全國高中物理競(jìng)賽磁場(chǎng)訓(xùn)練題答案

1、【訓(xùn)練題答案】1、如圖（ a）所示，一質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，其半徑為R ，質(zhì)量為 M 。令此環(huán)均勻帶正電， 總電荷量為 Q ，現(xiàn)將此環(huán)平放在絕緣的光滑水平桌面上， 并處于磁感強(qiáng)度為B 的均勻恒磁場(chǎng)中， 磁場(chǎng)方向R垂直向下， 當(dāng)此環(huán)繞通過其中心的豎直軸以勻角速度沿圖示方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，環(huán)中張力增加多少？解：環(huán)靜止時(shí)圓環(huán)上電場(chǎng)強(qiáng)度不為零，環(huán)中電荷已受電場(chǎng)力，因而環(huán)內(nèi)必有張力，現(xiàn)要求的是由于環(huán)旋轉(zhuǎn)而形圖（ a）成的附加張力，故可不考慮其原有張力。當(dāng)環(huán)旋轉(zhuǎn)時(shí)，電荷隨環(huán)一起運(yùn)動(dòng)形成電流，故每小段圓弧均受到磁場(chǎng)對(duì)它的作用力，方向沿半徑向外， 它和小段圓弧環(huán)兩側(cè)所受附加張力的合力提供小段圓弧環(huán)作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。

2、如圖（ b）所示，設(shè)小圓弧環(huán)質(zhì)量為m ，其兩端所對(duì)的圓心角為，所受安培力為 f ，附加張力記為T ，由圓周運(yùn)動(dòng)條件得2T sinfm 2 RTR2f當(dāng)很小時(shí)sinO22又mmmT2RRQ2fBIlBR圖（ b）2代入上式后解得TR(QBm)22、如圖所示，將均勻細(xì)導(dǎo)線做成的環(huán)上的任意兩點(diǎn)A 和 B 與固定電源連接起來，計(jì)算由環(huán)上電流引起的環(huán)中心的磁感強(qiáng)度。解：雖然沒有環(huán)形電流的磁感強(qiáng)度的計(jì)算公式，但是我們?nèi)鏘 2果把環(huán)形電流分成無數(shù)個(gè)小段直線電流，由于電流元在圓心O 處形成的磁感強(qiáng)度的方向都垂直于圓平面，所以可以用微元累加法rO來求磁感強(qiáng)度的大小。依此可求出如圖所示的I1、 I 2 在圓心處分

3、別產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度，最后確定圓心處的磁感強(qiáng)度。AB設(shè) A 、B 兩點(diǎn)之間的電壓為U ，導(dǎo)線單位長(zhǎng)度上的電阻為，II 1I由歐姆定律得I1U，I2Urar ( 2r a)磁感強(qiáng)度 B 可以看成是圓環(huán)的各個(gè)電流微元的貢獻(xiàn)之和。因B K I lr所以B1KI1l1K I1 ra KI 1arrB2K I 2l 2K I 2 r (2 a) KI 2 (2a)rr因?yàn)?I 1 raI 2r (2a) ，故 B1 B2 ，即來自兩部分的磁感強(qiáng)度的大小相同，而磁場(chǎng)的方向正好相反，因此環(huán)中心的磁感強(qiáng)度為零。顯然，這一結(jié)果跟A、 B 兩點(diǎn)在環(huán)上的位置無關(guān)。3、一根長(zhǎng)為 l 的導(dǎo)線，載電流為 I ，如果此導(dǎo)線繞成

4、單匝線圈放在磁感強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，什么條件下，這個(gè)線圈所受的磁力矩最大？最大磁矩值是多少？解：本題中線圈的形狀未定，線圈平面與磁感線的夾角也未定，為簡(jiǎn)單起見， 解題時(shí)可分兩步來討論。先設(shè)任意形狀的線圈放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感強(qiáng)度 B 平行于線圈平面， 如圖所示， 把載流線圈所圍面積分成許多塊與B 平行的小狹條，左右側(cè)邊lK 、l K的電流元受到的安B培力為xhFKBIl K sinFKBIl K sin式中、為線圈上兩小段弧長(zhǎng)l K 、 l K 中的電流與 B 的夾角。因lK sinlKsinhFK 、 FK 組成一對(duì)小力偶，力偶矩為M KFKxBIhxBISK （ SK 為第 K 狹條的

5、面積）整個(gè)線圈所受力矩MM KBI (h1 x1h2 x2hn xn )BI (S1S2Sn )BIS為線圈總面積因此，當(dāng)周長(zhǎng)為一定時(shí)，要使S 最大，必須把線圈繞成圓形。現(xiàn)在再來討論線圈平面和B 夾 角這種普遍情況，這時(shí)上面討論中考慮的第K 狹條所受的安培力未變，但力偶臂變?yōu)閤cos，所以要使力偶矩最大，必須使cos1，即0 （線圈平面與B 平行）由 l2 R，得lR2即 Sr 2 l 2，代入后4BIl 2得 M max44、如圖（ a）所示，兩根平行金屬棒與兩金屬彈簧構(gòu)成回路， 已知棒長(zhǎng)為只能作左右對(duì)稱的振動(dòng)， 邊緣效應(yīng)可以忽略， 已知彈簧的勁度系數(shù)為 K ，原長(zhǎng)為 l 0（ l 0L ）

6、，設(shè)以某種方式使回路有恒定的電流I ，設(shè)電磁感應(yīng)可以忽略，試求兩棒圍繞平衡位置作小振動(dòng)的周期。解：兩棒中通有等值反向的電流，彼此間有斥力作用，當(dāng)彈簧 L m 伸縮時(shí)又有彈力作用，先確定兩棒的平衡位置。設(shè)平衡時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)l ，彈簧長(zhǎng)度為 ll0l 。兩棒所受彈力F2K l安培力F安IBLIL0 I0I 2L2(l0l ) 2(l0 l )故平衡條件為2Kl0I 2L2(l 0l )即4 K (l ) 24 Kl 0 (l )0I 2L0解出正根l12I 2 Ll02l 0Kl 010I2L12Kl 02故平衡時(shí)兩棒距離為L(zhǎng) ，質(zhì)量為 m ，Kl 0L mKl 0圖（ a）l l 0ll 010

7、I2 L12Kl 02取 x 軸如圖（ b），原點(diǎn) O 設(shè)在右棒的平衡位置。設(shè)右棒向右棒棒偏離小量 x ，同時(shí)左棒向左偏離小量x ，即當(dāng)兩棒相距(l2x)時(shí)，右棒受力為lOx圖（ b）Fx0I 2L2K ( l2x)(l22x)0I 2L(12x) 12Kl4Kx2ll0I 2L0I 2L2x2Kl 4Kx2l2 l()l0 I 2L ( 2x)4Kx2 ll4(1l)Kxl令l，有l(wèi)Fx4(1) Kx4(1) K2mTm(1)K而l10 I2 L110 I2 L1lKl 02Kl 025、如圖所示回旋加速器示意圖，在D 型盒上半面出口處有一個(gè)正離子源，試問該離子在下半盒中每相鄰兩軌道半徑之比

