)=2f(1)-1,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4,所以f(1)=2.所以f(a2+a-5)f(1),因?yàn)閒(x)為增函數(shù),所以a2+a-51,得-3a2,即a(-3,2).【解題策略】關(guān)于抽象函數(shù)的單調(diào)性證明(1)證明抽象函數(shù)的單調(diào)性的根本還是單調(diào)性的定義,要圍繞構(gòu)造定義式展開(kāi)思維.(2)構(gòu)造定義式的依據(jù)是已知的抽象函數(shù)的性質(zhì)關(guān)系式,需要靈活進(jìn)行自變量的賦值、拆分、組合,直到構(gòu)造出f(x1)-f(x2),再利用已知條件展開(kāi)化簡(jiǎn).【跟蹤訓(xùn)練】若f(x)的定

13、義域?yàn)?0,+),當(dāng)0 x1時(shí),f(x)0,滿(mǎn)足f( ) =f(x)-f(y).(1)證明函數(shù)f(x)是增函數(shù).(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f( )2.【解析】(1)因?yàn)楫?dāng)0 x1時(shí),f(x)0,x1,x2(0,+),x1x2,則0 1,f(x1)-f(x2)=f( )0,所以f(x1)f(x2),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù).(2)因?yàn)閒(6)=1,所以2=1+1=f(6)+f(6),所以不等式f(x+3)-f( )2,等價(jià)為不等式f(x+3)-f( )f(6)+f(6).所以f(3x+9)-f(6)f(6),即f( )f(6),因?yàn)閒(x)在(0,+)上是增函數(shù),所以 解得-3x9,即不等式的解集為(-3,9).課堂檢測(cè)素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.函數(shù)y=|x|-1的減區(qū)間為()A.(0,+)B.(-,0)C.(-,-1)D.(-1,+)【解析