專題四三角函數(shù)學(xué)生版

1、PAGE 第 PAGE 16 頁 共 NUMPAGES 16 頁第六節(jié)三角函數(shù)及三角恒等變換【考點(diǎn)整合及典例分析】考點(diǎn)1.角的基本概念角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形.按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱它形成一個(gè)零角.射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊.象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限的角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.終邊相同的角的表示： （1）終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在

2、射線上)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等. 【例1】與角的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是_，合_弧度.（2）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上) .（3）終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱.（4）終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱.（5）終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（6）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：.【例2】的終邊與的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則_.與的終邊關(guān)系：【例3】若是第二象限角，則是第_象限角變式1、若是第三象限角，則是第_象限角考點(diǎn)2.弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad). 【例4】已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧

3、度，求該扇形的面積.變式2、一個(gè)扇形的周長為20，則扇形圓心角 時(shí)，扇形面積最大考點(diǎn)3.任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意一個(gè)角，P是的終邊上的任意一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），它與原點(diǎn)的距離是，那么，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).【例5】已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(5，12)，則的值為_. 變式3、已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-x，6)，若，則x的值為 變式4、已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P且，試判斷角所在的象限，并求的值?！纠?】設(shè)是第三象限角，則的取值范圍是_ 考點(diǎn)4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP“站在軸上(起點(diǎn)在軸上)”.余弦線OM“躺在軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”.正切線AT“站在點(diǎn)處(起點(diǎn)是)”.三

4、角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式.【例7】若為銳角，則的大小關(guān)系為_ _ 【例8】函數(shù)的定義域是_ 考點(diǎn)5.特殊角的三角函數(shù)值：3045600901802701575010110101002-2+考點(diǎn)6. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值.在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號(hào)；在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的

5、絕對(duì)值.【例9】若，則使成立的的取值范圍是_ _ 【例10】已知，則_ 【例11】已知，則_；_ 變式5、已知，求（1）的值（2）求的值【例12】已知，則等于 【例13】已知，則的值為_ 考點(diǎn)7.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對(duì)而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號(hào)看象限（看原函數(shù)，同時(shí)可把看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負(fù)角變正角，再寫成2k+,；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).【例14】的值為_ 【例15】已知，則_，若為第二象限角，則_. 變式6、已知，求的值考點(diǎn)8.兩角和與差的正弦.余弦.正切公式及倍角公式：【例16】下列各式中，值為的是（ ） A.

6、B.C.D.；【例17】已知，那么的值為_ 、變式7、的值是_ 變式8、設(shè)為銳角，若 ，則的值為 考點(diǎn)9. 三角函數(shù)的化簡.計(jì)算.證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).基本的技巧有:（1）巧變角（已知角與特殊角的變換.已知角與目標(biāo)角的變換.角與其倍角的變換.兩角與其和差角的變換. 如，等），【例18】已知，那么的值是_ 變式9、已知，且，求的值 【例19】已知為銳角，則與的函數(shù)關(guān)系為_(2)三角函數(shù)名互化(切化弦)，【例20】求值【例21】已

7、知，求的值 變式10、已知,則_ _.(3)公式變形使用（.【例22】已知A.B為銳角，且滿足，則_ 變式11、設(shè)中，則此三角形是_三角形(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：，與升冪公式：，).【例23】)若，化簡為_ (5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角.函數(shù)名.式子結(jié)構(gòu)化同).【例24】求證：；變式12、化簡： 【例25】已知，試用表示的值.考點(diǎn)10.輔助角公式中輔助角的確定：(其中角所在的象限由a, b的符號(hào)確定，角的值由確定)在求最值.化簡時(shí)起著重要作用.【例26】若方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_.【例27】當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，的值是_ _ 變式13、如果是奇函數(shù)，則= 【例28】求值：_考點(diǎn)1

8、1.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為0，的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.畫出圖像考點(diǎn)12.正弦函數(shù).余弦函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域：都是R.（2）值域：都是，對(duì)，當(dāng)時(shí)，取最大值1；當(dāng)時(shí)，取最小值1；對(duì)，當(dāng)時(shí)，取最大值1，當(dāng)時(shí)，取最小值1.【例29】若函數(shù)的最大值為，最小值為，則_ _， 【例30】函數(shù)（）的值域是_ 變式14、若，則的最大值和最小值分別是_ . _【例31】函數(shù)的最小值是_，此時(shí)_變式15、若，求的最大.最小值（3）周期性：.的最小正周期都是2；和的最小正周期都是.【例32】若

9、，則_ 變式16、已知函數(shù)的最大值為2，最小正周期為8，則的值等于 【例33】 函數(shù)的最小正周期為_ 【例34】 設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意都有成立，則的最小值為_ 變式17、已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，則 （4）奇偶性與對(duì)稱性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線（正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與軸的交點(diǎn)）.【例35】函數(shù)的奇偶性是_ 【例36】已知函數(shù)為常數(shù)），且，則_變式18、函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸分別是_._ 【例37】已知為偶函數(shù)，求的值（5）單調(diào)性：

10、上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.特別提醒，別忘了！ 考點(diǎn)13.形如的函數(shù)：（1）幾個(gè)物理量：A振幅；頻率（周期的倒數(shù)）；相位；初相；（2）函數(shù)表達(dá)式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點(diǎn)確定，【例38】，的圖象如圖所示，則_ （3）函數(shù)圖象的畫法：“五點(diǎn)法”設(shè)，令0，求出相應(yīng)的值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法.（4）函數(shù)的圖象與圖象間的關(guān)系：函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左（0）或向右（0,）的圖像與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖像上一個(gè)最低點(diǎn)為M（）（1）求的解析式（2）當(dāng)時(shí)，求的值域。第七節(jié)解三角形考點(diǎn)1

11、. 三角形中的有關(guān)公式： (1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：正弦定理的一些變式：；已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.(4)面積公式：（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）.如中，若，判斷的形狀（答：直角三角形）.特別提醒：（1）求解三角形中的問題時(shí)，一定要注意這個(gè)特殊性：；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理.余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化.【例1】中，A.B的對(duì)邊分別是，且，那么滿足條件的有 個(gè) A. 有一個(gè)解 B.有兩個(gè)解 C.無解 D.不能確定變式1、中，則符合條件的三角形有 個(gè)【例2】在中，AB是成立的_條件【例3】在中，若其面積，則=_ 變式2、在中，這個(gè)三角形的面積為，則外接圓的直徑是_ 【例4】在ABC中，a.b.c是角A.B.C的對(duì)邊，= ，的最大值為考點(diǎn)2.求角的方法：先確定角的范圍，再求出關(guān)于此角的某一個(gè)三角函數(shù)（要注意