8、為多少？解：設(shè)正離子的質(zhì)量為 m，電荷量為 q ，兩盒間加速電壓大小為 U ，離子從離子源射出，經(jīng)電場(chǎng)加速一次，第一次進(jìn)入下半盒時(shí)速度和半徑分別為2qU， R1mv1v1Bqm第二次進(jìn)入下半盒時(shí)，經(jīng)電場(chǎng)加速三次，進(jìn)入下半盒時(shí)速度和半徑分別為v223qU， R2m v2mBq第 k 次進(jìn)入下半盒時(shí)，經(jīng)電場(chǎng)加速( 2k1) 次，進(jìn)入下半盒時(shí)速度和半徑分別為vk2( 2k1)qUmvkm， RkBq所以，任意相鄰兩軌道半徑之比Rkvk2k1Rk 1vk12k1可見，粒子在回旋加速器中運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道是不等距分布的。6、 s 為一離子源， 它能機(jī)會(huì)均等地向各方向持續(xù)的大量發(fā)射正離子，離子質(zhì)量皆為m ，電荷

9、皆為q ，速率皆為v0 。在離子源的右側(cè)有一半徑R 的圓屏，如圖（a）所示。圖中OO是通過圓屏的圓心并垂直于屏面的軸線，足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為s 位于軸線上。 離子源和圓屏所在的空間有一范圍B ，方向垂直于圓屏向右。在發(fā)射的離子中，有的離子不管 sO 的距離如何改變，總能打到圓屏上，試求這類離子的數(shù)目與總發(fā)射離子數(shù)之比。不考慮離子間的碰撞。OaaDOs0 Os0Eh圖（ a）圖（ b）圖（ c）解：由于離子速度都有平行于與垂直于磁場(chǎng)的分量 與v，故離子在磁場(chǎng)中將作螺旋v線運(yùn)動(dòng)，如圖（ a）所示。設(shè)某一離子的初速度與OO 夾角為，顯然vv0 cos， vv0 sin螺旋線半徑和周

10、期分別表示為mv0 sinrBq2 mTBq從圖（ a）可知該螺旋線與OO 相交，也就是說離子若要打到圓屏上，必須Rr2si nBqR即s i n 02mv0其中0 是能打中圓屏面的臨界角。若以 s 為球心， 任取一半徑 a 作一球面， 所有0的離子均位于圖（b）中圓錐角為0 的圓錐內(nèi)。由于離子源向各方向均勻的發(fā)射，故在圓錐內(nèi)離子數(shù)N與總發(fā)射離子數(shù)N0 之比等于圓錐所對(duì)球冠面積S 與球面面積S04 a2 之比。圖（ c）畫出了這一球冠，圓錐中心軸上D、E 間距離就是球冠的高h(yuǎn) ，則 ha(1cos0 ) ，而球冠公式S2 ah2 a2 (1cos 0 )NS2 a2 (1cos 0 )NS04

11、 a2故1 (11sin 20 )2111( BqR ) 2 22m v07、如圖所示，圓柱形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)為B ，半徑為 R 。對(duì)稱放置的三個(gè)相同的電容器電壓為 U ，板間距為 d ，與場(chǎng)區(qū)相切的極板，在切點(diǎn)處均有U a d60 O1小缺口。一帶電粒子，質(zhì)量為m ，電荷量為 q ，自某電容器O3極板上的 M 點(diǎn)由靜止起動(dòng)，M 點(diǎn)在缺口 a 的正上方，若經(jīng)r過一段時(shí)間，粒子恰可返回M ，不計(jì)重力，求：RO B（ 1） U 與 B 所滿足的關(guān)系；cb（ 2）粒子的運(yùn)行周期 T 。解：（ 1）設(shè)帶電粒子帶正電，則平行板電容器外側(cè)極板處于高電勢(shì)。粒子運(yùn)行的過程為：從M 點(diǎn)出發(fā)由靜止加速到O2vaO1

12、回旋 60b，此時(shí)到達(dá)缺口，經(jīng)圓運(yùn)動(dòng)繞到缺口 ，在第2 個(gè)電容器內(nèi)減速到零，復(fù)又加速至 v 如此運(yùn)動(dòng)當(dāng)其回到 M 點(diǎn)時(shí)速度為零，完成一個(gè)周期。可以列出下述方程qU1 mv22qvBm v2rr3R式中 r 為粒子回旋半徑。解之得3B2 R2qU2m（ 2）設(shè) t1 為粒子在磁場(chǎng)中回旋60 的時(shí)間， t2 為其在電場(chǎng)中加速（加速度為a ）的時(shí)間，則1 2 mmt13qB6 qB2d2d2mt2qUdaqUmd粒子運(yùn)動(dòng)周期為T 3t1 6t2m 6d2mqBqU8O xyz中z軸豎直向上，在點(diǎn)（00Q的、在坐標(biāo)系， ， h ）處，固定一個(gè)電荷量為點(diǎn)電荷，同時(shí)還有一個(gè)豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為

13、B 。今有兩個(gè)粒子，第一個(gè)粒子質(zhì)量為 m1 ，電荷量為 q1 （ q10 ），第二個(gè)粒子質(zhì)量為m2 ，電荷量未知。首先，第一個(gè)粒子在 xOy 平面內(nèi)以 O 為圓心，作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，然后第二個(gè)粒子從遠(yuǎn)處飛來，沿著圓周切線方向， 與第一個(gè)粒子發(fā)生完全非彈性碰撞，并結(jié)合成一個(gè)復(fù)合粒子，如果這個(gè)復(fù)合粒子仍然在 xOy 平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，問：1）第二個(gè)粒子帶有多少電荷？2）第二個(gè)粒子是從第一個(gè)粒子的前面還是后面飛來與之相碰的？3）第二個(gè)粒子碰前的速度是多少？解：根據(jù)題意可畫出圖（a）。zQB（ 1 ）電荷 q1 受三個(gè)力作用：重力m1g ，靜電力F KQq1，磁場(chǎng)力 f q1vB 。hRR2o Fr

