北師大版七年級數(shù)學下冊第二章-：相交線與平行線培優(yōu)講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)第二章 相交線與平行線培優(yōu)講義內(nèi)容基本要求略高要求較高要求相交線 平行線了解余角、補角、對頂角，知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的補角相同；了解垂線、垂線段的概念，了解垂線段最短的性質(zhì)，了解點到直線的距離的意義；了解線段垂直平分線及其性質(zhì)；知道過直線外一點有且只有一條直線平行與已知直線；知道過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；理解兩平行線之間距離的意義，會度量兩平行線間的距離會用三角尺和直尺過直線外一點做這條直線的平行線；會用直尺或量角器過一點做已知直線的垂線

2、；會用線段垂直平分線的性質(zhì)解決簡單問題；掌握平行線的性質(zhì)，會判斷兩條直線是否平行相交直線的概念及性質(zhì)如果直線與直線只有一個公共點，則稱直線與直線相交，為交點，其中一條是另一條的相交線相交線的性質(zhì)：兩直線相交只有一個交點鄰補角的概念：兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做互為鄰補角.如圖中，和，和，和，和互為鄰補角.互為鄰補角的兩個角一定互補，但兩個角互補不一定是互為鄰補角。對頂角的概念及性質(zhì)：（1）對頂角的概念：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角. 我們也可以說，兩條直線相交成四個角，其中有公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角.如圖中

3、，和，和是對頂角.（2）對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。垂線的概念及性質(zhì)：（1）垂線的概念：垂直是相交的一種特殊情況，兩條直線互相垂直，其中一條叫另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足. 如圖所示，可以記作“于”（2）垂線的性質(zhì)：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直；連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡單說成：垂線段最短.5.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念：同位角：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對角(兩個角分別在兩條直線的相同一側(cè)，并且在第三條直線的同旁)叫做同位角如圖所示，1與5，2與6，3與7，4與8都是同位角.內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間

4、，并且位置交錯，(即分別在第三條直線的兩旁)，這樣的一對角 叫做內(nèi)錯角，如圖中，3與5，4與6都是內(nèi)錯角同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角，如圖中，3與6，4與5都是同旁內(nèi)角.看圖識角：（1）“”型中的同位角.如圖. （2）“”字型中的內(nèi)錯角，如圖. （3）“U”字型中的同旁內(nèi)角.如圖. 平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作。平行線的性質(zhì)：平行線之間的距離處處相等.兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交；平行。因此當我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時，

5、就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）注意：判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：有且只有一個公共點，兩直線相交；無公共點，則兩直線平行；兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）平行線的畫法：平行線的畫法是幾何畫圖的基本技能之一，在以后的學習中，會經(jīng)常遇到畫平行線的問題方法為：一“落”（三角板的一邊落在已知直線上），二“靠”（用直尺緊靠三角板的另一邊），三“移”（沿直尺移動三角板，直至落在已知直線上的三角板的一邊經(jīng)過已知點），四“畫”（沿三角板過已知點的邊畫直線）平行公理平行線的存在性與惟一性經(jīng)過直線外一點，有且

6、只有一條直線與這條直線平行平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行平行線的判定兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 簡稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行 簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行 簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行方法四 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行方法五 （平行線公理推論）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行方法六 （平行線定義）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線平

7、行平行線的性質(zhì)：性質(zhì)一：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等簡稱：兩條直線平行，同位角相等性質(zhì)二：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等簡稱：兩條直線平行，內(nèi)錯角相等性質(zhì)三：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補簡稱：兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補兩條平行線間的距離：同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等如圖，直線、交于，平分，求的度數(shù) 【解析】由、互為鄰補角可知，又，故，由對頂角相等可知，又平分，故，從而可知，【答案】過點任意作7條直線，求證：以為頂點的角中，必有一個小于.【解析】略【答案】如圖，點把7條直線分成14條射線，記為

8、，.相鄰兩射線組成14個角，記為，.其和為一個周角：.若結(jié)論不成立，則，.相加，得.這一矛盾說明，在，中，必有一個角小于.平面上有條直線兩兩相交，試證明：所得的角中至少有一個角不大于.【解析】在平面上任取一點，將這條直線均平行移動通過點，即條直線交于同一點，將以為頂點的周角分成了對互不重疊的角度（共個角），設(shè)為 .由平行線性質(zhì)可知，這個角的每一個都與原來條直線中某兩條直線的一個交角相等，即這個角都是原來n條直線兩兩相交所成的角.假設(shè)這些角都大于，于是有 ，這與相矛盾，故假設(shè)不成立，即原命題成立.【答案】在平面上任取一點，將這條直線均平行移動通過點，即條直線交于同一點，將以為頂點的周角分成了對互