14、y電荷作圓運(yùn)動(dòng)的方向有順、逆時(shí)針兩個(gè)，由運(yùn)動(dòng)方fq1向的不同可推出磁場(chǎng)力的方向也有兩個(gè)：一個(gè)沿圓半徑vxm1 g向里，一個(gè)沿圓半徑向外，為此，我們假定圓周運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)的正方向如圖所示。圖（ a）在豎直方向K Qq21 cosm1gR沿圓半徑方向K Qq21 sinq1rB m12 rR因 R sinr ， R cosh ，有、式消去R ，得m1gq1B2hm1解得q1B( q1 B )24 gm1m1h2q1B( q1 B )24 g即1m1m1h2q1 B( q1B ) 24 gm1m1h22的負(fù)值對(duì)應(yīng)與圖中旋轉(zhuǎn)方向相反。對(duì)于復(fù)合粒子，、方程只要作相應(yīng)改變q1(q1q2 )m1(m1m2 )因此

15、有K Q (q1q2 )cos(m1m2 ) gR 2K Q (q1q2 ) sin(q1q2 )rR (m1 m2 ) 2rR2可得q1m1q1q2m1m2即q1q1q2q2m1m1m2m2故q2m2q1m12）從式看出，電荷作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小與荷質(zhì)比有關(guān)，且有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向；由式可知，碰撞后的復(fù)合粒子的角速度可能與原來粒子的角速度方向相反的，即12，或21 。因此第二個(gè)粒子只可能迎面相撞。（ 3）設(shè)第二個(gè)粒子碰撞前的速度是u ，由動(dòng)量守恒，有第一種情況m2um1 1r(m1 m2 ) 2 r將2 中的 m1、 q2 用 ( m1m2 ) 、 (q1 q2 ) 替換，因?yàn)閝1q1q2 ，所

16、以 2 2 。m1m1m2u ( m1m2 )2 r m1 1r m2( m1m2 )2 r m1 1r m2第二種情況m2u m12 r( m1 m2 ) 1ru ( m1m2 ) 1r m1 2 r m2將 1 、 2 的數(shù)值表達(dá)式代入u 的表達(dá)式，即可求出 u 。9m、電荷量分別為q 和q 的粒子固定在長(zhǎng)度為 l 的輕、電偶極子是由兩個(gè)質(zhì)量均為硬桿的兩端構(gòu)成的，空間有垂直于桿的磁場(chǎng)，磁感總強(qiáng)度為B 。如圖（ a）所示，初始時(shí)，偶極子以角速度0 轉(zhuǎn)動(dòng)，且質(zhì)心靜止，然后釋放。試描述偶極子穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。解：認(rèn)為偶極子的運(yùn)動(dòng)為中心的運(yùn)動(dòng)與兩電荷繞中心的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成（如圖（a）所示），因?yàn)樽赞D(zhuǎn)，系

17、統(tǒng)受洛倫茲力大小為f 洛Bqlm, q方向由q 指向 q 。O因?yàn)橘|(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)受一力偶作用，力偶矩為v0MBqvcl cosm, q當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，角速度不再變化，故此時(shí)力偶矩必為零，則圖（ a）cos0 ，2可見 vc 應(yīng)時(shí)時(shí)刻刻與桿垂直，由此知中心也應(yīng)以同一角速度運(yùn)動(dòng)情形如圖（b）。O 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)半徑r 由動(dòng)力學(xué)方程確定。f 洛Bq l2m2r繞空間某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。穩(wěn)定m, qO得rBqlr2m再由能量守恒1 m (r21 m21 m( 0l )2l )(rl )2222222得l04r 2l 2代回 r 表達(dá)式得rBql2m 024Bqm 02Bqm 00m, qO圖（ b）10、勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)

18、 E20 104 V m-1 ，勻強(qiáng)磁場(chǎng) B 3 10 2 T，兩者互相平行，如圖（a）所示。現(xiàn)有150eV的質(zhì)子與場(chǎng)垂直沿x 軸正方向射入場(chǎng)內(nèi)，有一感光片垂直于初速度方向與質(zhì)子相距5.1cm，求：（ 1）質(zhì)子經(jīng)過多少時(shí)間能打到感光片上？（ 2）打在感光片的哪個(gè)位置？（質(zhì)子質(zhì)量m 1.67 10 27kg）yzB EvxzOx圖（ a）圖（ b）解：如圖（ b）所示，質(zhì)子在 xOz 平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在 y 方向作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)子實(shí)際上的運(yùn)動(dòng)是這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成，其運(yùn)動(dòng)半徑為mv2mEk5.8 （cm）RBqBq由sind R得61.6質(zhì)子能打到感光片上的時(shí)間為t61.6T61.6R2

19、m3.73 10 7 （s）360Ek2）質(zhì)子打在感光片上的具體位置為y1qE t 213 （ cm）2mzR(1cos )2.95 （ cm）x5.1 （ cm）11、如圖所示，空間的勻強(qiáng)電場(chǎng)沿y 方向，勻強(qiáng)磁場(chǎng)沿z 方向，有帶正電粒子（已知 m ， q ）從 O 點(diǎn)出發(fā)沿x 方向以初速度y2 E 射入場(chǎng)區(qū)，求：v0Bx 軸最遠(yuǎn)距B（ 1）此帶電粒子到達(dá)的地方到離；（ 2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡跟x 軸相切的點(diǎn)的坐標(biāo)。Ov0（不計(jì)重力）x解：（ 1）粒子從 O 點(diǎn)出發(fā)，受洛倫茲力指向y 方向，電場(chǎng)力指向y 方向，由于一開始 qBv0qE ，所以粒子向y 方向偏轉(zhuǎn)，因而在電場(chǎng)力做負(fù)功之下減速。 洛倫茲力

20、完全不做功， 粒子速度減為0 處就是距離 x 軸最遠(yuǎn)處。之后再電場(chǎng)力作用下粒子向y 方向加速，又在洛倫茲力作用下偏轉(zhuǎn)，軌跡具有軸對(duì)稱性，到達(dá)與 x 軸相切處速度恢復(fù)為 v0 2 E 。B粒子在 O 點(diǎn)出發(fā)時(shí)速度 v0 可分解為兩個(gè)分速度，其中一個(gè)大小為E ，這個(gè)分運(yùn)動(dòng)是沿x 軸正向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，B（向 y并因?yàn)檫@一分運(yùn)動(dòng)， 使電場(chǎng)力與洛倫茲力的一個(gè)恒定分力方向）抵消了；另一個(gè)分速度大小也是E ，粒子因這一分運(yùn)動(dòng)只受洛倫茲力，從O 點(diǎn)起就B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑為mEmE，圓心在y 軸上 yr 處。粒子的真實(shí)軌跡就rqB 2qBB是沿x 方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和該勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。設(shè)在距 x

21、軸最遠(yuǎn)處粒子速度大小為0，根據(jù)動(dòng)能定理01 mv02qEymax21 mv022mE得ymax2qEqB 2（ 2）帶電粒子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是由兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成的，一個(gè)是速率為Ex 方向v1，沿B的勻速直線運(yùn)動(dòng)；一個(gè)是逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，從O 點(diǎn)出發(fā)，半徑為mE，周期為 2m 的勻qB2qB速圓周運(yùn)動(dòng)。粒子與x 軸相切的第一點(diǎn)的坐標(biāo)為xv1TE2 m2 mEBqBqB2由于運(yùn)動(dòng)有周期性，粒子與x 軸相切點(diǎn)有許多個(gè)，其坐標(biāo)是xn2n mE，其中 n 是qB 2正整數(shù)。12、如圖所示， x 軸上方有個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，反向y垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0.2T。令一質(zhì)子以速率 v02 106 m s ，由 y 軸

22、上 A 點(diǎn)沿v0BAy 方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，回旋了210之后進(jìn)入P30 x 軸下方的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)，場(chǎng)強(qiáng)大小CEOxE 3 105 V m ，電場(chǎng)線方向與60y 軸正方向的夾v0角 30，不計(jì)重力。E（ 1）求質(zhì)子從A 點(diǎn)出發(fā)到再次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)需要的時(shí)間。（ 2）再次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)時(shí)進(jìn)入點(diǎn)的坐標(biāo)值是多少？解：質(zhì)子的質(zhì)量 m1.6710 27 kg ，電荷量 q1.610 19 C 。質(zhì)子在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn) 210圓弧，速度 v0 大小不變，則有rmv01.6710 272106m10.4cmqB1.610 190.2時(shí)間t12m 2107mqB3606qB進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為C (r (1cos30),0)

23、，即 C (19.4,0) 。以 v0 進(jìn)入電場(chǎng)后質(zhì)子做拋物線運(yùn)動(dòng)，沿x 軸與 y 軸的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)是xv0cos60t1 qEcos60t 21v0t1 qE t 22 m24 myvsin 60t1 qEsin 60t 23 v t3 qE t 202 m204m重新進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的進(jìn)入點(diǎn)，y0，從式可以解出t22mv0，代入式可得qEx1v0 2mv01 qE (2mv0 ) 22mv0227.8cm2qE4 mqEqE注意：這個(gè) x 值不是從原點(diǎn)O 算起而是從 C 點(diǎn)算起，易知，該進(jìn)入P 點(diǎn)的坐標(biāo)值為：yP0 ， xPx | xC |27.8cm19.4cm8.4cm總時(shí)間t總t1t 27m

24、2mv0m ( 72v0 )3.3 10 7 s6qBqEq6BE13、如圖（）所示，在 xOy 坐標(biāo)面的原點(diǎn) O 處有一帶電ya粒子發(fā)射源， 發(fā)射出的粒子相同， 質(zhì)量為 m ，電荷量為 q0 。vD粒子的出射速率同為 v ，出射方向與x 軸的夾角在 0范m, qOx圍內(nèi)。 略去粒子間的相互作用， 設(shè)計(jì)一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)， 使得這些粒子通過磁場(chǎng)力的作用能形成寬度為D 且沿 x 軸方向行進(jìn)的圖（ a）平行粒子束。解：可供設(shè)計(jì)選擇的磁場(chǎng)并不唯一，為盡可能簡(jiǎn)單，取勻強(qiáng)磁場(chǎng)。為使帶正電粒子最終朝 x 軸方向運(yùn)動(dòng)， B 的方向應(yīng)垂直于 xOy 平面朝外。帶電粒子從O 點(diǎn)出射后，在磁場(chǎng)區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)，圓半徑為m

25、vRqB若 xOy 平面上處處都有磁場(chǎng)，粒子將在各自圓軌道上持續(xù)運(yùn)動(dòng)，不可能沿x 軸射出。參考圖（ b），為使粒子能從圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)檠豿 軸的直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)讓粒子在圖中P 點(diǎn)沿圓的切線方向射出。這意味著P 點(diǎn)的左側(cè)有磁場(chǎng)，P 點(diǎn)右側(cè)沒有磁場(chǎng)，或者說P 點(diǎn)即為所設(shè)計(jì)磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)。 P 點(diǎn)坐標(biāo) x 、 y 由角確定如下y2RxR sin ， yRR cosBDv不同的 角對(duì)應(yīng)不同的P( x, y) ，這些 P 點(diǎn)構(gòu)成磁場(chǎng)邊P( x, y)Ox界線，上述兩式既是磁場(chǎng)邊界線的參量方程。消去參量，R即可得邊界線的顯示方程x2( y R)2R2圖（ b）這是一個(gè)圓心在y 軸，半徑也為R 的圓，已在圖（ b）

26、中示出。為使出射粒子束寬度為D ，要求DR2與前面給出的R 和 B 的關(guān)系式聯(lián)立，即得B2mvqD需要指出，上面所得的邊界方程其實(shí)給出的是由出射點(diǎn)組成的磁場(chǎng)右半圓邊界線，這部分曲線必須嚴(yán)格界定，磁場(chǎng)既不能向外擴(kuò)展，也不可朝內(nèi)收縮。磁場(chǎng)的左半圓邊界并非由粒子出射點(diǎn)構(gòu)成， 它是為保證從O 點(diǎn)射出的發(fā)射角在范圍的粒子能形成圓周運(yùn)動(dòng)2而設(shè)定的， 這部分曲線可允許向外延伸， 但不可朝內(nèi)收縮，或者說磁場(chǎng)可向外擴(kuò)展，但不可朝內(nèi)收縮。14、設(shè)在討論的空間范圍內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)， B 的方向垂直圖（ a）所示紙平面，且朝紙內(nèi)。在紙平面上有一長(zhǎng)為h 的光滑絕緣空心細(xì)管 MN ，管的 M 端內(nèi)有一帶正電

27、的小球P1 ，在紙平u2 45BB NP22h面上 N 正右前方 2h 處有一不帶電的小球P。開始時(shí) P相21h對(duì)管靜止， 管帶著 P1 以垂直于管長(zhǎng)度方向的速度u1 朝著圖u1P1示正右方向運(yùn)動(dòng)， 小球 P2 在紙平面上以與MN 延長(zhǎng)線方向B MB圖（ a）成 45 角的速度 u2 運(yùn)動(dòng)。已知 P1 離開管的 N 端時(shí)相對(duì)紙平面的速度大小恰為2u1 ，且在離開管后最終能與 P2相碰，試求 P1 的荷質(zhì)比以及 u1 和 u2 的比值。（設(shè) P1 在管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)對(duì)管運(yùn)動(dòng)的影響可忽略）解： P1 因參與 u1 運(yùn)動(dòng)而受到指向N 端的洛倫茲力，其值為Fqu1B其中 q0 為 P1 的電荷量。P1 對(duì)應(yīng)