9、不重疊的角度（共個角），設(shè)為 .由平行線性質(zhì)可知，這個角的每一個都與原來條直線中某兩條直線的一個交角相等，即這個角都是原來n條直線兩兩相交所成的角.假設(shè)這些角都大于，于是有 ，這與相矛盾，故假設(shè)不成立，即原命題成立.三條不同的直線相交于同一點，其中某兩條直線相交得到的一對對頂角是在以為頂點的六條射線上各取一不同于的點，按順時針方向依次記為則，和中至少有兩個角是( )A B C銳角 D鈍角【解析】如下圖所示，畫出兩條直線在點處交成對頂角后，第三條過點0的直線要么過角內(nèi)部，要么過的內(nèi)部(即角的外部)無論下圖中(a)，(b)哪種情況，都至少有兩個角是銳角故選C【答案】C 求證：成對頂角的兩個角的平分

10、線，在同一直線上【解析】略【答案】如圖，交于，則與成對頂角設(shè)分別為的平分線。，且，。又。即在同一直線上。如下圖所示，在一個面積為平方米的正方形貨場中有一條長為米的直線鐵路.現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車停放在點，如果卡車的速度是每分鐘米，請說明11分鐘內(nèi)能否將這車貨物運到鐵路線旁？ 【解析】略【答案】因為卡車的速度是固定不變的卡車11分鐘內(nèi)能否將貨物運到鐵路線旁，關(guān)鍵是能否在鐵路線上找到一點，使這點到點的距離不大于11分鐘卡車所行駛的路程由“直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中，垂線段最短”，想到過點作的垂線，然后再比較垂線段的長度與卡車11分鐘能行駛的路程的大小，得出結(jié)論如圖所示，汽車由點到直線鐵

11、路段的最短距離是由向引的垂線連結(jié)又（米）卡車行1152米，需要 (分鐘) 11(分鐘)在11分鐘內(nèi)不能將這車貨物由點運到鐵路線旁 兩條平行直線被第三條直線所截，有幾對同位角，幾對內(nèi)錯角，幾對同旁內(nèi)角. 三條平行直線呢?四條、五條呢? 你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律.【解析】 兩條平行直線被第三條直線所截，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角. 當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角；當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角；當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角. 當條線彼此平行時，被直線所截，即，則共有(，)、(，)、(，)、(，)；(，)、(，)、(，)、共對平行線，每對平行線被

12、所截，產(chǎn)生對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角，則共有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角【答案】 兩條平行直線被第三條直線所截，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角. 當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角；當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角；當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角. 當條線彼此平行時，被直線所截，即，則共有對平行線，每對平行線被所截，產(chǎn)生對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角，則共有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角下圖有 對內(nèi)錯角【解析】做此類型題：第一、要找三種關(guān)系角（同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角）關(guān)鍵在于尋找線段；第二、不同的線段找出來的三種關(guān)系角是不會重復；第三、

13、在線段很多的時候，要找出相同特點的線段的條數(shù)，只需算出一條線段的關(guān)系角的對數(shù)，故該特點的線段的關(guān)系角為在本題中，線段、，每條線段都有對內(nèi)錯角；線段、，每條線段都只有對內(nèi)錯角；線段、，每條線段都只有對內(nèi)錯角；線段、，每條線段都有對內(nèi)錯角；故總的內(nèi)錯角為：【答案】24已知，如圖，,試用兩種方法證明【解析】略【答案】解法一：過點作,則,又, 解法二：作,則, ，, 兩條平行直線被第三條直線所截，有幾對同位角，幾對內(nèi)錯角，幾對同旁內(nèi)角. 三條平行直線呢?四條、五條呢? 你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律.【解析】 兩條平行直線被第三條直線所截，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角. 當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對

14、同旁內(nèi)角；當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角；當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角. 當條線彼此平行時，被直線所截，即，則共有(，)、(，)、(，)、(，)；(，)、(，)、(，)、共對平行線，每對平行線被所截，產(chǎn)生對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角，則共有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角【答案】 兩條平行直線被第三條直線所截，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角. 當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角；當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角；當有條平行線時，有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角. 當條線彼此平行時，被直線所截，即，則共有對平行線，每對平行線被