28、有指向 N 端的加速度F qu1Bmm其中 m 為 P1 的質(zhì)量。 P1 在管中的運(yùn)動(dòng)會(huì)使它受到另一個(gè)向左的洛倫茲力，此力被管壁施與P 向右的力所抵消。P 到達(dá) N 端時(shí)具有沿管長(zhǎng)方向的速度11qu2ah2u1BhmP1 相對(duì)紙平面的速度大小便為vu 2u12因v2u1故uu1q22u1Bhu1即得 P1 的比荷為u1m 2BhP從 M 端到 N 端經(jīng)過時(shí)間1t12h2hmaqu1B將比荷表述式代入，即得t12hu1P 離開管后將在紙平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑與周期分別為1mv2 2hSRqB2 m4hP2TqBu1u2l 2 P1P 經(jīng) t 時(shí)間已隨細(xì)管朝正右方向運(yùn)動(dòng)距離112h2h圖（ b

29、）u1t1u1u12h因此 P 離開 N 端的位置恰為 P 的初始位置。P經(jīng) t時(shí)間已運(yùn)動(dòng)到圖（b）所示位置，1221走過的路程為l2u2t12h u2u1P只能與P相碰在圖中的S 處，相遇時(shí)刻必為12tt1( k1)T ， k0,1,22要求 P在這段時(shí)間內(nèi)恰好走過2R 路程，因此有2u2t2R42h即得u242 h2 2u1t1(2k1)由此可得u11(2k1)， k0,1,2u22215、（第26 屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽）近代的材料生長(zhǎng)和微加工技術(shù)，可制造出一種使電子的運(yùn)動(dòng)限制在半導(dǎo)體的一個(gè)平面內(nèi)（二維） 的微結(jié)構(gòu)器件， 且可做到電子在器件中像子彈一樣飛行，不受雜質(zhì)原子射散的影響，這種

30、特點(diǎn)可望有新的應(yīng)用價(jià)值。圖l 所示為四端十字形。二維電子氣半導(dǎo)體，當(dāng)電流從 l 端進(jìn)人時(shí)，通過控制磁場(chǎng)的作用，可使電流從2，3 或 4 端流出。對(duì)下面摸擬結(jié)構(gòu)的研究，有助于理解電流在上述四端十字形導(dǎo)體中的流動(dòng)。在圖 2 中， a、b、c、d 為四根半徑都為R的圓柱體的橫截面，彼此靠得很近，形成四個(gè)寬度極窄的狹縫1、 2、3、4，在這些狹縫和四個(gè)圓柱所包圍的空間（設(shè)為真空）存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面指向紙里。以 B 表示磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。一個(gè)質(zhì)量為 m、電荷量為 q 的帶正電的粒子，在紙面內(nèi)以速度 v0 沿與 a、 b 都相切的方向由縫 1 射人磁場(chǎng)內(nèi)，設(shè)粒子與圓柱表面只發(fā)生一次碰撞，碰撞

31、是彈性的，碰撞時(shí)間極短，且碰撞不改變粒子的電荷量，也不受摩擦力作用。試求B 為何值時(shí)，該粒子能從縫2 處且沿與 b、 c 都相切的方向射出。解法一：sp.n 在圖中紙面內(nèi)取Oxy 坐標(biāo)（如圖），原點(diǎn)在狹縫 l處， x 軸過縫 1 和縫 3粒子從縫 1 進(jìn)人磁場(chǎng)，在洛侖茲力作用下作圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道在原點(diǎn)與x 軸相切，故其圓心必在y 軸上若以 r 表示此圓的半徑，則圓方程為222（1）x +(y r) =r根據(jù)題的要求和對(duì)稱性可知，粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)與 d 的柱面相碰于縫3、4 間的圓弧中點(diǎn)處，碰撞處的坐標(biāo)為x=2R Rsin450（2）y=R R cos450（ 3）由（ l）、（ 2）

32、、（ 3）式得r=3R（ 4）由洛侖茲力和牛頓定律有由（ 4）、（ 5）式得解法二：v02q v Bm0rmv0 3qR5）6）如圖所示， A為 a、 b 兩圓圓心的連線與縫l 的交點(diǎn)， F 為 c、 d 兩圓圓心的連線與縫3的交點(diǎn)從 1 縫中射人的粒子在磁場(chǎng)作用下與圓柱d 的表面發(fā)生彈性碰撞后，反彈進(jìn)人縫2，這個(gè)過程一定對(duì)連結(jié)b、d 兩圓圓心的直線OP 對(duì)稱，故直線 OP 與 d 圓的交點(diǎn) C 必是碰度點(diǎn)由于粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)過 A 點(diǎn)，因此這個(gè)軌道的圓心必在過A 點(diǎn)并垂直于AF 的直線 AE 上；同時(shí)這個(gè)軌道經(jīng)過 C 點(diǎn)，所以軌道的圓心也一定在 AC 的垂直平分線 DE 上這樣 AE 與

33、 DE 的交點(diǎn) E 就是軌道的圓心，AE 就是軌道的半徑 r過 C 點(diǎn)作AF 的垂線與 AF 交于 H 點(diǎn)，則http:/hfwq.cersp.nAHC EDA有rAC AD（ 1）HC由圖可知HCR2 R2AH2R2 R22） 3）ACAH 2HC2（4）vox 、 voy1AC（ 5）AD2由以上各式得r=3R（ 6）由洛侖茲力和牛頓定律有q v0v02（ 7）B mr得到Bmv0（ 8）3qR度為16、（第 25 屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽 ） 設(shè)空間存在三個(gè)相互垂直的已知場(chǎng)：電場(chǎng)強(qiáng) E 的勻強(qiáng)電場(chǎng)， 磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和重力加速度為 g 的重力場(chǎng)。 一質(zhì)量為m、電荷量為q 的帶

34、正電的質(zhì)點(diǎn)在此空間運(yùn)動(dòng)，己知在運(yùn)動(dòng)過程中，質(zhì)點(diǎn)速度的大小恒定不變?cè)囃ㄟ^論證，說明此質(zhì)點(diǎn)作何種運(yùn)動(dòng)（不必求出運(yùn)動(dòng)的軌跡方程）若在某一時(shí)刻，電場(chǎng)和磁場(chǎng)突然全部消失，己知此后該質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的最小動(dòng)能為其初始動(dòng)能（即電場(chǎng)和磁場(chǎng)剛要消失時(shí)的動(dòng)能） 的一半，試求在電場(chǎng)、磁場(chǎng)剛要消失時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的速度在三個(gè)場(chǎng)方向的分量解：(1)在空間取如圖所示的直角坐標(biāo)Oxyz ，Ox軸沿電場(chǎng)方向，Oy軸沿磁場(chǎng)方向，Oz軸與重力方向相反。因?yàn)榇艌?chǎng)作用于質(zhì)點(diǎn)的洛侖茲力與磁場(chǎng)方向垂直，即在Oxz 平面內(nèi)；作用于質(zhì)點(diǎn)的電場(chǎng)力和重力也在Oxz 平面內(nèi)， 故質(zhì)點(diǎn)在 y 方向不受力作用， 其速度沿 y 方向的分速度的大小和方向都是不

35、變的。根據(jù)題意， 質(zhì)點(diǎn)速度的大小是恒定不變的，而磁場(chǎng)作用于質(zhì)點(diǎn)的洛侖茲力對(duì)質(zhì)點(diǎn)不做功，故質(zhì)點(diǎn)的速度沿垂直磁場(chǎng)方向的分速度的大小一定也是恒定不變的，故此分速度必須與電場(chǎng)力和重力的合力垂直。由于電場(chǎng)力和重力的合力的方向是不變的，故此分速度的方向也是不變的。由此可得到結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)速度的方向也是不變的，即質(zhì)點(diǎn)在給定的場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其軌跡是直線，在 Oxz 平面內(nèi)，與電場(chǎng)力和重力的合力垂直。質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)表明電場(chǎng)、 磁場(chǎng)和重力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用力的合力 F 等于 0。設(shè)存在電場(chǎng)、磁場(chǎng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度的大小為v0，它在坐標(biāo)系中的三個(gè)分量分別為和 voz ，這也就是在電場(chǎng)、 磁場(chǎng)剛要消失時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度在三個(gè)場(chǎng)方向

36、的分量，以 Fx 、Fy 和 Fz分別表示 F 在坐標(biāo)標(biāo)系中的分量，則有Fxq Eq Bo vz0(1)Fy0(2)FzmgqBvox0(3)由 (1) 、(3) 式得v0 zE(4)Bv0 xmg(5)qB若知道了粒子的速率 v0 ，粒子速度的y 分量為 v02y v02v02xv02z(6)因?yàn)殡妶?chǎng)和磁場(chǎng)消失后，粒子僅在重力作用下運(yùn)動(dòng)，任何時(shí)刻t 質(zhì)點(diǎn)的速度為vxvox(7)vyvoy(8)vzvozgt當(dāng) vx 等于 0 時(shí)，粒子的動(dòng)能最小，這最小動(dòng)能Ek min1 m(v2(9)22(10)0 xv0 y )根據(jù)題意有Ekmin1 ( 1 mv02 )(11)22由(10) 、(11)

37、 式得v022(v02xv02y )(12)由(4) 、 (5)、 (6) 、 (12)各式得v0 y1( qE) 2(mg)2(13)qB17、（ 第 24 屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽）地球赤道表面附近處的重力加速度為g0 9.8m/ s2 ，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B03.0 10 5 T ，方向沿經(jīng)線向北。赤道上空的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與 r3 成反比（ r 為考察點(diǎn)到地心的距離） ，方向與赤道附近的磁場(chǎng)方向平行。假設(shè)在赤道上空離地心的距離r5Re （ Re 為地球半徑）處，存在厚度為10km 的由等數(shù)量的質(zhì)子和電子的等離子層（層內(nèi)磁場(chǎng)可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)），每種粒子的數(shù)密度非常低，帶電粒子的相互作用

38、可以忽略不計(jì)。已知電子的質(zhì)量me9.1 1031 kg ，質(zhì)子的質(zhì)量m p 1.7 10 27 kg ，電子電荷量為1.61019 C ，地球的半徑 Re6.4 106 m 。1）所考察的等離子層中的電子和質(zhì)子一方面作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，另一方面因受地球引力和磁場(chǎng)的共同作用會(huì)形成位于赤道平面內(nèi)的繞地心的環(huán)行電流，試求此環(huán)行電流的電流密度。2）現(xiàn)設(shè)想等離子層中所有電子和質(zhì)子，它們初速度的方向都指向地心，電子初速度的大小 ue1.4104 m / s ，質(zhì)子初速度的大小uP3.4102 m / s 。試通過計(jì)算說明這些電子和質(zhì)子都不可能到到達(dá)地球表面。解： 解法一：. 由于等離子層的厚度遠(yuǎn)小于地球的半徑，

39、故在所考察的等離子區(qū)域內(nèi)的引力場(chǎng)和磁場(chǎng)都可視為勻強(qiáng)場(chǎng) . 在該區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度z33.0105BR0B0-7T （1）r125T 2.4 10引力加速度uzvuy v0uy v020OygR0g09.8m/s20.39m/s2（2）uxvr25考察等離子層中的某一質(zhì)量為m、電荷x圖（ 1）量為 q、初速度為 u 的粒子，取粒子所在處為坐標(biāo)原點(diǎn) O，作一直角坐標(biāo)系 Oxyz，Ox 軸指向地球中心， Oz 沿磁場(chǎng)方向，如圖（1）所示 .該粒子的初速度在坐標(biāo)系中的三個(gè)分量分別為、和uz.因作用于粒子的引力沿x 軸正方ux uy向，作用于粒子的洛倫茲力與z 軸垂直，故粒子在z 軸方向不受力作用，

40、沿z 軸的分速度保持不變 . 現(xiàn)設(shè)想在開始時(shí)刻，附加給粒子一沿y軸正方向大小為 v0 的速度，同時(shí)附加給粒子一沿 y 軸負(fù)方向大小為 v0 的速度，要求與其中一個(gè)v0 相聯(lián)系的洛倫茲力正好與粒子所受的地球引力相平衡，即qv0 Bmg得mgv0qB（ 3）用 v 表示 ux 與沿 y 軸的速度 u yv0 的合速度（對(duì)質(zhì)子取正號(hào)，對(duì)電子取負(fù)號(hào)），有vux2uy v 02（ 4）這樣，所考察的粒子的速度可分為三部分：沿 z 軸的分速度 uz 。其大小和方向都保持不變，但對(duì)不同的粒子是不同的，屬于等離子層中粒子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的速度分量。沿 y 軸的速度 v 0 。對(duì)帶正電的粒子，速度的方向沿y 軸的負(fù)

41、方向，對(duì)帶負(fù)電的粒子，速度的方向沿 y 軸的正方向。 與這速度聯(lián)系的洛倫茲力正好和引力抵消，故粒子將以速率 v 0沿 y 軸運(yùn)動(dòng)。由（ 3）式可知， v0 的大小是恒定的，與粒子的初速度無關(guān)，且對(duì)同種的粒子相同。在 Oxy 平面內(nèi)的速度 v 。與這速度聯(lián)系的洛倫茲力使粒子在Oxy 平面內(nèi)作速率為v 的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，若以R 表示圓周的半徑，則有qvB m v 2R得mRv（ 5）qB由（ 4）、（ 5）式可知， 軌道半徑不僅與粒子的質(zhì)量有關(guān)，而且與粒子的初速度的x 分量 ux 和y 分量 uy 有關(guān)。圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向是隨時(shí)間變化的，在圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)的平均速度等于 0。由此可見，等離子層