15、所截，產(chǎn)生對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角，則共有對同位角，對內(nèi)錯角，對同旁內(nèi)角學員在廣場上練習駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是( )A第一次向左拐，第二次向右拐B第一次向右拐，第二次向左拐C第一次向右拐，第二次向右拐D第一次向左拐，第二次向左拐【解析】選擇A，注意區(qū)分拐角是與前進方向所成的角，本題考察了同位角相等，兩直線平行.教師可將此題的后三個選項拓展，讓學生求出兩次拐角后與原方向的夾角.【答案】A如圖，一條公路修在湖邊時，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐的角是，第二次拐的角是，第三次拐的角是，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，求的大小.【解析】過

16、點作,那么，【答案】在同一平面內(nèi)有，97條直線，如果，那么與的位置關(guān)系是 .【解析】略【答案】尋找規(guī)律，；，4個一循環(huán)，所以有一直的紙帶，如圖折疊時，_【解析】由折疊問題可知：【答案】如下圖，已知，求證： 【解析】略【答案】如右圖所示，分別過點，做和的平行線，易得：即有： 如右圖所示，已知，平分，平分.求證：【解析】略【答案】過點作，如圖所示，因為 ，故，于是，從而，又平分，所以，因此，因，故，于是，即如圖平分則【解析】，同理平分【答案】如下圖所示求證：【解析】略【答案】把，都集中在某一頂點處，證明它們可構(gòu)成一周角，或把它們其中某一個角分成兩部分，證明每一部分分別與另兩角的和是證法1：如圖，過

17、點作，交于，因為，所以因為，所以所以因為所以證法2：如圖，過點作，則因為，所以，所以又，即證法3：如圖，延長交延長線于因為，所以，為的外角所以因為為是的補角，所以因為 如圖，已知，探索、，、之間的關(guān)系.如圖，已知，探索、，、之間的關(guān)系.如圖，已知，探索、之間的關(guān)系.【解析】略【答案】（1）；(向右凸出的角的和向左凸出的角的和，,均為銳角)（2）；注意和第問的區(qū)別；（3）.總結(jié)方法思想,巧作平行線.如圖所示，兩直線平行，則 ( )A B C D 【解析】分別過點做的平行線，再求各個角度的和選D【答案】如圖所示，證明：【解析】略【答案】證法l ： 因為，所以(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)過作由，得

18、(平行于同一條直線的兩條直線平行)因為，有 (兩直線平行，內(nèi)錯角相等)又，有，(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)所以 (周角定義)所以 (等量代換)證法2： 由，得(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)過作 （如圖）由，得.(平行于同一條直線的兩條直線平行)因為 ，所以(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)，又 ，所以(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)所以所以(等量代換)已知，點分別在上（1）間有一點，點在直線左側(cè)，如圖1，求證（2）當間的點在直線右側(cè)時，如圖2，直線有什么關(guān)系？（3）如圖3，當點在外側(cè)時，探索之間有何關(guān)系？【解析】略【答案】（1）過點作，（2）過點作，（3）過點作，.如圖所示，已知，在上，且滿足，平分 求的度

19、數(shù)； 若平行移動，那么：的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個比值； 在平行移動的過程中，是否存在某種情況，使？若存在，求出其度數(shù)；若不存在，請說明理由【解析】略【答案】 ； ； 存在，作圖題：在方格紙中，將ABC向右平移3個單位得到A1B1C1，畫出A1B1C1【解析】分別找出ABC向右平移3個單位后對應的關(guān)鍵點，然后順次連接即可【答案】如下圖所畫A1B1C1即為所求【點評】本題考查了平移變換中的作圖問題，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是找出平移后的關(guān)鍵點將ABC沿AD平移，A點平移到點D，畫出平移后的DEF【解析】連接AD，過B、C分別做AD的平行線，并且在平行線上截取BE=CF=AD，連接ED，EF，DF，得到的DEF即為平移后的DEF【答案】【點評】用到的知識點為：平移前后的圖形的對應點的連線平行且相等課后作業(yè)如圖，直線，則的大小是 . 【解析】過點，作，的平行線，那么，在中,又，【答案】請你分析下面的題目，從中總結(jié)規(guī)律，填寫在空格上，并選擇一道題目具體書寫證明.（1）如圖，已知：，直線分別交，于，分別平分，.求證：.從本題我能得到的結(jié)論是： .（2）如圖，已知：，直線分別交，于，分別平