42、內(nèi)電子和質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)雖然相當(dāng)復(fù)雜，但每個(gè)粒子都具有由（3）式給出的速度 v 0 ，其方向垂直于粒子所在處的地球引力方向，對(duì)電子，方向向西，對(duì)質(zhì)子，方向向東。 電子、質(zhì)子這種運(yùn)動(dòng)稱為漂移運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的速度稱為漂移速度。漂移運(yùn)動(dòng)是粒子的定向運(yùn)動(dòng)，電子、質(zhì)子的定向運(yùn)動(dòng)就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流。由（ 3）式和（ 1）、（ 2）兩式以及有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子和質(zhì)子的漂移速度分別為v0e9.210 6 m/s（ 6）v0p1.710 2 m/s（7）由于電子、質(zhì)子漂移速度的方向相反，電荷異號(hào)，它們產(chǎn)生的電流方向相同，均為沿緯度向東 . 根據(jù)電流密度的定義有j nq v 0p v0e（ 8）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得j 2

43、.8 10 14 A/m 2（ 9）電流密度的方向沿緯度向東。（ 2）. 上一小題的討論表明，粒子在Oxy 平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速率由（4）式給出，它與粒子的初速度有關(guān)。對(duì)初速度方向指向地心的粒子，圓周運(yùn)動(dòng)的速率為vux2v02（ 10）由（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 5）、（ 10）各式并代入題給的有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子、質(zhì)子的軌道半徑分別為Re0. 3 3 m（11）Rp14.8m（ 12）以上的計(jì)算表明，雖然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子還受到磁場(chǎng)的作用，電子和質(zhì)子在地球半徑方向的最大下降距離分別為2Re0.66 m和 2Rp29.6 m ，都遠(yuǎn)小于等離子層的厚度，所考察的電子

44、和質(zhì)子仍在等離子層內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不會(huì)落到地面上。解法二： .1）. 由于等離子層的厚度遠(yuǎn)小于地球半徑，故在所考察等離子區(qū)域內(nèi)的引力場(chǎng)和磁場(chǎng)都可視為勻強(qiáng)場(chǎng) . 在該區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度R03150B3. 0（1）rB0T 2.410T125引力加速度2gR0g0 9.8 m/s20.39m/s2（ 2）r25考察等離子層中的某一質(zhì)量為m，電荷量為q、初速度為 u 的粒子，取粒子所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)zO，作一直角坐標(biāo)系 Oxyz，Ox 軸指向地球中心，vzOz 沿磁場(chǎng)方向，如圖（ 2）所示 . 該粒子的初速度v在坐標(biāo)系中的三個(gè)分量分別為ux、 uy 和 uz. 若以O(shè)yyvx 、 v y 、 vz 表示粒

45、子在任意時(shí)刻t 的速度 v 在 xvx方向、 y 方向和 z 方向的分速度，則帶電粒子在引x圖（ 2）力和洛倫茲力的共同作用下的運(yùn)動(dòng)方程為mdvxmg qv ymg（ 3）dtB qB v yqBmdv yqvx B（ 4）dtm dvz0（ 5）dt（5）式表明，所考察粒子的速度在z 軸上的分量保持不變，即vz u z（6）作變量代換，令Vxv x ， Vyv y v0（ 7）其中v0mg（ 8）qB把（ 7）、（ 8）式代入（ 3）、（4）式得dVxqBVy（ 9）mdtdVyqVx B（ 10）mdt由（ 9）、 ( 10)兩式可知，作用于粒子的力F 在 x 和 y 方向的分量分別為Fx

46、qBVyFyqBVx若用 1 表示 F 的方向與 x 軸的夾角，2 表示 V 的方向與 x 軸的夾角，而 VVx2Vy2 ，則有FyVxtan 1VyFxtan 2VyVx可見 tan 1 tan 21，表明 F 的方向與 V 的方向垂直，粒子將在F 的作用下在 Oxy 平面內(nèi)作速率為 V 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)若以R 表示圓周的半徑，則有qVBm V 2RRmV（ 11）qB在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，V 的大小是不變的，任何時(shí)刻V 的值也就是t0 時(shí)刻 V 的值，由（ 7）式和已知條件在 t 0 時(shí)刻有VxuxVy uyv0故有Vux2uy2v0（ 12）以上討論表明，粒子的運(yùn)動(dòng)可分成三部分：根據(jù)（ 6）式

47、 v z uz ，可知粒子沿 z 軸的分速度大小和方向都保持不變，但對(duì)不同的粒子是不同的，屬于等離子層中粒子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的速度分量根據(jù)（ 7）式可得 vxV ， vyVv，表明粒子在 Oxy 平面內(nèi)以速率V作圓周運(yùn)動(dòng)xy0的同時(shí)，又以速度 v0 沿 y 軸運(yùn)動(dòng) Vx 、 Vy 是圓周運(yùn)動(dòng)速度的x 分量和 y 分量圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑不僅與粒子的質(zhì)量有關(guān)，而且與粒子的初速度的x分量 ux 和 y 分量 uy 有關(guān)圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向是隨時(shí)間變化的，在圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)的平均速度等于0沿 y 軸的速度 v0 由（ 8）式給出，其大小是恒定的，與粒子的初速度無關(guān)，同種粒子相同，但對(duì)帶正電的粒子，其方向

48、沿y 軸的負(fù)方向，對(duì)帶負(fù)電的粒子，其方向沿y 軸的正方向由此可見，等離子層內(nèi)電子和質(zhì)子雖然相當(dāng)復(fù)雜，但每個(gè)粒子都具有由（8）式給出的速度 v0 ，其方向垂直于粒子所在處的地球引力，對(duì)電子，方向向西，對(duì)質(zhì)子， 方向向東電子、質(zhì)子這種運(yùn)動(dòng)稱為漂移運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的速度稱為漂移速度漂移運(yùn)動(dòng)是粒子的定向運(yùn)動(dòng)，電子、質(zhì)子的定向運(yùn)動(dòng)就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流由（ 8）式和（ 1）、（ 2）兩式以及有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子和質(zhì)子的漂移速度分別為v0e9.210 6 m/s（13）v0p1.710 2 m/s（14）由于電子、質(zhì)子漂移速度的方相反，電荷異號(hào)，它們產(chǎn)生的電流方向相同，均為沿緯度向東 . 根據(jù)電流密度的定義

49、有j nq v0p v0e（ 15）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得j 2.8 10 14 A/m 2（ 16）電流密度的方向沿緯度向東.（ 2） . 上一小題的討論表明，粒子在Oxy 平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速率由（12）式給出，它與粒子的初速度有關(guān)對(duì)初速度方向指向地心的粒子，圓周運(yùn)動(dòng)的速率為Vux2v 02（ 17）因題給出的電子與質(zhì)子的初速度ux 是不同的，電子、質(zhì)子的質(zhì)量又是不同的，故電子、質(zhì)子在 Oxy 平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也是不同的由（1）、（ 2）、（ 8）、（ 11）、（ 12）各式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子、質(zhì)子的軌道半徑分別為Re0.33m（ 18）Rp14.8m（ 19）以上的計(jì)算表明，雖然

50、粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子還受到磁場(chǎng)的作用，電子和質(zhì)子在地球半徑方向的最大下降距離分別為2Re0.66m 和 2Rp29.6m ，都遠(yuǎn)小于電離層的厚度，所考察的電子和質(zhì)子仍在等離子層內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不會(huì)落到地面上.18、（第 24 屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽）如圖所示， M 1M 2 和 M 3 M 4 都是由無限多根無限長(zhǎng)的外表面絕緣的細(xì)直導(dǎo)線緊密排列成的導(dǎo)線排橫截面， 兩導(dǎo)線排相交成120 ，為其角平分線每根細(xì)導(dǎo)線中都通有電流 I ，兩導(dǎo)線排中電流的方向相反，其中 M1M 2 中電流的方向垂直紙面向里導(dǎo)線排中單位長(zhǎng)度上細(xì)導(dǎo)線的根數(shù)為圖中的矩形abcd 是用 N型半導(dǎo)體材料做成的長(zhǎng)直半導(dǎo)體

51、片的橫截面，（ ab bc ），長(zhǎng)直半導(dǎo)體片與導(dǎo)線排中的細(xì)導(dǎo)線平行，并在片中通有均勻電流I 0 ，電流方向垂直紙面向外已知 ab 邊與 OO 垂直， bc l ，該半導(dǎo)體材料內(nèi)載流子密度為n ，每個(gè)載流子所帶電荷量的大小為q 。求此半導(dǎo)體片的左右兩個(gè)側(cè)面之間的電勢(shì)差。已知當(dāng)細(xì)的無限長(zhǎng)的直導(dǎo)線中通有電流I 時(shí)，電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)離直導(dǎo)線的距離為r 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B k I,式中 k 為已知常量r解：（ 1） 兩導(dǎo)線排的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)考察導(dǎo)線排 M 1 ， M 2 中的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)，取x 軸與導(dǎo)線排M 1M 2 重合， Y 軸與導(dǎo)線排 M 1M 2 垂直，如圖（1）所示位于 x 和 xx（x

52、 為小量） 之間的細(xì)導(dǎo)線可以看作是“一根”通有電流 Ix 的長(zhǎng)直導(dǎo)線，它在Y 軸上 P 點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為Bk Ix(1)rr 為 P 點(diǎn)到此直長(zhǎng)導(dǎo)線的距離，B 的方向與 r垂直，與電流構(gòu)成右手螺旋將AB分解成沿 x 方向和 Y 方向的兩個(gè)分量Bx 和By ，有Bxk Ix cos(2)rBy kI x(3)sinr根據(jù)對(duì)稱性，位于x 到 (xx) 之間的細(xì)導(dǎo)線中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度在Y 方向的分量與By ，大小相等、方向相反可見整個(gè)導(dǎo)線排中所有電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)在Y 方向的合磁場(chǎng)為0由圖（ 1）可看出x cos(4)r把(4) 式代入 (2) 式得圖 1.Bx kI(5)導(dǎo)線排上所有電流

53、產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度BBxkI(6)注意到得B kI(7)即每個(gè)導(dǎo)線排中所有電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向分別與M1M2 和 M3M 4 線排平行如圖（ 2）所示，兩導(dǎo)線排中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B(M1M2) 與 B(M3M4) 成，它們的合磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B02B cos600kI(8)方向與 OO 平行，由 O 指向 O 。(2)半導(dǎo)體片左右兩側(cè)面間的電勢(shì)差當(dāng)半導(dǎo)體片中通有均勻電流I 0 時(shí)，半導(dǎo)體片中的載流子作定向運(yùn)動(dòng)，N 型半導(dǎo)體的載流子帶負(fù)電荷，故其速度v 的方向與 I 0 方向相反，垂直紙面向里，且有:I 0nqvS(9)式中 S 為半導(dǎo)體片橫截面的面積Sab l(10)

54、載流子作定向運(yùn)動(dòng)時(shí)要受到磁場(chǎng)洛倫茲力f B 的作用，其大小為f BqvB0(11)對(duì)帶負(fù)電荷的載流子此力的方向指向左側(cè)，于是負(fù)電荷積聚在左側(cè)面上，從而左側(cè)面帶負(fù)電，右側(cè)面帶正電， 兩側(cè)面間出現(xiàn)電勢(shì)差UU 右U 左 帶負(fù)電荷的載流子受到靜電力f E 由左側(cè)面指向右側(cè)面，達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，fE 與 fB 平衡，即UqfB(12)fEab由(8) 、 (9)、 (10)、 (11)、 (12)各式得UkII 0nql19、（第 23 屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽 ）圖示為一固定不動(dòng)的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為 R，圓筒的軸線在 O 處。圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與圓筒的軸線平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。筒壁的

55、H處開有小孔， 整個(gè)裝置處在真空中。 現(xiàn)有一質(zhì)量為 m、電荷量為 q 的帶電粒子 P 以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射入圓筒，經(jīng)與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒。設(shè)：筒壁是光滑的，P 與筒壁碰撞是彈性的，P 與筒壁碰撞時(shí)其電荷量是不變的。若要使 P 與筒壁碰撞的次數(shù)最少，問：P 的速率應(yīng)為多少？P 從進(jìn)入圓筒到射出圓筒經(jīng)歷的時(shí)間為多少？解：1. 如圖 1 所示，設(shè)筒內(nèi)磁場(chǎng)的方向垂直紙面指向紙外，帶電粒子 P 帶正電，其速率為 v 。 P 從小孔射入圓筒中，因受到磁場(chǎng)的作用力而偏離入射方向， 若與筒壁只發(fā)生一次碰撞，是不可能從小孔射出圓筒的。但與筒壁碰撞兩次，它就有可能從小孔射出。造此情形中，P 在筒內(nèi)的路徑由三段等長(zhǎng)、等半徑的圓弧 HM 、MN 、和 NH 組成?，F(xiàn)考察其中一段圓弧